Cap. 3 TRIANGULOS. Teoria

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CAPÍTULO 3: TRIÂNGULOS 
 
 Este capítulo é de extrema importância para toda a 
geometria. Ao longo de nosso estudo estaremos utilizando os 
fatos aqui estudados para aplicação nos demais capítulos. 
 
Definição 3.1: Sejam A, B e C três pontos não colineares. 
Denominamos de triângulo ABC a união dos segmentos 
AB
, 
AC
 e 
BC
 e o denotaremos por  ABC. 
 
 
 A  
 
 
 
   
 
 B C 
 
 Os pontos, A, B e C são os vértices do triângulo e os 
segmentos 
AB
, 
AC
 e 
BC
 são os seus lados. 
 Os ângulos 
CAB ˆ
, 
CBA ˆ
 e 
BCA ˆ
 são os ângulos internos 
e os suplementos de cada ângulo interno, como 
ˆ
, 
ˆ
 e 
ˆ
, na 
figura acima, são os ângulos externos do triângulo. 
 
 
3.1. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
 Usualmente dizemos que duas figuras planas são 
congruentes se elas coincidem por superposição. Por exemplo, 
dois quadrados de lados congruentes são figuras congruentes. 
Dois círculos de mesmo raio são também figuras congruentes. 
 
 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
32 
  Exemplo 1: Suponhamos que os triângulos abaixo 
coincidem por superposição. Quais os pares de vértices que se 
sobrepõem? 
 B 
 D 
 
 C 
 
 A E F 
 
Solução: 
 Estas figuras indicam que devemos colocar A sobre D, C 
sobre F e B sobre E. 
 
 Os vértices que coincidem na superposição são 
denominados correspondentes. Portanto, A e D, B e E e C e F 
são pares de vértices correspondentes. 
 Dizemos também que os lados que unem vértices 
correspondentes são correspondentes e que os ângulos cujos 
vértices estão em correspondência, são correspondentes. 
Assim, os lados 
AB
 e 
ED
, 
AC
 e 
DF
, 
BC
 e 
EF
, são 
correspondentes e que  e 
Dˆ
, 
Bˆ
 e Ê e 
Cˆ
e
Fˆ
, são pares de 
ângulos correspondentes. 
 
 Desta forma, ao dizermos que dois triângulos são 
congruentes, devemos informar que vértices devem se 
corresponder, ou seja, que pares de vértices devem se 
sobrepor para que os triângulos coincidam. 
 
 Mais precisamente, temos a seguinte definição. 
 
 
Definição 3.2: Dois triângulos são ditos congruentes se for 
possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices 
de modo que lados e ângulos correspondentes sejam 
respectivamente congruentes. 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
33 
 Suponhamos que os seguintes pares de vértices 
correspondentes, 
 
A  D 
B  E 
 C  F, 
 
assegurem a congruência entre os triângulos ABC e DEF 
abaixo. 
 D 
 
 
 A 
 
 
 
 
 E F 
 
 
B C 
 
 Desta congruência podemos escrever seis igualdades 
entre as medidas dos elementos correspondentes nos dois 
triângulos, a saber: 
 
Aˆ
=
Dˆ
; 
DEAB 
; 
 
Bˆ
= 
Eˆ
; 
DFAC 
; 
 
Cˆ
= 
Fˆ
; 
EFBC 
. 
 
 Observe que em triângulos congruentes, a ângulos 
congruentes opõem-se lados congruentes e vice-versa. 
 
 
NOTAÇÃO: Para indicar que os dois triângulos acima são 
congruentes, escrevemos: 
 
 ABC =  DEF. 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
34 
 Veja as posições das letras dos vértices nessa igualdade. 
Ela nos informa que A está em correspondência com D, B com 
E e C com F. 
 Da definição acima, para estabelecermos a congruência 
entre dois triângulos precisamos verificar seis relações: a 
congruência de três pares de lados e a congruência de três 
pares de ângulos. Os teoremas a seguir mostram que é 
possível comprovar a congruência de dois triângulos com um 
número menor de informações, por exemplo, comprovando 
apenas a congruência de três pares de elementos, onde, pelo 
menos, um dos pares seja constituído por lados. São os 
chamados casos de congruências de triângulos. 
 
