AD2 Questao 1 Gabarito (1)

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MD1 – AD2 – Gabarito da Questa˜o 1 – 2016.2
Questa˜o 1
Uma indu´stria de grande porte ira´ se instalar a`s margens de uma rodovia, pro´xima a uma cidade localizada no quiloˆmetro
60 da rodovia e a um porto, cujo terminal rodovia´rio esta´ no quiloˆmetro 100.
Segundo a legislac¸a˜o ambiental local, a distaˆncia, medida ao longo da rodovia, entre a cidade e a indu´stria na˜o deve ser
menor do que 40km.
Para facilitar e baratear o escoamento da produc¸a˜o, a indu´stria deve ser instalada a` distaˆncia ma´xima de 30km do terminal
rodovia´rio do porto. Pore´m a indu´stria na˜o pode se instalar a uma distaˆncia menor do que 20km deste terminal, devido ao
prec¸o proibitivo dos terrenos.
Determine o trecho da rodovia no qual a indu´stria pode se instalar, segundo os crite´rios acima.
Soluc¸a˜o:
Para acompanhar melhor o soluc¸a˜o apresentada abaixo, antes, estude com muita atenc¸a˜o o Teorema 2 do EP9.
Abaixo, vemos uma mapa da rodovia:
Vamos chamar de x a poss´ıvel localizac¸a˜o da indu´stria. Se a distaˆncia entre a cidade e a indu´stria na˜o deve ser inferior a
40km, temos
|x− 60| > 40,
logo
x− 60 > 40 ou x− 60 6 −40,
e assim, x− 60 > 40 ou x− 60 6 −40. Com isso, x > 100 ou x 6 20. Assim, a condic¸a˜o relativa a` distaˆncia m´ınima a` cidade
nos leva a x ∈ (−∞, 20] ∪ [100,+∞), condic¸a˜o representada na figura abaixo:
Como a distaˆncia entre a indu´stria e o terminal do porto deve ser, no ma´ximo, de 30km, temos
|x− 100| 6 30,
ou, equivalentemente,
−30 6 x− 100 6 30⇔ x− 100 6 30 e x− 100 > −30⇔ x 6 130 e x > 70⇔ 70 6 x 6 130⇔ x ∈ [70, 130].
Esta condic¸a˜o esta´ representada na figura abaixo:
Pore´m, a distaˆncia entre a indu´stria na˜o deve ser inferior a 20, logo, deve ser maior ou igual a 20. Assim,
|x− 100| > 20⇔ x− 100 6 −20 ou x− 100 > 20⇔ x 6 80 ou x > 120⇔ x ∈ (−∞, 80] ∪ [120,+∞).
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Esta condic¸a˜o esta´ representada na figura abaixo:
Como TODAS as treˆs condic¸o˜es referidas anteriormente precisam ser satisfeitas, precisamos que a localizac¸a˜o x da cidade
obedec¸a a:
x ∈ (−∞, 20] ∪ [100,+∞)
e
x ∈ [70, 130]
e
x ∈ (−∞, 80] ∪ [120,+∞).
Sendo assim, temos que ter
x ∈ ((−∞, 20] ∪ [100,+∞)) ∩ [70, 130] ∩ ((−∞, 80] ∪ [120,+∞))
Para realizar as intersec¸o˜es acima, representamos, na figura abaixo, os treˆs trechos dados, cada um, como resultado de uma
das condic¸o˜es impostas. A intersec¸a˜o encontra-se destacada em preto.
A intersec¸a˜o dos treˆs intervalos obtidos anteriormente representa o trecho da rodovia onde pode se instalar a indu´stria, pois
esta deve cumprir TODAS as treˆs condic¸o˜es. Com isso,
x ∈ [120, 130].
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