TRABALHO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS, TAYLOR, MACLAURIM E FOURIER - CÁLCULO IV

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA – UEPB
CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE – CCTS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO: ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
DOCENTE: 
SÉRIES DE POTÊNCIAS, TAYLOR, MACLAURIM E FOURIER
 DISCENTES: 
xx de xx de xxxx
xx - xx
Introdução
Chamamos os polinômios de séries de potências porque eles são definidos como séries infinitas de potências de alguma variável, no nosso caso, x. Assim como os polinômios, séries de potências podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, diferenciadas e integradas de forma a resultar em novas séries de potências. 
Temos por definição que uma série de potência centrada em é dada por:
Para uma série de potência centrada em , temos que:
na qual o centro e os coeficientes , , são constantes.
	Seja um função com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo como um ponto interior. Então a série de Taylor gerada por em é:
	A série de Maclaurin gerada por é:
a série de Taylor gerada por em .
	Seja uma função com derivadas de ordem para , em algum intervalo contendo como um ponto interior. Então, para qualquer inteiro de a , o polinômio de Taylor de ordem gerado por em é o polinômio:
	Por meio de polinômios, vimos como uma série de Taylor pode ser utilizada para aproximar uma função . Os polinômios de Taylor fazem chegar bem próxima de um ponto particular , mas o erro na aproximação pode ser grande em pontos muito distantes. Existe outro método que sempre gera boas aproximações em intervalos largos e que sempre funciona com as funções descontínuas das quais os polinômios de Taylor não dão conta. Criado por Joseph Fourier, esse método aproxima funções por meio da soma de funções seno e cosseno. Então, dada uma função , temos que a série de Fourier da função é dada por:
Onde: 
Lista
Seção 11.8 – George B. Thomas
Nos exercícios 1-8, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.
 , a = 1 
Solução:
Para a = 1:
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
Solução:
Para a = 0:
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
 , a = 2 
Solução:
Para a = 2:
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
, a = 0
Solução:
Para a = 0:
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
 , a = 
Solução:
Para a = :
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
a = 
Solução: 
Para a = :
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
a = 4
Solução:
Para a = 4:
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
 
 a = 0
Solução: 
Para a = 0:
Polinômios de ordens 0, 1, 2 e 3 são:
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos exercícios 9-20.
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
Solução:
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
Nos exercícios 21-28, encontre a série de Taylor gerada por em 
 
Solução: 
 
Solução:
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
 
Solução: 
Seção 11.10 – George B. Thomas
Encontre soluções na forma de séries para os problemas de valor inicial nos exercícios 15-32.
15. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 	
 
16. 
	Temos que,
		
		
	
Quando, 
	Temos,
 	
 
17. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 	
 
18. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 	
 
19. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 	
 
20. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 	
 
21. 
	Temos que,
Quando, 		
	Temos,
 	
 
22. 
	Temos que,
Quando, 		
	Temos,
 	
 
23. 
	Temos que,
Quando, 		
	Temos,
 	
 
24. 
	Temos que,
		
Quando, 		
	Temos,
 	
 
25. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 
 
26. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 
 
27. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 
 
28. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 
 
29. 
	Temos que,
		
		
Quando, 		
	Temos,
 
 
	
30. 
	Temos que,
		
Quando, 	
	Temos,
 
 
31. 
	Temos que,
		
Quando, 	
	Temos,
 
 
32. 
	Temos que,
		
Quando, 	
	Temos,
 
 
Seção 11.11 – George B. Thomas
Nos exercícios 1-8, encontre as séries de Fourier das funções nos intervalos especificados. Esboce cada função.
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Nota: 
Assim:
Nota: 
Assim:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Solução:
Assim, a série de Fourier dada por:
É: 
Esboço da função:
Nos exercícios 9-13, encontre os resultados considerando que p e q são inteiros positivos.
Solução:
Solução:
Solução:
Solução:
:
Solução:
.
Encontre as séries de Fourier para as funções nos exercícios 105-108. Esboce cada função. 
105. = 
Para : dx = dx = 
Para : coskx dx = dx = 0 Para : senkx dx = dx = = - ( 1- ) 
Dai teremos: 
Logo, a série de Fourier de f(x) é - 
Esboço da função: 
106. 
Para temos: = 
Para temos: = =
= .
Para = = = (1-(-)=
 
 Logo a série de Fourier de f(x) é -
Esboço da função:
107. 
Para = ; usando u= x- temos,
=0
Para temos: 
Usando u= x- temos que: Daí teremos:
 Logo, = 
Agora fazendo v= para 
Temos: = 
Fazendo igual ao exemplo 106 então: 
= .
Fazendo do mesmo modo teremos:
 ==
Logo, a série de Fourier de f(x) é 
Esboço do gráfico:
 
108. = 
Para temos: 
Para = 
Daí encontraremos: = 
Para : = = 0 para todo k. 
Logo, a série de f(x) é 
Esboço do gráfico:
Seção 6.2 – Zill
Nos problemas 21-30, resolva cada equação diferencial e então compare os resultados com as soluções obtidas através de séries de potências .
21. 
Resolvendo por variáveis separáveis
Substituindo na equação diferencial, temos:
Assim e 
Para Encontramos
Portanto, 
22. 
Resolvendo por variáveis separáveis
Substituindo na equação diferencial, temos:
Assim e , e 
Encontramos
Portanto,
23. 
Resolvendo por variáveis separáveis
Substituindo na equação diferencial, temos:
Assim, e e Encontramos,
Portanto, 
24. 
Resolvendo por variáveis separáveis
Substituindo na equação diferencial, temos:
 =
Assim
, e ,
Encontramos,
Portanto, 
25. 
Resolvendo por variáveis separáveis
Substituindo na equação diferencial, temos:
Assim,
, 
Encontramos,
,
Portanto,
26. 
Resolvendo por variáveis separáveis
Substituindo na equação diferencial, temos:
Assim,
E
, 
Encontramos
Portanto,
27. 
A equação é auxiliar , assim . Substituindo 
, aequação diferencial nos leva
Assim
E
, 
Encontramos,
Portanto,
28. 
A equação auxiliar , assim . Substituindo
 , a equação diferencial nos leva: 
Assim,
 , 
, 
Encontramos,
Portanto,
29. 
A equação é auxiliar , assim . Substituindo , a equação diferencial nos leva:
Assim
E
, 
Encontramos,
Portanto,
30º 
A equação auxiliar é , assim . Substituindo , a equação diferencial nos leva: 
Então
, 
Encontramos,
Portanto,
Referências
ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Equações diferenciais. Volume 1. Terceira edição. Ed. Pearson. p. 94 - 137. 2007.pdf
George B. Thoomas. Cálculo. Volume 2. Décima primeira edição. Ed.Pearson.