Manual Capítulos II III e IV

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Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 50 
 
CAPÍTULO II 
CORRENTE CONTÍNUA 
§ 21. Alguns conceitos fundamentais. 
Como foi dito anteriormente, o campo electrostático dá origem ao movimento de cargas livres no 
condutor (corrente eléctrica) até ao instante em que os campos das cargas, que se redistribuíram, se 
compensem mutuamente. Neste caso as cargas ocupam lugares definidos nos condutores. Daqui segue 
que para se garantir um movimento contínuo de 
cargas dentro de um condutor, deve existir um 
campo eléctrico. Esse campo, pela sua origem, já 
não é electrostático. Um campo eléctrico constante 
no tempo que causa uma corrente eléctrica 
constante (contínua) num condutor, chama-se 
campo estacionário. 
A existência de um campo estacionário num 
condutor é equivalente à manutenção de uma 
diferença de potencial (ddp) constante entre as 
extremidades do mesmo. 
Analisemos, por exemplo, o processo de 
estabelecimento de uma corrente eléctrica num circuito (figura 2.1a). Na parte superior do circuito, os 
fios estão carregados electricamente e existe um campo estacionário entre eles. Ao se ligar o interruptor, 
o campo eléctrico “espalha-se” por todo o condutor com velocidade muito próxima à velocidade da luz 
(figura 2.1b). Por causa disso as cargas começam um movimento ordenado quase ao mesmo tempo em 
todo o fio. Neste caso, os portadores reais de corrente nos metais (que são os electrões de condução) têm 
uma velocidade do movimento ordenado muito baixa (da ordem de milímetros por segundo - mm/s). 
Consideremos, para comparação, a velocidade média do movimento caótico (térmico) dos electrões que, 
para temperatura normal é de cerca de 1000 km/s! 
Passado um tempo suficiente, estabelece-se um campo eléctrico constante no tempo, isto é, um campo 
estacionário. 
Como foi dito, o campo eléctrico num circuito, deve ser mantido constante a partir de fora, ou, por 
outras palavras, para realizar trabalho de deslocar continuamente cargas, é necessário uma fonte 
constante de energia de origem diferente da electrostática (que pode ser de origem mecânica, térmica, 
 
 
 Figura 2.1 a) e b). Processo de estabelecimento de uma 
corrente eléctrica contínua num condutor em circuito 
fechado. 
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química, etc.). Nesta fonte de energia, deve ocorrer a transformação constante de uma espécie qualquer 
de energia em energia eléctrica. Este processo ocorre na fonte de forca electromotriz. 
As fontes de força electromotriz (f.e.m.) criam um campo de forcas externas, chamado campo externo 
que mantêm o regime estacionário no circuito. 
Dentro e fora dos condutores age um campo estacionário que move as cargas eléctricas tanto ao longo da 
superfície, como por toda a secção do condutor. A figura 2.2 mostra a distribuição das cargas 
superficiais e a configuração das linhas de força 
no campo da corrente. 
O circuito está representado sob a forma de um 
anel grosso com uma separação na qual se tem 
uma fonte de f.e.m. que mantém entre os 
contactos A e B uma ddp. Dentro do condutor as 
linhas de força têm o aspecto de círculos 
concêntricos com o condutor, enquanto que fora, 
as linhas estão dispostas sob um certo ângulo em 
relação ao condutor. Assim, o vector E tem 
componentes normal e tangencial à superfície do 
condutor. 
Para dois pontos quaisquer que não estejam na 
mesma secção transversal (por exemplo os pontos 1 e 2 na figura 2.2.) existe uma ddp φ1 – φ2 (voltagem 
U) que se descreve matematicamente como: 
 ∫ ∫=−==− 1
2
2
1
21 ldEldEU l
rrrrϕϕ
Tendo em conta esta relação, escrevamos a lei de Ohm para essa parte do circuito na forma integral: 
 
 (21.1) 
 
Onde I é a corrente eléctrica, R – a resistência activa (resistência óhmica) da parte do circuito entre os 
pontos 1 e 2. A expressão (21.1) é valida apenas para a parte do circuito onde actua um campo 
estacionário e na qual não haja fontes de f.e.m. Muitas vezes, porém, se encontram circuitos contendo 
fontes de f.e.m. Nesses casos, a lei de Ohm tem o seguinte aspecto: 
 
 
Figura 2.2. Distribuição do campo estacionário e do campo 
externo num condutor com corrente eléctrica. 
∫ == 2
1
IRldEU l
r
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R
U extI ε−= (21.2), 
onde εext é a f.e.m. da fonte contida no circuito. No geral o sinal de εext pode ser (+) ou (-) e , por isso, 
 
R
U extI ε±= (21.3). 
A f.e.m. εext está associada ao campo eléctrico externo com intensidade tal que: extE
→
 (21.4) ∫∫ ==
→
→
l
extl
l
extext ldEldE
rrr
,ε
Onde l é a parte do circuito em que actua a f.e.m. Considerando (21.4) e (21.1) podemos reescrever a lei 
de Ohm para a parte do circuito contendo uma f.e.m. (21.3) da seguinte maneira: 
 ∫ +=
l
extll ldEldEIR )( ,
rrrr
 (21.5) 
Analisemos a circulação do vectores 
→
E e por um circuito fechado (contendo a fonte e a circuito 
externo). O campo estacionário criado pelas cargas é potencial e a sua circulação por um circuito 
fechado será zero. 
extE
→
A Lei de Ohm para todo o circuito, tendo em conta a resistência total R + r ( aqui, r é a resistência 
interna na fonte de f.e.m.), tem o seguinte aspecto: 
 I(R + r) = ( ) ext
L
extlextll dlEdlEdlE ε==+ ∫ ,,
L
∫ (21.6) 
Daqui segue a definição f.e.m., como a circulação do vector pelo circuito fechado ou como a queda 
total de potencial na resistência do circuito R e na da fonte r: 
extE
→
 rR Ι+Ι=ε (21.7) 
Aqui, I.R = U é a voltagem nas extremidades da fonte e I.r - a perda da voltagem dentro da fonte. Como 
se sabe U depende da resistência total, i .e, do valor da corrente. 
 
§ 22. Lei de Ohm na forma diferencial. 
 Para aplicações práticas e para análise teórica usa–se, muitas vezes, o conceito de densidade de 
corrente (corrente que passa por unidade de área da secção transversal do condutor). Seja S0 a área de 
secção transversal do condutor (figura 2.3). Para uma corrente constante, distribuída uniformemente pelo 
condutor, a densidade de corrente é definida como: 
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0S
j Ι=
rr
 (22.1) 
 
No caso mais geral, de distribuição não uniforme 
da corrente pela superfície , a densidade da 
corrente passa para a derivada: 
0S
 
0dS
dj Ι=
rr
 (22.2) 
As fórmulas (22.1) e (22.2) dão-nos o valor 
numérico da densidade da corrente. O vector 
densidade de corrente tem um sentido que 
coincide com o sentido do movimento das cargas 
positivas. Se for o vector normal, unitário, 
dirigido ao longo de corrente e, por isso, perpendicular a , então: 
→
j
0
→
n
0S
 0
0
→= n
dS
dI→j
d(22,3) 
Imaginemos, em seguida, uma outra secção qualquer, com a normal à sua superfície . É claro que 
 e, passando para a superfície elementar, d = e a expressão (22,2) 
pode-se reescrever da seguinte maneira: 
→
n
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅= →→ njSS ,cos0 0S ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅ →→ njdS ,cos
 SdjnjjdSjdS n
r
r+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==Ι →→,cos0 (22.4) 
O campo do vector densidade da corrente pode ser representado por linhas chamadas linhas de corrente. 
Em cada ponto destas linhas, o vector está dirigido tangencialmente. O conceito de densidade de 
corrente permite dar à Lei de Ohm uma forma nova. Escolhamos no campo de corrente (figura 2.4) um 
cilindro elementar de comprimento cujas bases 
→
j
,lΔ 0SΔ são perpendiculares a . Se este cilindro for 
considerado como uma parte de um condutor com resistência
→
j
,RΔ então a Lei de Ohm pode ser escrita 
desta maneira: 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3. Ilustração da definição do conceito de densidade 
da corrente eléctrica. 
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RΔ=ΔΙ
− 21 ϕϕ 
 Consideremos que o campo seja homogéneo numa 
pequena parte ,lΔ do condutor . Conhecendo a 
fórmula para a resistência 
0S
lR Δ
Δ=Δ ρ (definição 
da resistência eléctrica de um condutor com 
resistividade ρ, comprimento Δl e área de secção 
transversal ΔS0). Assim, a lei de Ohm ganha o 
seguinte aspecto: 
 0
0
Sj
S
E Δ=
Δ
Δ
Δ⋅= l
l
ρ
ΔΙ 
Que, depois das simplificações fica: 
 EE γρ ==j (22.6) 
Onde γ =1/ρ é a condutibilidade eléctrica da substância que compõe o condutor. Nos meios isotrópicos, 
o vector densidade de corrente e o vector intensidade do campo eléctrico, coincidem na direcção e 
podemos passar para a forma vectorial: 
 (22.7) 
→= Eγ→j
→
j
Esta é a Lei de Ohm na forma diferencial. De facto, na sua expressão não existem diferenciais e o seu 
nome deve-se ao facto de ela estabelecer a ligação entre grandezas que se relacionam a um ponto dado 
do condutor. No caso mais geral, quando existe uma fonte de f.e.m. no circuito, a expressão (22.7) toma 
o seguinte aspecto: 
 (22.8) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += →→ extEEγ
§ 23. Outras leis da corrente contínua na forma diferencial. 
Muitas vezes torna-se necessário aplicar outras leis da corrente continua na sua forma diferencial. 
Encontremos, para ilustração, a forma diferencial de lei de Joule–Lenz. 
 
