Experimento 2

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Objetivo
O experimento teve como objetivo a determinação das equações do deslocamento, velocidade e a aceleração angular de uma esfera rolante num plano inclinado.
OK 
Resumo
	Objetivando a determinação das equações do deslocamento, velocidade e aceleração angular, o experimento teve como embasamento teórico o movimento de rolamento, que nada mais é a combinação do movimento de translação e rotação. Sabe-se que o centro de massa descreve um movimento com velocidade constante, enquanto o resto da esfera move-se ao redor de um eixo localizado no encontro ente o plano e a extremidade da esfera.
	Utilizando de um trilho previamente demarcado, um apoio, um cronômetro e uma trena, foi possível observar e anotar o movimento descrito pela esfera ao longo do plano inclinado. Sabendo os tempos, a distância percorrida e a altura inicial da esfera, montamos um gráfico de espaço por tempo em papel dilog, determinando assim a equação que rege o movimento ().
	Derivando essa equação, foi possível calcular o tempo, as velocidades de centro de massa, angular e a aceleração.Encontramos também a Energia de Rotação Final (), de Translação Final () e Potencial Gravitacional Inicial (). Assim, considerando o sistema conservativo e a força de atrito como não dissipativa, obtivemos como Erro Porcentual 3.03%. Concluímos assim que o experimento foi bem sucedido e o erro se deve a dificuldade em utilizar um cronômetro manual.
	
OK 
Introdução Teórica
O movimento de rolamento é combinação da translação e rotação de um corpo rígido, o evento transladar pode ser explicado pela mudança de posição do corpo, já o movimento de rotação se dá pelo movimento em torno de um eixo.
Em uma esfera rolando sob um plano inclinado pode ser entendida, em qualquer instante, como se estivesse girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto P, como ilustra a Figura 1.
Figura 1 – Esfera rolando em torno do eixo P.
	Desse modo, o centro de massa da esfera move-se com velocidade linear constante. Os pontos periféricos da esfera descrevem um movimento circular em relação a um ângulo e a distância percorrida por esta correspondendo ao comprimeto do arco S,é descrita pela equação
 (1)
onde R é o raio da esfera. A velocidade linear do centro da esfera é a derivada . A velocidade angular em torno do centro é . Assim, ao derivar a equação (1) com R tido como constante, temos:
 (2)
A energia cinética total da esfera é dada por :
					 (3)
onde é a velocidade angular e o momento de inércia, em relação ao ponto P.Facilmente demonstramos que, pelo teorema dos eixos paralelos, temos que :
				 (4)
E da literatura, temos que o momento de inércia de uma esfera é igual a:
			 (5)
	
	Substituindo a equação (4) em (3), resulta que:
				 (6)
	
	Sabendo que chegamos em :
			 	 (7)
	Onde, o primeiro termo representa a energia cinética de rotação () e o segundo termo a energia cinética de translação () do centro de massa (CM).
Portanto, uma esfera que rola por um plano inclinado, terá, no instante inicial, a energia mecânica igual à energia potencial, que é obtida com:
 (8)
Pela conservação da energia mecânica, podemos obter a energia cinética rotacional, , no final de seu movimento.
O movimento descrito pela esfera rígida no plano inclinado, ao ser plotado em um gráfico dilog, é possível verificar que descreve um fenômeno do tipo:
 (9)
sendo possível calcular a partir do gráfico através da relação:
 (10)
e o coeficiente sendo obtido diretamente do gráfico no eixo y, quando a reta intercepta em .
	No entanto, a teoria aplicada na prática está sujeita a erros, que podem ser, muitas vezes, consideráveis. Para calcular o erro percentual do experimento, utilizamos:
 (11)
OK
Procedimento Experimental
Foram utilizados para realização do experimento os seguintes materiais:
Esfera de aço;
Trilho;
Suporte;
Trena e Régua; 
Cronômetro;
Paquímetro;
Balança semi-analítica.
A montagem do experimento se deu conforme a Figura 2:
Figura 2: Montagem do experimento
Com os materiais em mãos, o trilho foi divido em espaços de 10 em 10 cm a partir do ponto A e terminando em B, totalizando 9 divisões ou 90 cm. Logo após o trilho foi colocado em posição inclinada com um ângulo de acordo com a Figura 3:
OK
Figura 3: Experimento
Posicionou-se a esfera metálica em A, liberando-a juntamente com o cronômetro até que esta percorresse o primeiro espaço demarcado, repetindo 5 vezes a medição.Procedeu-se, analogamente, para os demais espaços demarcados (sempre a partir de A). 
Resultados e Discussões
Para aferir o ângulo do posicionamento do trilho, medimos a altura do suporte (10cm) e o trilho (90cm), por meio de relações trigonométricas, formamos um triângulo retângulo, onde a hipotenusa correspondia ao trilho e o menor cateto ao suporte, e desta forma , portando . Assim chegamos ao valor de . Logo após, coletou-se os dados da esfera metálica, medindo seu diâmetro e massa, que foram organizados na Tabela abaixo :
	Tabela 1 - Características da Esfera
	Massa (kg)
	