 
3.2. CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
 
 O primeiro caso de congruência de triângulos está contido 
no seguinte postulado: 
 
Postulado 11: (1o caso – LAL) 
 Se dois triângulos têm dois lados congruentes e os ângulos 
formados por eles respectivamente congruentes, então os 
triângulos são congruentes. 
 D 
 
 A 
 
 
 
  
 E F 
  
 B C 
 
 
 AB = DE. 
Hipótese: BC = EF Tese:  ABC =  DEF 
 
Bˆ
 = 
Eˆ
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
35 
 É fácil ver que se fizermos coincidir o ângulo 
Bˆ
 com seu 
côngruo 
Eˆ
, o lado 
BA
 coincidirá com seu côngruo 
ED
 e 
assim o vértice A coincidirá com o vértice D. Analogamente, o 
lado 
BC
 coincidirá com 
EF
 e o vértice C coincidirá com o 
vértice F. Tendo os três vértices coincidentes os triângulos são 
congruentes. 
 Isto não constitui uma demonstração. Esse argumento é 
apenas uma tentativa de convencer o leitor sobre a veracidade 
do postulado. 
 
 
Teorema 3.1: ( 2o caso – ALA ) 
 Se dois triângulos têm um lado congruente compreendido 
entre dois ângulos respectivamente congruentes, então os 
triângulos são congruentes. 
 D 
 
 
 
 A 
 
  
 P E F 
 
 
  
 B C 
 
 
 BC = EF 
Hipótese: 
Bˆ
 = 
Eˆ
 Tese:  ABC =  DEF. 
 
Cˆ
 = 
Fˆ
 
 
 
 Prova: Comparando-se as medidas dos segmentos 
AB
 e 
DE
, uma e só uma dastrês situações abaixo poderá ocorrer: 
 
i) ou AB > DE ii) ou AB < DE iii) ou AB = DE. 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
36 
 Se (i) é verdadeira, isto é, se AB > DE, podemos 
considerar um ponto P do segmento 
AB
 de modo que BP = 
ED. Pelo Postulado 11, o  PBC =  DEF. Daí, o 
BCP ˆ
 = 
Fˆ
. 
Mas por hipótese, 
BCA ˆ
=
Fˆ
. Logo 
BCP ˆ
=
BCA ˆ
, o que constitui 
um absurdo, já que a semirreta 
CP
 sendo interior ao ângulo 
BCA ˆ
 tem-se 
BCP ˆ
 < 
BCA ˆ
. 
 A hipótese de que AB < DE é também absurda, e a 
deixamos como exercício. Do exposto, concluímos que AB = 
DE e novamente pelo Postulado 11, o  ABC =  DEF e o 
teorema fica provado. 
  
 
Definição 3.3: Um ponto C chama-se ponto médio do 
segmento 
AB
, se 
 1o) C  
AB
; 
 2o) AC = CB. 
 
    
 A C B 
 
 A 
  Exercício 1: Na figura ao lado, 
AD
  
BC
 e D é o ponto médio de 
BC
. 
Demonstrar que 
yx ˆˆ 
. 
 
 
 x y 
 B D C 
 
 Solução: Observe que o  ADB =  ADC (LAL) e assim 
DCADBA ˆˆ 
. Finalmente, 
yx ˆˆ 
 por serem suplementos de 
ângulos congruentes. 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
37 
  Exercício 2: Na figura abaixo, 
B
. Se 
ABP ˆ
=
CBP ˆ
, 
BP

PA
 e 
BP
 
PC
, demonstrar que BA = BC e PA = PC. 
 B 
 
 
 
 
 P C 
 
 
 A  
 
 Solução: Observe que o  BPA =  BPC (ALA). 
 
 
Definição 3.4: Chama-se mediana de um triângulo, ao 
segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. 
 A 
 
 
 P N 
 Q 
 
 
 B M C 
 
 Se BM = MC, 
AM
 é mediana; 
 Se AN = NC, 
BN
 é mediana; 
 Se AP = PB, 
CP
 é mediana. 
 
 Demonstraremos no Capítulo 4, que as três medianas de 
um triângulo interceptam-se num mesmo ponto. Além disso, a 
distância deste ponto a cada vértice é igual a 2/3 da mediana 
correspondente, isto é, QA = 
3
2
AM, QB = 
3
2
BN e QC = 
3
2
CP. 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
38 
Definição 3.5: Sejam ABC um triângulo e D um ponto da reta 
que contém o lado 
BC
. 
 i) se a semirreta 
AD
 é bissetriz do ângulo Â, o segmento 
AD
 chama-se a bissetriz interna do triângulo relativa ao lado 
BC
. 
 ii) se 
AD
 for perpendicular à reta que contém o lado 
BC
, 
o segmento 
AD
 chama-se altura do triângulo relativa ao lado 
BC
. 
 A 
 
   Bissetriz interna, se BÂD = DÂC. 
 
