Lista de Exercícios - Funçoes.docx

Prévia do material em texto

Curso: Engenharia Civil Turma: 2° Período.
 Disciplina: Cálculo II
 Prof. Esp. Káttia Ferreira da Silva
 Acadêmico (a):_____________________________
Cálculo II 
GURUPI – TO, 2015/1
FUNÇÕES DE MAIS DE UMA VARIÁVEL
Como vimos muitos problemas em áreas científicas são modelados com o uso de muitas variáveis.
Lembrando Cálculo I: Vamos considerar um exemplo bem simples de uma função de uma variável, definida pela expressão algébrica: . 
	Uma função é uma regra que associa a cada ponto do domínio, um único ponto do contradomínio. Assim, por exemplo, a função acima associa o número real ao número real Analogamente associa a a a a, e assim por diante. Essas associações podem ser representadas geometricamente através de um diagrama, conforme indicado na figura ao lado.
	O gráfico de uma função nada mais é do que a coleção de todos os pares ordenados da forma com x no domínio de . Mais formalmente:
Definição: (gráfico de uma função de uma variável) Dada uma função: de uma variável, o gráfico de é o subconjunto do plano cartesiano definido por 
	De maneira informal, o gráfico de uma função nada mais é do que juntar o domínio e o contradomínio de em um mesmo desenho (o domínio em um eixo e o contradomínio em outro eixo) e fazer a representação de através dos pontos na forma com variando no domínio da função.
	Em nosso exemplo, os pares ordenados (0,0), (1,1), (-1, 1), (, 5) e (são pontos do gráfico de . Um esboço do gráfico de está na figura ao lado e é nossa conhecida parábola. 
Funções de duas variáveis: Vamos começar com uma função de duas variáveis bem simples, definida pela expressão algébrica 
	A função é de duas variáveis por que ela associa cada par de números reais e ao número real , definido como a soma dos quadrados de e . 
Vamos calcular em alguns pontos: , , , . Novamente essas associações podem ser representadas geometricamente através de um diagrama, conforme indicado na figura ao lado.
	Essa representação geométrica na é conveniente, o gráfico para esse tipo de função deve ser representado em um único desenho.
Como o domínio da função de precisa de 2 eixos para ser representado e o contradomínio precisa de 1 eixo, então o gráfico precisa de 3 eixos para ser representado. O gráfico de é um subconjunto de formado pelas triplas ordenadas da forma com no domínio de . Mais formalmente:
Definição: (gráfico de uma função de duas variáveis) Dada uma função: de duas variáveis, o gráfico de é o subconjunto do espaço euclidiano tridimensional definido por 
Por exemplo, o ponto (1,1, 2) é um ponto do gráfico de f e o seu desenho é dado na figura ao lado. 
Outros pontos de que também pertencem ao gráfico de são (0,0,0), (0,1,1), (1-1,2) e (, 1). Observe as figuras abaixo o esboço do gráfico da função O primeiro gráfico ainda em construção e o segundo gráfico gerado por computador.
A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no R³. Em geral, essa representação pode se tornar bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional.
Definições
Função de Duas Variáveis
Uma função real f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x, y) associa um único número real f(x, y).
Função de Três Variáveis
Uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada terna ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f(x, y, z).
Função de n Variáveis
Uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x1, x2, ...,xn) associa um único número real f (x1, x2, ..., xn).
Observação: Como o gráfico é um subconjunto do e no papel podemos representar até o     então podemos desenhar o gráfico de funções de no máximo duas variáveis, isto é,   . 
Domínio, contra-domínio e Imagem 
Definição: Domínio é o conjunto D; ou seja, é a região do R² formada, pelos pares x,y para os quais a função resulta um número real; Contra-domínio é o conjunto de “chegada”, normalmente é o próprio conjunto dos reais; Imagem é o conjunto dos números reais possíveis de serem obtidos pela função (A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu).
Ao desenhar o gráfico de uma função de x e y, lembre-se de que, embora o gráfico seja tridimensional, o domínio da função é bidimensional, ou seja, é construído por todos os pontos (x, y) para os quais um valor da função pode ser calculado. Em outras palavras, a cada ponto (x,y) do domínio de f corresponde um ponto (x, y, z) de uma superfície, e a cada ponto (x, y, z) dessa superfície corresponde um ponto (x, y) do domínio de f.
Exemplo Resolvido: Determine o domínio e o contradomínio da função f (x, y ) = 
Solução: O domínio de f é o conjunto {(x, y) IR2 / x²+y² < 64} (o radicando não deve ser negativo). Assim, o domínio é o conjunto de todos os pontos que pertencem à região limitada pela circunferência x² + y² = 8². O Contradomínio de f é o intervalo 0 < z < 8, como mostra a figura:
	
