Notas_de_aula_da_unidade_II
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\uf07a\uf02d
\uf077\uf03d \uf07a\uf077\uf02d\uf026 (2.14)
UNIDADE II 10
Igualando a derivada a zero resulta:
\uf070\uf03d\uf07a\uf02d\uf077 nt1 2n (2.15)
ou
2
n 1
n
t
\uf07a\uf02d\uf077
\uf070\uf03d
Fazendo n=1 tem-se:
2
n
p
1
T
\uf07a\uf02d\uf077
\uf070\uf03d (2.16)
Cálculo de % UP
Com base na Figura (2.18) tem-se:
100
c
cc
UP%
final
finalmax \uf0d7\uf02d\uf03d (2.17)
O valor cmax é obtido calculando o valor de c(t) em (2.12), no instante de pico Tp
dado por (2.16):
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf070
\uf07a\uf02d
\uf07a\uf02b\uf070\uf02d\uf03d\uf03d \uf07a\uf02d\uf07a\uf070\uf02d sen
1
cose1)T(cc
2
)1(
pmax
2
\uf0f7\uf0f8
\uf0f6\uf0e7\uf0e8
\uf0e6 \uf07a\uf02d\uf07a\uf070\uf02d
\uf02d\uf03d
21
e1 (2.18)
Pela resposta ao degrau calculada na Equação (2.12):
1cfinal\uf03d (2.19)
Substituindo (2.18) e (2.19) em (2.17) tem-se:
100eUP%
21
\uf0d7\uf03d
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf07a\uf02d\uf07a\uf070\uf02d
(2.20)
De (2.20) pode-se tirar o valor de\uf07aque é dado por:
)100/UP(%Ln
100/UP(%Ln
22\uf02b\uf070
\uf02d\uf03d\uf07a (2.21)
Fig. 2.19 - Ultrapassagem percentual em função do fator de amortecimento
UNIDADE II 11
Cálculo de Ts
Usando a definição do tempo de assentamento, a parcela responsável pelo
amortecimento em (2.12) é:
02,0
1
1e
2
Tsn \uf03d
\uf07a\uf02d
\uf07a\uf077\uf02d (2.22)
logo
n
2
s
)102.0(Ln
T
\uf07a\uf077
\uf07a\uf02d\uf02d\uf03d (2.23)
A Equação (2.23) varia de 3,91 a 4,47 para \uf07avariando de 0 a 0,9. Uma
aproximação para o tempo de assentamento pode ser usada como:
n
s
4
T \uf07a\uf077\uf03d (2.24)
Tempo de subida Tr
Não é possível obter uma relação analítica precisa entre o tempo de subida e a
relação de amortecimento. Isto se faz calculando Tr para cada valor de\uf07aem (2.12).
Fig. 2.20 - Tempo de subida normalizado versus razão de amortecimento
3.2 FT de segunda ordem obtidas experimentalmente
Dada a curva obtida em laboratório, pode-se medir o sobresinal (%U) e o tempo
de assentamento, de onde é possível obter os pólos e por conseguinte o
denominador. O numerador pode ser encontrado como no sistema de primeira
ordem.