R
URUm
2
2 =Ι=Ι=Q (23.1) 
 
 
Figura 2.4. Dedução da lei de Ohm na forma diferencial. 
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Onde Qm é a quantidade de calor libertado pela corrente I num condutor com resistência R durante 1s. 
Seja qm a quantidade de calor libertado pela corrente por unidade de volume e unidade de tempo. É 
óbvio que 
V
Qq mm = , sendo V o volume do condutor. No caso mais geral, 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
∫
v
mm
m
m
dVqQ
dV
dQq
 (23.2) 
Calculemos a quantidade de calor QmΔ que se liberta num cilindro elementar de volume 
. De acordo com (23.1), temos: lΔ⋅Δ=Δ 0SV
 lΔΔ= ESjQm ,0Δ 
donde se obtem 
 jE
S
ESj
V
Qmqm =Δ⋅Δ
Δ⋅⋅Δ⋅=Δ
Δ= l
l
0
0 (23.3) 
Encontramos assim, a Lei de Joule–Lenz na forma diferencial que também se pode escrever como: 
 
 γρργ
2
2
2
2 jjEEjEm =====q
∑
k
 (23.4) 
Para a passagem da forma integral (23.1) à diferencial, lembremos que o análogo de I é j, de U é E e o 
de R é ρ. A Lei de Joule–Lenz na forma diferencial refere–se a um volume unitário e não a um ponto. 
O calor libertado num ponto é zero. 
 Passemos para a 1ª regra de Kirchoff muito usada para o cálculo de circuitos eléctricos: a soma 
algébrica das correntes em cada ponto de derivação (nodo ou nó) é igual a zero, isto é , 
 . 0=kI
Esta lei deriva da lei de conservação da carga eléctrica. Fixemos, no campo da corrente, uma superfície 
fechada. No volume delimitado por essa superfície, num dado intervalo de tempo, a quantidade de 
electricidade que entra é igual àquela que sai. Considerando a equação (22.5) podemos escrever a regra 
de Kirchoff como: 
 ∫
S
=dSnj 0rr (23.5) 
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Onde a integração faz–se ao longo da superfície fechada S. Lembremo-nos que, pelo teorema de Gauss, 
 dVjdivdSj
S V
n ⋅=∫ ∫ →rr (23.6 ) 
Esta equação é para qualquer volume e, por isso, podemos escrever para a expressão sob o sinal de 
integral 
 (23.7) 0=jrdiv
A expressão (23.7) é a 1ª regra de Kirchoff na forma diferencial. Ela é normalmente chamada 
equação da continuidade da corrente estacionária. Daqui segue que as linhas da corrente, no caso da 
corrente estacionária, não têm fontes, i.e., estão fechadas em si. 
 A equação (23.7) é válida apenas para campos estacionárias. No caso de ligação, desligação ou, dum 
modo geral, variação do campo, ou ainda, casos de corrente alternada, ela não se usa uma vez que nesses 
casos há acumulação ou desaparecimento da carga. 
 A corrente de descarga de um condensador qualquer, de acordo com a lei de conservação da carga , é 
igual ao decréscimo da carga por unidade de tempo: 
 
 I = -
dt
dQ (23,8). 
 Envolvamos este condensador (ou parte dele) por uma superfície S fechada e pensemos no caso geral de 
distribuição da carga .Durante a descarga, pela superfície S passa a corrente ∫=
V
dVQ ρ ∫=
s
ndSjI
r
 
Assim: 
 ∫−=
v
n dVdt
ddSj ρr∫
s
 ( 23.9) 
A parte esquerda, pelo teorema de Gauss pode ser transformada e teremos 
 
t
jdiv ∂
∂−=→ ρ (23.10 ) 
Que é a forma diferencial da equação de continuidade da corrente e que ao mesmo tempo é a lei de 
conservação da carga e que significa que a divergência da corrente a partir de um volume unitário é 
igual à diminuição da carga no interior desse volume por unidade de tempo. 
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CAPÍTULO III 
CAMPO MAGNÉTICO DE CORRENTES CONSTANTES 
 
§ 24. Campo magnético de correntes constantes lineares. Leis de Ampère e de Biot-Savart-Laplace 
 
Uma das conquistas da Física no séc. XIX foi o estabelecimento dos seguintes factos: da mesma maneira 
que uma carga em repouso num certo sistema cria um campo eléctrico, uma carga em movimento (num 
certo sistema referencial)cria um campo magnético que, por sua vez, exerce uma força sobre cargas em 
movimento. Cargas em repouso não causam campos magnéticos e nem experimentam nenhuma 
força por parte deste. 
O campo magnético de cargas em movimento foi descoberto por Oersted em 1820, quando notou na 
acção da corrente sobre uma agulha magnética. Biot–Savart e Laplace estabeleceram a ligação entre a 
intensidade da corrente e a intensidade do campo magnético por ela criado. Esta lei já conhecida do 
curso de Electricidade e Magnetismo, foi formulada para o caso de correntes lineares, isto é, correntes 
em condutores cujas dimensões lineares da secção (por exemplo o diâmetro) são menores que as 
distâncias até ao ponto de observação. 
Ampère descobriu a ligação entre a força com que um campo magnético actua num elemento de corrente 
de prova e a intensidade do campo. As duas leis (de Ampère e de Biot–Savart - Laplace) descobertas 
empiricamente, formam a base da teoria de campo magnético de campos constantes (campo magnético 
estacionário). 
Sabe–se, da experiência, que a força dF com a qual o campo magnético age sobre um elemento de 
corrente de prova, é proporcional à grandeza i.dl.sinα, onde α – é o ângulo entre a direcção de i ld
r
e da 
intensidade do campo 
→
H . Segundo a regra do produto vectorial, é perpendicular ao plano no qual se 
encontram os vectores
→
dF
ld
r
 e 
→
H e os três vectores formam um terno direito. A expressão completa para a 
intensidade do campo magnético é dada por: 
 αμ idsen
dF
0
1=H (24.1) 
μ - é um coeficiente de proporcionalidade. Daqui segue a expressão para a força elementar: 0
 HxlidHxliddF
rrr
00 μμ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= →→ (24.2) 
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Esta é a Lei de Ampère. Ela pode ser usada para cálculos da interacção mecânica do campo magnético 
no elemento de corrente apenas quando se conhece o valor da intensidade do campo 
→
H ( x,y,z). Este 
valor pode ser calculado a partir da distribuição das correntes no espaço e coordenados, usando a lei de 
Biot–Savart–Laplace na sua forma diferencial: 
 3r
rxlIdkH
→
→ =d
r
 (24.3) 
Onde é a intensidade elementar do campo magnético criado pelo elemento de corrente
→
Hd ld
rΙ num 
certo ponto de observação A, e 
→
r , é o raio-vector com inicio no ponto M onde fica 
localizado o elemento da corrente e tem o fim no ponto de observação A( x, y, z). No sistema 
internacional a expressão pode ser escrita da seguinte maneira: 
),,( 000 zyx
 34 r
rldiH
→→
→ ×=d π (24.4) 
e na forma escalar 
 ( )24 ,.. r rlsendldH π
rrΙ= (24.5) 
Onde as unidades de I = Ampere, r e - metros e H – Ampere/metro. A constante l 270 104 A
Hx −= πμ 
(Henry por ampere ao quadrado). Para se obter o campo resultante criado por um condutor de 
comprimento , usa–se o principio de sobreposição. l
 ∫=
l r
rxld
34
1H
rrr
π (24.6) 
O que corresponde a três integrais escalares do tipo: 
 ( ) ( )[ ]∫ −−−=
e
x r
yydzzzdy
3
0000
4
1
πH e etc. 
Onde utilizamos 
 
 
; 
Passando da força elementar que age no elemento de corrente ld
rΙ para a força que actua em todo o 
condutor com corrente I, 
( ) ( )000
000
.......).........(
.............................
........................................
zzyyxx
dzdydx
kji
rld
−−−
=×→→
( ) ( 0000)( yydzzzdyrxld x −−−= )rr
( ) ( 0000)( zzdxxxdzrxld y −−−= )rr
( ) ( 0000)( xxdyyydxrxld z −−−= )rr
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 HxldI
e
F
rr∫= 0μ→
F
 (24.7) 
Esta forma tem um formato mais fácil parta o caso de um campo homogéneo de uma corrente recta: 
 ),(..0 HllsenHI
rrr μ= (24.8) 
 
§ 25. Campo magnético de correntes volumétricas e superficiais. 
 
