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UNIDADE III 31 páginas 
 
ANÁLISE PELO LUGAR DAS RAÍZES 
 
 O lugar das raízes é uma técnica gráfica que pode ser usada para descrever 
qualitativamente o desempenho de um sistema no qual vários parâmetros são 
mudados. 
 A idéia básica desse método é de que os valores de s que fazem a FT ao longo 
da malha igual a -1 devem satisfazer a equação característica do sistema. 
 Esse método mostra claramente as contribuições de cada pólo ou zero de 
malha aberta, na localização dos pólos de malha fechada. 
 Empregando o método do lugar das raízes é possível determinar o ganho de 
malha fechada k que resulte no coeficiente de amortecimento prescrito, para os 
pólos dominantes de malha fechada. 
 
1.0 DIAGRAMA VETORIAL DE NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 Qualquer número complexo +j , descrito em coordenadas cartesianas pode 
ser representado graficamente por um vetor, como mostra a Figura (3.1). 
 
 
 
 
Fig. 3.1 - Diagrama vetorial; a) s= +j ; b) (s+a); c) vetor deslocado para a esquerda 
de a unidades; d) (s+7)(s=5+2j) 
 
 O valor de uma função complexa pode em um ponto qualquer s pode ser 
calculado por: 
 
n
1j
j
m
1i
i
)ps(
)zs(
)s(F (3.1) 
 
onde significa "produto", m=no de zeros e n=no de pólos. 
 
UNIDADE III 2 
 Cada fator do numerador e do denominador é um número complexo que pode 
ser representado por um vetor. 
 O módulo de F(s) em qualquer ponto s é dado por: 
 
 
n
1j
j
m
1i
i
)ps(
)zs(
M (3.2) 
e o argumento é: 
 
 m
1i
j
n
1j
i )ps()zs(
 (3.3) 
 
 Exemplo: Dado 
)2s(s
1s
)s(F
, obter F(s) no ponto s=-3+4j. 
 
 O problema é esboçado graficamente na Figura abaixo. 
 
 
 
 Os três vetores representados na forma polar são: 
 
 
o6,116201s
; 
o9,1265s
 e 
o0,104172s
 
 
logo 
oooo 3,114217,00,1049,1266,116
175
20
M
 
 
2.0 LUGAR DAS RAÍZES 
 
 A Figura (3.3) mostra um diagrama de blocos de controle de posição de uma 
câmara de rastreamento de um objeto. 
 
a) 
UNIDADE III 3 
 
 b) 
Fig. 3.3 - a) diagrama de blocos; b) FT equivalente 
 
 A tabela (3.1) mostra os pólos da FT equivalente em função do de valor de k. 
 
Tab. 3.1 - Localização dos pólos em função de k 
 
 
 
a) 
 
b) 
Fig. 3.4 - a) diagrama de pólos e zeros; b) lugar das raízes 
 
 
UNIDADE III 4 
2.1 Propriedades do lugar das raízes 
 
 As propriedades do lugar das raízes podem ser deduzidas a partir do sistema da 
Figura (3.5). 
 
 a) b) 
Fig. 3.5 - a) diagrama de blocos; b) FT equivalente 
 
 A FT a malha fechada para o sistema é: 
 
 
)s(H)s(kG1
)s(kG
)s(T
 (3.4) 
 
 Com base em (3.4) existe um pólo, s, quando o polinômio característico no 
denominador se anula, ou seja: 
 
 
2....1,0,K 180)1K2(11)s(H)s(kG o
 (3.5) 
 
 Um valor de s é um pólo em malha fechada se: 
 
 
1)s(H)s(kG
 (3.6) 
e 
 
o180)1K2()s(H)s(kG
 (3.7) 
 
 Se um valor qualquer de s for substituído em 3.6, resultando um múltiplo ímpar 
de 180o, significa que s é um pólo do sistema para um valor particular de k. 
 
 Se (3.7) for satisfeita, o valor de k pode ser calculado usando (3.6), ou seja: 
 
 
)s(H)s(G
1
k
 (3.8) 
 
 Exemplo: Para o Sistema da Figura (3.6), a FT de malha aberta é: 
 
 
a) 
UNIDADE III 5 
 
b) 
 
Fig. 3.6 - a) diagrama de blocos em malha fechada; b) diagrama de pólos e zeros de 
G(s) 
 
 A FT de malha aberta é: 
 
 
)2s)(1s(
)4s)(3s(k
)s(H)s(kG
 
e em malha fechada é: 
 