 
 
 
 
 B D C 
 
 A 
 
 
 Altura 
 
 
 
 
 
 B D C 
 A 
 
 Altura 
 
 
 
 
 D B C 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
39 
 Demonstraremos no Capítulo 4, que as três bissetrizes 
internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto, o 
qual é o centro da circunferência inscrita no triângulo. 
Demonstraremos também que as retas que contêm as três 
alturas concorrem num mesmo ponto que pode ser interior ou 
exterior ao triângulo. 
 
 
Definição 3.6: Um triângulo que tem dois lados congruentes é 
denominado isósceles. 
 O terceiro lado é chamado base do triângulo isósceles. 
 O ângulo formado pelos lados congruentes é denominado 
ângulo do vértice. Os outros dois ângulos são ditos ângulos 
da base. 
 A 
 
 AB = AC; 
 
BC
 é a base do triângulo; 
 Â é o ângulo do vértice; 
 
Bˆ
 e 
Cˆ
 são os ângulos da base. 
 
 B C 
 
Definição 3.7: Um triângulo cujos lados são congruentes 
chama-se eqüilátero. 
 A 
 
 
 AB = AC = BC 
 
 
 
 
 B C 
 
 Evidentemente, todo triângulo eqüilátero é também 
isósceles. 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
40 
Definição 3.8: Um triângulo que possui os três lados desiguais 
chama-se escaleno. 
 
 
 
 
 
 
Teorema 3.2: Num triângulo isósceles, a bissetriz do ângulo do 
vértice é também mediana e altura. 
 B 
 BA = BC; 
 Hipótese: 
 
CBDDBA ˆˆ 
. 
 
 i) AD = DC; 
 Tese: 
 ii) 
BD
  
AC
. 
 A D C 
 
 Prova: O  ABD =  CBD(LAL), pois 
 
 
DBCDBA ˆˆ 
 ( por hipótese ) 
 BA = BC ( por hipótese ) 
 
BD
 é lado comum. 
Portanto, 
 i) AD = DC (lados opostos a ângulos congruentes em triângulos 
congruentes) e assim 
BD
 é mediana. 
 ii) 
CDBADB ˆˆ 
 e assim 
Dˆ
 = 90o. Isso mostra que 
BD
 é 
altura. 
  
 
Corolário 1: Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base 
são congruentes. 
 
 De fato, na figura anterior, os ângulos da base são ângulos 
opostos a lados congruentes em triângulos congruentes. 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
41 
Corolário 2: Todo triângulo eqüilátero possui os três ângulos 
congruentes. 
 
 Isto é evidente, em virtude do Corolário 1. 
 
 Um triângulo cujos ângulos são congruentes é dito 
eqüiângulo. 
 
 Do Corolário 2, deduz-se que todo triângulo eqüilátero é 
também eqüiângulo e do Corolário 1, que todo triângulo 
eqüiângulo é eqüilátero. 
 
 
Teorema 3.3: (Teorema recíproco do teorema 3.2) 
 Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, então o 
triângulo é isósceles. 
 A A 
 
 
 
 
 
 
 B C C B 
 
 Prova: As figuras acima são duas cópias do mesmo 
triângulo: uma da frente e outra do verso. 
Olhemos agora para os triângulos ABC e ACD. O ângulo 
Bˆ
 do 
1o triângulo é congruente ao ângulo 
Cˆ
 do 2o e o ângulo 
Cˆ
 do 
1o é congruente ao ângulo 
Bˆ
 do 2o. Além do mais, como BC = 
CB, segue-se que o 
 
 ABC =  ACB (ALA). 
 
Portanto, AB = AC (lados opostos a ângulos congruentes em 
triângulos congruentes), o que prova que o  ABC é isósceles. 
  
