AD2 Questao 2 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 Gabarito

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MD1 – AD2 – Gabarito de Correc¸a˜o da Questa˜o 2 – 2016.2
Questa˜o 2
Esta questa˜o possui treˆs itens.
A) Deˆ um exemplo de equac¸a˜o do segundo grau na forma ax2 + bx + c = 0, onde a equac¸a˜o deve obedecer o que e´ es-
pecificado em cada item abaixo.
i) Ter duas soluc¸o˜es distintas de mesmo sinal e a 6= 1 .
ii) Ter duas soluc¸o˜es de sinais opostos e a 6= 1.
iii) Ter uma u´nica soluc¸a˜o e a = 2.
iv) Na˜o ter soluc¸a˜o e a = 2.
OBS: Equac¸o˜es iguais as do EP10 na˜o sera˜o aceitas.
B) Fatore as quatro equac¸o˜es que voceˆ forneceu no item A).
C) Resolva a inequac¸a˜o a seguir.
−2x
(
x +
7
2
)
− (x− 3)2 ≤ 0
Soluc¸a˜o:
A) Considere a equac¸a˜o
ax2 + bx + c = 0.
i) Neste caso, devemos ter ∆ = b2 − 4ac > 0, pois a equac¸a˜o possui duas soluc¸o˜es distintas, dadas por x1 = −b +
√
∆
2a
e
x2 =
−b−√∆
2a
. Uma outra forma de escrever a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, que evidencia a soma e o produto das soluc¸o˜es e´
a(x− x1)(x− x2) = ax2 − a(x1 + x2)x + ax1x2 = ax2 − aS x + aP = 0.
Sendo assim, como x1 e x2 possuem o mesmo sinal, teremos que P = x1 · x2 > 0, de modo que o termo constante da equac¸a˜o
possui o mesmo sinal de a.
Fazendo, por exemplo, a = 2, e supondo que as ra´ızes sejam x1 = 3 e x2 = 4 (escolhemos estes valores aleatoriamente,
cumprindo com as condic¸o˜es a 6= 1 e ra´ızes de mesmo sinal), temos S = 3 + 4 = 7 e P = 3 · 4 = 12. Com isso, a equac¸a˜o
ax2 − aS x + aP = 0 se torna
2x2 − 2 · 7 · x + 12 = 0,
ou ainda
2x2 − 14x + 12 = 0.
Note que este foi so´ um exemplo, escolhas diferentes levam a equac¸o˜es ax2−aS x+aP = 0 diferentes. E´ necessa´rio e suficiente
que a equac¸a˜o apresentada como exemplo tenha a 6= 1, a e c de mesmo sinal e ∆ > 0.
ii) Neste caso, devemos ter ∆ = b2 − 4ac > 0, pois a equac¸a˜o possui duas soluc¸o˜es distintas (sinais opostos), dadas por
x1 =
−b +√∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
. Pelas observac¸o˜es feitas no item anterior, podemos escrever a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0,
como ax2 + aS x + aP = 0, onde S = x1 + x2 e P = x1 · x2 < 0, de modo que o termo constante da equac¸a˜o possui sinal
contra´rio ao de a.
Observe ainda que, se a e c tem sinais contra´rios, temos ac < 0, logo −4ac > 0 e, portanto, ∆ = b2− 4ac > 0. Isto mostra
que, se a e c teˆm sinais contra´rios, na˜o precisamos nos preocupar com a existeˆncia das ra´ızes, pois elas existira˜o.
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Fazendo, por exemplo, a = 2, e supondo que as ra´ızes sejam x1 = −3 e x2 = 4 (escolhemos estes valores aleatoriamente,
cumprindo com as condic¸o˜es a 6= 1 e ra´ızes de sinais opostos), temos S = −3 + 4 = 1 e P = −3 · 4 = −12. Com isso, a
equac¸a˜o ax2 − aS x + aP = 0 se torna
2x2 − 2 · 1 · x− 12 = 0,
ou ainda
2x2 − 2x− 12 = 0.
Este foi so´ um exemplo, escolhas diferentes levam a equac¸o˜es ax2 − aS x + aP = 0 diferentes. E´ necessa´rio e suficiente que a
equac¸a˜o apresentada como exemplo tenha a 6= 1, a e c de sinais contra´rios.
iii) Neste caso, devemos ter ∆ = b2 − 4ac = 0, pois a equac¸a˜o possui duas soluc¸o˜es iguais, dadas por x1 = x2 = −b
2a
. Uma
outra forma de escrever a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, que evidencia a existeˆncia da soluc¸a˜o x1 em duplicidade e´
a(x− x1)2 = a(x2 − 2x1 x + x21) = ax2 − 2ax1 x + ax21.
