Cálculo 3 cal3txt s06 Cain

Prévia do material em texto

Integrac¸a˜o∗
George Cain & James Herod
Georgia Tech Institute – GaTech
1 Introduc¸a˜o
Agora voltaremos nossa atenc¸a˜o para a ide´ia de uma integral em dimen-
so˜es maiores que um. Considere um func¸a˜o real f : D → R, onde o domı´nio
D e´ um subconjunto fechado do espac¸o Euclideano n-dimensional Rn. Co-
mec¸aremos por definir o que significa a integral de f sobre o conjunto D; em
seguida veremos como a essa integral pode ser u´til na vida real.
Ja´ conhecemos bem o caso n = 1. Da mesma forma que foi feita a
extensa˜o de derivada para dimenso˜es maiores, nossa definic¸a˜o de integral em
va´rias dimenso˜es inclui o caso de uma dimensa˜o – como sempre, na˜o ha´ nada
que desaprender.
Vamos rever o que sabemos sobre a integral f : D → R no caso em que
D e´ um subconjunto conexo “razoavel” da reta real R. Primeiramente, neste
contexto, os u´nicos subconjuntos razoaveis de R sa˜o os intervalos fechados;
temos assim que D e´ um conjunto [a, b] onde b > a. Lembre que definimos
uma partic¸a˜o P do intervalo como sendo simplesmente um subconjunto finito
{x0, x1, ..., xn} de [a, b] com a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. A norma de
uma partic¸a˜o e´ o max{|xi − xi−1| : i = 1, 2, . . . n}. Definimos a Soma de
Riemann S(P ) para essa partic¸a˜o como sendo a soma
S(P ) =
n∑
i=1
f(x∗i )∆xi,
onde ∆xi = xi−xi−1 e´ simplesmente o comprimento do subintervalo [xi−1, xi]
e x∗i e´ qualquer ponto nesse subintervalo. Observe que na˜o ha´ apenas uma
soma de Riemann para uma partic¸a˜o P ; a soma claramente depende tam-
be´m das escolhas dos pontos x∗i , apesar dessa dependencia na˜o aparecer na
notac¸a˜o.
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Chapter 12 Integration
1
2. Duas Dimenso˜es 2
Agora, se existe um nu´mero L tal que podemos fazer todas as somas de
Riemann pro´ximas o suficiente de L apenas escolhendo a norma da partic¸a˜o
suficientemente pequena, enta˜o f e´ dita integra´vel no intervalo, e o nu´mero L
e´ chamado de integral de f em [a, b]. Esse nu´mero L e´ quase sempre denotado
por
∫ b
a
f(x) dx. Mais formalmente, dizemos que L e´ a integral de f sobre [a, b]
se, para cada � > 0, existe um δ tal que |S(P )−L| < � para toda partic¸a˜o P
com norma menor que δ. Voceˆ sem du´vida deve se lembrar de seu primeiro
encontro com essa definic¸a˜o e do quanto ela parecia imposs´ıvel de calcular
em qualquer situac¸a˜o, mas enta˜o uma versa˜o do Teorema Fundamental do
Ca´lculo veio para ajuda´-lo.
2 Duas Dimenso˜es
Vamos comec¸ar nosso estudo de integrais em dimenso˜es maiores pelo caso
bidimensional. Como vimo algumas vezes no passado, o mais interessante em
estender as ide´ias do ca´lculo para dimenso˜es maiores e´ o passo do uni pra
o bidimensional — raramente o passo de mudar de 97 para 98 dimenso˜es e´
muito interessante. Devemos enta˜o comec¸ar olhando a integral de f : D → R
para o caso em que D e´ um subconjunto fechado e “razoa´vel” do plano.
Mas a´ı ja´ comec¸am as complicac¸o˜es. Na reta real, subconjuntos fechados
e “razoa´veis” sa˜o simplesmente intervalos fechados; no plano, subconjuntos
fechados e “razoa´veis” sa˜o consideravelmente mais interessantes.