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
42 
Teorema 3.4: ( 3o caso – LLL ) 
 Se dois triângulos têm os três lados respectivamente 
congruentes, então os triângulos são congruentes. 
 D 
 
 
 
 A 
 
 
  
 E F 
 
 
 
 B C 
  
 
 
 
 
 
 P 
 
 AB = DE 
Hipótese: AC = DF Tese:  ABC =  DEF 
 BC = EF 
 
 Prova: Consideremos a semirreta 
BC
 e no semiplano que 
não contém o ponto A, tracemos, com vértice em B, um ângulo 
congruente ao ângulo E, tendo a semirreta 
BC
como um de 
seus lados. Sobre o outro lado deste ângulo marquemos um 
ponto P de modo que BP = DE e liguemos P a C. Desta forma 
o  PBC =  DEF (LAL) e assim PC = DF. 
 Resta provar que o  ABC =  PBC. Para isso tracemos o 
segmento 
AP
. Assim os triângulos PAB e PAC são isósceles. 
Logo, BÂP = 
APB ˆ
 e PÂC = 
CPA ˆ
 e assim BÂC = 
CPB ˆ
. 
Por conseguinte, 
 ABC =  PBC (LAL). 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
43 
Concluímos, pois que: 
  ABC =  DEF. 
  
 
  Exercício 3: Na figura abaixo, se MK = MQ, ML = MP e 
KL = PQ, achar o ângulo congruente com o 
LKM ˆ
. 
 P 
 
 K 
 
 
 
 
 M L 
 
 
 
 
 
 Q 
 
Solução: Como o  KML =  QMP (LLL), 
PQMLKM ˆˆ 
 pois os 
mesmos estão opostos aos lados congruentes ML e MP 
respectivamente. 
 
 
  Exercício 4: Se na figura anterior, MK = MQ, 
QK ˆˆ 
, 
MKPM
 e 
MQLM 
, demonstre que 
PL ˆˆ 
. 
 
Solução: Observe que o  KML =  QMP (ALA), daí 
PL ˆˆ 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
44 
Definição 3.9: Chama-se mediatriz de um segmento a reta 
perpendicular ao mesmo em seu ponto médio. 
 
 r Mediatriz 
 
 AM = MB e r 
AB
. 
 
 A M B 
 
 
 
Teorema 3.5: Todo ponto da mediatriz de um segmento é 
eqüidistante dos extremos desse segmento. 
 
Hipótese: A reta r é a mediatriz do segmento 
AB
. 
Tese: PA = PB. 
 r 
 P 
 . 
 
 
 
 
 
 A M B 
 
 
 Prova: Seja M o ponto médio do segmento 
AB
, isto é, MA 
= MB. Seja P um ponto qualquer da mediatriz de 
AB
 diferente 
de M. Traçando-se os segmentos PA e PB, concluímos que 
 
  PMA =  PMB (LAL), 
pois, 
 
AMP ˆ
 = 
BMP ˆ
 = 90o e 
PM
 é lado comum. 
 
Portanto 
 PA = PB. 
  
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
45 
Teorema 3.6: (Teorema recíproco) 
 Se um ponto é eqüidistante dos extremos de um 
segmento, então ele pertence a mediatriz do segmento. 
 
 P 
 
 
 
 
 
 A M B 
 
 
 Prova: Exercício. 
 
 
3.3. DESIGUALDADES GEOMÉTRICAS 
 
 Até o momento, tratamos apenas da congruência de 
segmentos, de ângulos, e de triângulos. Cuidaremos agora de 
analisar condições sobre as quais podemos afirmar quando um 
lado de um triângulo é maior do que ou menor do que outro ou 
quando um ângulo é maior do que ou menor do que outro. 
 
 No triângulo ABC abaixo, os ângulos internos  e 
Bˆ
 são 
ditos não adjacentes ao ângulo externo 
FCA ˆ
. 
 
 E 
 A 
 
 
 
 
 
 
 D B C F 
 
 Como já sabemos do Capítulo 2, o 
Cˆ
 é adjacente ao 
FCA ˆ
. 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
46 
 Analogamente,os ângulos internos  e 
Cˆ
 são não 
adjacentes ao ângulo externo 
DBA ˆ
 e os ângulos 
Bˆ
 e 
Cˆ
 são 
não adjacentes ao ângulo EÂB. 
 
 O próximo teorema faz uma comparação entre um ângulo 
externo de um triângulo e os ângulos internos não adjacentes 
ao mesmo. 
 
 
Teorema 3.7: (Teorema do ângulo externo) 
 Todo ângulo externo de um triângulo é maior que cada um 
dos ângulos internos que não lhes são adjacentes. 
 
 A 
 E 
 
 
 M 
 
 
 
 
 
 B C F 
 
 G 
Hipótese: 
FCA ˆ
 é um ângulo externo do  ABC. 
 