	Diâmetro (m)
	
A seguir, a esfera foi solta e os tempos em cada uma das marcações no trilho foram anotados e organizados na Tabela 2, que segue abaixo.
	Tabela 2 - Espaço percorrido pelo corpo em função do tempo
	Distância (m)
	Tempo (s)
	t
	
	1
	2
	3
	4
	5
	
	0-0,9
	1,63
	1,63
	1,62
	1,62
	1,63
	1,63
	0-0,8
	1,58
	1,53
	1,50
	1,54
	1,53
	1,54
	0-0,7
	1,39
	1,37
	1,43
	1,33
	1,42
	1,39
	0-0,6
	1,29
	1,23
	1,27
	1,27
	1,28
	1,27
	0-0,5
	1,20
	1,19
	1,14
	1,16
	1,19
	1,18
	0-0,4
	1,11
	1,07
	1,02
	1,04
	1,03
	1,05
	0-0,3
	0,84
	0,82
	0,93
	0,87
	0,89
	0,87
	0-0,2
	0,65
	0,72
	0,69
	0,71
	0,69
	0,69
	0-0,1
	0,39
	0,41
	0,44
	0,40
	0,49
	0,43
Com base nos dados da tabela acima e do cálculo da média dos tempos, foi possível montar um gráfico, cuja curva no papel milimetrado descreveu um comportamento parabólico (Anexo 1). Os cálculos para o módulo de escala de tal gráfico seguem abaixo:
No papel monolog (Anexo 2), conforme solicitado pelo professor, encontrou-se um curva, diferentemente do que se esperava, portanto, concluímos que o gráfico adequado ao experimento seria o dilog.
Já no papel dilog (Anexo 3), o comportamento plotado foi uma reta, conforme se esperava, desse modo, foi possível encontrar a equação que rege o movimento da esfera.A partir da equação (8), foi encontrado o coeficiente :
Para determinar o fator da equação (7), foi preciso determinar o y correspondente ao . No caso do gráfico 3, . Portanto, a equação que rege o movimento da esfera ficou:
Tal equação pode ser descrita como a equação do espaço para o centro de massa da esfera, sendo:
 (12)
	
Ao derivar a equação apresentada acima, podemos obter a relação entre e o tempo, conforme abaixo:
 (13) 
	