 
)k122(s)k73(s)k1(
)4s)(3s(k
)s(T
2
 
 
 Se s é um pólo do sistema a malha fechada, para um determinado valor de k, 
então s deve satisfazer (3.7 e 3.8). 
 Considerando o pólo -2+3j, o argumento para kG(s)H(s) é: 
 
 
o,)s( 315641
; 
o,)s( 577132
; 
 
o,)s( 009023
 e 
o,)s( 4310814
 
 
logo 
o
4321 55,70
 
 
 Este não é um pólo de malha fechada para nenhum valor de k. 
 Agora, se o ponto s for 
22j2
, os ângulos somarão 180o, o que significa 
que este pólo é um ponto sobre o lugar das raízes para algum valor de k que é dado 
por: 
 
33,0
)22,1)(12,2(
)22,1(
2
2
M
1
)s(H)s(G
1
k
 
 
 Assim, 
22j2
 é um ponto sobre o lugar das raízes, para um ganho de 0,33. 
 
 Dados os pólos e zeros da FT de malha aberta, um ponto no plano s está sobre 
o lugar das raízes, para um valor particular do ganho k, se os ângulos dos zeros 
menos os ângulos dos pólos, em relação ao ponto selecionado s, somam 
(2k+1)180º. 
 
UNIDADE III 6 
2.2 Regras para esboçar o lugar das raízes 
 
1. Número de ramos: Cada pólo de malha fechada se desloca quando o 
ganho é variado, constituindo um ramo do lugar das raízes. 
2. Simetria: Sistemas fisicamente realizáveis não podem ter coeficientes 
complexos em suas FT, por isso, o lugar das raízes deve ser simétrico em 
relação ao eixo real. 
3. Segmentos sobre o eixo real: De acordo com a Figura (3.7): 
 
 
 
Fig. 3.7 - Pólos e zeros a malha aberta de um sistema genérico 
 
a) em cada ponto (p1, p2, p3 e p4), a contribuição angular de um par de 
pólos ou zeros a malha aberta é zero; 
 
b) a contribuição dos pólos e zeros a malha aberta a esquerda do ponto 
respectivo é zero. A única contribuição do ângulo em qualquer um dos 
pontos, sobre o eixo real vem dos pólos ou zeros em malha aberta, 
que existem a direita do respectivo ponto; 
 
c) os ângulos do eixo real alternam entre 0 e 180o, sendo 180o para 
ângulos do eixo real que existe a esquerda de um número ímpar de 
pólos e/ou zeros. 
 
 Em suma: No eixo real para k>0, o lugar das raízes existe a esquerda de um 
número ímpar de pólos e ou zeros finitos, a malha aberta, sobre o eixo real. 
 
4. Pontos de entrada e de saída: O lugar das raízes se inicia nos pólos e 
termina nos zeros de G(s)H(s), a FT de malha aberta. 
 
a) quando k é pequeno, os pólos do sistema em malha fechada tendem 
aos pólos combinados de G(s) e H(s). 
 
b) quando k é grande os zeros do sistema em malha fechada tendem 
aos zeros combinados de G(s) e H(s). 
 
 Exemplo: Para o sistema abaixo: 
 
 
UNIDADE III 7 
 O lugar das raízes completo é: 
 
 
Fig. 3.8 - Lugar das raízes 
 
5. Comportamento no infinito: Considere a seguinte função de transferência 
de malha aberta: 
 
)bs)(as(s
k
)s(H)s(kG
 (3.9) 
 
 Nesta função há três pólos finitos: s = 0, s = - a, e s = -b. 
 
 Se a FT em malha aberta tender para infinito quando s tender ao infinito, estatem pelo menos um pólo no infinito, e se tender a zero, tem pelo menos um zero no 
infinito. 
 Toda função de s tem o mesmo número de pólos e zeros, considerando os que 
estão no infinito. 
 Em (3.9) tem-se três pólos finitos e três zeros infinitos pois, fazendo 
s
 
resulta: 
 
sss
k
s
k
)s(H)s(kG
3
 (3.10) 
 
 Através das equações (3.11) e (3.12), pode-se obter a interseção da assíntota 
com o eixo real 
a
, e o ângulo 
a
. 
 
 
finitos zeros de N - finitos pólos de N
finitos zerosfinitos pólos
ooa
 (3.11) 
 
 
finitos zeros de N - finitos pólos de N
)1k2(
ooa
 (3.12) 
 
e o número de assíntotas é igual ao número de pólos menos o número de zeros. 
 
 Exemplo: Esboçar o lugar das raízes com assíntotas. 
 