Tese: i) 
CBAFCA ˆˆ 
. 
 ii) 
FCA ˆ
 > Â. 
 
 Prova: Seja M o ponto médio do lado 
AC
. Na semirreta 
BM
 marquemos um ponto E tal que BM = ME. Desta forma o 
 
 AMB =  CME (LAL) 
 
Consequentemente, Â = 
ECA ˆ
. 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
47 
Como 
FCA ˆ
 = 
ECA ˆ
 + 
FCE ˆ
 = Â + 
FCE ˆ
, segue-se que 
FCA ˆ
> Â. 
 
 Repita este argumento, em outra figura conveniente, para 
provar que 
FCA ˆ
>
CBA ˆ
 
  
 
Corolário 1: Se um triângulo tem um ângulo reto, então os 
demais ângulos são agudos. 
 A 
 
 
 
  
 B C 
 
Hipótese: 
Cˆ
 = 90o; Tese: Â < 90o 
 
Bˆ
 < 90o 
 
 Prova: Se 
Cˆ
 = 90o, então o ângulo esterno 
ˆ
 = 90o. 
Pelo teorema anterior, Â < 
ˆ
 e 
ˆˆ B
, isto é, 
 < 90o e 
Bˆ
< 90o . 
  
 
 
Definição 3.10: Um triângulo que possui um ângulo reto é 
denominado triângulo retângulo. 
 
 O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa e os 
outros dois lados são denominados catetos. 
 
 
 
 hipotenusa cateto 
 
 ⊡ 
 cateto 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
48 
Corolário 2: 
 Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma 
única reta perpendicular a reta dada. 
 
 
 P  P 
 
 
 
 r r 
 A B 
 
 
 
 
 Q 
 
Hipótese: P  r; 
Tese: Existe uma única reta que passa por P e é perpendicular 
a reta r. 
 
 Prova: Existência: Sejam r uma reta e P um ponto fora 
dela. Com um compasso faça centro em P e trace um arco que 
intercepta r em dois pontos A e B. Com centros em A e em B e 
mesma abertura trace dois arcos, no semiplano que não 
contém P, que se interceptarão em Q. A reta 
PQ
 é 
perpendicular à reta r. (Por quê?) 
Unicidade: A reta perpendicular a r é única, pois se existissem 
duas perpendiculares a reta r por P, teríamos então formado 
com a reta r um triângulo com dois ângulos retos, o que é um 
absurdo pelo Corolário 1 acima. 
  
 
 Usaremos a seguir, o teorema do ângulo externo para 
provarmos mais um caso (4o caso) de congruência de 
triângulos. 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
49 
Teorema 3.8: (4o caso – LAA) 
 Se dois triângulos têm um lado congruente, o ângulo 
oposto e um ângulo adjacente a este lado respectivamente 
congruentes, então os triângulos são congruentes. 
 
 D 
 P  
 
  
 A  
  E F 
 
 
  
 B C 
 
 
 BC = EF 
Hipótese: Â =
Dˆ
 Tese:  ABC =  DEF. 
 
Bˆ
=
Eˆ
 
 
 Prova: Comparando-se as medidas dos segmentos 
AB
 e 
DE
 podemos afirmar que: 
 i) ou AB < DE; 
 ii) ou AB > DE; 
 iii) ou AB = DE. 
 
 Suponhamos que (i) é verdadeira, isto é, que AB < DE. 
Seja P um ponto da semirreta 
BA
, tal que BP = ED. Então o 
 PBC =  DEF (LAL). 
Portanto, 
Pˆ
=
Dˆ
 e  = 
Dˆ
 (por hipótese) segue-se que 
AP ˆˆ 
. 
Mas isto é um absurdo, pois pelo teorema do ângulo externo, 
aplicado ao  PAC, Â >
Pˆ
, donde se conclui que (i) é falsa. 
 De maneira análoga, pode-se demonstrar que (ii) é falsa. 
 Do exposto, concluímos que AB = DE e pelo Postulado 11, 
o  ABC =  DEF. 
  
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
50 
3.4. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS 
 
 Evidentemente, os quatro casos de congruência de 
triângulos que acabamos de estudar aplicam-se a qualquer tipo 
de triângulo, em particular aos triângulos retângulos. 
 
 O teorema seguinte constitui um caso de congruência, 
exclusivo dos triângulos retângulos. 
 