O conceito de correntes lineares introduzido até agora corresponde a uma situação ideal. Na prática, 
todas as correntes são volumétricas. Transformemos um elemento da corrente linear num elemento de 
corrente volumétrica. Escolhamos no campo da corrente volumétrica um cilindro recto elementar de 
comprimento dl com base dS, perpendicular à corrente dI, que passa através deste cilindro. 
 Uma vez que a secção dS é um infinitésimo, pode-se considerar ld
rΙ como um elemento de corrente 
linear. Partindo da igualdade dI = j.dS, obtemos: 
 dVjljdSdld
→==Ιd rr (25.1) 
Onde o sinal de vector passou de ld
r
para . A expressão j.dV é um elemento da corrente volumétrica. 
→
j
Usando esta mudança, reescrevemos a expressão (24.4) para uma corrente volumétrica: 
 dV
r
rxjH 34
d π
→→
→ = (25.2) 
 
 
Figura 3.1 Corrente linear Figura 3.2 Corrente superficial Figura 3.3 Corrente Volumétrica 
Para calcular a intensidade de campo magnético criado pela corrente que flui no volume V, devemos 
integrar por todo o volume: 
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 dV
r
rxj
v
∫= 341H
rrr
π (25.3) 
Às vezes temos que analisar uma corrente superficial e, correspondentemente, a densidade superficial da 
corrente. Imaginemos que o campo fluí pela superfície S. Por definição, a densidade superficial da 
corrente é o vector cujo sentido coincide com o da velocidade das cargas positivas e é numericamente 
igual à corrente que flui através de um segmento de comprimento unitário, perpendicularmente ao 
sentido do movimento das cargas: 
→
i
 n
dh
d ri
r Ι= (25.4) 
Onde é um vector unitário perpendicular a dh. Transformemos o elemento de corrente linear em 
elemento de corrente superficial 
nr
 dSi
dh
dhlddld
r
d
rr =⋅⋅Ι=Ι. (25.5) 
 (O sinal de vector passou de ld
r
 para i
r
); rescrevamos a expressão (24.4 ) para o campo do elemento 
de corrente superficial: 
 dS
r
rxiH 34πd
rrr = (25.6) 
e, daqui, o campo resultante: 
 dS
r
rxi
S
∫= 341H
rrr
π (25.7) 
Nestas variantes da lei de Biot–Savart – Laplace, não entra explicitamente o valor da permeabilidade 
magnética μ, isto é, elas podem ser usadas para o cálculo do campo magnético tanto para o vácuo como 
para uma substância. 
 
§ 26. Lei da corrente total. Equação diferencial do campo magnético de corrente constante ( 1ª 
equação de Maxwell). 
 
O método de cálculo da intensidade do campo magnético de uma corrente com base da Lei de Biot– 
Savart – Laplace não é o único. Mais abaixo iremos mostrar outros métodos de resolução desta questão 
e que permitem demonstrar propriedades importantes dos campos magnéticos de correntes eléctricas. 
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Seja I a corrente num fio condutor longo e recto (figura 3.4). Analisemos a circulação do vector 
→
H
através da linha de força L (circunferência de raio R ) a projecção Hl na tangente à linha de força do 
campo magnético, é igual à intensidade determinada para o caso de um fio condutor infinito 
R
I
π2 . Por 
isso, a circulação de 
→
H será: 
 
 Ι=== ∫∫→→ dlRIdlHdlH LlL π2∫L (26.1) 
 
Daqui segue que a circulação não depende do raio da linha de força escolhida. Pode-se demonstrar que 
ele também não depende nem da forma do condutor, nem da forma do circuito à volta do qual se faz o 
contorno. Usando a definição da magnetostática clássica, de que a intensidade do campo magnético H é 
igual à força com a qual o campo actua num pólo magnético unitário, então a circulação pode ser tratada 
como trabalho para mover um pólo unitário por um caminho fechado. (Há uma certa semelhança com a 
circulação). 
 3 
 
 
 
 
 
 I1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analogamente ao caso do circuito eléctrico, onde a circulação do vector eléctrico é o trabalho para 
mover uma carga unitária ao longo de um circuito fechado e que se chama força electromotriz, então a 
circulação do vector 
→
H chamar-se-á força magnetomotriz. 
 
 
Ι== →→∫ dlH
L
mε
 
(26.2) 
 
 
 
Figura 3.4 Circulação do vector intensidade do campo 
magnético 
 
 
Figura 3.5. Lei da corrente total, 
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Seja S, a superfície delimitada pela linha L (figura 3.5.) e na qual passam correntes I1, I2, I3, ….etc. Por 
força das propriedades acima indicadas do vector H
r
 a expressão (26.2) pode ser generalizada para: 
 
k
kL
m dlH Ι== ∑∫ →→ε (26.3) 
Onde ΣIk - é a soma algébrica das correntes que atravessam a superfície S. A equação (26.3) chama se 
normalmente Lei da Corrente Total. Para o caso particular em que temos N correntes iguais passando 
através da superfície S. 
 NIdlH
L
m .==
→→∫ε
 
(26.4 ) 
Nas equações de (26.1) até (26.4 ) fala-se de correntes lineares. É claro que a lei da corrente total (26.3) 
pode ser generalizada mesmo para o caso da corrente volumétrica, substituindo ∫∑ = dSjI n
 
∫=
s
nl dSjdlH∫
L
∫
s
 
(26.5) 
Daqui vem a principal diferença entre o campo electrostático e o campo magnético estacionário: no 
primeiro caso a circulação do campo eléctrico é igual a zero, enquanto que para o segundo caso, 
isto é para o campo magnético, a circulação pode ser diferente de zero. 
Transformemos a parte esquerda de (26.5 ) usando o teorema de Stokes: 
 
 (26.6) ∫=→
s
n SdjSdHrot
rrrr
.
Esta expressão é válida para quaisquer tamanhos e orientações dos circuitos no espaço e, por isso, as 
expressões sob o sinal de integral podem se igualar: 
 ou nn jHrot
rr = jHrot rr = (26.7) 
 
Esta é a expressão da 1ª equação de Maxwell para o campo magnético de correntes constantes. As 
equações (26.5) e (26.7) expressam a propriedade fundamental do campo magnético das correntes, o seu 
carácter rotacional. 
O campo eléctrico 
→
E é causado por fontes (cargas) enquanto que o campo magnético estacionário é 
causado pela corrente e o campo magnético de correntes é devido ao rotacional. As linhas do campo 
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magnético de correntes são fechadas; elas não têm início nem fim. Por outras palavras, não existem 
fontes ou cargas magnéticas. Isso expressa-se matematicamente da seguinte maneira: 
 (26.8 ) 0=
→
Hdiv
 
Assim, para o campo magnético estacionário de correntes num meio homogéneo, é válido o seguinte 
sistema de equações: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=
⇔⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
∫ ∫
∫ ∫
v s
n
L s
n
n
dSHdVHdiv
dSjldH
Hdiv
jHrot
00
r
rr
r
r
 (26.9) 
 
§ 27. Potencial vectorial de campos magnéticos estacionários longe de materiais magnéticos. 
 
Ficou demonstrado acima que o cálculo do campo eléctrico pode ser muito facilitado às vezes, com a 
introdução do potencial eléctrico escalar ϕ e posterior uso da sua ligação com a intensidade →E : 
ϕgradE −=r 
Uma dependência análoga de um potencial escalar magnético mϕ da intensidade Hgrad m
r−=ϕ não 
tem nenhum sentido uma vez que esta dependência iria pressupor a existência de campos potenciais e, 
por conseguinte de fontes de campo (cargas magnéticas). 
Para o cálculo da intensidade do campo magnético de correntes introduz-se um potencial vectorial. Para 
este fim, transformemos a expressão sob o sinal de integral de uma das Leis de Biot-Savart - Laplace: 
(por exemplo, a fórmula (25.3)), 
Tendo em conta a igualdade demonstrada no §11, 3
1
r
r
r
grada
r
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , então podemos escrever: 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= j
r
grad
r
gradj
r
rxj
aa
rrrr 11
3 
 
O índice a significa que o ponto onde se encontra a fonte considera-se que está em repouso 
enquanto que o ponto de observação, está em movimento. Usando uma fórmula conhecida da 
análise vectorial, 
 
( ) [ ] arotagradarot rrr ... ϕϕϕ += 
E considerando ,1 jae
r
rr ==ϕ obteremos: 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 64 
 
 
jrot
r
j
r
grad
r
jrot aaa
r11 +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= →
→
 
 
 
Uma vez que o valor do vector j no elemento dV não depende da deslocação do ponto de 
observação, então 0=jrota
r
, o que é fácil demonstrar através da decomposição do operador 
rotacional pelas suas componentes: 
 