 
UNIDADE III 8 
 
 O sistema tem 4 pólos e um zero em malha aberta. 
 
logo 
3
4
14
)3(421
a
 
e 
 
finitos zeros de N - finitos pólos de N
)1k2(
ooa
 
 
logo os ângulos das retas que cruzam em -4/3 são: 
 
 
0k para 
3
a
; 
1 k para a
 e 
2k para 
3
5
a
 
para k>2, os valores começam a repetir. 
 
 O lugar das raízes é mostrado na Figura (3.9). 
 
 
Fig. 3.9 - Lugar das raízes 
 
 Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real 
 
 A medida que o ramo se afasta de um pólo ou se aproxima de um zero, sobre 
um ramo, o ganho aumenta. 
 O ponto de saída do ramo (entre dois pólos), ocorre quando o ganho for máximo 
no eixo real. Para o ponto de chegada (entre dois zeros), este valor no eixo real 
deve ser mínimo. 
 Para todos os pontos do lugar das raízes, a Equação (3.13): 
 
 
)s(H)s(G
1
k
 (3.13) 
 
nos pontos ao longo do eixo real, onde ocorre pontos de entrada e de saída 
s
 se 
torna: 
UNIDADE III 9 
 
)(H)(G
1
k
 (3.14) 
 
 Derivando (3.14) em relação a e igualando a zero, pode-se encontrar os 
pontos de máximo e de mínimo. 
 
 Exemplo: Determinar os pontos de saída e de entrada para a seguinte FT em 
malha aberta. 
 
 
)2s)(1s(
)5s)(3s(k
)s(H)s(kG
 
 
 
)2s3s(
)15s8s(k
)s(H)s(kG
2
2 
 
 Substituindo s por e igualando a -1 tem-se: 
 
 
1
)23(
)158(k
)s(H)s(kG
2
2 
 Resolvendo para k resulta; 
 
 
158
23
k
2
2 
 
 Derivando k em relação a e igualando a zero: 
 
 
3,82 e 45,10
158
612611
d
dk
22
2 
 
 O lugar das raízes é mostrado na Figura abaixo. 
 
 
Lugar das raízes 
 
UNIDADE III 10 
 Uma forma de encontrar os pontos de saída e de entrada no eixo real sem 
derivação é utilizando a seguinte expressão: 
 
 n
1i i
m
1i i
p
1
z
1
 (3.15) 
 
onde zi e pi são os negativos dos valores dos zeros e dos pólos, respectivamente. 
 
 Para o exemplo acima tem-se: 
 
 
2
1
1
1
5
1
3
1
 
 
 
0612611 2
 
 
Isto resulta em 1=-1,45 e 2=3,82, de acordo com o resultado anterior. 
 
 Pontos de interseção com o eixo imaginário 
 
 Este ponto fornece a frequência de oscilação, enquanto o ganho k determina o 
limite da estabilidade. Para encontrar esse ponto pode-se usar a regra de Routh, 
cuja Tabela deverá apresentar uma linha nula. 
 
 Exemplo: Determinar a frequência de oscilação e o ganho no ponto de 
interseção com o eixo imaginário, para o sistema da Figura abaixo. 
 
 
 
 A FT em malha fechada é: 
 
 
k3s)k8(s14s4s
)3s(k
)s(T
234
 
 
 A Tabela de Routh mostra que a única linha que pode ser anulada é a de s1, 
cujo elemento da primeira coluna é: 
 
 
k90
720k65k2 
 
 Fazendo esse elemento igual a zero resulta: 
 
 
65,9k0720k65k2
 
 
 Formando o polinômio par usando a linha s2 com k=9,65, obtém-se: 
UNIDADE III 11 
 
59,1js07,202s35,80k21s)k90( 22
 
 
 Neste caso, o sistema é estável para 
65,9k0
. 
 
 Ângulos de partida e de chegada 
 
 Os ângulos de partida e de chegada de zeros e pólos complexos são 
determinados da forma mostrada na Figura (3.10). 
 
 
 
Fig. 3.10 - Diagrama de pólos e zeros mostrando o ângulo de saída de um pólo 
 
 Admitir um ponto próximo ao pólo complexo. A soma dos ângulos traçados a 
partir de todos os pólos e zeros finitos a este ponto é um múltiplo ímpar de 180º, 
exceto para o pólo próximo a esse ponto. Desta forma, o único ângulo desconhecido 
é 
1
. 
logo 
o
654321 180)1k2(
 
 
que é o ângulo de partida desse pólo. 
 Na Figura (3.11), o ponto de teste é colocado próximo de um zero. 
 