Exemplo: Obter %UPeT,T,T,, rpsn\uf077\uf07a de um sistema cuja FT é:
361s16s
361
)s(G 2 \uf02b\uf02b
\uf03d
UNIDADE II 12
s/rad19361n \uf03d\uf03d\uf077 e 421,0162 n \uf03d\uf07a\uf0de\uf03d\uf07a\uf077
s5,0
19451,0
44T
n
s \uf03d\uf0d7
\uf03d
\uf07a\uf077
\uf03d e s182,0
1
T
2
n
p \uf03d
\uf07a\uf02d\uf077
\uf070\uf03d
A partir da Figura (2.20):
s079,0T4998,1T rrn \uf03d\uf0de\uf03d\uf077
e %3,23100eUP%
21
\uf03d\uf0d7\uf03d
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf07a\uf02d\uf07a\uf070\uf02d
3.3 Resposta de sistemas com pólos adicionais
Considere-se um sistema constituído de três pólos, dois complexos em
2
nn 1j \uf07a\uf02d\uf077\uf0b1\uf07a\uf077\uf02d e um pólo real em -\uf061, cuja função de transferência é dada por:
\uf028 \uf029\uf061\uf02b\uf077\uf02b\uf07a\uf077\uf02b
\uf077\uf03d
s)2s(
)s(G
2
nn
2
2
n (2.25)
A partir da equação em frações parciais tem-se:
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf061\uf02b\uf02b\uf077\uf02b\uf07a\uf077\uf02b
\uf077\uf02b\uf07a\uf077\uf02b\uf02b\uf03d
s
D
s
C)s(B
s
A)s(C
2
d
2
n
dn (2.26)
A resposta no domínio do tempo é:
\uf028 \uf029 tddt DetsenCtcosBe)t(Au)t(c n \uf061\uf02d\uf07a\uf077\uf02d \uf02b\uf077\uf02b\uf077\uf02b\uf03d (2.27)
Fig. 2.21 - Diagrama de pólos
Fig. 2.22 - Resposta dos componentes
UNIDADE II 13
1. Caso I - 1r\uf061\uf03d\uf061 e não é muito maior do que n\uf07a\uf077 .
2. Caso II - 2r\uf061\uf03d\uf061 e é muito maior do que n\uf07a\uf077 .
3. Caso III - \uf0a5\uf03d\uf061
Exemplo: Obter as respostas ao degrau de cada uma das funções de
transferência mostradas nas equações abaixo:
542,24s4s
542,24
)s(G 21 \uf02b\uf02b
\uf03d
\uf028 \uf029\uf028 \uf029542,24s4s10s
42,245
)s(G 22 \uf02b\uf02b\uf02b
\uf03d
\uf028 \uf029\uf028 \uf029542,24s4s3s
626,73
)s(G 23 \uf02b\uf02b\uf02b
\uf03d
As respostas ao degrau para as FT acima são:
)8,23t532,4cos(e09,11)t(c ot21 \uf02d\uf02d\uf03d \uf02d
)34,53t532,4cos(e189,1e29,01)t(c ot2t102 \uf02d\uf02d\uf02d\uf03d \uf02d\uf02d
)63,78t532,4cos(e707,0e14,11)tc ot2t33 \uf02b\uf02b\uf02d\uf03d \uf02d\uf02d
As três respostas estão plotadas na Figura (2.23).
Fig. 2.23 - Resposta ao degrau dos sistemas G1(s), G2(s) e G3(s)
Exemplo: Determinar a validade de uma aproximação de segunda ordem para
cada uma das FT mostradas abaixo:
a) \uf028 \uf029\uf028 \uf029 )20s(10s5,6s
)7s(7,185
)s(G \uf02b\uf02b\uf02b
\uf02b\uf03d
b) \uf028 \uf029\uf028 \uf029 )20s(10s5,6s
)7s(14,197
)s(G \uf02b\uf02b\uf02b
\uf02b\uf03d
UNIDADE II 14
a) Expandindo C(s) em frações parciais resulta:
56
30230
10
59181
20
894201
,s
,
s
,
s
,
s
)s(C \uf02b\uf02d\uf02b
\uf02d\uf02d\uf02b\uf02b\uf03d
A aproximação de segunda ordem não é válida porque 0,3023 não é uma
ordem de magnitude inferior aos resíduos dos termos de Segunda ordem.
b) Expandindo em frações parciais resulta;
56
07040
10
90781
20
978201
,s
,
s
,
s
,
s
)s(C \uf02b\uf02d\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d
A aproximação de segunda ordem é válida porque 0,0704 é uma
aproximação de segunda ordem inferior aos resíduos dos termos de segunda
ordem.
3.4 Resposta do sistema com zeros
Considere-se um sistema de segunda ordem com pólos em )828,2j5( \uf0b1\uf02d ,
adicionando-se zeros em -3, -5 e -10. Os resultados normalizados são mostrados na
Figura abaixo.
Fig. 2.24 - Efeito de adicionamento de zero a um sistema com dois pólos
- A medida que o zero se afasta dos pólos dominantes a resposta tende à do
sistema de Segunda ordem.
