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Terceira prova de Equações Diferenciais Ordinárias Turma Engenharia da Computação UTFPR*PB (Pato Branco-PR) Professor: Dr. João Biesdorf/Mateus Eduardo Salomão Dia / hora: 23/06/2016 / 18:40-20:20 Responda as questões propostas sem qualquer tipo de consulta. Justifique suas resposta, descrevendo de forma clara o seu raciocínio. Procure responder só o que cada questão pede. Não está autorizado o uso de calculadora, de modo que o uso da mesma nesta prova poderá ser enquadrado como fraude do processo de avaliação. Boa prova NOME do Aluno(a)/RA: Se necessário, use (sem provar) o fato que se A é uma matriz 2 × 2 que só tem um auto vetor LI ξ associado ao único autovalor λ, então a solução geral geral do sistema x′=Ax é dado por x(t) = c1e λtξ + c2[te λtξ + eλtη] onde η satisfaz (A− λI)η = ξ. 1) [2,0 pts] É dado o sistema de PVI: { x′1 = −2x1 + x2, x(0) = 1 x′2 = −5x1 + 4x2, x2(0) = 2. Sabendo (isto você não precisa calcular) que os autovalores e autovetores da matriz ( −2 1 −5 4 ) são respectivamente na mesma ordem λ1 = 3, λ2 = −1 e ξ1 = (1, 5)T , ξ2 = (1, 1)T . Calcule a solução x1(t) e x2(t) que satisfaça o PVI dado. 2) [2,0 pts] Obtenha a solução geral para o sistema x ′ ( −3 2 −1 −1 ) x. 3) [2,0 pts] Obtenha a solução geral para o sistema ( x′1 x′2 ) = ( 1 −4 4 −7 )( x1 x2 ) . 4) [1,0 pts] Se Ψ(t) é uma matriz fundamental de soluções para o sistema x′=P(t)x, de- duzindo via método de variação de parâmetros, obtenha uma solução particular para o sistema x ′ = P(t)x+ g(t). 5) [1,5 pts] No plano de fase x1x2, Em relação ao sistema da questão 1, identifique o ponto crítico do sistema e classifique se o mesmo é estável, assintóticamente estável, ou instável. Aqui você não precisa usar o conceito formal, mas deve justificar de alguma forma a classificão. Desenhe a tragetória da solução da questão 1, e as tragetórias retas. Nas tragetórias desenhadas, identifique o sentido quando t cresce e coloque o sinal (positivo ou negativo ou nula) das constantes da solução geral que geram as tragetórias desenhadas. 6) [1,5 pts] Calcule o polinômio de Taylor em torno de x0 = 0 de grau 7 (isto é: as série de Taylor truncada em x7) que representa a solução para o PVI y′′ − xy = 0 y(0) = 0 y′(0) = 2 . 1
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