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Prova 3 - EDO - UTFPR PB

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Terceira prova de Equações Diferenciais Ordinárias
Turma Engenharia da Computação
UTFPR*PB (Pato Branco-PR)
Professor: Dr. João Biesdorf/Mateus Eduardo Salomão
Dia / hora: 23/06/2016 / 18:40-20:20
Responda as questões propostas sem qualquer tipo de consulta. Justifique suas resposta,
descrevendo de forma clara o seu raciocínio. Procure responder só o que cada questão pede.
Não está autorizado o uso de calculadora, de modo que o uso da mesma nesta prova poderá
ser enquadrado como fraude do processo de avaliação.
Boa prova
NOME do Aluno(a)/RA:
Se necessário, use (sem provar) o fato que se A é uma matriz 2 × 2 que só tem um auto
vetor LI ξ associado ao único autovalor λ, então a solução geral geral do sistema x′=Ax é dado
por x(t) = c1e
λtξ + c2[te
λtξ + eλtη] onde η satisfaz (A− λI)η = ξ.
1) [2,0 pts] É dado o sistema de PVI:
{
x′1 = −2x1 + x2, x(0) = 1
x′2 = −5x1 + 4x2, x2(0) = 2.
Sabendo (isto você não precisa calcular) que os autovalores e autovetores da matriz
( −2 1
−5 4
)
são respectivamente na mesma ordem λ1 = 3, λ2 = −1 e ξ1 = (1, 5)T , ξ2 = (1, 1)T . Calcule a
solução x1(t) e x2(t) que satisfaça o PVI dado.
2) [2,0 pts] Obtenha a solução geral para o sistema x
′
( −3 2
−1 −1
)
x.
3) [2,0 pts] Obtenha a solução geral para o sistema
(
x′1
x′2
)
=
(
1 −4
4 −7
)(
x1
x2
)
.
4) [1,0 pts] Se Ψ(t) é uma matriz fundamental de soluções para o sistema x′=P(t)x, de-
duzindo via método de variação de parâmetros, obtenha uma solução particular para o sistema
x
′ = P(t)x+ g(t).
5) [1,5 pts] No plano de fase x1x2, Em relação ao sistema da questão 1, identifique o ponto
crítico do sistema e classifique se o mesmo é estável, assintóticamente estável, ou instável.
Aqui você não precisa usar o conceito formal, mas deve justificar de alguma forma a classificão.
Desenhe a tragetória da solução da questão 1, e as tragetórias retas. Nas tragetórias desenhadas,
identifique o sentido quando t cresce e coloque o sinal (positivo ou negativo ou nula) das
constantes da solução geral que geram as tragetórias desenhadas.
6) [1,5 pts] Calcule o polinômio de Taylor em torno de x0 = 0 de grau 7 (isto é: as série de
Taylor truncada em x7) que representa a solução para o PVI

y′′ − xy = 0
y(0) = 0
y′(0) = 2

.
1

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