 
Fig. 3.11 - Diagrama de pólos e zeros mostrando o ângulo de saída de um zero 
UNIDADE III 12 
 Neste caso, o ângulo 
2
 é dado por: 
 
o
654312 180)1k2(
 
 
 Exemplo: Encontre o ângulo de partida dos pólos complexos e esboce o lugar 
das raízes para o sistema abaixo. 
 
 
 
 O diagrama de pólos e zeros em malha aberta resulta na Figura abaixo. 
 
 
 O ângulo de saída do pólo complexo, 
1
, é dada por: 
 
 
o11
14321 180
2
1
tg
1
1
tg90
 
 
oo
1 4,1086,251
 
 
 Uma vez esboçado o lugar das raízes pode-se localizar pontos sobre o mesmo, 
bem como encontrar seus ganhos associados. 
 Pode ser necessário encontrar o ponto no lugar das raízes, que cruza a reta 
para um determinado fator de amortecimento e o ganho naquele ponto. 
UNIDADE III 13 
 Exemplo: A figura abaixo mostra o diagrama de pólos e zeros do sistema junto 
com a reta de = 0,45. Se forem selecionados alguns pontos de teste, ao longo da 
reta = 0,45, pode-se avaliar suas somas angulares e localizar o ponto onde os 
ângulos totalizam um múltiplo ímpar de 180º, o qual corresponde ao lugar das raízes. 
 
 
 
 Adicionando os ângulos dos zeros e subtraindo os ângulos dos pólos tem-se: 
 
 
o
54321 5,251
 
 
 Neste caso, o ponto r = 2 não está no lugar das raízes. 
 Procedendo de forma semelhante , para os pontos 1,5; 1; 0,747; e 0,5 obtém-se 
a Tabela mostrada na Figura acima, onde o ponto 0,747 está no lugar das raízes. 
 Usando a Equação (3.8), o ganho k neste ponto r: 
 
 
71,1
B
EDCA
k
 
 
 Regras para esboçar o lugar das raízes. 
 
a) número de ramos: o número de ramos do LR é igual ao número de pólos 
menos o número de zeros da FT em malha aberta; 
 
b) simetria: o lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; 
 
c) pontos de início e de término: o LR se inicia nos pólos finitos e infinitos e 
termina nos zeros finitos e infinitos; 
 
d) comportamento no infinito: O LR se aproxima das assíntotas a medida que 
tendepara o infinito; 
e) pontos de entrada e de saída do eixo real: O LR sai do eixo real no ponto 
onde o ganho é máximo e entra no ponto onde o ganho é mínimo; 
f) cálculo do ponto de interseção do eixo imaginário: pode-se usar Routh ou 
uma busca ao longo do eixo imaginário para (2K+1)180o; 
g) ângulos de partida e de chegada: acrescenta-se um ponto próximo ao 
pólo ou ao zero complexo e adiciona-se a esse ponto, todos os ângulos 
do pólos e zeros de malha aberta, cuja somo deverá ser um múltiplo 
ímpar de -180º. 
 
UNIDADE III 14 
2.3 Projeto de resposta transitória pelo ajuste de ganho 
 
 As condições que justificam uma aproximação de segunda ordem são as 
seguintes: 
1. A resposta que resulta de um pólo de ordem superior não muda 
sensivelmente a resposta transitória esperada, a partir dos pólos de 
segunda ordem dominantes; 
 
2. Os zeros a MF próximos ao par de pólos de segunda ordem a MF são 
quase cancelados pela proximidade dos pólos de MF de ordem superior; 
 
3. Os zeros a MF são cancelados pela proximidade de pólos de MF de 
ordem superior. 
 
 
 a) b) 
 
 c) d) 
 
Fig. 3.12 - LR para mostrando aproximações de segunda ordem 
 
 A aproximação de Figura (3.12b) é melhor que a da (3.12a) visto que o pólo a 
MF P3 está mais distante que o par de segunda ordem dominante P1 e P2. 
 A segunda condição mostra que a Figura (3.12d) mostra uma melhor 
aproximação, um vez que o pólo a MF P3 está mais próximo do zero a MF. 
 
 Exemplo: Considere o sistema de terceira ordem mostrado da Figura abaixo. 
Projetar o valor de ganho, k, para obter uma ultrapassagem de 1,52%. Calcule Ts, Tp 
e encontre o melhor condição para a aproximação de um sistema de segunda 
ordem. 
 
