Física Geral MIT Ed. 1
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Física Geral MIT Ed. 1


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força contrária que a puxa para sua 
posição de equilíbrio (comprimento inicial). 
Há uma relação dessa força com a deformação x da mola. 
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Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com 
isso, temos a Lei de Hooke: 
 
Onde K é a constante da mola. 
O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos 
que essa força é uma força restauradora. 
Como é possível medir a constante da mola? 
Podemos usar a gravidade. 
 
Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar 
diferentes pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x. 
Fazendo isso e obtendo os resultados em um gráfico: 
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Assim, temos que: 
 
 
 
 
Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos, 
a mola voltará ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei 
de Hooke. 
Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se 
comporte de acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu 
tamanho original. Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou 
seja, existe um limite para a deformação. 
Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em 
que a força aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a 
mola, ela tomará um comprimento maior do que tinha anteriormente. 
 
Há outras maneiras de medir o valor de K. 
Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito. 
 
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Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0). 
O período de oscilação é dado por: 
 \u221a
 
 
 
O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e 
x = 0). 
Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei 
de Hooke está presente. 
Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema: 
 
 
 
 
 
Dividindo tudo por m: 
 
 
 
 
 
 
 
E assim obtemos uma equação diferencial. 
Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com 
um senóide ou cossenóide. 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
Vamos substituir essa equação na equação diferencial. 
Eu tenho que: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
O que nos dá: 
 \u221a
 
 
 
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 \u221a
 
 
 
Exemplo: 
 
 \u221a
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
\u201cA\u201d não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto, 
 tem de ser zero. 
Com isso, temos as possíveis respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
Para a velocidade: 
 
Se 
 
 
, o . 
Assim: 
 
 
 
 
 
Se escolhêssemos o 
 
 
, teríamos: 
 
 
 
 
O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do 
movimento. 
A oscilação é independente da amplitude. 
Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro. 
Faremos isso experimentalmente. 
 
Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude. 
 
 
Tomando uma massa diferente: 
 
Vamos medir 10 períodos: 
 \u221a
 
 
 
Fazendo uma previsão: 
 
Fazendo A = 35 cm. 
 
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Tomemos um pêndulo. 
 
Decompondo a tensão T em y e x. 
Em x: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em y: 
 
 
 
 
Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que 
iremos fazer é uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os 
chamados \u201caproximação por pequenos ângulos\u201d. Ou seja, 
Assim: 
 
Essa é a nossa primeira consequência. 
A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do 
que x = 0 para y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que: 
 
 
 
Ou seja, a aceleração em y é quase zero. 
Portanto, na equação II: 
 
 
Substituindo em I: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples. 
Com isso: 
 
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 \u221a
 
 
 
 \u221a
 
 
 
Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a 
corda pela metade o mesmo deve ocorrer com o período. 
Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo. 
Mola: 
 \u221a
 
 
 
Pêndulo: 
 \u221a
 
 
 
Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa. 
Fazendo uma experimentação... 
 
Temos um pêndulo de comprimento L e massa m. 
 
 
 \u221a
 
 
 
Essa foi nossa predição. Iremos contar 10 períodos. 
 
 
Ou seja, a física funciona. Eu mudei o ângulo, mas o período permaneceu igual. 
Como eu disse anteriormente, o período é independente da massa do objeto. Isso 
significa que eu posso sentar nessa esfera e me balançar, de forma que obterei o 
mesmo período. 
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A física funciona! Eu já disse isso! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aula 11 \u2013 Trabalho, Energia e Gravitação Universal 
 
Nessa aula iremos tratar sobre trabalho e energia. 
Começaremos analisando um caso unidimensional. 
O trabalho que a força está fazendo para mover um objeto de A até B é: 
 \u222b 
 
 
 
 
W = [N.m] = J (joule) 
O trabalho pode ser maior que zero; igual a zero ou menor que zero. 
Sabendo que: 
 
 
 
 
 
Assim: 
 \u222b 
 
 
 \u222b 
 
 
 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em física: 
 
 
 
Que nós chamamos de Energia Cinética. 
Assim, podemos escrever trabalho da seguinte maneira: 
 
Exemplo 1. 
 
Jogamos uma bola para cima. A gravidade a puxará para baixo (no sentido 
contrário à nossa trajetória). Nós desconhecemos a altura h. 
 
Mas a energia cinética em B é igual a zero, pois nesse ponto a velocidade é 
zero. Então: 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2. 
Eu estou levantando um objeto. Como meu movimento é na direção positiva de 
y, tenho que meu trabalho é positivo. 
 
 
 
 
Se eu levanto um objeto do chão, eu faço um trabalho positivo. Se esse objeto 
retorna para o chão, ocorre trabalho negativo. Ao final, eu não realizei trabalho algum. 
Por mais que eu tenha feito esforço e tenha me cansado, meu trabalho foi zero. Não 
vamos confundir cansaço com trabalho. 
Analisaremos agora o trabalho em