- Quanto mais próximo o zero estiver dos pólos dominantes, tanto maior será seu
efeito sobre a resposta transitória.
Admita a expansão em frações parciais dada pela Equação abaixo:
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029 \uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d\uf02b\uf02b
\uf02b\uf03d
cs
B
bs
A
csbs
as)s(G
\uf028 \uf029\uf028 \uf029 \uf028 \uf029\uf028 \uf029
cs
bcac
bs
cbab
\uf02b
\uf02b\uf02d\uf02b\uf02d\uf02b\uf02b
\uf02b\uf02d\uf02b\uf02d\uf03d (2.28)
UNIDADE II 15
Se o zero estiver afastado dos pólos, a é grande em comparação com b e c,
então:
\uf028 \uf029\uf028 \uf029csbs
a)s(G \uf02b\uf02b\uf03d (2.29)
Neste caso, o zero se assemelha a um simples fator de ganho e não muda as
amplitudes relativas dos componentes da resposta.
Uma outra forma de olhar o efeito de um zero é adicionar um zero à FT. Seja C(s)
a resposta de um sistema com numerador unitário.
\uf028 \uf029 )s(aC)s(sC)s(Cas \uf02b\uf03d\uf02b (2.30)
Na Equação (2.30), quando a é positivo (zero no semi-plano direito) e o termo
derivativo sC(s), for maior do que o termo em escala aC(s), a resposta seguirá
inicialmente a derivada em direção oposta à da resposta em escala, ou seja, a
resposta começa a se orientar no sentido negativo, embora o valor final seja
positivo.
Estes sistemas são chamados de fase não- mínima
Fig. 2.25 - Resposta ao degrau de um sistema de fase não-mínima
4.0 ESTABILIDADE
A estabilidade é a especificação mais importante do sistema.
1. Um sistema é estável se a resposta natural tender a zero quando o tempo
tender ao infinito;
2. Um sistema é instável, se a resposta natural crescer a medida que o tempo
tender para o infinito;
3. Um sistema é marginalmente estável quando a resposta natural permanece
com uma oscilação constante a medida que o tempo tender para o
infinito.
A estabilidade de um sistema pode ser verificada analisando a localização
dos pólos de malha fechada. Um sistema é instável se tem pelo menos u um pólo
no semiplano direito e estável se estão localizados no semiplano esquerdo.
UNIDADE II 16
Fig. 2.26 - Sistema estável
Fig. 2.27 - Sistema instável
4.1 Critério de estabilidade de Routh
O critério de estabilidade de Routh possibilita determinar o número de pólos a
malha fechada, no semiplano direito, sem fatorar o polinômio do denominador da FT.
Fig. 2.28 - Sistema de Quarta ordem
Tab. 2.1 - Tabela inicial de Routh
UNIDADE II 17
Tab. 2.2 - Tabela completa de Routh
O número de raízes de um polinômio que estão no semiplano da direita é igual ao
número de mudanças de sinal na primeira coluna.
O sistema é estável se não houver mudança de sinal na primeira coluna.
Exemplo: O sistema abaixo é instável ou estável?
a)
b)
Fig. 2.29 - a) sistema a malha fechada; b) sistema equivalente
Tabela de Routh completa
UNIDADE II 18
O sistema é instável e tem dois pólos no semiplano da direita.
Casos especiais
1. Zeros somente na primeira coluna
Se o primeiro elemento de uma linha for zero, a divisão por zero é necessária.
Exemplo: Determine a estabilidade da seguinte função de transferência a malha
fechada:
3s5s6s3s2s
10
)s(R
)s(C
2345 \uf02b\uf02b\uf02b\uf02b\uf02b
\uf03d
Tab. 2.3 - Tabela de Routh
Admitir um sinal positivo ou negativo para \uf0ce, como mostra a Tabela abaixo:
Se \uf0ceé positivo há uma mudança de sinal da linha s3 para s2, e outra de s2 para
s1. O sistema é instável e dois pólos no semiplano direito.
Se \uf0ceé negativo o resultado é o mesmo
2. Se a tabela tem uma linha completa de zeros
UNIDADE II 19
Exemplo:
Gabriel
Gabriel fez um comentário
Muito bom, Sério
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