 Uma ultrapassagem de 1,52% corresponde uma relação de amortecimento de 
0,8. 
 Três pontos satisfazem esse critério: -0,87 j0,66, -1,19 j0,90 e -4,6 j3,45, como 
mostra o LR da Figura abaixo. 
UNIDADE III 15 
 
 Para cada ponto, o tempo de assentamento é: 
 
 
n
s
4
T
 
onde 
n
 é a parte real do pólo a MF. 
 O tempo de pico é dado por: 
 
2
n
p
1
T
 
onde 
2
n 1
 é a parte imaginária. 
 
 O resultado é resumido na Tabela abaixo. 
 
Caso Pólos a Zeros a Ganho Terc. pólo a Ts(s) Tp(s) 
 MF MF MF 
 1 -0,87 j0,66 -1,5 7,36 -9,25 4,60 4,76 
 2 - 1,19 j0,90 -1,5 12,79 -8,61 3,36 3,49 
 3 - 4,60 j3,45 -1,5 39,64 -1,80 0,87 0,91 
 
 Apenas no caso 3 o zero está próximo do terceiro pólo, o que valida uma 
aproximação do sistema de segunda ordem. 
 A Figuras abaixo mostram as respostas ao degrau para os casos 2 e 3. 
 
 
 
UNIDADE III 16 
 Constata-se nas Figuras acima que o caso 3 é o que mais se aproxima do 
sistema de segunda ordem, com um pequena diferença na ultrapassagem. 
 
 Exemplo: Considere um sistema de controle de arfagem de um veículo 
submersível autônomo, mostrado na Figura abaixo. 
 
 
a) se k2=0 (isto é, sem retroação de velocidade), construir o LR dos sistema 
em função do ganho de arfagem k1 e estimar Ts, Tp para uma 
ultrapassagem de 20%. 
 
 A FT a malha aberta é: 
 
 
)0129,0s226,0s)(2s)(23,1s(
)435,0s(k25,0
)s(H)s(G
2
1
 
 
 O LR em malha aberta é mostrado na Figura abaixo. 
 
 
 Procurando ao longo da reta de ultrapassagem de 20% e usando (2.21), 
encontra-se os pólos dominantes 0,202 j0,394, com o ganho 
824,2k706,0k25,0k 11
. 
UNIDADE III 17 
 O tempo de assentamento é 
s8,19Ts
 e o tempo de pico 
s97,7Tp
. 
 O terceiro é -0,784, o qual não está tão próximo do zero em -0,435 e o quarto 
pólo é -2,27 muito distante dos pólos dominantes. 
 A resposta ao degrau para o sistema é mostrada na Figura abaixo. 
 
 
 De acordo com a Figura acima, tem-se: 
 
 Ultrapassagem= 29%, Ts=20s e Tp=7,5s 
 
b) Analisar o sistema inserindo a retroação de velocidade com k2=k1. 
 
 A nova FT do sistema é: 
 
 
)0129,0s226,0s)(2s)(23,1s(
)1s)(435,0s(k25,0
)s(H)s(G
2
1
 
 
 O no LR é mostrado na Figura abaixo. 
 
 
 
UNIDADE III 18 
 O Lugar das raízes cruza a reta de ultrapassagem de 20% em -1,024 j1,998, 
um ganho k1=20,68, Ts=3,9s e Tp=1,57s. 
 O terceiro pólo está em aproximadamente -0,5, bem próximo do zero de malha 
fechada -0,435. 
 O quarto pólo é -0,91, o que não cancela o zero em -1 porque este não é um 
zero de malha fechada. 
 Portanto, uma aproximação de Segunda ordem não é válida. 
 
 A Figura abaixo mostra a curva de resposta ao degrau. 
 
 A curva de resposta ao degrau da Figura acima, mostra que o desempenho do 
sistema com retroação de velocidade apresentou um desempenho superior. 
 
3.0 COMPENSAÇÃO POR RETROAÇÃO 
 
 Funções de transferência projetadas para ser inseridas no canal de retroação 
também podem modificar o LR. 
 Os procedimentos de projeto por retroação podem ser mais complicados. 
 
 A compensação por retroação pode ser usada nos casos em que o problema de 
ruído impede o uso da compensação em cascata. 
 
 A compensação por retroação pode produzir respostas mais rápidas. 
 
 A compensação por retroação permite desacoplar a dinâmica de uma das partes 
do sistema de controle, introduzindo-se uma malha interna. 
 
 A Figura (3.16) mostra o diagrama de blocos genérico de um sistema com 
compensação por retroação 
 
 
Fig.3.16 - Diagrama de blocos genérico de um sistema com compensação por 
retroação 
UNIDADE III 19 
 Geralmente, o projeto de compensação por retroação consiste em obter os 
ganhos após obter uma forma dinâmica para Hc(s). Existem duas abordagens: A 
primeira é semelhante à compensação em cascata. 
 