A derivada da velocidade do centro de massa gera a aceleração de tal:
 (14)
Logo depois, encontrou-se a velocidade angular da esfera por meio do cálculodo tempo de queda da esfera, pois o comprimento total do trilho (C) já era pré-determinado, e assim :
C
 = 0,9 m
O valor da hipotenusa do triângulo acima foi substituído na equação do espaço (12), com o objetivo de encontrar o tempo .
Tal dado foi incrementado à equação da velocidade (13) , ficando:
Usando a equação (2), foi achada a velocidade angular do movimento:
Em seguida, foi usada a relação da equação (7) para calcular e :
	Como a energia cinética de rolamento é a soma das duas energias apresentadas acima, foi encontrada a energia final total da esfera:
	Com o intuito de comparar as energias mecânicas final e inicial (experimental e teórico), foi calculada a energia potencial da esfera no ponto A (início do movimento) a partir da equação (8):
	Partindo de tal dado, foi calculado o erro percentual do experimento, através da equação (10):
	O erro percentual encontrado se deve ao fato de o experimento estar sujeito a diversos tipos de fatores ambientais e casuais que alteram de certa forma os resultados finais, tal como o erro humano, gerado pelo tempo de reação ao acionar o cronômetro e pela aproximação dos cálculos, e o erro causado pela desconsideração da resistência do ar.
Portanto, o resultado obtido é considerado satisfatório, por conter um valor baixo para os erros.
OK
Conclusão
Uma vez obtidos os dados experimentais e organizando-os em tabelas, utilizamos gráficos para nos auxiliar na determinação da função de espaço por tempo (. Assim, aproximando o valor de n (expoente) para 2, conseguimos derivar essa equação, obtendo agora as funções da velocidade ( ) e aceleração ().
	Com as funções, calculamos o tempo que a Esfera metálica levou para ir de A a B. Em seguida, utilizamos o tempo na equação de Vcm, encontrando assim a velocidade final de CM. Com a mesma, obtivemos os valores de Krot () e Ktrans (), cuja soma equivale a Energia Mecânica do Sistema em B.
	Voltando em A, calculamos a Energia Potencial Gravitacional () e a consideramos como Energia Mecânica do Sistema em A, uma vez que Vcm = 0 e w = 0. A partir desses valores obtivemos o erro percentual de 3,03%, provando a eficácia do experimento no geral, considerando que esse erro é de possíveis erros na utilização do equipamento (cronômetro) devido a dificuldade em marcar com precisão os tempos manualmente.
OK
Referências Bibliográficas
Apostila de Laboratório de Física II, Última modificação 2° semestre/2008 (Prof. Joca).
Halliday, D; Resnick, R e Walker, J - Fundamentos de Física - Vol. II LTC. 4ª Edição.
OK
Apêndice
Faça um gráfico (S x t) e identifique a curva obtida.
R: O gráfico (S x t) foi traçado e esta de acordo com o Anexo 1, sendo a curva de comportamento parabólico.
Faça o gráfico necessário para obter a função que descreve o fenômeno.
R: O gráfico traçado para obter a função que rege o fenômeno foi feito em papel dilog, de acordo com o Anexo 3, obtendo a equação do espaço em função do tempo (12).
Obtenha a equação = :
R: A partir do gráfico em papel dilog (Anexo 3), foi possível determinar a equação (12), que teve como valores :
Obtenha a equação 
R: De acordo com a equação (12), foi possível determinar a equação (13) aproximando n = 2, para a realização da derivada da função = .
Qual é o valor de ·?
R: O valor da aceleração do centro de massa foi obtido pela derivada da equação (13) em relação ao tempo, sendo do seguinte modo:
 
Portanto, o valor de 
Determine ω no ponto A.
R: O valor de ω em A é igual a zero (0), pois de acordo com a equação (2), temos que:
 = 0 m/s, pois a esfera partiu do repouso no ponto A.
Obtenha o valor de em A.
R: De acordo com a equação (7), é :
Como em A, , então temos que em A
Compare os valores obtidos com os previstos teoricamente.
R: O valor teórico foi obtido a partir do cálculo da Energia Potencial inicial (Gravitacional) em A. O valor prático foi obtido através da soma da Energia Cinética de Rotação ( com a de Translação ( em B, partindo do princípio de conservação Energia. Obtido assim os valores de Energia Inicial e Final, realizamos o cálculo de erro percentual, através da Equação (11) e obtivemos 3,03% de erro.
Mostrar que a energia é conservativa.
R: A energia pode ser considerada conservativa, considerando que, no experimento o atrito não dissipa energia, promovendo apenas a transformação de parte da Energia em Energia Cinética de Rotação. O erro percentual de 3,03% é devido a falhas do operador, uma vez que é difícil ter total precisão com equipamentos analógicos, como um cronômetro ativado manualmente.
OK