03 Faltas desbalanceadas

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3 Faltas Desbalanceadas 
 
3.1 Introdução 
Neste capítulo são estudados os curtos-circuitos do tipo monofásico, bifásico e bifase-terra. 
Durante o estudo será utilizado o método das componentes simétricas. Assim, o problema poderá 
ser resolvido por fase. 
3.2 Fundamentos das componentes simétricas 
As componentes simétricas permitem representar valores desbalanceados de tensão e 
corrente em três componentes simétricas balanceadas. Considere a representação fasorial da 
corrente mostrada na Figura 3.1. 
 
 
Figura 3.1 – Representação das componentes simétricas. 
Os fasores giram no sentido horário. Assim, esses podem ser escritos como, 
 
 Eq. 3.1 
sendo o operador de rotação a = 1∟120º 
 Eq. 3.2 
fica claro que 
 Eq. 3.3 
A ordem dos fasores é abc, sequencia de fase positiva. Quando a rodem for acb, tem-se a 
sequencia de fase negativa (Figura 3.1(b)). 
Os fasores de sequencia negativa podem ser representados por, 
 Eq. 3.4 
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Dependendo do tipo de falta, um terceiro conjunto de fasores balanceados deve ser 
considerado. Esse é chamado de sequencia zero, e as três fases estão em fase. Os fasores de 
sequencia zero podem ser representados por, 
 Eq. 3.5 
O método das componentes simétricas foi introduzido por Dr. C. L. Fortescue em 1918. 
Baseando-se na sua teoria, fasores trifásicos desbalanceados de sistemas trifásicos podem ser 
resolvidos por meio de três sistemas de fasores balanceados, denominados sequencia +, - e 0. 
Considere as correntes trifásicas desbalanceadas Ia, Ib e Ic mostradas na Figura 3.2. As 
componentes simétricas para tais correntes são encontradas a seguir. 
 Eq. 3.6 
De acordo com a definição de componentes simétricas, a eq. 3.6 pode ser rescrita como, 
 
 Eq. 3.7 
ou 
 Eq. 3.8 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Decomposição de um sistema desbalanceado em componentes simétricas. 
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Na forma matricial, a eq. 3.8 fica, 
 Eq. 3.9 
Onde A é conhecida como Matriz de Transformação 
 Eq. 3.10 
Resolvendo a eq. 3.9 para encontrar as componentes simétricas, 
 Eq. 3.11 
A inversa de A é, 
 
 Eq. 3.12 
Por meio das eq. 3.10 e 3.12, conclui-se que, 
 
 
 Eq. 3.13 
Substituindo a eq. 3.13 em 3.11, 
 
 Eq. 3.14 
ou, na forma de componentes simétricas 
 Eq. 3.15 
A eq.3.15 permite concluir que a componente de sequencia zero da corrente é igual a um 
terço da soma das correntes de cada fase. Portanto, a sequencia zero não existe quando a soma das 
três correntes de fase for zero (por ex. sistema trifásico ligado em Y não aterrado). Se o neutro do 
sistema for aterrado, a corrente de sequencia zero flui entre o neutro e o terra. Expressões similares 
existem para a tensão. Logo, tensões desbalanceados em termos de componentes simétricas são, 
 
 Eq. 3.16 
na forma matricial, 
 Eq. 3.17 
As componentes simétricas em termos das tensões desbalanceadas são, 
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 Eq. 3.18 
Na forma matricial 
 Eq. 3.19 
A potencia aparente complexa em termos das componentes simétricas é, 
 Eq. 3.20 
Substituindo a eq. 3.9 e 3.17 em 3.20, tem-se 
 Eq. 3.21 
Como AT = A, da eq. 3.13, ATA* = 3, e a potencia complexa fica 
 Eq. 3.22 
 
A eq. 3.22 mostra que a potencia complexa total desbalanceada pode ser obtida a partir da 
soma das potências complexas. 
Nas deduções acima, I0, I1 e I2 são referentes a fase a. 
 
Exemplo 3.1 
Obtenha as componentes simétricas para as correntes Ia = 1,6∟25º, Ib = 1,0∟180º, Ic = 
0,9∟132º. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na Figura 3.2 
Assim, ver CHP10EX1.M 
Exemplo 3.2 
As componentes simétricas da tensão são Va0 = 0,6∟90º, Va1 = 1,0∟30º, Va2 = 0,8∟-30º. 
Determine os fasores desbalanceados. As componentes simétricas e os fasores são mostrados na 
Figura 3.3. 
Assim, ver CHP10EX2.M 
 
 
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Figura 3.3 – Transformação de componentes simétricas em componentes de fasores. 
 
