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Limites em Integrais Iteradas∗
Arthur Mattuck
Massachusetts Institute of Technology – MIT
Para a grande maioria dos estudantes a parte mais dif´ıcil de calcular
integrais iteradas e´ determinar os limites de integrac¸a˜o. Felizmente, para isso
existe um procedimento bastante geral que pode ser aplicado em qualquer
sistema de coordenadas. O procedimento comec¸a com um esboc¸o da regia˜o,
sendo esse um passo indispensa´vel.
1 Integrais Duplas em Coordenadas
Retangulares
Vamos ilustrar esse procedimento no casa
onde ele ocorre mais usualmente: integrais du-
plas em coordenadas retangulares. Suponha
que queremos calcular a integral∫∫
R
f(x, y) dy dx
onde R e´ a regia˜o entre x2 + y2 = 1 e x + y = 1, conforme figura acima.
Suponha ainda que estamos integrando primeiro com relac¸a˜o a y. Nesse
caso, para determinar os limites de integrac¸a˜o,
1. mantenha x fixo e deixe y aumentar (ja´ que estamos integrando com
relac¸a˜o a y). A` medida que o ponto (x, y) se desloca, ele trac¸a uma
reta vertical;
∗Traduc¸a˜o livre, por Mayra Madeira, do texto Limits in Iterated Integrals
1
1. Integrais Duplas em Coordenadas
Retangulares 2
2. integre do valor de y onde a reta vertical entra na regia˜o R ate´ o valor
de y onde ela deixa a regia˜o;
3. em seguida deixe x aumentar, integrando do menor valor de x para o
qual a reta vertical intercepta R, ate´ o maior desses valores.
Aplicando esse roteiro para a regia˜o R ilus-
trada acima, a reta vertical entra em R em
y = x− 1 e sai em y = √1− x2.
As retas verticais que interceptam R sa˜o
aquelas entre x = 0 e x = 1. Enta˜o obtemos
como limites∫∫
R
f(x, y) dy dx =
∫ 1
0
∫ √1−x2
1−x
f(x, y) dy dx
Para calcular a mesma integral, iterando primeiro na varia´vel x, proceda
como segue:
1. mantenha y fixo e deixe x aumentar (ja´ que estamos integrando pri-
meiro com respeito a x). A` medida que o ponto (x, y) se desloca, ele
trac¸a uma reta horizontal;
2. integre do valor de x onde a reta horizontal entra em R ate´ o valor de
x onde ela a deixa a regia˜o;
3. escolha os valores de y que incluam todas as retas horizontais que in-
terceptam R.
Seguindo esse procedimento, a reta horizontal
entra em R em x = y−1 e sai em x =√1− y2. As
retas horizontais que interceptam R sa˜o aquelas
entre y = 0 e y = 1. Segue-se que os limites sa˜o∫∫
R
f(x, y) dx dy =
∫ 1
0
∫ √1−y2
1−y
f(x, y) dx dy,
2. Integrais Duplas em Coordenadas Polares 3
2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
O mesmo procedimento funciona no caso de coordenadas polares. Supo-
nha que queremos avaliar a integral∫∫
R
dr dθ.
onde R e´ a mesma regia˜o da sec¸a˜o anterior. Suponha ainda que estamos
integrando primeiro com relac¸a˜o a r. Nesse caso, para determinar os limites,
1. mantenha θ fixo e deixe r aumentar (ja´ que estamos integrando primeiro
com relac¸a˜o a r). A` medida que o ponto se move, ele trac¸a um raio
partindo da origem;
2. integre do valor de r onde o raio entra em R ate´ onde ele sai da regia˜o.
Com isso obtemos os limites de r;
3. integre do menor valor de θ para o qual o raio correspondente intercepta
R ate´ o maior desses valores.
Esse procedimento requer a equac¸a˜o da reta em coordenadas polares.
Para isso, observe que
x+ y = 1 ⇒ r cos θ + r sen θ = 1, ou r = 1
cos θ + sen θ
.
Este e´ o valor de r para o qual o raio entra
na regia˜o; ele sai da regia˜o quando r = 1. Os
raios que interceptam R ficam entre θ = 0 e
θ = pi/2. Assim, a integral dupla iterada em
coordenadas polares tem os limites∫∫
R
dr dθ =
∫ pi/2
0
∫ 1
1/(cos θ +sen θ)
dr dθ.
3. Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares e Cil´ındricas 4
3 Integrais Triplas em Coordenadas
Retangulares e Cil´ındricas
O procedimento agora e´ praticamente o mesmo das sec¸o˜es anteriores.