 
( ) ( ) ( ) 0,,,, 000000 =∂∂−∂∂= z zyxjy zyxjjrot yzxa r e etc. 
Assim: 
 
3
1
r
rxjj
r
grad
r
jrot aa
rrrr =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
(27.1) 
E (25.3) pode-se transformar para 
 
 dV
r
jrotH
v
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∫→
r
π4
1 (27.2) 
 
Uma vez que a diferenciação para o cálculo de rotacional faz-se pela coordenada do ponto de 
observação e a integração pelo volume do condutor com corrente, podemos trocar a sequência 
das operações rotacional e integral: 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∫ dVrjrotH v
rr
π4
1
 
(27.3) 
Introduzindo a grandeza dV
r
jA
v
o ∫=
rr
π
μ
4
 (27.4) 
A equação (27.3) tomaa seguinte forma: 
 
 
ArotH
rr
0
1
μ= 
 (27.5) 
→
A é o potencial vectorial ou “vector potencial do campo magnético”. O índice sob a 
operação rotacional pode ser retirado uma vez que A é sempre função das coordenadas do 
ponto de observação. Assim a intensidade do campo pode ser imaginada como um rotacional de 
um certo campo vertical A , chamado potencial vectorial ou vector potencial de campo 
magnético. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 65 
 
Diferentemente do potencial escalar φ que é introduzido com base nas relações energéticas, o 
potencial vectorial é introduzido formalmente a partir de definições matemáticas. 
Analogamente, podem se escrever os potenciais vectoriais para uma distribuição linear e 
superficial de correntes: 
 
dS
r
iA
s
∫
→
→ = π
μ
4
0 (27.6) 
 
dl
r
eA
l
∫
→
→ = π
μ
4
0
 
(27.7) 
A cada um dos integrais (27.4), (27.6) e (27.7) correspondem três componentes escalares do tipo 
 
. 
 
Comparando as expressões para o potencial vectorial (27.4), (27.6) e (27.7) com a equação para 
a intensidade do campo magnético (25.3), (25.7) vê-se que as primeiras são as mais simples. Por 
isso, para resolver problemas de cálculo da intensidade do campo de correntes, procede-se da 
seguinte maneira: determina-se primeiro o potencial vectorial de onde se passa para a 
intensidade do campo magnético. 
Da expressão 
r
jdVAd
→
→ = π
μ
4
0 segue que o vector potencial é paralelo à corrente. 
 
 
§ 28. Equação de Poisson – Laplace para o potencial vectorial longe de substâncias magnéticas. 
 
 
Às vezes a questão de determinação do potencial resolve-se mais facilmente se se partir da 
equação diferencial de Poisson-Laplace. Obtenhamos, pois, esta equação usando a definição do 
potencial vectorial (27.5) e a equação diferencial do campo correntes constantes (26.7). 
Colocando esta última equação obtemos: 
 jArotrot
rr
0μ= (28.1) 
Usemos a fórmula da análise vectorial: 
 (28.2) 
→→→ Δ−= AAgraddivArotrot
Onde zyx AkAjAiA Δ+Δ+Δ=Δ
→→→ r
dV
r
dxA
v
x ∫= πμ4 0
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 66 
 
sem nenhumas limitações podemos considerar 
 (28.3) 0=
→
Adiv
de onde segue que 0=Agraddiv r e a equação (28.1) pode se reescrever como: 
 
 jA
rr
0μ−=Δ (28.4) 
 
Esta é a equação de Poisson que se aplica para pontos com corrente. Quando não se tem 
corrente nos pontos, esta equação chama-se equação de Laplace que tem o seguinte aspecto: 
 
 0=ΔA
r
 
 
Sintetizando: 
 
dV
r
rE
v
∫= 3
0
.
4
1 rr ρ
πεε ∫ ×= v dVr
rjH 34
1 r
rr
π (28.5) 
 
 ϕ ∫=
v
dV
r
ρ
πεε 04
1 ∫=
v
dV
r
jA
rr
π
μ
4
0 (28.6) 
 
 0εε
ρϕ −=Δ jA rr 0μ−=Δ (28.7) 
 ϕgradE −=
→
ArotH
rr
0
1
μ= (28.8) 
 
As equações (28.5), (28.6) e (28.7) para o campo electrostático são para meios dieléctricos 
homogéneos. Para o vácuo, a permeabilidade relativa ε desaparece no denominador. 
Analogamente, as equações para o campo magnético (28.5 ) são para um meio homogéneo e 
(28.6) - (28.7) para o vácuo. 
 
§ 29. Campo magnético de correntes constantes em materiais magnéticos homogéneos. Vector 
indução magnética  ܤሬሬሬറ 
 
Nos parágrafos anteriores estudou-se o campo magnético de correntes na ausência de materiais 
magnéticos, isto é, no vácuo, para o qual µ = 1. Para a maior parte das substâncias, no entanto, o valor 
da permeabilidade magnética relativa µ, difere de 1 em muito pouco e, por isso, numa primeira 
aproximação, as fórmulas são também válidas para esses casos. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 67 
 
Quando no campo se introduz um ferromagnético, não é possível desprezar a sua influência. Neste 
capítulo, analisam-se apenas campos magnéticos de correntes constantes que, como se sabe, são linhas 
fechadas. Lembremos os conceitos relacionados com o campo magnético de uma corrente circular 
fechada. As suas propriedades magnéticas caracterizam-se pelo momento magnético ݌റm: 
 
݌റm = IS ሬ݊റ                                                                                      ሺ29.1ሻ 
 
Onde I - é a corrente linear do circuito plano, S – a superfície delimitada pelo circuito e ሬ݊റ െ um vector 
unitário normal, no cento desta superfície. O sentido desta normal está relacionado com o sentido da 
corrente pela regra do parafuso direito. 
Ampère pela primeira vez afirmou que os portadores elementares das propriedades magnéticas das 
substâncias são as correntes intramoleculares. Do ponto de vista moderno, os portadores elementares das 
propriedades magnéticas das substâncias são os momentos magnéticos orbital e spínico do electrão 
atómico ݌റml e ݌റms. O momento magnético resultante do átomo, 
 
 ݌ሬሬሬറma =  ∑  ሺ ሬܲറ௠௟ ൅ ݌റ௠௦ሻ (29.2) 
 
é a soma algébrica dos momentos magnéticos de todos os electrões. 
O campo magnético criado pelo momento magnético a uma 
distância r, muito maior que as dimensões lineares do 
circuito, pode ser, também calculado como o campo do 
dipolo eléctrico (§ 11). O momento de força que age sobre o 
momento magnético externo, depende do momento 
magnético da corrente fechada. Para o momento de força é 
válida a equação: 
 
 ܭሬሬറ = ݌റ௠ ൈ  μ0ܪሬሬറ (29.3) 
 
Que é análoga à expressão do momento das forças que 
actuam num momento dipolar eléctrico. Como no caso electrostático, pode-se escrever a energia do 
momento magnético num campo externo homogéneo. 
 
 
Figura 3.6. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 68 
 
Suponhamos que no campo da corrente que flui por um selenóide se introduz uma substância magnética. 
Sob a acção do campo magnético ela se magnetiza. O mecanismo deste fenómeno de magnetização 
consiste na orientação dos momentos magnéticos microscópicos ao longo do campo externo. 
O estado magnético da substância é caracterizado pelo vector magnetização – soma geométrica dos 
momentos magnéticos dos átomos (ou moléculas) por unidade de volume. 
 
ܬറ = ∑݌റ௠௔ (29.4) 
 
Onde ܬറ - é o análogo magnético do vector polarização ݌റ. Como foi visto antes, a intensidade do campo 
das correntes ܪሬሬറ não muda quando o campo é preenchido por um magnético homogéneo. 
Isto é assim, porque na lei de Biot – Laplace não entra a grandeza µ e deve-se ao facto de o campo do 
vector ܪሬሬറ ser devido apenas às correntes macroscópicas (chamadas correntes de condutividade). 
O caso de um magnético homogéneo preenchendo todo o campo é fácil de realizar com o auxílio de uma 
argola com um enrolamento condutor, com corrente(figura 3.7). Neste caso, a fórmula de intensidade 
do campo do solenóide (ܪ ൌ  ூ೙
௟
, ݋݊݀݁ ݈ െ ݈݄݅݊ܽ ݉é݀݅ܽ ݀ܽ ܽݎ݃݋݈ܽ) é exacta. O campo da toróide é 
homogéneo e está todo localizado dentro do volume da argola. 
Na presença de um núcleo magnético, ao campo primário 
ܪሬሬറ଴ das correntes macroscópicas nos condutores do 
enrolamento, soma-se o campo adicional H’ሬሬሬറ das correntes 
moleculares ordenadas. A soma algébrica de ܪሬሬറ଴ e ܪሬሬറ
’ é o 
vector indução magnética do campo ܤሬറ: 
 
ܤሬറ ൌ ܪሬሬറ௡ + H’ሬሬሬറ                                                                    (29.5)    
Desta maneira, no sistema CGS, os vectores ܤሬ
 