Um momento de reflexa˜o nos convence que o domı´nio D pode, mesmo
em duas dimenso˜es, ser consideravelmente mais complicado do que em uma
dimensa˜o.
Primeiro, coloque D dentro de um retaˆngulo com lados paralelos aos eixos
coordenados; e enta˜o divida esse retaˆngulo em sub-retaˆngulos particionando
cada um de seus lados:
2. Duas Dimenso˜es 3
Agora, nomeie os sub-retaˆngulos que interceptamD com, digamos, os sub-
ı´ndices i = 1, 2, . . . , n. A maior a´rea de todos esses retaˆngulos e´ chamada de
norma da subdivisa˜o. Em cada um dos retaˆngulo, escolha um ponto (x∗i , y
∗
i )
em D. A soma de Riemann S agora fica da seguinte forma:
S =
n∑
i=1
f(x∗i , y
∗
i )∆Ai,
onde ∆Ai e´ a a´rea do retaˆngulo de onde escolhemos (x
∗
i , y
∗
i ). Agora, se existe
um nu´mero L tal que podemos nos aproximar dele tanto quanto queiramos
apenas escolhendo a norma da subdivisa˜o suficientemente pequena, enta˜o f
e´ dita integra´vel em D, e o nu´mero L e´ a integral de f sobre D. O nu´mero
L e´ usualmente escrito com o s´ımbolo de duas “cobrinhas”:∫
D
∫
f(x, y) dA .
As integrais sobre domı´nios bidimensionais sa˜o frequentemente chamadas de
integrais duplas .
A definic¸a˜o da integral no caso em que D e´ um subconjunto “razoa´vel” de
R3 e´ ana´loga. Colocamos D dentro de uma caixa, e subdividimos essa caixa
em sub-caixas, etc., etc. Falaremos mais sobre dimenso˜es maiores depois.
Vamos olhar um momento para a geometria. Para desenharmos algo
razoa´vel, suponhamos que f(x, y) ≥ 0 em todo o domı´nio D.
Cada termo f(x∗i , y
∗
i )∆Ai e´ o volume de uma caixa com base no retaˆngulo
Ai e altura f(x
∗
i , y
∗
i ). Assim, o topo da caixa intercepta a superf´ıcie z =
f(x, y). A soma de Riemann e´ assim o volume total de todas as caixas.
A` medida em que as a´reas das bases tendem a 0, as caixas preenchem o
so´lido limitado inferiormente pelo plano x-y, por cima pela superf´ıcie z =
f(x, y), e pelos lados pelo cilindro determinado pela regia˜o D. A integral
2. Duas Dimenso˜es 4
∫ ∫
D
f(x, y) dA e´ enta˜o igual ao volume desse so´lido. Se f(x, y) ≤ 0, enta˜o
teremos o negativo do volume limitado por baixo pela superf´ıcie z = f(x, y),
por cima pelo plano x-y, etc.
Suponha que a e b sejam constantes, e D = E ∪ F , onde E e F sa˜o
domı´nios “razoa´veis” e com interiores disjuntos. As seguintes propriedades
de integral dupla devem ser evidentes:
(i)
∫
D
∫
[a f(x, y) + b g(x, y)] dA = a
∫
D
∫
f(x, y) dA+ b
∫
D
∫
g(x, y) dA;
(ii)
∫
D
∫
f(x, y) dA =
∫
E
∫
f(x, y) dA+
∫
F
∫
f(x, y) dA
Agora, como calcular a integral
∫ ∫
D
f(x, y) dA? Vejamos. Novamente
usaremos uma figura, e de novo vamos supor f(x, y) ≥ 0. O outro caso e´
ana´logo.
Vamos assumir que o domı´nio D tem uma forma especial; especificamente,
suponhamos que ele seja limitado por cima pela curva y = h(x), por baixo
por y = g(x), pela esquerda por x = a e pela direita por x = b.