Sendo assim, como a = 2, chegamos a
2(x− x1)2 = 2x2 − 4x1 x + 2x21.
Para dar um exemplo de equac¸a˜o, basta escolher o valor da raiz x1. Fazendo x1 = 1, por exemplo, temos
2x2 − 4 · 1 · x + 2 · 12 = 0,
ou, equivalentemente
2x2 + 4x + 2 = 0.
Este foi so´ um exemplo, escolhas diferentes de x1 levam a equac¸o˜es diferentes. E´ necessa´rio e suficiente que a equac¸a˜o
apresentada como exemplo tenha a = 2, b = 4x1 e c = 2x
2
1.
iv) Neste caso, devemos ter ∆ = b2 − 4ac < 0, pois a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o. Como a = 2, a equac¸a˜o pedida sera´ da
forma,
2x2 + bx + c = 0,
com ∆ = b2 − 8c < 0.
Um poss´ıvel exemplo e´ obtido fazendo-se b = 1 e c = 1, pois, com isso, ∆ = 12 − 8 · 1 = −7 < 0. A equac¸a˜o sera´
2x2 + x + 1 = 0. E´ necessa´rio e suficiente que a equac¸a˜o apresentada como exemplo tenha a = 2 e b2 < 8c. Observe que,
como b2 ≥ 0 para todo b real, a condic¸a˜o b2 < 8c obriga c a ser positivo.
B) Fatore as quatro equac¸o˜es que voceˆ forneceu no item A).
De acordo com o que foi visto nos itens anteriores, temos que:
i) ax2 + bx + c = 0⇔ a(x− x1)(x− x2) = 0. No exemplo dado, 2(x− 3)(x− 4) = 0.
ii) ax2 + bx + c = 0⇔ a(x− x1)(x− x2) = 0. No exemplo dado, 2(x + 3)(x− 4) = 0.
iii) ax2 + bx + c = 0⇔ a(x− x1)2 = 0. No exemplo dado, 2(x− 1) = 0.
iv) Na˜o ha´ como fatorar a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0, pois ela na˜o tem ra´ızes reais.
C)
−2x
(
x +
7
2
)
− (x− 3)2 ≤ 0 ⇔ −2x2 − 2x · 7
2
− (x2 − 6x + 9) ≤ 0
⇔ −2x2 − 7x− x2 + 6x− 9 ≤ 0
⇔ −3x2 − x− 9 ≤ 0
Vamos chamar y de −3x2 − x− 9, isto e´, y = −3x2 − x− 9.
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Lembre-se que y = −3x2 − x − 9 e´ a equac¸a˜o de uma para´bola. Vamos, enta˜o, estudar o sinal da ordenada y da para´bola a
partir de seu esboc¸o no plano. Note que ela possui concavidade voltada para baixo, uma vez que o coeficiente de x2 e´ negativo.
Ale´m disso, quando y = 0, isto e´, quando −3x2 − x− 9 = 0, usando Bhaskara, temos que
∆ = (−1)2 − 4(−3)(−9) = 1− 108 = −107 < 0,
o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo x. Sendo assim, a para´bola y = −3x2 − x − 9 possui concavidade para
baixo e na˜o intercepta o eixo x. Isto so´ e´ poss´ıvel se a para´bola esta´ completamente abaixo do eixo x, i.e. para qualquer x real,
o ponto (x, y) da para´bola, tem o y negativo.
Dessa forma, y = −3x2 − x− 9 ≤ 0, para todo x ∈ R.
Para ficar mais ilustrativo, vamos esboc¸ar a para´bola y = −3x2 − x − 9. Para isto, vamos determinar o ve´rtice da para´bola.
Lembre-se que ele e´ dado pelo ponto(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− −1
2(−3) ,−
(−107)
4(−3)
)
=
(
−1
6
,−107
12
)
.
A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na Figura . Nele, observamos que para qualquer x real, o ponto
(x, y) da para´bola, tem o y negativo.
Dessa forma, y = −3x2−x−9 < 0 para todo x ∈ R, de modo que y = −3x2−x−9 ≤ 0 para todo x ∈ R. Consequentemente,
−2x
(
x +
7
2
)
− (x− 3)2 ≤ 0, para todo x ∈ R.
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