Física Geral MIT Ed. 1
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Física Geral MIT Ed. 1


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O raio do horizonte de eventos será: 
 
 
 
 
A velocidade de escape possui um valor máximo o qual pode atingir. Esse valor 
é c, que é o valor da velocidade da luz. Essa velocidade diz respeito a você, ou qualquer 
outro objeto, que esteja no horizonte de eventos o qual possui um raio R que vai 
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desde o buraco negro até a borda do horizonte. Por essa razão, nossa equação do raio 
do horizonte de eventos apresenta um , pois é o valor máximo que podemos 
atingir. 
Se você ultrapassar o horizonte de eventos então você jamais conseguirá 
escapar da atração do buraco negro. Para isso, seria necessário que sua velocidade 
fosse maior do que a velocidade da luz. Portanto, nada escapa da atração de um 
buraco negro. 
A questão é: se nada pode escapar de um buraco negro, nem mesmo qualquer 
tipo de radiação, podemos detectar raios-X do mesmo? 
Claramente nós podemos detectar raios-X vindos de buracos negros. Isso é 
possível porque enquanto a matéria cai no buraco negro ela começa a girar em torno 
do horizonte de eventos, e a matéria é aquecida, pois a energia potencial gravitacional 
está sendo liberada, e então temos raios-X sendo liberado. 
Não existe efeito Doppler para um buraco negro, pois o mesmo, diferente de 
uma estrela de nêutrons, não possui superfície. Como os astrônomos conseguem 
estimar, então, a massa de um buraco negro? Eles fazem isso analisando outro corpo 
que está perdendo massa para o buraco negro. Eles conseguem analisar o raio desse 
corpo, sua massa, tudo através do efeito Doppler. Assim, eles conseguem uma 
estimativa da massa do buraco negro. 
Cygnus X-1 é um sistema binário. Possui um período orbital de 5.6 dias. As 
medições da estrela que está perdendo massa (a doadora) foram feitas utilizando os 
deslocamentos de Doppler. Os astrônomos, observando as linhas de absorção do 
espectro, conseguiram prever que a massa da doadora era cerca de 30 massas solares. 
Com esses dados, a massa mais o efeito Doppler, foi possível encontrar a massa do 
buraco negro que é cerca de 15 massas solares. 
 
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Indo mais além... 
Radiação Hawking 
A mecânica quântica faz predições de que no universo partículas subatômicas podem 
surgir espontaneamente. Em outras palavras, essas partículas surgem do \u201cnada\u201d e 
desaparecem instantaneamente. Essas partículas surgem em pares, sendo que uma delas tem 
massa negativa e a outra tem massa positiva. Porém, a existência dessas partículas não pode 
durar muito tempo. 
O professor Stephen Hawking propôs que ao redor de um buraco negro as coisas 
podem ser um pouco diferentes. Na região do horizonte de eventos, um par dessas partículas 
écriada mas a partícula de massa negativa cai dentro do buraco negro, enquanto que a outra é 
expelida para além do horizonte. 
A partícula de massa positiva é lançada para longe do buraco negro em forma de 
radiação. Esse fenômeno é chamado de Radiação Hawking e é a causa dos buracos negros não 
serem totalmente escuros, mas apresentarem um brilho muito forte. 
As partículas de massa negativa lentamente consomem a massa no interior do buraco 
negro. Após um longo período, toda a massa interna do buraco negro é consumida o que leva 
o mesmo a um colapso seguido de uma enorme explosão. Embora isso nunca tenha sido 
observado, acredita-se que esse será o fim de quase todos os buracos negros. 
 
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Aula 24 \u2013 Movimento Rotacional e Giroscópios 
 
Nosso conhecimento de torque e momento angular está completo. Assim, podemos 
passar a estudar objetos que apresentam um rolamento. Vamos imaginar um cilindro, ou uma 
esfera, descendo por um plano inclinado. Temos um ângulo , um coeficiente de atrito e 
nosso objeto vai rolar para baixo com uma aceleração . 
 