റ e ܪሬሬറ têm a 
mesma unidade e a constante que os liga não tem 
unidades: 
 
ܤሬറ = µܪሬሬറ଴ (29.6) 
 
No sistema CGS, [ܤሬറ] mede-se em Gauss; para H0 = 1 ሷܱ e (1 Oersted), a indução é 1µGs. No sistema SI a 
ligação é outra: 
 
 
 
Figura 3.7. 
Manual Universitá  d mica Cl a – R rio Ut i  Página 69 rio e Electrodinâ ássic ogé hu
 
ܪሬሬറ଴ + ’ Hሬሬሬറ = 
஻ሬറ
ஜబ
 (29.7) 
ܤሬറ = µμ଴ܪሬሬറ଴ (29.8) 
 
No vácuo, ܤሬറ = μ଴ܪሬሬറ଴. Com se disse antes, μ଴ = 4ߨ ൈ 10ି଻ Henry/metro, µ - não tem unidades; [B] – 
Tesla, [H] – Ampere/metro. 1 Tesla = 10ସ Gauss. 
o 
Assim, o campo do vector ܪሬሬറ é criado pelas correntes de condução, que se caracterizam pela densidade 
volumétrica ଔറ e densidade superficial ଓറ; o campo H’ሬሬሬറ é criado pelas correntes de cargas ligadas nos átomos 
e moléculas (correntes moleculares) que são caracterizadas pela densidade volumétrica ܬറ௠௢௟ e densidade 
superficial ଓറ௠௢௟, enquanto que o campo do vector ܤሬറ é criado tanto por umas como por outras correntes. 
Da mesma maneira introduzem-se potenciais vectoriais ܣറ଴ – potencial vectorial na ausência do 
magnético, A’ሬሬറ - potencial vectorial do campo criado pelas correntes moleculares ordenadas e ܣറ-vector- 
potencial do campo causado por estas e aquelas correntes: 
 
ܣറ = ܣറ଴ + A’ሬሬറ (29.9) 
 
Nas fórmulas no § 27 referimo-nos ao campo no vácuo, cujo vector potencial representamos agora por 
ܣറ଴. Para ele foi escrito que: [veja (27.4) e (27.6)]. 
 
ܣറ଴ = 
ஜబ
ସగ
 ׬ ఫറ
௥௩
݀ݒ + ஜబ
ସగ
׬
పറ
௥௦
݀ݏ (29.10) 
 
Onde ଔറ e ଓറ - são as densidades volumétrica e superficial, respectivamente, das correntes de condução. 
Analogamente, 
A’ሬሬറ = ஜబ
ସగ
 ׬ ௃
റ೘೚೗ 
௥௩
݀ݒ + ஜబ
ସగ
׬
పറ೘೚೗
௥௦
݀ݏ (29.11) 
 
E vem o vector – p tencial resultante:o 
ܣറ = ஜబ
ସగ
 
 ׬ ሺఫറ ା ௃
റ೘೚೗ሻ 
௥௩
݀ݒ + ஜబ
ସగ
׬
ሺ పറ ା పሬሬറ೘೚೗ሻ 
௥௦
݀ݏ (29.12) 
 
Reescrevamos a fórmula (27.5) tend m conta estas igualdades: o e
 ܪሬ
 
ሬറ = ଵ
ஜబ
 rot ܣറ଴ e H’ሬሬሬറ = 
ଵ
ஜబ
 rot A’ሬሬറ 
 
Donde se obtém eq aç o ܤሬ a u ã para റ: 
 
ܤ ሬሬሬറ= μ଴(ܪሬሬറ ൅ H’ሬሬሬറ ) = rot ܣറ଴ + rot A’ሬሬറ = rot ܣറ (29.13) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 70 
 
 
Onde a contribuição das correntes moleculares é tida em conta através de H’ሬሬሬറ (e não através de µ). Em 
(28.4), obtivemos a equação diferencial do potencial a partir da equação diferencial do campo de 
correntes, colocando div ܣ = 0. Assim, റ
rot ܪሬሬറ = ଵ
బ
 
ஜ
 rot rot = ܣറ଴ െ 
ଵ
ஜబ
 = ; ∆ ܣ െ μ∆ܣറ଴ ଔറ റ଴= 0ଔറ; 
rot H’ሬሬሬറ = ଵ
ஜబ
 rot rot A’ሬሬറ = െ ଵ
ஜబ
 ∆ A’ሬሬറ = ଔറmol; ∆ A’ሬሬറ = െ μ0ଔറmol; 
 
usando (29.8) e (29.13) obtemos: 
 ܤ ሬ
 
rot ሬሬറ = r
 ∆ܣറ = െµµ0ଔറ (29.15) 
 rot ot ܣറ = െ∆ܣറ = μ0 (ଔറ൅ ܬറ௠௢௟) = µµ0ଔറ (29.14) 
isto é: 
 
Antes foi demonstrada a semelhança entre os vectores ܦሬ
 
ሬറ e ܪሬሬറ .: o campo do vector ܦሬሬറ é devido às 
cargas livres e o campo do vector ܪሬሬറ ,  ao movimento de cargas livres. Por outro lado, o campo do 
vector ܧሬറ é devido tanto às cargas livres como ligadas, e o campo do vector ܤሬറ também ao movimento 
das cargas livres e ligadas. 
Desta maneira não há uma correspondência na escolha dos nomes de ܪሬሬറ  e ܤሬറ , devido a questões 
históricas. A nomenclatura mais lógica seria ܤሬറ – vector intensidade e ܪሬሬറ  - indução do campo 
magnético. 
Para o vector ܤሬറ é válida a equação: 
 
div ܤሬറ = 0 (29.16) 
 
Passemos à forma integral das equações (29.14) e (29.16): 
 
׬௦ n ܤሬݎ݋ݐ റdS = ldl = μ0 ׬ ሺଔറ൅ ܬറ௠௢௟ሻௌ dS (29.17) ׯ ܤ௅
׬ ݀݅ݒ௏ ܤሬറdV = ׯ ܤௌ ndS = 0 (29.18) 
 
Na fórmula (29.18) figura uma grandeza importante, o fluxo da indução magnética através de uma 
superfície fechada. 
 ׯ ܤௌ ndS ؠ ׬ ܤሬ റௌ d റܵ = ׎ (29.19) 
 
O fluxo do vector ܤሬറ mede-se em Webber. 1 Webber = 1 Tesla x m2. No sistema de Gauss, o fluxo da 
indução magnética mede-se em Maxwell (Mx); 1Mx = 1Gs x 1 cm2. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 71 
 
Uma vez que 1 Tl = 104Gs, então 1 Wb = 104Gs כ 104cm2 = 108 Mx. Notemos, para terminar, que a 
força com a qual o campo magnético actua num fio com corrente num campo magnético homogéneo, é 
determinado pelo vector ܤሬറ. Pela lei de Ampere, 
dܨറ = µµ0Idറ݈ ൈ ܪሬሬറ = Idറ݈ ൈ ܤሬറ 
E para as correntes volum ricas, ét
dܨറ = µµ0ܬറ ൈ ܪሬ
 
ሬറ dV= ܬറ ൈ ܤሬറ dV (29.20) 
 
§ 30. Sistema completo das equações de Maxwell para campos magnéticos estacionários em 
substâncias magnéticas. Condições de fronteira dos vectores H e B. 
 
Resumamos os principais conceitos sobre o campo magnético estacionário em substâncias magnéticas. 
O campo do vector ܪሬሬറ é determinado pelo rotacional que é a corrente de condução. O campo do vector ܤሬറ 
não tem fontes. As equações de Maxwell para os campos magnéticos destes campos são: 
 
ቊݎ݋ݐ ܪ
ሬሬറ ൌ   ܬറ
div ܤሬറ ൌ 0
 (30.1) 
 
E a respectiva equação de ligação é: ܤሬറ = µµ0ܪሬሬറ . 
 
Na forma integral as fórmulas (30.1) têm o seguinte aspecto: 
 e e de auss: no sist ma G
 
 ൞
ݎ݋ݐ ܪ ሬ
 
ሬሬሬറ ൌ   ସగ
௖
ܬറ  
݀݅ݒ ܤሬറ ൌ 0
ܤሬറ ൌ  ܪ ሬሬሬሬറ
 (30.2) 
 
 
a) Comportamento de vector indução magnética na fronteira entre dois meios. 
 
Em analogia ao que foi feito no §17, escolhamos na superfície de separação entre dois magnéticos 
quaisquer, uma superfície elementar ∆ܵ e construamos nele um prisma rectangular. O fluxo Φ do vector 
indução através deste prisma é composto pela parte do fluxo através das bases e pelo fluxo ׎ᇱ através 
dos lados. Analogamente a (17.4) teremos: 
 
 ׎ = ׯ ܤௌ ndS = (B2n െ B1n) ∆ܵ + ׎
ᇱ= 0 
 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 72 
 
Comprimindo o prisma sem limites até ao plano, a componente do fluxo pelas faces laterais ׎ᇱ ՜ 0 
tende para zero, de onde segue B2n െ B1n = 0 , isto é: 
 
B2n = B1n (30.3) 
 
A componente normal do vector indução magnética na fronteira entre dois meios é contínua. 
 
b) comportamento do vector intensidade do campo magnético na fronteiraentre dois meios. 
 
