Atração gravitacional

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Atrac¸a˜o Gravitacional∗
Arthur Mattuck
Massachusetts Institute of Technology – MIT
A integral tripla pode ser usada para calcular a atrac¸a˜o gravitacional que
um corpo so´lido V de massa M exerce sobre uma massa pontual situada na
origem.
Se o so´lido V e´ tambe´m uma massa pontual, enta˜o de acordo com a lei
de gravitac¸a˜o de Newton a forc¸a que ele exerce e´ dada por
F =
GM
|R|2 r (1)
onde R e´ o vetor posic¸a˜o desde a origem ate´ o ponto
V , e o vetor unita´rio r = R/|R| e´ sua direc¸a˜o.
Entretanto, se o corpo so´lido V na˜o e´ uma massa pontual, temos que usar
a integrac¸a˜o. Vamos nos concentrar em encontrar apenas a componente do
eixo Oz da forc¸a gravitacional – de qualquer maneira, em todos os nossos
exemplos o corpo so´lido estara´ posicionado simetricamente de tal forma que
toda a forc¸a so´ tenha componente no eixo Oz.
Para calcular a forc¸a, dividimos o so´lido V em pequenas regio˜es de volume
∆V e massa ∆m. Se a func¸a˜o densidade e´ δ(x, y, z), a massa da regia˜o
contendo o ponto (x, y, z) e´
∆m ≈ δ(x, y, z)∆V, (2)
Pensando nessa pequena regia˜o como sendo essencialmente uma massa pon-
tual em (x, y, z), a forc¸a ∆F que ela exerce na massa pontual da origem e´
dada por (1). Assim, indicando por rz e ∆Fz as componentes no eixo Oz de
r e ∆F , temos que
∆Fz = G
∆m
|R|2 rz,
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Gravitacional Attraction
1
2
Em coordenadas esfe´ricas, e de acordo com a fi-
gura, temos que rz = cosφ. Logo, usando (2),
obtemos que
∆Fz = G
cosφ
ρ2
δ∆V = G
δ∆V
ρ2
cosφ.
Se somarmos todas as contribuic¸o˜es das forc¸as de cada regia˜o de massa
∆m e passarmos o limite, teremos que a componente Oz da forc¸a gravitaci-
onal e´ dada por
Fz = G
∫∫∫
V
cosφ
ρ2
δ dV. (3)
Se a integral esta´ em coordenadas esfe´ricas, enta˜o dV = ρ2 senφ dρ dφ dθ, e
a integral se torna
Fz = G
∫∫∫
V
δ cosφ senφ dρ dφ dθ. (4)
Exemplo 1 Encontre a atrac¸a˜o gravitacional da metade superior de uma
esfera so´lida de raio a centrada na origem e densidade δ =
√
x2 + y2.
Soluc¸a˜o. A forc¸a sera´ na direc¸a˜o do eixo Oz, ja´ que a densidade e´ sime´trica
em relac¸a˜o a ele, e por isso podemos usar (3) e (4). Como√
x2 + y2 = r = ρ senφ,
a integral fica
Fz = G
∫ 2pi
0
∫ pi/2
0
∫ a
0
ρ sen2 φ cosφ dρ dφ dθ
que pode ser calculado rapidamente e e´ igual a pi Ga2/3. �
Exemplo 2 Seja V a regia˜o cortada de uma esfera
so´lida de raio a
√
2 por um plano a uma distaˆncia a
do centro da esfera. Encontre a atrac¸a˜o gravitacio-
nal de V em uma massa pontual no centro da esfera
(considere a densidade igual a 1).
3
Soluc¸a˜o. Para aproveitar a simetria, localize a origem no centro da esfera e
alinhe o eixo do so´lido com o eixo Oz (de forma que o lado plano do so´lido
seja paralelo ao plano Oxy).
Usaremos coordenada esfe´rica, e o principal problema e´ determinar os
limites de integrac¸a˜o. Se fixamos φ e θ e deixamos ρ variar, obtemos um raio
que entra em V pelo seu lado plano em
z = a ou ρ cosφ = a,
e deixa V no lado esfe´rico, ρ = a
√
2. Os raios que interceptam V dessa forma
sa˜o aqueles para os quais 0 ≤ φ ≤ pi/4, como podemos ver na figura. Enta˜o,
por (4),
Fz = G
∫ 2pi
0
∫ pi/4
0
∫ a√2
a/ cosφ
senφ cosφ dρ dφ dθ
= 2pi G
∫ pi/4
0
a
(√
2− 1
cosφ
)
senφ cosφ dφ
= 2pi Ga
(
3
√
2
4
− 1
)
.
�
Observac¸a˜o. Newton provou que uma esfera so´lida de densidade uni-
forme e massa M exerce a mesma forc¸a numa massa pontual externa como
se fosse uma massa pontual de massa M localizada no centro da esfera.
Isso na˜o se generaliza para outros so´lidos uniformes de massa M – na˜o
e´ verdade que a forc¸a gravitacional que eles exercem e´ a mesma que aquela
exercida por uma massa pontual de massa M em seus centros de massa.
Pois se fosse assim, uma massa de teste unita´ria colocada no eixo entre duas
massas pontuais iguais, M e M ′, seria atra´ıda para o ponto me´dio, quando
na verdade ela e´ atra´ıda para a mais pro´xima das duas massas.