Exemplos (de valores de função de várias variáveis)
Determine os valores das funções dadas nos pontos indicados:
Ex.:1- se f(x,y) = x2 + 2y , então calcule f(2,3);
Ex.: 2- z = f(x,y) = (3x+y3)1/2, calcule f(1,2) 
Ex.: 3 – w = f(x,y, z) = ex (y+z) no ponto (0, -1, 4) 
Ex.: 4 – Seja a função dada f(x,y) = x2 + y2 (duas variáveis). Encontra:
f(1,2) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f
Ex.: 5 – Seja a função dada por f(x,y) = f (x, y ) = . Determina:
 a) f(0,0) b) f(-1,-1) c) f(1,2) d) Dom f e) Im f
Ex.: 6 - Dada a função f(x,y) = , determine: 
f(1,0) b) Domínio da função c)Representação gráfica do domínio da função
Ex.: 7 - Dada a função f(x,y) = :
Calcule f(-3,7) b) Determine o domínio da função 
c) Faça a representação gráfica do domínio.
Exercícios
01) Determine e represente graficamente os domínios das seguintes funções:
a) f (x, y ) = b) f (x, y ) = 
c) f(x,y)= ln (x2- y + 1) d) f(x , y) = 
02) Determine o domínio de 
03) Seja a função: , calcule os valores da imagem para os pares de domínio: .
04) Encontre e represente graficamente o domínio das seguintes funções de duas variáveis:
a) b) c) 
Noção do domínio para função de três variáveis
	De maneira análoga às funções de duas variáveis, quando uma função real de três variáveis reais é dada por uma expressão analítica da forma w = f(x, y, z), convencionamos que o domínio dessa função é o maior subconjunto do espaço R³ para qual a expressão tem sentido.
Exemplo Resolvido: Considere a função de três variáveis definida pela expressão algébrica Não podemos calcular a função para qualquer escolha de x, y e z. Os pontos do domínio satisfazem a desigualdade 9 - x² - y² - z² > 0, isto é, x² + y² + z² < 9. Assim o domínio de f = {(x, y, z) IR3 / x²+y²+z² < 9}. Geometricamente, o domínio de f é a bola, isto é, a fronteira e o interior da esfera de centro na origem (0, 0, 0) e raio 3 (veja na figura). 
E o gráfico da função f? Uma vez que o domínio de f é um subconjunto de R³ e o contradomínio de f é R, o gráfico de f é um subconjunto de R4 e, portanto, ele não pode ser desenhado adequadamente em nosso mundo tridimensional.
	
Exercício 06) A função g está definida por w=g (x, y, z) = x³ - 4yz², ache:
g(1, 3 -2) b) g( -2a, -4b, 3c) c) g(x², y², z²) d) g(y, z, -x)
Nos exercícios de 7 a 10, ache o domínio de f e descreva a região R³ que seja o conjunto de pontos do domínio.
07) 08)09) 10) 
11) Dada a função de duas variáveis f(x,y) = ln (x² + y² - 4) o seu domínio é a região do plano XY:
Escolha uma:
a. Todo o plano XY.
b. Interior à circunferência de centro (0, 0) e raio 2.
c. Exterior à circunferência de centro (0, 0) e raio 4.
d. Exterior à circunferência de centro (0, 0) e raio 2.
e. N.D.A
	
12) O montante final M resultado de um capital C aplicado durante n meses, com uma taxa de juros de r % ao mês é dado por M = C(1 + r/100)n , ou seja, M depende, é função das variáveis C, r e n. Assim escrevemos: M = f(C, r, n). Calcule o valor do montante se o capital aplicado foi de R$ 5.000,00 a uma taxa de 2% ao mês durante três anos.
13) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê :
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura:
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura.
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b. 
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros. 
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z.
14) Uma empresa vende dois tipos de produtos, A e B. O preço unitário do produto A é R$ 3,00 e o preço unitário de B é R$ 4,00. A empresa vende x unidades de A e y unidades de B. 
a) Escreva uma expressão matemática para a receita dessa empresa. 
b) Qual é a receita dessa empresa se forem vendidos 5 unidades do produto A e 2 unidades do produto B?