3.3 Impedâncias de sequência 
É a impedância de um equipamento que é percorrida por diferentes sequências. A 
impedância que se estabelece para a corrente de sequência positiva é a Z1. Para a sequência 
negativa é a Z2 e para a sequência 0 é a Z0. 
3.3.1 Impedância de sequência para carga em Y 
Uma carga trifásica balanceada com impedância própria e mútua é mostrada na Figura 3.4. 
 
Figura 3.4 – Carga balanceada em Y. 
As tensões fase-terra são, 
 Eq. 3.23 
Da lei de Kirchhoff tem-se, 
 Eq. 3.24 
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Substituindo a eq. 3.24 em 3.23 e reescrevendo a eq.3.23 na forma matricial, tem-se 
 Eq. 3.25 
ou, na forma compacta 
 Eq. 3.26 
onde 
 Eq. 3.27 
Escrevendo Vabc e Iabc em termos de suas componentes simétricas, tem-se 
 Eq. 3.28 
Multiplicando a eq. 10.28 por A-1, tem-se 
 Eq. 3.29 
onde 
 Eq. 3.30 
Substituindo Zabc (eq.3.27), A-1(eq. 3.10), A (eq. 3.12) tem-se 
Eq. 3.31 
Realizando a multiplicação, tem-se 
 Eq. 3.32 
Se não houver acoplamento mútuo, Zm = 0, e a matriz de impedância fica 
 Eq. 3.33 
 
A matriz de impedância tem elementos não zeros somente na diagonal principal. Portanto, 
para cargas balanceadas, as três sequências são independentes. Isto é, as correntes relativas a cada 
sequencia produzirão quedas de tensão somente na mesma sequência de fase. Esta é uma 
propriedade importante, já que permite analisar cada rede de sequencia para uma única fase. 
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3.3.2 Impedância de sequência de linhas de transmissão 
Para dispositivos estáticos, tais como as LTs, as impedânicas Z1=Z2, pois as correntes e 
tensões se deparam com a mesma geometria da LT. Os condutor de aterramento está no caminho da 
sequência zero. Logo, Z0, que inclui o efeito do caminho de retorno pela terra, geralmete é diferente 
de Z1 e Z2. Para ter idéia da ordem da Z0, considere a seguinte configuração. Considere uma LT 
de 1m de comprimento com condutores equilateralmente espaçados, de acordo com a Figura 3.5. 
 
 
Figura 3.5 – Corrente de sequência zero com retorno pela terra. 
Pelos condutores fluem correntes de sequência zero (monofásica) que retornam pelo neutro 
aterrado. A superfície da terra é aproximada a um condutor fictício equivalente localizado na 
distância média Dn em relação a cada uma das fases. Como o condutor n transporta a corrente de 
retorno em direção oposta, tem-se 
 Eq. 3.34 
Como Ia0 = Ib0 = Ic0, tem-se 
 Eq. 3.35 
O fluxo concatenado da fase a é 
 
 Eq. 3.36 
Substituindo Ib0, Ic0 e In em termos de Ia0, tem-se 
 
 Eq. 3.37 
Como L0 = λa0/Ia0, a indutância por fase em mH/km é 
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 Eq. 3.38 
O primeiro termo é a indutância de seq. positiva. Logo, a reatância de seq. zero é 
 Eq. 3.39 
onde 
 Eq. 3.40 
A Z0 de uma LT é maior que 3x Z1. 
 