O comportamento da componente normal do vector ܪሬሬറ, na fronteira entre dois meios segue da equação 
(30.3). Colocando, nesta fórmula, Bn= µµ0Hn, obteremos: 
 
 µ µ0H = µ2 µ0H2n ou 1 1n
ுమ೙
ுభ೙
 
 = ஜଵ
ஜଶ
 (30.4) 
 
Isto é, a componente normal do vector intensidade ܪሬሬറ, na fronteira entre dois meios, sofre um salto, 
cuja magnitude depende da relação entre as permeabilidades relativas dos dois meios. 
Analogamente ao §17 demonstra-se que a componente tangencial do vector intensidade também 
experimenta um salto. 
H2߬ – H1߬ = in (30.5) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 73 
 
 
 
Figura 4.1. 
CAPÍTULO IV 
CAMPO MAGNÉTICO QUASE ESTACIONÁRIO 
 
§ 31. Condições de quase estacionariedade 
 
Prestemos atenção ao facto de que em todas as equações acima analisadas para vectores e potenciais de 
campo, não entra o tempo de forma explícita. O facto de φ,  ܧሬറ, ܣറ, ܪሬሬറ não dependerem do tempo significa 
que são estacionários. O significado físico disto é que os vectores dos potenciais e campos (bem como 
das outras grandezas com eles relacionados como força, fluxo de vectores, etc.) num dado momento, 
depende apenas da distribuição das cargas e correntes: δ, σ ଔറ e ଓറ. Esses campos estacionários são 
causados por cargas em repouso e correntes constantes (estacionárias). 
Para correntes variáveis, quando as densidades de cargas e correntes variam continuamente, devemos 
determinar como irá variar o campo causado por 
eles: sincronizadamente, com adiantamento ou 
atraso em relação a corrente que o criou. 
Imaginemos que num intervalo de tempo 
infinitamente pequeno dt, no ponto M do condutor a 
densidade da corrente muda em dଔറ (figura 4.1). 
Como esta mudança da corrente está associada uma 
mudança do campo à volta. 
Mas essa variação do campo irá ocorrer antes, ao 
mesmo tempo, ou depois da variação da corrente 
que o causa? É claro que não pode haver um adiantamento, se assumirmos que existe um nexo causa e – 
efeito entre o campo e a corrente que o gera. Na primeira metade do séc. XIX, ficou aceite em geral que 
a mudança do campo ocorria simultaneamente com a mudança da corrente que a causa, isto é, há uma 
transmissão instantânea das variações do ponto M ao ponto A sem participação do meio. Essa variação a 
distância assim se chamava “action in distans” . 
Outros cientistas partilharam do ponto de vista da teoria da acção à curta distância (isto é, transmissões 
das variações com velocidade finita) 
Maxwell teve um papel muito importante nisto, ao introduzir o conceito de grandezas e processos locais, 
relacionados com volumes infinitamente pequenos, pontos. De acordo com Faraday e Maxwell (que 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 74 
 
encontram a formulação matemática das descobertas do primeiro), a mudança da corrente no ponto M 
causa a mudança do campo nos pontos vizinhos o que permite uma transmissão no espaço de forma 
parecida com a de uma onda. 
A acção do processo dum ponto sobre o processo do ponto vizinho, isto é, a transmissão do sinal ocorre 
com uma velocidade finita v e, por isso, a mudança do campo no ponto A ocorre depois do que a sua 
causa. O tempo de atraso ∆ݐ ൌ   ௥
௩
 . Hertz (1857 - 1894) demonstrou pela primeira vez o atraso na 
transmissão dos sinais, usando correntes que variavam rapidamente (correntes de altas frequências). 
Do que foi dito segue que, num campo variável, os valores dos potenciais e dos vectores do campo num 
momento dado t, são definidos pela distribuição das grandezas δ, σ ଔറ e ଓറ que existiam num certo instante 
anterior t - ∆ݐ = t - ௥
௩
 . 
Todavia, existem campos variáveis que a primeira aproximação podem-se descrever com as leis dos 
campos estacionários. Esses campos são quase-estacionários. 
 
condições de quase – estacionariedade 
1. Os campos variáveis devem, em cada instante, ter o mesmo valor em todos os pontos de um circuito 
não ramificado, isto é, as oscilações da corrente em todos os pontos da linha devem coincidir em fase. 
Isso significa que o comprimento das linhas de transmissão da corrente deve ser menor quando 
comparado com o comprimento de onda λ da onda electromagnética que se propaga com velocidade da 
luz com a linha. Para uma frequência f = 50 Hz, por exemplo, 
 
 λ = ௖
௙
 = ଷ כ ଵ଴
ఴ
ହ଴
 = 6 כ 106 = 6000 Km. 
 
Para linhas dentro de uma cidade, por exemplo, esta condição cumpre-se. Em linhas muito longas 
(Cahora Bassa por exemplo) pode haver uma deslocação na fase de 600 entre a corrente no início e a 
corrente no final da linha. 
2. O ponto de observação deve distar das linhas em valores menores que λ. Assim podemos desprezar 
este atraso e considerar que a mudança no campo e na corrente ocorrem sincronicamente. 
 
§ 32. Lei de indução electromagnética na forma diferencial (II Equação de Maxwell) 
Faraday (1791-1863) descobriu em 1831 a indução electromagnética. Este é um dos processos mais 
fundamentais na física. Ela está relacionada com a geração industrial de correntes e 1831 considera-se o 
ano do nascimento da electrotecnia. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 75 
 
Faraday descobriu que qualquer mudança no fluxo da indução magnética através de um circuito, nele se 
induz uma f.e.m, que por sua vez produz uma corrente induzida. 
Seja L um circuito de um fio que abarca uma superfície S, 
avessada por um fluxo variável ׎ , cujo valor instantâneo é: atr
׎ = ∫ BndS. 
S
Como se sabe a f.e.m induzida ε é proporcional a velocidade da 
mudança do fluxo. 
 ε = - 
dt
dΦ (32.1) 
 
O sinal (-) nesta lei, expressa a regra de Lenz: “a corrente 
induzida tem um sentido que, com o seu campo magnético contraria a causa que o fez aparecer”. 
Maxwell explicou extraordinariamente a lei de indução electromagnética. Uma vez que qualquer 
corrente é criada por um campo eléctrico, então a corrente induzida no circuito é também causada por 
um campo eléctrico, criado por sua vez pelo fluxo variável da indução magnética. Independentemente da 
existência ou não, no local, do circuito do fio. Este, serve apenas para “visualizar” e utilizar na prática o 
campo eléctrico. 
Assim, segundo Maxwell, qualquer fluxo variável da indução magnética cria um campo eléctrico cujas 
linhas são fechadas e circundam o fluxo magnético. 
Analisemos a circulação do vector E num circuito fechado, abarcado por um fluxo variável ׎ . 
 
ε = ∫
L
E l dl = - dt
dΦ (32.2) 
 
Introduzindo a fórmula do ׎ definido acima em (32.2), teremos: 
 
∫
L
E l dl = - dt
d ∫
S
BndS (32.3) 
 
Transformemos a parte esquerda da equação (32.3) pelo teorema de Stokes 
 
∫
S
rotn E Ds = - ∫
S t
Bn
∂
∂ dS (32.4) 
 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 76 
 
A passagem para a derivada parcial em (32.4) expressa o facto de que estamos a falar da mudança do 
vector B num ponto dado do espaço. 
Uma vez que (32.4) é válido para qualquer superfície S, podemos igualar as expressões sob o sinal do 
integral. 
rot E = - 
t
B
∂
∂ (32.5) 
 
Esta é a segunda equação de Maxwell na sua forma diferencial. Tendo emconta que o rotacional é uma 
operação deferencial pelas coordenadas, esta equação de Maxwell significa que: a mudança do vector B
com o tempo causa mudança do vector E no espaço. 
 