Teorema 3.9: (LLA) 
 Se dois triângulos retângulos possuem a hipotenusa e um 
cateto respectivamente congruentes então os triângulos são 
congruentes. 
 A 
 
 
 
 
 B C 
 A’ 
 
 
 
   
 B' C'D 
 
 
 AB = A'B' 
Hipótese: AC = A'C' Tese:  ABC =  A'B'C' 
 
'ˆˆ CC 
 
 
 Prova: Sobre a semirreta 
''CB
 tomemos um ponto D tal 
que BC = C'D. Assim o 
 
 ABC =  A'C'D (LAL) 
 
Segue-se que, AB = A'D. Por outro lado, 
A'B' = AB = A'D e assim o triângulo A'B'D é isósceles e desta 
forma 
DB ˆ'ˆ 
. Portanto, o 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
51 
 A'B'C' =  A’C’D’ (LAA). 
 
Do exposto, conclui-se que o  ABC = A’B’C’. 
  
 
 
Teorema 3.10: 
 Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então 
os ângulos opostos a estes lados também não são 
congruentes, e ao maior lado opõe-se o maior ângulo. 
 
 Prova: É evidente que os ângulos opostos aos lados não 
congruentes também são não congruentes, pois caso contrário, 
os lados opostos a esses ângulos seriam congruentes (Teo. 
3.3) o que contraria a hipótese. 
Para provar a segunda parte do teorema, consideremos um 
triângulo ABC no qual supomos que AB > AC. Vamos mostrar 
que 
BC ˆˆ 
. 
 Seja D um ponto da semirreta 
AC
 tal que AD = AB. Então 
o 
DDBA ˆˆ 
. 
 A 
 
 
 
 
 B C 
 
 
 D 
Como 
DBCCBADBA ˆˆˆ 
, segue-se que 
 
,ˆˆ CBADBA 
 
isto é, 
.ˆˆ CBAD 
 
Pelo teorema do ângulo externo, 
.ˆˆ BCAD 
 
E assim 
.ˆˆˆ BCADCBA 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
52 
Portanto, 
.ˆˆ BCACBA 
 
  
 
 
 
Teorema 3.11: (Teorema recíproco) 
 Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, 
então os lados opostos a estes ângulos também não são 
congruentes e, ao maior ângulo opõe-se o maior lado. 
 
 Prova: Se os lados opostos a esses ângulos fossem 
congruentes o triângulo seria isósceles e os ângulos opostos a 
esses lados seriam congruentes o que contraria a hipótese. 
Para provar a segunda parte, consideremos um  ABC no qual 
BC ˆˆ 
. Devemos provar que AB > AC. 
 
 A 
 
. 
 
 
 B C 
 
 Observemos que há três possibilidades para as medidas 
de 
AB
 e 
AC
: 
i) ou AB < AC; 
 ii) ou AB = AC; 
 iii) ou AB > AC. 
 
 Se (i) é verdadeira, pelo teorema anterior 
BC ˆˆ 
 o que 
contradiz a hipótese. 
 Se (ii) é válida tem-se 
BC ˆˆ 
 o que contradiz a hipótese. 
Portanto, deve ocorrer AB > AC como queríamos. 
  
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
53 
  Exercício 5: Na figura ao lado, D 
DBA ˆ
> 
CBD ˆ
. Demonstrar que AD > BD 
e que AD > AB. 
 
 
 
 
 A B C 
 Solução: 
ACBDDBA ˆˆˆ 
  
ADBA ˆˆ 
  
AD > BD. 
Por outro lado, 
DBA ˆ
 > 
CBD ˆ
 > 
Dˆ
  
DDBA ˆˆ 
  
AD > AB. 
 
 
  Exercício 6: Na figura abaixo, 
AB
 e 
CD
 se interceptam 
em E, 
AC ˆˆ 
 e 
BD ˆˆ 
. Demonstrar que AB > CD. 
 
 B D 
 
 
 
 E 
 
 
 C A 
 
 Solução: 
AC ˆˆ 
  EA > EC ( i ) 
 
BD ˆˆ 
  EB > ED ( ii ) 
Somando-se ( i ) e ( ii ) obtém-se: EA + EB > EC + ED, ou 
seja, AB > CD. 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
54 
Teorema 3.12: 
 O segmento de menor comprimento que une um ponto a 
uma reta que não o contém, é o segmento perpendicular a reta 
traçado por este ponto. 
 