3.1 Abordagem 1 
 
 A primeira abordagem consiste na redução do diagrama da Figura (3.16), 
para a Figura (3.27). 
 
 
Fig.3.17 - Diagrama de blocos equivalente 
 
 A FT de malha aberta para a malha interna é: 
 
 
)]s(kG)s(Hk)[s(Gk)s(H)s(G 2cf11
 (3.12) 
 
 Isto resulta na substituição dos pólos e zeros de G2(s) pelos pólos e zeros de 
kfHc(s)+kG2(s). Com isto é possível incluir novos pólos e zeros por intermédio de 
H(s). 
 Os zeros introduzidos na retroação (Figura 3.17), não são zeros de malha 
fechada. 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
Fig.3.18 - Diagrama de blocos; a) sensor de velocidade; b) com o elemento de 
retroação direto na saída do sistema 
 
 Para este caso a FT de malha aberta é: 
 
 
f
11f
k
k
s)s(Gkk)s(H)s(G
 (3.13) 
UNIDADE III 20 
 O zero -k/kf é um zero de malha aberta. 
 
 Exemplo: Para o circuito da Figura (3.28), projete a compensação por retroação 
de velocidade (Figura abaixo), para reduzir a 1/4 o tempo de assentamento sem 
alterar a ultrapassagem que é de 20%. 
 
 
Sistema a ser compensado 
 
Sistema com compensação por retroação de velocidade 
 
 
Sistema equivalente 
 
 
Sistema equivalente com retroação unitária 
 
 
LR do sistema não-compensado 
UNIDADE III 21 
Tabela de resultados 
 
 
 
Resposta ao degrau parosistema não-compensado 
 
Posicionamento do zero do compensador 
UNIDADE III 22 
 O valor do zero calculado é zc = 5,42 que é o inverso de kf. Logo o valor de kf é 
0,185. 
 Do diagrama do LR do sistema compensado (Figura abaixo), tem-se k1=1388. 
 
 
 
LR do sistema compensado 
Tabela de resultados 
 
 
 
UNIDADE III 23 
 
Curva de resposta ao degrau do sistema compensado 
 
 O pólo de malha fechada não é cancelado pelo zero porque este é um zero de 
malha aberta. 
 A FT de transferência em malha fechada é: 
 
 
1388s7,331s20s
1388
ks)kk75(s20s
k
)s(T
23
1f1
23
1
 
 
 De acordo com a Equação acima, não há zero de malha fechada. 
 O sistema compensado apresentou uma resposta ao degrau superamortecida e 
um tempo de assentamento de 0,75s, não correspondendo às características 
desejadas. 
 
3.2 Abordagem 2 
 
 Nesta abordagem, o projeto da malha interna pode ser feito separadamente da 
resposta em malha fechada. 
 Exemplo: Para o diagrama da Figura abaixo, projete a compensação por 
retroação da malha secundária para um fator de amortecimento 0,8 e 0,6 para o 
sistema em malha fechada. 
 
Sistema não compensado 
 
 
Sistema compensado por retroação 
UNIDADE III 24 
 Neste caso, kf, será o ganho ajustado para definir a localização dos pólos da 
malha interna e k para a malha externa. De acordo com LR acima, kf = 81,25. 
 
 
LR da malha interna 
 
 A FT da malha interna é: 
 
 
)]k75(s20s[s
1
)s(G
f
2MI
 
 
 
LR para o sistema de malha fechada 
UNIDADE III 25 
 De acordo com o LR acima, o ganho, k, é 624,3. 
 
Tabela de resultados 
 
 
 
Resposta ao degrau 
 
 O sistema compensado é mais rápido e tem um erro de estado estacionário 
menor, para uma entrada em rampa. 
 
Programas MATLAB 
 
1. Esboça o lugar das raízes e determinados pontos críticos 
 
 
)4s)(2s(
)20s4s(k
G
2
 
 
UNIDADE III 26 
clf % Apaga gráfico na tela. 
numgh=[1 -4 20]; % Define o numerador de G(s)H(s). 
dengh=poly([-2 -4]); % Define o denominador de G(s)H(s). 
GH=tf(numgh,dengh) % Cria G(s)H(s) e mostra. 
rlocus(GH) % Desenha o lugar das raízes. 
z=0.2:0.05:0.5; % Define valores de relação de 
 % amortecimento, z: 0,2 a 
 % 0,5 em incrementos de 0,05. 
wn=0:1:10; % Define valores de freqüência 
 % natural, wn: 0 
 % a 10 em incrementos de 1. 
sgrid(z,wn) % Gera linhas de grade de relação de amortecimento 
 % e freqüência natural para 
 % o lugar das raízes. 
title('Lugar das Raízes') % Define legenda para o lugar 
 % das raízes. 
Pause 
 