Vamos analisar essa situação, de maneira que temos um rolamento puro, ou seja, o 
objeto não está derrapando nem escorregando. Para entendermos um rolamento puro, vamos 
tomar o seguinte sistema, no qual um cilindro está rolando. O cilindro tem um raio R e um 
centro Q. Assim que o cilindro der uma volta completa ele terá percorrido uma distância igual 
a . E assim, nós temos um rolamento puro: 
 
Quando temos um rolamento puro, a velocidade no ponto Q e a velocidade da 
circunferência são as mesmas: 
 
 
Se tivéssemos um deslizamento, poderíamos imaginar que o cilindro estivesse girando 
mas sempre no mesmo lugar (o ponto Q nunca iria mudar sua posição). 
Agora, vamos calcular a aceleração que o cilindro irá obter, a medida que ele desce 
uma rampa. Temos três dados importantes para isso: a massa , o comprimento e o raio . 
Vamos supor que existam dois cilindro, que possuem a mesma massa, o mesmo 
comprimento, mas raios diferentes. Imagine que queremos fazer uma corrida entre esse dois 
cilindros e assim determinar qual chegará primeiro ao fim da rampa. 
Coloquemos as forças que conhecemos sobre nosso sistema: 
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A velocidade angular está mudando com o tempo, assim como a velocidade do 
centro, que chamaremos . Então: 
 
Tomando a derivada, temos que: 
 
 
 
 
E é a aceleração angular. Portanto, essa é a nossa condição para um rolameno puro. 
Vamos tomar o torque com relação ao ponto Q: 
 \ud835\udc61 
Tanto a normal, quanto o peso passam pelo ponto Q, portanto, a força de atrito é a 
única que está ocasionando o torque. Utilizando a regra da mão direita, temos que o vetor é 
dado para dentro, entrando no plano. Temos então: 
 \ud835\udc61 
 
 
 
Essa nossa equação apresenta duas incógnitas, pois temos uma força e uma 
aceleração. Portanto, precisamos de outra equação. Partindo da segunda lei de Newton: 
 \ud835\udc61 
Agora nós temos duas equações com duas incógnitas. 
Então, resolvendo, encontramos: 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
Multiplicando ambos os lados por : 
 
 
 
 
Mas devemos nos lembrar que esse resultado só é válido para um rolamento puro. 
Substituindo os valores que temos para um cilindro sólido: 
 
 
 
 
Substituindo em nossa equação de aceleração: 
 
 
 
 
Perceba que no meu resultado não há massa, não há raio e não há comprimento. Se 
eu tenho dois cilindros sólidos, com massas, raios e comprimentos diferentes, nenhum deles 
ganhará a corrida através de nosso plano inclinado. Mas isso vale apenas para cilindros sólidos. 
Podemos alterar a massa de um desses cilindros, mas eles descerão a rampa no mesmo 
tempo. 
Agora, vamos tomar um cilindro oco, ou vazado. Temos que sua massa é bem próxima 
da casca do cilindro, ent\ufffd\ufffdo: 
 
Sua aceleração será: 
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Perceba que a aceleração do cilindro oco é menor que o cilindro sólido. 
Chegamos agora a parte menos intuitiva de nosso curso. Essa talvez seja a parte mais 
dificil de toda a física, e por essa razão será necessário ter muita atenção. Iremos tratar a 
respeito de giroscópios. 
Imagine que estejamos no espaço, sem gravidade e sem nenhuma força externa. 
Suponha que temos uma roda de bicicleta. 
 
No ponto D está a minha mão direita e no ponto E está a minha mão esquerda. Eu 
seguro a roda pelo seu eixo de rotação. Eu darei um torque com minha mão direita, ou seja, 
empurrarei o eixo de rotação para a frente. Ao empurrar o eixo para frente, minha mão 
esquerda irá para trás. 
Após fornecer o torque à roda, eu irei soltá-la, então a mesma permanecerá girando.