§ 33. Primeira equação de Maxwell 
No § 26 foi obtida a equação diferencial para o campo magnético de correntes constantes: 
 
 rot ܪሬሬറ = ଔറ 
 
Maxwell complementou esta equação com um novo tipo de corrente, não relacionada com o movimento 
de cargas ao longo do circuito. Imaginemos que o circuito de corrente variável está ligado um 
condensador C. Como se diz em electrotecnia, “um condensador não é uma interrupção no circuito de 
corrente variável, embora o campo de condução se interrompa de facto”. 
De acordo com Maxwell, no espaço entre as placas do 
condensador aparece um novo tipo de campo que fecha o 
circuito da corrente de condução. Maxwell chamou a esta 
corrente de deslocamento. 
Entre as placas do condensador existe um campo eléctrico 
variável e uma polarização do dieléctrico, causado por aquele. 
Estas é que são correntes de deslocamento. Para determinar a 
corrente de deslocamento, Maxwell usou a primeira regra de 
Kirchoff para as correntes de condução e de deslocamento. 
Olhemos para o circuito com condensador: no primeiro meio 
período a corrente de condução flúi para a placa do condensador e acumulam-se cargas. No semi-
período seguinte, a corrente flui da placa e as cargas dissipam-se e a corrente de condução flui no 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 77 
 
sentido contrário. Se envolvermos parte do espaço por uma superfície fechada S então, de acordo com a 
lei da conservação das cargas eléctricas, teremos: 
 
 ∫∫∑ −=−==
V
S
S
n dVdt
d
dt
dQDjI ρ (33.1) 
 
Este caso já vimos em § 23 e conduziu a: 
 
 divଔറ= -
dt
ρ∂ 
 
Introduzamos o conceito da corrente total como soma das correntes de condução e de deslocamento. Ao 
analisarmos a corrente alternada num circuito com um condensador, admitimos que as correntes de 
condução e de deslocamento tinham um caracter local (a primeira nos condutores – fios, e a segunda, no 
espaço entre as placas do condensador). No qual, estas correntes podem fluir nas mesmas partes do 
espaço e, por isso, introduz-se o conceito de densidade da corrente total J total, como a soma 
geométrica das densidades da corrente de condução J e da corrente de deslocamento J desl. 
 
J total = J + J desl. (33.2) 
 
Com forme como foi visto antes, a primeira regra de Kirchoff é válida para a corrente total: 
 
div J total = div ( J + J desl) = 0 (33.3) 
 
isto é, as linhas de corrente total devem ser contínuas. Daqui, segue que: 
 
div J = - div J desl. 
 
Esta igualdade significa que em cada instante a corrente de condução que entra para dentro de um 
volume unitário é igual à corrente de deslocamento que dele sai e vice – versa. 
Tendo em conta a equação de continuidade para a densidade de corrente, é válida a igualdade: 
 
div J desl = dt
ρ∂ (33.4) 
derivemos a relação entre a corrente de deslocamento e o vector indução eléctrica D , que caracteriza o 
estado do meio no qual se observa a corrente de deslocamento. Como se sabe, div D = ρ, donde: 
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dt
ρ∂ = div 
t
D
∂
∂ 
 
Introduzindo esta equação em (33.4), obtemos: 
 
 div J desl = div t
D
∂
∂ 
 
da igualdade entre as divergências, passemos à igualdade entre os vectores: 
 
 J desl = t
D
∂
∂ = 
t∂
∂ (εε0 E ) (33.5) 
Isto é, a densidade de corrente de deslocamento é proporcional à taxa de variação do vector indução D . 
Esclareçamos, agora, a natureza física da corrente de deslocamento, a partir de (33.5). No § 13 
introduziu-se a relação entre os vectores D , E e a polarização P . 
 
 D = ε0 E + P . 
 
Colocando esta expressão na equação (33.5) temos: 
 
 J desl = ε0
t
E
∂
∂ + 
t
P
∂
∂ (33.6). 
Assim a corrente de deslocamento consiste de duas partes. O primeiro termo ε0
t
E
∂
∂ . É o campo 
eléctrico variado. É claro que, para o caso do vácuo, o segundo termo anula-se, uma vez que no vácuo, 
não existindo a substância polarizada, P = 0. Nesse caso, a corrente de deslocamento é a variação do 
campo eléctrico e não está ligada a movimentação das cargas. 
O segundo termo 
t
P
∂
∂ chama-se corrente de polarização num campo eléctrico variado. Este termo é 
responsável pelo movimento das cargas ligadas: se no dieléctrico tivermos um mecanismo electrónico 
de polarização, então as cargas positivas e negativas dentro da molécula trocam de lugar durante meio 
período de oscilação do campo; se for um mecanismo polar/de orientação, então ocorre uma 
reorientação dos dipolos. 
Nos metais a corrente de deslocamento é sempre muito pequena e por isso não se considera. Nos 
dieléctricos e nos semicondutores, a corrente de deslocamento pode ser da mesma ordem ou ser maior 
que a corrente de condução. 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 79 
 
A corrente de deslocamento, em relação às propriedades magnéticas, é equivalente à corrente de 
condução. 
Maxwell generalizou a equação diferencial de campos de correntes constantes, tendo em conta que o 
rotacional do vector H dependendo tanto das correntes de condução como das de deslocamento: 
 
 rot H = J total = J + J desl. 
 
Colocando a equação (33.5) teremos a primeira equação de Maxwell na forma diferencial 
 
 rot H = J + 
t
D
∂
∂ (33.7) 
 
Deste modo, o campo magnético é criado não só pelo movimento de cargas, mas também, pela variação 
do campo eléctrico. Para obter esta equação na sua forma integral, devemos multiplicar a componente 
normal dos vectores na equação (33.7) por dS e passar ao integral: 
 
 dSHrotn
S
∫ = dSJ n
S
∫ + dSDdtd S r∫ 
 
A parte esquerda pode ser transformada de acordo com o teorema de Stokes: 
 
∫∫∫ +=
SS
n
L
l DdSdt
ddSJdlH (33.8) 
 
Que é a primeira equação de Maxwell na forma integral. Deve-se sublinhar que a equivalência entre a 
corrente de deslocamento e de condução só é válida para efeitos magnéticos. Por exemplo, para uma 
corrente de deslocamento pura, não ocorre o efeito de aquecimento de Joule. 
 
§ 34. Função potencial da corrente num campo magnético 
 
Calculemos o trabalho do campo magnético durante o deslocamento de um circuito fechado linear L 
com com corrente I, constante. (veja a figura 4.). Suponhamos que cada elemento dl do circuito L, pode 
experimentar um deslocamento infinitamente pequeno q , podendo, até, se deformar. Pela lei de 
Ampere, sobre o elemento de corrente I dl no campo magnético externo com indução B , age uma força 
d F que realiza um trabalho: 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 80 
 
 
 q d F = I q [ dl B ] = d q [ q dl ]. 
 
Transformemos [ q dl ] = n dS, onde dS – elemento de 
superfície descrito pelo elemento do circuito dl ao se mover 
em q ; n éo vector normal unitário, viredo para fora. 
 
 q d F = I B n dS = IBnDs 
 
O trabalho total: 
 ∫= qAδ d F ∫
Δ
δ I
 = I dSB
S
n
Podemos escrever esta expressão sob a forma de uma diferença: 
 
 - dSBIA
SS
n∫
Δ+
= φφφ Δ=−=∫ IIdSB
S
n )(
'
Onde S é a superfície assente no circuito L e S + ΔS – no circuito L’; φ e φ′ são os fluxos através 
daquelas superfícies. 
 φ = ; dSBn
S
∫ φ′ = dSB
S
n∫
Δ
O valor do fluxo depende apenas da colocação do circuito L e não da forma da superfície S. Isto segue 
da definição B = rot A e do teorema de Stokes: 
 
 φ = = dSB
S
n∫ Arot
S
n∫ Ds = ∫
L
A d l = dlA
L
l∫ (34.1) 
 
Assim, o fluxo magnético através da superfície S pode ser calculado como a circulação do potencial 
vectorial A pelo circuito L, que delimita esta superfície. Assim, 
 
 φδ Δ= IA (34.2) 
 
Ou seja o trabalho do campo magnético para mover um circuito com corrente é igual ao produto da 
corrente pela variação do fluxo magnético através deste circuito. Introduzindo: 
 U = I φ× (34.3) 
 
a equação (34.2) pode ser escrita: 
 IUA )(δδ −= (34.4) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 81 
 
O índice significa corrente contínua (constante). Desta maneira o trabalho das forças do campo 
magnético é igual à diminuição da função U, a qual joga o papel de função potencial ou de força da 
corrente num campo magnético. 
 