3.3.3 Impedância de sequência de máquinas síncronas 
X1 pode ser igual a X"d, X'd ou Xd, dependendo do caso estudado. 
X2 é aproximadamente igual a X"d. 
 Eq. 3.41 
X0 é aproximadamente igual a X de dispersão. 
 Eq. 3.42 
3.3.4 Impedância de sequência de transformadoresAs perdas no núcleo e a corrente de magnetização são da ordem de 1% do valor nominal. 
Logo, o ramo de magnetização é desprezado. O transformador é modelado por meio do equivalente 
série da impedância de dispersão. Como o transformador é um dispositivo estático, a impedância de 
dispersão não muda se a sequência de fase mudar. Logo, 
 Eq. 3.43 
Nos transformadores Y-∆ ou ∆-Y, a o lado de AT está adiantando em relação ao de BT em 
30º, para a sequência positiva. Na sequência negativa o deslocamento angular é de -30º. A mostra 
algumas configurações de transformadores e o circuito de sequência zero. 
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Figura 3.6 – Circuito equivalente de sequência zero do transformador. 
Exemplo 3.3 
Uma tensão de fase de 100 V é aplicada a uma carga trifásica balanceada conectada em Y, 
conforme mostra a Figura 3.7. 
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Figura 3.7 – Circuito elétrico do exemplo 3. 
Determine: 
a) as correntes de linha usando análise de malhas, sem fazer uso das componentes simétricas 
b) As correntes de linha por meio das componentes simétricas. 
Aplicando a LTC, tem-se: 
 
Pela LCK, tem-se: 
 
As duas equações na forma matricial fica, 
 
ou, na forma compacta, 
 
resolvendo o sistema de equações, tem-se as correntes de linha 
 
b) Pelo método das componentes simétricas 
 
onde 
 
da eq. 3.32, 
 
 
 
Assim, ver CHP10EX3.M 
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Exemplo 3.4 
Uma fonte trifásica desbalanceada tem os seguintes valores de tensão de fase 
 
Alimente a seguinte carga 
 
Sendo Zs = 8 + j24 e Zm = j4, e sabendo que o neutro da fonte e carga são solidamente 
aterrados, determine: 
a) A matriz de impedância de sequencia Z012 
b) As componentes de sequencia da tensão 
c) As componentes de sequencia da corrente 
d) As correntes de fase da carga 
e) A potência complexa fornecida para a carga em termos de componentes simétricas 
f) A potência complexa fornecida para a carga. 
 
Ver CHP10EX4.M 
3.4 Componentes de sequência de geradores 
A Figura 3.8 representa um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn. O gerador 
está alimentando uma carga trifásica balanceada. 
 
Figura 3.8 – Fonte trifásica balanceada. 
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As tensões internas da máquina síncrona são, 
 Eq. 3.44 
Aplicando a LTK em cada fase, tem-se: 
 Eq. 3.45 
Substituindo In = Ia + Ib +Ic , e escrevendo a eq. 3.45 na forma matricial, tem-se: 
 Eq. 3.46 
ou, na forma compacta 
 Eq. 3.47 
Transformando para as componentes simétricas 
 Eq. 3.48 
Multiplicando 4.48 por A-1, tem-se 
 
 Eq. 3.49 
onde 
 
Eq. 3.50 
Realizando as multiplicações, tem-se 
 Eq. 3.51 
Como a emf gerada é balanceada, só existe tensão de sequência positiva 
 Eq. 3.52 
Substituindo Ea012 e Z012 em 3.49, tem-se 
 Eq. 3.53 
reescrevendo a equação na forma de componente 
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 Eq. 3.54 
Estas três equações podem ser representadas pelos três diagramas de sequência mostrados na Figura 
3.9. 
 
 
Figura 3.9 – Diagramas de sequência: (a) positiva; (b) negativa; (c) zero. 
Observações: 
• as três sequencias são independentes. 
• o diagrama de sequencia positiva é igual ao diagrama unifilar utilizado em estudos 
balanceados. 
• somente a sequência positiva tem fonte de tensão. Portanto, a corrente de seq. positiva 
causa queda de tensão de sequência positiva. 
• correntes de seq. negativa e zero causam quedas de tensão de seq. negativa e zero, somente. 
• o neutro do sistema é referência para a seq. positiva e negativa, enquanto que o terra é 
referência para a seq. zero. 
• a impedância de aterramento é refletida na seq. zero em 3Zn. 
• sistemas trifásicos podem ser resolvidos separadamente para uma única fase. 
3.5 Curto-circuito fase-terra 
A Figura 3.8 mostra um gerador síncrono trifásico aterrado por meio de Zn. 
 