Considere o caso em que integramos primeiro em relac¸a˜o a z na integral∫∫∫
D
dz dy dx. Nesse caso,
1. mantenha x e y fixos e deixe z aumentar. Isso nos
da´ uma reta vertical.
2. Integre do valor de z que a reta vertical entra na
regia˜o D ate´ o valor onde ela deixa essa regia˜o.
3. Procure os limitantes restantes (em coordenadas
cartesianas ou em coordenadas polares) de forma
a incluir todas as retas verticais que interceptam D.
Esses limites correspondem a` projec¸a˜o R da regia˜o
D sobre o plano Oxy.
Por exemplo, se D e´ a regia˜o que fica entre os dois
parabolo´ides
z = x2 + y2 e z = 4− x2 − y2,
seguindo os passos 1 e 2 obtemos∫∫∫
D
dz dy dx =
∫∫
R
∫ 4−x2−y2
x2+y2
dz dA
onde R e´ a projec¸a˜o de D sobre o plano Oxy. Para terminar, devemos
determinar essa projec¸a˜o. Da figura, o que devemos determinar e´ a curva no
plano Oxy sobre a qual as duas superf´ıcies se interceptam. Encontramos a
curva eliminando z das duas equac¸o˜es, obtendo
x2 + y2 = 4− x2 − y2
de onde segue-se que x2 + y2 = 2. Assim a curva que limita R e´ o c´ırculo no
plano Oxy com centro na origem e raio √2.
4. Coordenadas Esfe´ricas 5
Isso torna natural introduzir as coordenadas polares na regia˜o R, como
indicado a seguir.∫∫∫
D
dz dy dx =
∫ 2pi
0
∫ √2
0
∫ 4−x2−y2
x2+y2
dz dr dθ;
Observe que os limites em z devem ser substitu´ıdos por r2 e 4− r2 quando a
integral for efetuada.
4 Coordenadas Esfe´ricas
O mesmo procedimento pode ser usado tambe´m
em coordenadas esfe´ricas. Para calcular os limites de
integrac¸a˜o em uma integral iterada
∫∫∫
D
dρ dφ dθ,
suponha que estamos integrando primeiro com res-
peito a ρ. Nesse caso, o procedimento e´ como segue:
1. mantenha φ e θ fixos e deixe ρ aumentar. Isso nos da´ um raio saindo
da origem;
2. integre do valor de ρ onde o raio entra na regia˜o D ate´ o valor onde o
raio sai da regia˜o. Isso nos da´ os limites em ρ;
3. mantenha θ fixo e deixe φ aumentar. Isso nos
da´ uma famı´lia de raios, que formam uma espe´-
cie de leque. Integre sobre os valores de φ para
os quais o raio intersecta a regia˜o D;
4. finalmente, encontre os limites de θ de tal forma
que inclua todos os leques que interceptam a
regia˜o D.
Por exemplo, suponha que o c´ırculo no plano Oyz, de raio 1 e centro em
(1, 0), seja rotacionado ao redor do eixo Oz, e que a regia˜o D seja a parte
desse so´lido que esta´ no primeiro octante.
4. Coordenadas Esfe´ricas 6
A figura ao lado ilustra as coordenadas ρ e φ
restritas ao plano Oyz. Para ver a relac¸a˜o en-
tre essas coordenadas quando P esta´ no c´ırculo,
observe que φ = OÂP , uma vez que tanto φ
como o aˆngulo OÂP sa˜o complementares do aˆn-
gulo AÔP . Do triaˆngulo da direita obtemos que
senφ = ρ/2, e portanto ρ = 2 senφ.
Conforme o c´ırculo gira ao redor do eixo z, a relac¸a˜o entre ρ e φ permanece
a mesma, e portanto ρ = 2 senφ e´ a equac¸a˜o de toda a superf´ıcie.
Para determinar os limites de integrac¸a˜o, quando φ e θ sa˜o fixos, o raio
correspondente entra na regia˜o quando ρ = 0 e a deixa quando ρ = 2 senφ.
A` medida que φ aumenta, com θ fixo, os raios que interceptam D sa˜o
aqueles entre φ = 0 e φ = pi/2, ja´ que estamos considerando somente a
porc¸a˜o da superf´ıcie que esta´ no primeiro octante (e portanto acima do plano
Oxy).
Mais uma vez, como D esta´ no primeiro octante, os valores de θ va˜o de
θ = 0 ate´ θ = pi/2. Finalmente, a integral iterada e´ dada por∫ pi/2
0
∫ pi/2
0
∫ 2 senφ
0
dρ dφ dθ.
	1 Integrais Duplas em Coordenadas Retangulares
	2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
	3 Integrais Triplas em Coordenadas Retangulares e Cilíndricas
	4 Coordenadas Esféricas