§ 35. Energia de interacção das correntes. Coeficiente de indução mútua 
 
Tem-se dois circuitos lineares imóveis, 1 e 2. Sejam B 1 e A 1 os vectores do campo do primeiro circuito 
com corrente I1; correspondentemente B 2 e A 2 são os 
vectores do campo da corrente I2. 
Uma parte do fluxo magnético criado pela corrente I1 do 
circuito 1, passa através do circuito I2 (diz-se que estes 
circuitos estão indutivamente ligados). Indiquemos por 
12φ esse fluxo. O seu valor, depende da forma 
complicada, da forma e das dimensões de ambos os 
circuitos, da sua posição mútua, propriedades magnéticas 
do meio e da corrente I2. O fluxo 12φ e a corrente I1 estão ligados pela fórmula: 
 
 12φ = L12I1 (35.1) 
 
Onde L12 é o coeficiente da indução mútua que depende da geometria dos circuitos e das propriedades 
magéticas do meio. De acordo com (34.1) podemos reescrever: 
 12φ = L12I1 = ∫
2l
A dl 
Onde a integração se faz pelo segundo circuito de comprimento l2. Utilizando a fórmula (27.7) e 
considerando que existe um meio com permeabilidade μ , podemos escrever a equação para o vector 
potencial nos pontos do segundo circuito: 
 ∫=
2
10
1
4 l r
dlIA π
μμ 
Donde 
 12φ = ∫
2l
A 1 dl 2 = ∫
1
4
0
lπ
μμ ∫
2
21
l r
dldlI (35.2) 
 
(r é a distância entre os elementos dl1 e dl2) 
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Se a corrente for constante, entaão I1 pode-se tirar para fora do sinal de integral e, tendo em conta (35.1), 
pode-se obter a expressão para o coeficiente de indução mútua: 
 L12 = ∫
1
4
0
lπ
μμ ∫
2
21
l r
dldl (35.3) 
 
De forma análoga: 
 
 22121 IL=φ . 
 
Fazendo a mesma análise, podemos nos convencer de que: 
 
 L12 = L21 (35.4) 
 
Imaginemos que a corrente I1 varia e que, seguindo-lhe varia também o fluxo 12φ , o que lleva ao 
surgimento de uma f.e.m de indução: 
 )( 112
12
12 ILdt
d
dt
d −=−= φε (35.5) 
 
Caso ambos os circuitos sejam imóveis, as propriedades magnéticas do meio não variam, então L12 = 
const. e obtemos: 
 
dt
dIL 11212 −=ε (35.6) 
 
Se a corrente variar no segundo circuito, então surge uma f.e.m no primeiro circuito. O fenómeno de 
indução mútua está na base de funcionamento de um transformador. O núcleo de ferro do transformador 
serve para aumentar a ligação indutiva. Por sua causa ambos os enrolamentos são atravessados pelo 
mesmo fluxo. A energia magnética da corrente I2 no campo de corrente I1 é igual a: 
 
 W12 = -U12 = I2φ 12 = L12I1I2 (35.7) 
 
A energia magnética da corrente I1 no campo de corrente I2 expressa-se da mesma maneira: 
 
 W21 = -U21 = I1φ 21 = L21I2I1 
 
Caso as correntes I1 e I2 não sejam lineares então introduz-se as densidades volumétricas dos campos 
1J (no elemento do volume dV1 do primeiro circuito) e 2J . De acordo com a expressão (34.8), 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 83 
 
W12 = - U12 = 221
2
dVJA
V
∫ ; W21 = - U21 = 112
1
dVJA
V
∫ (35.8) 
 
Nestas equações podemos introduzir as expressões para os potenciais vectoriais 1A e 2A dos campos 
das correntes 1J e 2J . 
 
 1A = ∫
1
110
4 V r
dVJ
π
μμ ; 2A = ∫
2
220
4 V r
dVJ
π
μμ , 
Obtemos: 
2121
21210
1212
1 2
4
WU
r
dVdVJJUW
V V
−=−==−= ∫ ∫πμμ (35.9) 
 
 
36. Coeficiente de auto-indução. Energia de um sistema de correntes. Densidade de energia do 
campo magnético de correntes. 
 
A auto indução é um processo no qual as variações da corrente e de parâmetros de circuito conduzem à 
variação do fluxo de indução através desse mesmo circuito e, como consequência, ao aparecimento da 
f.e.m de indução. Normalmente o processo começa com a variação da corrente. 
Imaginemos que uma corrente volumetria I fluí através de um 
condutor de secção finita (veja fig...). dividamos este condutor em 
fios de corrente de comprimento o fluxo geral 
 é a soma dos fluxos elementares de um fio de corrente através 
do circuito do outro fio. É claro que 
,..., 21 dIdI ,..., 2l1l
11Φ
∑= dII e o fluxo geral 11Φ é 
proporcional a corrente I total 
 
 IL1111 =Φ (36.1) 
Onde é o coeficiente de auto indução (indutividade) do condutor, que depende da forma e do 
tamanho do circuito, bem como das características magnéticas do circuito do meio circundante. 
11L
Seja Uδ a função potencial do fio de corrente dI. De acordo com a formula (34.3) obtêm-se: 
 
 dIU 11Φ−=δ (36.2) 
Manual Universitário de Electrodinâmica Clássica – Rogério Uthui  Página 84 
 
E somando por todos os fios, chegamos a expressão: 
 21111111111 2
1
2
1
2
1 ILIdIUW =Φ=Φ=−= ∑ ... (36.3) 
O coeficiente 
2
1 antes da fórmula tem em conta o facto de que a interacção entre dois fios só deve ser 
somada uma vez. A fórmula mais geral, a corrente volumétrica I é dividida em pares de elementos 11dVj 
e 22dVj for força do que a função a potencial da corrente pode serexpressa como um certo potencial de 
correntes volumétricas. (34.8) 
 
 1111111 2
1 dVjAUW ∫=−= (36.4) 
Colocando aqui, a expressão do potencial vectorial A : 
 ∫=
V
o
r
dVjA 21
4π
μμ , 
Onde 1A tem em conta a acção sobre o elemento de todos os restantes elementos de corrente 
. Então a equação para a energia magnética da corrente I ganha a seguinte forma: 
11dVj
22dVj
 
 ∫ ∫=−=
V V
o
r
dVdVjjUW 21211111 8π
μμ ... (36.5) 
 
Onde a integração deve ser feita em todo volume V com a corrente I (ou seja, deve-se somar as 
expressões sob o sinal do integral para todos os pares possíveis dos elementos do volume V ; −r
distancia entre os elementos e ). De acordo em a formula (36.3), temos: 1dV 2dV
 
 ∫ ∫ ==−=
V V
o IL
r
dVdVjjUW ... (36.6) 21121211111 2
1
8π
μμ
Donde se obtêm a expressão para a indutividade: 
 ∫ ∫=
V V
o
r
dVdVjj
I
2121
211 4π
μμL ... (36.7) 
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O cálculo da indutividade é, normalmente muito difícil. Por isso, na pratica ala se obtêm 
experimentalmente. Vamos calcular a indutividade de um solenóide toroidal de comprimento , para o 
qual a fórmula da intensidade do campo magnético 
l
l
nIH ⋅= se verifica com muita exactidão. Se o 
campo estiver preenchido por uma substância com permeabilidade μ , então a indução 
 
 
l
I n
oμμ=B ; Sl
In
oμμ=Φ 
 
Onde é a secção recta do toróide. Para o caso do solenóide com espiras, na fórmula (36.1) entrara 
não o fluxo apenas mas uma nova grandeza chamada 
−S n
fluxo de ligação 1Φn que tem em conta o numero 
de vezes que as espiras atravessam as linhas de indução. 
 IL11n =Φ 
Daqui a indutividade do solenóide toroidal 
 
l
Sn
o
2
μμ=L 
Quando o fluxo no seu próprio circuito varia, aparece uma f.e.m de auto indução: 11Φ
 
 ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=−=Φ−=
dt
dLI
dt
dILIL
dt
d
dt
d 11
1111
11
11ε (36.9) 
 
Se for constante então: 11L
 
dt
dIL1111 −=ε 
A indutividade no sistema SI mede-se em Henry ( A
WbH 11 = ) e no sistema CGS, em cm .101 9 cmH =
A função potencial total U de duas correntes é igual à soma das energias da sua interacção ( )2112 UU = e 
das energias potenciais próprias e : 11U 22U
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=++= 222221122111221211 2
1
2
1
4
ILIILILUUUU ; oπ
μμ
Ou tendo em conta que ; 2112 LL =
 ( ) ∑−=+++−= kiikoo IILILIILIILILU μμμπμμ 88 2222122121122111 (36.10) 
A função potencial total de um sistema de correntes pode ser expressa através da densidade das 
correntes e do potencial vectorial do campo das correntes usando as expressões (veja (34.8) e (35.8)) 
( ) ∫∫ −−=+=
VV
dVjAdVjAUUU 1221211212 2
1
2
1
2
1 
e se introduzirmos o potencial vectorial do campo resultante de ambos os campos, obtemos: 
 
 ∫−=
V
dVJAU
2
1 , isto é: ∫=
V
dVJAW
2
1 (36.11) 
Esta formula é valida para qualquer sistema de correntes. Expressando j através de Hrot , obtemos. 
 ∫=
V
dVHrotAW
2
1 (36.12) 
Prossigamos usando a fórmula da análise vectorial [ ]HAdivArotHHrotA += e a definição ArotB = 
para obtemos: 
 [ ]AHdivBHHrotA += 
Passando esta expressão sob o sinal do integral e usando o teorema de Gauss, a expressão para a energia 
passa a ter o seguinte aspecto: 
 [ ] [ ]∫∫ ∫∫ +=+=
S
n
V VV
dSAHdVBHdVHAdivdVBHW
2
1
2
1
2
1
2
1 (36.13) 
Para grandes distancias, a superfície S cresce proporcionalmente a 2r e o produto AH decai mais 
rapidamente ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
5
1~
r
. Por causa disso, 
 dVBHW (36.14) 
V
∫= 21
Esta fórmula pode ser interpretada da seguinte maneira: a energia magnética é localizada no campo e 
distribui-se pelo seu volume com densidade volumétrica: 
 
22
2HBH o
m
μμ==ω (36.15). 
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