rlocus(GH) % Desenha o lugar das raízes expandido. 
axis([-3 1 -4 4]) % Define faixas de valores 
 % dos eixos para lugar das raízes 
 % para a uma vista expandida do lugar das raízes. 
title('Vista Expandida') % Define a legenda para o lugar das 
 % raízes expandido. 
z=0.45; % Define a reta de relação de amortecimento, z, a ser 
 % superposta ao lugar das raízes expandido. 
wn=0; % Suprime as curvas de 
 % freqüência natural, wn, superpostas. 
sgrid(z,wn) % Superpõe curva de relação 
 % de amortecimento, z, 
 % no lugar das raízes expandido. 
for k=1:3 % O laço permite escolher 3 pontos 
% (z=0,45, interseção com o eixo jw , ponto de saída). 
[K,p]=rlocfind(GH) % Gera o ganho, K, e os pólos 
 % a malha fechada, p, para os pontos 
 % selecionados de modo interativo sobre o 
 % lugar das raízes. 
end % Fim do laço for. 
pause 
 
2. Projeto de ganho de sistema de terceira ordem pelo lugar das raízes 
 
 
)10s)(1s(s
)5,0s(k
G
 
 
clear % Apaga variáveis da área de trabalho. 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
numg=[1 1.5]; % Define o numerador de G(s). 
deng=poly([0 -1 -10]); % Define o denominador de G(s). 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
rlocus(G) % Desenha o lugar das raízes (H(s)=1). 
UNIDADE III 27 
title('Lugar das Raízes Original') % Acrescenta legenda. 
pause 
K=0:.5:50; % Especifica a faixa de valores de ganho 
 % para um traçado suave do lugar das raízes. 
rlocus(G,K) % Desenha o lugar das raízes suavizado 
 %(H(s)=1). 
title('Lugar das Raízes Suavisado') % Acrescenta legenda. 
up=input('Digite %UP'); % Entra com a ultrapassagem 
 % percentual desejada 
 % pelo teclado. 
z=-log(up/100)/sqrt(pi^2+[log(up/100)]^2)% Calcula relação de 
 % amortecimento, z. 
sgrid(z,0) % Superpõe a reta da relação de 
 % amortecimento desejada 
 % sobre o lugar das raízes. 
title(['LR com a reta de ultrapassagem'])% Define a legenda do 
 % lugar das raízes 
 % mostrando a ultrapassagem 
 % percentual usada. 
[K,p]=rlocfind(G) % Gera o ganho, K, e os pólos 
 % a malha fechada, p, para os 
 % pontos selecionados 
 % de forma interativa sobre o 
 % lugar das raízes. 
pause 
T=feedback(K*G,1) % Obtém e exibe a função de 
 % transferência a malha fechada 
 % com o valor de K selecionado . 
step(T) % Gera a resposta ao degrau em malha fechada 
 % para o ponto selecionado no lugar das raízes. 
title(['Resposta ao Degrau para K=']) % Fornece a resposta ao 
 % degrau com legenda que 
 % inclui o valor de K. 
pause 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
3.1 - Um sistema com retroação unitária tem a seguinte FT no canal direto: 
 
)13s4s(
)2s(k
)s(G
2
 
 
a) Calcule o ângulo de G(s) no ponto (3+j0) encontrando a soma algébrica 
dos ângulos dos vetores desenhados a partir dos zeros e dos pólos de 
G(s) para o ponto dado. 
b) Determine se o ponto específico em a) está sobre o LR. 
c) Se o ponto específico estiver sobre o LR, encontre o ganho k usando os 
comprimentos dos vetores. 
UNIDADE III 28 
3.2 - Esboce o LR e suas assíntotas para um sistema com retroação unitária que 
tenha a seguinte FT: 
 
)6s)(4s)(2s(
k
)s(G
 
 
3.3 - Dado um sistema com retroação unitária com a seguinte FT: 
 
)25s6s(
)4s)(2s(k
)s(G
2
 
a) Esboce o LR; 
b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário; 
c) Determine o ganho k no ponto de interseção com o eixo imaginário; 
d) Determine o ponto de entrada; 
e) Determine o ponto onde o LR cruza a reta de relação de amortecimento de 
0,5; 
f) Determine o ganho onde o LR cruza a reta de relação de amortecimentode 0,5; 
g) Encontre a faixa de ganho, k, para a qual o sistema estável. 
 