 P 
 
 
 
 r 
 Q S 
 
 Prova: Sejam r uma reta e P um ponto não pertencente a 
mesma. Seja Q um ponto de r tal que 
PQ
  r. Se S é qualquer 
outro ponto de r então no  PQS, o ângulo 
Sˆ
 é agudo. Assim 
QS ˆˆ 
 = 90o. 
Pelo teorema 3.11, PQ < PS. 
  
 
Definição 3.11: O comprimento do segmento 
PQ
 é 
denominado a distância do ponto P a reta r. 
 
 O teorema a seguir nos informa que a menor distância 
entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os 
une. 
 
Teorema 3.13: 
 Em todo triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados 
quaisquer é maior que o comprimento do terceiro lado. 
 
 D 
 
 A 
 
 
 
 
 B C 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
55 
 
 i) BC < BA + AC 
Tese: ii) BA < AC + CB 
 iii) AC < AB + BC 
 
 Prova: Seja D um ponto da semirreta 
BA
, com A entre B e 
D, tal que AD = AC. Como o  ACD é isósceles e 
DDCA ˆˆ 
. 
Como 
DCADCB ˆˆ 
, então 
DDCB ˆˆ 
. Pelo teorema 3.11, 
aplicado ao  BCD, tem-se 
BD > BC, 
Ou seja, BA + AD > BC. Isto é, BA + AC > BC o que prova a 
desigualdade (i). A prova das demais desigualdades é análoga 
e deixamos como exercício. 
  
 
 O teorema acima é a única restrição para que se possa 
construir um triângulo com os comprimentos dos lados 
preestabelecidos. Por exemplo, é impossível construir um 
triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 10 cm já que 4 + 5 < 10. 
 
 Como aplicação desse teorema podemos resolver o 
seguinte problema. 
 
 
Aplicação: Se A e B são dois pontos não pertencentes a uma 
reta, determinar um ponto P sobre a mesma, de modo que a 
soma AP + PB, seja a menor possível. 
 
1o caso: 
 Suponhamos que A e B estejam em semiplanos distintos 
relativamente à reta dada r. 
 A 
 r 
 P 
 BP' 
 Neste caso, o segmento 
AB
 intercepta r num ponto P 
(Post. 6). Este ponto é a solução do problema. De fato, se P' é 
qualquer outro ponto da reta r, então pelo Teorema 3.13, 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
56 
AP' + P'B > AB = AP + PB. 
 
2o caso: 
 Suponhamos agora que A e B estejam situados em um 
mesmo semiplano determinado por r. Seja B' o ponto simétrico 
de B relativamente a reta dada r, isto é, a reta r é mediatriz do 
segmento 'BB . 
 
 A 
 B 
 
 
 r 
 P' P 
 
 
 B' 
 O ponto P, de interseção da reta r com o segmento 
'AB
, é 
a solução do problema. De fato, se P' é qualquer outro ponto 
da reta r, então P'B = P'B'. Conseqüentemente, teremos: 
 
AP' + P'B = AP' + P'B'. 
 
Por outro lado, pelo Teorema 3.13, 
 
AP + PB' = AB’ < AP' + P'B'. 
 
Daí, 
 AP + PB < AP' + P'B. 
  
 
 
 O problema que acabamos de resolver aparece na Física, 
quando se tenta determinar um ponto P, sobre um espelho 
plano, onde deve ocorrer a reflexão de um raio de luz que vai 
de um ponto A ao ponto B, refletindo-se no espelho. 
 Situação análoga ocorre quando se tenta determinar um 
ponto onde uma bola de bilhar deve chocar-se com a lateral da 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
57 
mesa, para ir do ponto A, tocar na lateral e atingir uma bola que 
se encontra no ponto B. 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 B' 
 
 
3.5. CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 
 
 Nas construções geométricas dois instrumentos são de 
grande utilidade: a régua não numerada e o compasso. O 
compasso é usado para desenhar circunferências ou partes de 
circunferências chamadas arcos. 
 
 
 Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos de 
um plano que estão a mesma distância de um ponto dado 
neste plano. 
 A distância comum é chamada raio da circunferência e o 
ponto dado é seu centro. 
 
 Os arcos desenhados com o compasso são usados para 
localizar pontos os quais determinarão retas que serão 
desenhadas com a régua. 
 
 
 
 A  
 
 B 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
58 
 Nesta seção, aprenderemos como usar a régua e o 
compasso para construir algumas figuras simples. 
 
Construção 1: Construir um segmento de reta de comprimento 
igual a um segmento dado. 
 
