AULA 18 Teoria da estimação

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UNIDADE II: TEORIA DA ESTIMAÇÃO
PAU DOS FERROS - RN
OUTUBRO DE 2016
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO: BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA
BASES TECNOLÓGICAS (EMENTA):
 Ementa:
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I
Estatística descritiva
Conjuntos e probabilidades
Variáveis aleatórias.
Distribuições de probabilidade. 
II
Distribuições especiais de 
probabilidade. 
Teoria da amostragem. 
Teoria da estimação. 
III
Testes de hipóteses. 
Regressão linear
Correlação.
SUMÁRIO - TEORIA DA ESTIMAÇÂO
 Estimação por ponto
 Estimação por intervalo 
 Intervalos de confiança para a amostra e população;
 Amostras Grandes - População Normal e não-
Normal 
 Intervalos de confiança para a proporção
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Teoria da Estimação
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TEORIA DA ESTIMAÇÂO
Estimação.
 Um dos métodos para realizar inferências a respeito
dos parâmetros é a estimação – TEORIA DA
ESTIMAÇÂO;
 Este método utiliza as estimativas dos parâmetros
populacionais;
 Existem dois tipos de estimação de um parâmetro
populacional: estimação por ponto e a estimação por
intervalo.
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Estimação por ponto
 A partir das observações, usando o estimador, procura-se
encontrar um valor numérico único (estimativa) que esteja
bastante próximo do valor verdadeiro do parâmetro.
 Este procedimento não permite julgar a magnitude do erro
que podemos estar cometendo, mas a distribuição por
amostragem dos estimadores e que torna possível o estudo
das qualidades do estimador.
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Ex.1. ?????
Estimação por ponto
 Na estimativa pontual, raramente os estimadores estatísticos
coincidem com os valores populacionais.
 Assim, é importante delimitar a faixa de valores onde o
parâmetro populacional deve ser procurado. Isso ocorre através
das estimativas intervalares.
 A média amostral é a melhor estimativa pontual para a média
populacional.
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Estimação por ponto
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Esse mi é populacional
n = tamanho da população
Estimativa intervalar: variância 
conhecida
 Usando o teorema central do limite, a média amostral
𝑋 é uma variável aleatória que tem distribuição normal
com:
 Transformando essa média em uma variável aleatória
(VA) normal padrão, temos:
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Juntando os parâmetros=𝜇; 𝜎; 𝑛
ESTIMADORES PONTUAIS DOS PRINCIPAIS 
PARÂMETROS POPULACIONAIS
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Exemplo - Estimação por ponto
 Exemplo 1: Para avaliar a taxa de desemprego em
determinado estado, escolhe-se uma amostra aleatória
de 1.000 habitantes em idade de trabalho e contam-se
os desempregados, que nesse caso, é igual a 87.
Estimar a proporção de desempregados em todo o
estado.
11OBS 1
Estimação por intervalo
 Procura determinar um intervalo que contenha o valor do
parâmetro populacional, com certa margem de segurança.
 Este procedimento permite julgar a magnitude do erro que
podemos estar cometendo.
 Essa estimativa consiste em uma amplitude (ou um intervalo) de
valores, no qual se admite ser parâmetro populacional.
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Estimação por intervalo
 Com base na amostra, uma maneira de expressar a
precisão da estimação é calcular os limites de um
intervalo, o Intervalo de Confiança (IC);
 É dito como (1−α ), ou seja, a probabilidade de que o
verdadeiro valor do parâmetro esteja contido nele.
 Portanto,
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OBS 2
Estimação por intervalo 
CARACTERÍSTICAS
 Formalizando, se denotarmos o parâmetro de interesse
por θ, desejamos obter um intervalo com LIMITE
INFERIOR - I e LIMITE SUPERIOR - S, tal que:
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teta
Estimação por intervalo 
 CARACTERÍSTICAS
 Quando se constrói um intervalo de confiança são
determinados dois limites entre os quais se espera
estar o parâmetro da população, de acordo com um
risco conhecido de erro (ou nível de confiança).
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Estimação por intervalo 
CARACTERÍSTICAS
 Os limites deste intervalo são variáveis aleatórias, pois 
dependem da amostra selecionada. 
 Um intervalo deste tipo é chamado de intervalo de 1 - α 
(×100)%, que pra esse caso, tem-se a confiança para o 
parâmetro θ. 
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Nível de significância
Intervalos de confiança 
Estimação por intervalo 
 A precisão com que se conhece θ depende da
amplitude deste intervalo dada por S – I.
 Quanto menor esta amplitude melhor estará o
parâmetro.
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Limite superior
Limite inferior
Estimação por intervalo 
A figura abaixo ilustra o conceito de intervalo de 
confiança. 