3.4 - Para o sistema com retroação unitária abaixo: 
 
)6s)(4s)(2s(
k
)s(G
 
 
a) Esboce o LR; 
b) Usando uma aproximação de segunda ordem, projetar o valor de k que 
produz 10% de ultrapassagem para uma entrada em degrau unitário; 
c) Calcule o tempo de assentamento, o instante de pico, o tempo de subida e o 
erro de estado estacionário para o valor de k projetado em b). 
d) Determine a validade da aproximação de segunda ordem. 
 
3.5 - Um sistema com retroação unitária tem a seguinte FT: 
 
)2s(s
)1s(k
)s(G
 
 
Se k for ajustado em 20, obtenha as mudanças na localização dos pólos de MF, 
para uma variação de 5% em k. 
 
3.6 - Um sistema com retroação unitária tem a seguinte FT: 
 
)7s(s
k
)s(G
 
 
a) Calcule o erro de estado estacionário para uma entrada em rampa unitária; 
UNIDADE III 29 
b) Projete um compensador em atraso de fase para melhorar o erro de estado 
estacionário de um fator de 20; 
c) Calcule o erro de estado estacionário do sistema compensado para uma 
entrada em rampa unitária; 
d) Calcule o quanto de melhoria foi obtido no erro de estado estacionário. 
 
3.7 - O sistema com retroação unitário descrito pela FT abaixo: 
 
)7s(s
k
)s(G
 
 
está operando com uma resposta a malha fechada ao degrau, que representa uma 
ultrapassagem de 20%. 
 
a) Calcule o tempo de assentamento; 
b) Calcule o erro de estado estacionário para uma entrada em rampa unitária; 
 
 
3.8 - Para o sistema da Figura abaixo, projete uma compensação por retroação de 
velocidade, da malha secundária, para obter uma relação de amortecimento de 
0,7, para os pólos dominantes da malha secundária e uma relação de 
amortecimento de 0,5 para os pólos dominantes do sistema a malha fechada. 
 
 
 
3.9 - Considere o sistema mostrado na Figura abaixo. Trace o LR usando o 
MATLAB. Situe os pólos de malha fechada para que o ganho k seja 2. 
 
 
3.10 - O sistema da Figura abaixo mostra um sistema a malha fechada com retardo 
de transporte. Determine a faixa de valores de k para que o sistema seja 
estável. 
 
 
3.11 - Para o sistema da Figura abaixo, trace o LR do sistema usando o 
MATLAB. Determine o valor do ganho k para que o fator de amortecimento 
dos pólos dominantes de malha fechada seja 0,5. Em seguida, determine 
UNIDADE III 30 
todos os pólos de malha fechada. Trace o diagrama de resposta ao degrau 
unitário usando o MATLAB. 
 
 
 
3.12 - Determine os valores de k, T1 e T2 do sistema da Figura abaixo para que os 
pólos dominantes de malha fechada, tenham coeficiente de amortecimento 
0,5 e a frequência natural não amortecida de 3 rad/s. 
 
 
 
3.13 - Para o circuito da Figura abaixo, determine os valores do ganho do 
amplificador k e do ganho de realimentação de velocidade kh de modo que 
sejam satisfeitas as seguintes especificações: 
 
 
 a) coeficiente de amortecimento de pólos de malha fechada de 0,5. 
 b) Tempo de acomodação 2 s. 
 c) Constante de erro estático de velocidade 50 s-1. 
 d) 0 < kh < 1. 
 
3.14 - Para o circuito da Figura abaixo, determine os valores do ganho do 
amplificador k de modo que os pólos dominantes de malha fechada tenham 
um fator de amortecimento de 0,5 e obtenha a resposta ao degrau unitário 
do sistema. 
 
 
 
3.15 - Para o circuito da Figura abaixo, desenhe o LR das raízes para valores de k 
entre zero e infinito. Calcule o valor de k para um fator de amortecimento em 
malha fechada igual a 0,5 e determine a constante de erro estático de 
velocidade do sistema. 
UNIDADE III 31 
 
 
 
3.16 - Considere o sistema mostrado na Figura abaixo. Supondo que o valor do 
ganho k varie de zero e infinito, construa LR quando kh= 0,1; 0,3 e 0,5. 
Compare as respostas ao degrau unitário do sistema para os três casos a 
seguir: 
 
a) k = 10 e kh = 0,1 b) k = 10 e kh = 0,3 c) k = 10 e kh = 0,5