Figura 3.10 – Falta monofásica na fase a. 
Suponha que a falta ocorre na fase por meio de uma Zf e o gerador está a vazio. As 
condições de contorno no ponto de falta são: 
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 Eq. 3.55 
 Eq. 3.56 
Substituindo Ib = Ic = 0, as componentes simétricas das correntes (eq. 3.14) são 
 
 Eq. 3.57 
Da eq. acima tem-se 
 Eq. 3.58 
A tensão na fase a em termos das componentes simétricas é 
 Eq. 3.59 
Substituindo a eq.3.54 na eq. 3.59, tem-se: 
 Eq. 3.60 
onde Z0 = Zs + 3Zn. Substituindo por Va da eq. 3.55, e sabendo que Ia = 3Ia0, tem-se 
 Eq. 3.61 
ou 
 Eq. 3.62 
A corrente de falta é 
 Eq. 3.63 
Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta 
são obtidas. 
As eq. 3.58 e 3.62 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência 
em série, conforme a Figura 3.11. 
Nas faltas monofásicas, as impedâncias equivalentes de Thévenin no ponto de falta são 
obtidos para cada sequência. 
Se o gerador for solidamente aterrado, Zn = 0 e se a falta for do tipo franca, Zf = 0. 
 
Figura 3.11 – Falta monofásica na fase. 
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3.6 Curto-circuito bifásico 
A Figura 3.12 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito, 
sendo a impedância de falta Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de 
contorno no ponto de falta são: 
 Eq. 3.64 
 Eq. 3.65 
 Eq. 3.66 
 
Figura 3.12 – Falta bifásica entre as fases b e c. 
Substituindo Ia = 0, e Ib = - Ic na eq. 3.14, as componentes simétricas das correntes são 
 Eq. 3.67 
Da eq. acima encontra-se 
 Eq. 3.68 
 Eq. 3.69 
 Eq. 3.70 
Da eq. 3.69 e 3.60, tem-se 
 Eq. 3.71 
Da Eq. 3.16, tem-se 
 Eq. 3.72 
Substituindo por Va1 e Va2 da eq. 3.54 e sabendo que Ia2 = - Ia1, tem-se 
 Eq. 3.73 
Substituindo Ib da eq. 3.69, tem-se 
 
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 Eq. 3.74 
Como (a - a2)(a2 - a) = 3, e resolvendo para Ia1 tem-se 
 Eq. 3.75 
As correntes de fase são 
 Eq. 3.76 
A corrente de falta é 
 Eq. 3.77 
ou 
 Eq. 3.78 
Substituindo Ia na eq. 3.54, as componentes simétricas da tensão de fase no ponto de falta 
são obtidas. 
As eq. 3.71 e 3.75 podem ser representadas por meio da conexão do diagrama de sequência 
em paralelo, conforme a Figura 3.11. 
Se a falta for do tipo franca, Zf = 0. 
 
 
 
Figura 3.13 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifásica. 
3.7 Curto-circuito bifásico-terra 
A Figura 3.14 mostra um gerador síncrono trifásico com as fases a e b em curto-circuito, 
sendo a impedância de falta a terra Zf. Considerando que o gerador está em vazio, as condições de 
contorno no ponto de falta são: 
 Eq. 3.79 
 Eq. 3.80 
Da eq. 3.16, as tensões de fase Vb e Vc são 
 
 Eq. 3.81 
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Figura 3.14 – Falta bifase-terra entre as fases a e b. 
 Eq. 3.82 
Como, no ponto de falta Vb = Vc, tem-se 
 
 Eq. 3.83 
Em termos das componentes simétricas, a eq. 3.79 fica 
 Eq. 3.84 
Substituindo 3.84 e 3.83 em 3.81, tem-se 
 
 Eq. 3.85 
Substituindoas componentes simétricas da tensão (eq. 3.54) em 3.85 e resolvendo para Ia0, 
tem-se 
 
 Eq. 3.86 
Do mesmo modo, considerando a eq. 3.83, tem-se 
 Eq. 3.87 
substituindo Ia0 e Ia2 em 3.80 e resolvendo para Ia1, tem-se 
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 Eq. 3.88 
 
As eq. 3.86 e 3.88 podem ser representadas pela conexão da seq. positiva em série com a 
combinação em paralelo da seq. negativa e zero, conforme mostra a Figura 3.15. O valor de Ia1 
encontrado na eq. 3.88 pode ser substituído nas eq. 3.86 e 3.87 de modo a encontrar o valor de Ia0 e 
Ia2. As correntes nas fases pode ser encontradas por meio da eq. 3.8. 
Finalmente, a corrente de falta é 
 Eq. 3.89 
 
Figura 3.15 – Conexão dos diagramas de sequência para falta bifase-terra.