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Mede o grau de
confiança
AMOSTRA 5 = menos confiável AMOSTRA 7 = mais confiável
Estimação por intervalo 
 O verdadeiro valor do parâmetro estará contido em 1−α
(×100) %;
 Observe que algumas estimativas de intervalos
incluem e outras não incluem o verdadeiro valor do
parâmetro da população;
 Ao retirarmos uma amostra e calcularmos um
intervalo de confiança, não sabemos na verdade se o
parâmetro da população se encontra naquele intervalo
calculado;
 O importante é saber utilizar um método tal como 1−α
(×100) % referente a probabilidade de sucesso.
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Intervalos de confiança para a média de uma 
população normal com variância conhecida 
 Consideremos uma população normal com média
desconhecida que desejamos fazer uma estimação e
com variância conhecida: X = N (𝜇1; 𝜇2);
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Observações
Estimação por intervalo 
 GRÁFICO DA TEORIA DA ESTIMAÇÃO.
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Parâmetro a esquerda Parâmetro a direita
Estimação por intervalo 
 Exemplos 2: A duração de vida de uma peça de
equipamento é tal que σ = 5 horas. Foram amostradas
aleatoriamente 100 dessas peças, obtendo-se uma
média de 500 horas. Construir um intervalo de
confiança para a verdadeira duração média da peça
com um nível de 95% de confiança.
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Estimação por intervalo
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Procurar na tabela Z negativa
O valor de z para 0,025...
𝟏 − 𝜶=95%
nível de significância 
Nível de significância 
005 ou 5%
??
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Tabela Z = 1,96 Z- = NEGATIVA
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Tabela Z = 1,96 Z+ = POSITIVA
1,00
-
0,9750
=
0,0250
ou
2,50%
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Estimação por intervalo 
 Para os casos de populações finitas, multiplica-se o 
desvio padrão pelo fator de correção, gerando o IC: 
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Lado esquerdo ou negativo da tabela Z
Lado direito ou positivo da tabela Z
Estimação por intervalo 
 2. Admitindo os mesmos dados do exemplo anterior,
consideremos como população a produção de 1000
peças. Considere os dados exemplo anterior.
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Dados anterior
σ = 5
n = 100
N = 1000
Nesse caso o intervalo para a média será (499,07; 500,93).
Z = 1,96
Média=500
OBS 3
Estimação por intervalo 
Substituindo os dados na fórmula, temos o intervalo
de confiança solicitado, significando que:
 95% de confiança diz a duração média da peça que está
entre 499,02 e 500,98 horas.
 Portanto, se fossem construídos intervalos dessa
mesma maneira, para um grande número de amostras,
em 95% dos casos os intervalos incluiriam µ
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Amostras Grandes - População 
Normal ou não Normal 
 Se n é suficientemente grande (em geral, n > 30),
mesmo sem conhecermos a distribuição da população,
os limites do Intervalo de Confiança para a média
(µ) poderão ser calculados com base na distribuição
Normal padrão.
 Da mesma forma podemos utilizar o desvio padrão
amostral S no lugar de σ (desvio-padrão populacional),
caso este não seja conhecido.
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Intervalos de confiança para a 
proporção 
 Lembramos que quando p populacional é conhecida,
tem distribuição aproximadamente normal P ≅
𝑁 (𝑝, 𝑝𝑞/𝑛);
 Para construirmos o IC para p desconhecida,
determinaremos o pˆ na amostra e consideramos:
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Intervalos de confiança para a 
proporção 
 Logo, ao nível α de significância, temos:
 Desenvolvendoos cálculos, como foi feito para a
média, chegamos à formula do IC para a proporção p
populacional.
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p = condição favorável
q = condição desfavorável
p + q = 1,0
Intervalos de confiança para a 
proporção 
 Exemplo 3: Para se estimar a porcentagem de alunos
de um curso favoráveis à modificação do currículo
escolar, tomou-se uma amostra de 100 alunos, dos
quais 80 foram favoráveis.
 A) Calcular o IC para a proporção de todos os alunos
do curso favoráveis à modificação ao nível de 4% de
significância (Intervalo de C = 96%).
 B) Qual o valor do erro de estimação ocorrido no
intervalo acima?
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Intervalos de confiança para a 
proporção 
 Resposta da questão anterior:
 DADOS:
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OBS 4
IC = Z-; Z+
Procurar = 2% ?
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Intervalos de confiança para a
proporção
 Temos uma confiança de 96% que de 71,8% a 88,2%
dos alunos do curso serão favoráveis à modificação
curricular.
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OBS 5
prova – segunda avaliação
Data da prova:
 (Turma 1): 18/10/2016
 (Turma 2): 18/10/2016
Data da entrega do exercício + Fichamento:
 (Turma 1): até a data da prova – ANTES da prova;
 (Turma 2): até a data da prova – ANTES da prova;
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