E´ conveniente pensarmos na integral
∫ ∫
D
f(x, y) dA como o volume de
um so´lido limitado inferiormente por D no plano x-y e superiormente pela
superf´ıcie z = f(x, y). Pensemos em como encontrar esse volume dividindo
o so´lido em fatias paralelas ao eixo y e somando os volumes das fatias. Para
aproximar o volume das fatias procedemos como segue.
Particionamos o intervalo [a, b] : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 <
xn = b. Em cada subintervalo [xi−1, xi] escolhemos um ponto x∗i . As fatias
podem agora ser aproximadas peles so´lidos cujas bases sa˜o os retaˆngulos de
lados ∆xi = xi − xi−1 e h(x∗i ) − g(x∗i ) e cujas alturas sa˜o os gra´ficos das
func¸o˜es z = f(x∗i , y). O volume de cada um desses so´lidos e´ igual a` a´rea da
2. Duas Dimenso˜es 5
sec¸a˜o transversal
∫ h(x∗i )
g(x∗i )
f(x∗i , y) dy multiplicada pela espessura ∆xi, conforme
ilustra a figura abaixo.
A soma de todos esses volumes e´
S =
n∑
i=1
[∫ h(x∗i )
g(x∗i )
f(x∗i , y) dy
]
∆xi
A integral dupla que procuramos e´ justamente o “limite” desta soma, se to-
marmos os lados dos retaˆngulos ∆xi cada vez mais finos; ou partic¸o˜es do inter-
valo [a, b] com normas cada vez menores. Mas as somas acima sa˜o exatamente
as somas de Riemann unidimensionais da func¸a˜o F (x) =
∫ h(x)
g(x)
f(x, y) dy, e
enta˜o a integral dupla e´ dada por∫
D
∫
f(x, y) dA =
∫ b
a
F (x) dx
=
∫ b
a
[∫ h(x)
g(x)
f(x, y) dy
]
dx
A integral dupla e´ assim igual a uma integral de uma integral, normalmente
chamada de integral iterada. E´ usual omitir os colchetes e escrever a integral
iterada simplesmente como∫ b
a
∫ h(x)
g(x)
f(x, y) dy dx
.
Exemplo 1 Encontrar a integral dupla
∫ ∫
D
[x2 + y2] dA, onde D e´ a regia˜o
delimitada pelas retasy = x, x = 0, e x+ y = 2.
Soluc¸a˜o. O que primeiro passo e´ desenhar a regia˜o D (precisamos sempre
de uma figura da regia˜o de integrac¸a˜o):
2. Duas Dimenso˜es 6
Podemos ver da figura que, com a notac¸ao introduzida anteriormente,
temos g(x) = x, h(x) = 2− x, a = 0 e b = 1.
Assim, a fatia paralela ao eixo y e´ limitada por baixo por y = x e por
cima por y = 2− x. No ponto x, a a´rea lateral dessa fatia (ou a´rea da sec¸a˜o
transversal) e´ dada por∫ 2−x
x
[x2 + y2] dy = x2y +
y3
3
∣∣∣y=2−x
y=x
= 2x2 +
(2− x)3
3
− 7
3
x3,
e temos essa fatia para todos os valores de x que va˜o de x = 0 ate´ x = 1.
Assim, ∫
D
∫
[x2 + y2] dA =
∫ 1
0
[
2x2 +
(2− x)3
3
− 7
3
x3
]
dx
= 2x
3
3
− (2−x)4
12
− 7x4
12
∣∣∣1
0
= 4
3
�
Exerc´ıcio Suponha que o domı´nio de
integrac¸a˜o D seja limitado a` esquerda
por x = g(y), a` direita por x = h(y),
por baixo por y = a e por cima por
y = b, conforme figura ao lada.
Expresse a integral dupla∫ ∫
D
f(x, y) dxdy como uma inte-
gral iterada, integrando primeiro com
respeito a x.
	1 Introdução
	2 Duas Dimensões