Solução: Seja 
AB
 o segmento de reta dado. 
 
 
 A B 
 
1o) Ajuste o raio do compasso para ter comprimento igual a AB, 
colocando a ponta de metal no ponto A e a ponta de lápis em 
B. 
2o) Desenhe uma reta r e marque sobre ela um ponto C. Com 
centro em C e raio AB desenhe um arco que intercepta r em D. 
Assim CD = AB. 
 
  r 
 C D 
 
Construção 2: Construir um ângulo de medida igual a um 
ângulo dado. 
 
 E 
 
 
 
 A D 
 
 Solução: Seja  o ângulo dado. 
1o) Desenhe uma semirreta 
BC
 que será um dos lados do 
ângulo a ser construído. 
 
 G 
 
 
 
 B F C 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
59 
 
2o) Com cento do compasso em A, desenhe um arco que 
intercepta os lados do ângulo  nos pontos D e E. 
 
3o) Com centro em B e mesmo raio desenhe um arco que 
intercepta 
BC
 em F. 
 
4o) Ajuste agora o raio do compasso para a distância entre os 
pontos D e E. Com este raio e centro em F desenhe um arco 
que interceptará o arco anterior no ponto G. 
 
5o) Desenhe a semi-reta 
BG
. Temos 
AB ˆˆ 
 (Por quê?) 
 
 
Construção 3: Construir um triângulo congruente a um 
triângulo dado. 
 B 
 
 
 
 
 A C 
 
 Solução: Seja ABC o triângulo dado. 
1o) Desenhe uma reta r e considere sobre ela um segmento 
DE
 de comprimento igual a 
AC
 (Construção 1). 
 
 F 
 
 
 
 r 
 D E 
 
2o) Ajuste o raio do compasso para o comprimento AB. Com 
centro em D e com este raio trace um arco. 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
60 
3o) Ajuste agora o raio do compasso para o comprimento BC. 
Com este raio e centro em E trace outro arco de modo a 
interceptar o arco anterior no ponto F. 
 
4o) Com a régua trace os segmentos 
DF
 e 
EF
. O  ABC =  
DFE (Por quê?). 
 
 
Construção 4: Construir a mediatriz de um segmento. 
 
 C 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 D 
 
 Solução: Seja 
AB
 o segmento dado. 
1o) Com A e B como centros, desenhe arcos que tenham o 
mesmo raio e que se interceptam em dois outros pontos, C e D. 
 
2o) A reta 
CD
 é a mediatriz de 
AB
 (Por que ?). 
 
 
Construção 5: Construir a bissetriz de um ângulo dado. 
 
 
 B D 
 
 
 
 A C 
 
 Solução: Seja  o ângulo dado. 
1o) Com centro em A, desenhe um arco que intercepta os lados 
do ângulo  nos pontos B e C. 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama61 
2o) Com B e C como centros, desenhe dois arcos que tenham 
o mesmo raio e que se interceptam num ponto D. 
 
3o) A semi-reta 
AD
 é a bissetriz do  (Por quê?). 
 
 
 
Construção 6: Construir um triângulo conhecendo-se dois 
lados e o ângulo oposto a um deles. 
 
 
 Solução: Sejam 
AB
 e 
BC
 os lados dados e  o ângulo 
dado. 
 
 A B 
 
B C 
 A 
 
1o) Desenhe uma reta r e considere sobre ela um segmento 
''BA
 de comprimento igual a AB (Construção 1). 
 
2o) Construa um ângulo Â' congruente com o  tendo as 
semirreta 
''BA
 e 
DA'
 como lados (Construção 2). 
 
3o) Com centro do compasso em B' e abertura igual a BC 
trace um arco que intercepta o lado 
DA'
 em C e em C'. 
Os triângulos A'B'C e A'B'C' são as soluções do problema. 
 
 C D 
 
 
 
 
 C' 
 
 A' B' 
 
Cap. 3: Triângulos Prof. Sinvaldo Gama 
 
 
62 
 Observe que o raio BC poderá ser tangente ao lado 
DA'
, 
e neste caso o problema tem apenas uma solução. 
 Observe também que este problema nem sempre tem 
solução. A arco de raio BC poderá não cortar a semirreta A’D, 
se 
BC
 for suficientemente pequeno. 
 
 A construção acima nos mostra porque a correspondência 
LLA não estabelece necessariamente uma congruência entre 
triângulos.