Apostila Estática das construções

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ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 1 
 
 
 
 
11 DDIIRREETTRRIIZZEESS PPAARRAA AA EELLAABBOORRAAÇÇÃÃOO DDEE UUMM PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL 
 
 
 
1.1 INTRODUÇÃO 
A simples observação das construções existentes no meio urbano é suficiente para indicar a 
grande diversidade de estilos arquitetônicos cotidianamente empregados. Não tão notória, entretanto, é a 
variedade de soluções estruturais às quais os projetistas podem recorrer. 
Cada solução estrutural consiste num conjunto de estruturas de suporte da construção, seja ela 
uma residência, um edifício alto, ou uma contenção, que necessita de projeto, planejamento e execução 
particulares. 
As estruturas de suporte, também denominadas sistemas estruturais, devem ser entendidas 
como disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais, classificando-se como 
elementos estruturais os corpos sólidos, elásticos-deformáveis, que possuem capacidade de receber e de 
transmitir ações. 
A estrutura portante dos edifícios pode ser constituída por elementos estruturais de materiais 
diversos, como o concreto (simples, armado ou protendido), a alvenaria estrutural (armada ou não), os 
metais (aço e alumínio), a madeira, e, mais recentemente, a argamassa armada. Não são raros os casos de 
associações entre esses materiais, dos quais pode-se destacar a grande difusão do uso de estruturas em 
composite (vigas metálicas e lajes de concreto que funcionam conjuntamente). 
A decisão para se projetar a estrutura portante de um edifício utilizando qualquer uma das opções 
anteriormente citadas depende não apenas de fatores técnicos, mas também econômicos e executivos. 
Independente da solução adotada, os critérios de segurança da estrutura devem ser obrigatoriamente 
atendidos. 
Neste curso, as diretrizes apresentadas se referem basicamente às estruturas em concreto armado. 
 
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1.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Os elementos estruturais dos sistemas estruturais convencionais dos edifícios de concreto armado 
arranjam-se na superestrutura ou na fundação. No primeiro grupo, destacam-se as lajes, as vigas, os 
pilares e os conjuntos destes elementos (como as escadas e os reservatórios); no segundo, pode-se citar as 
sapatas (flexíveis ou semi-rígidas) e os blocos sobre estacas. 
Diversas são as possibilidades de classificação desses elementos; a mais simples e direta talvez 
seja a classificação geométrica. E dentro dos diversos dados geométricos passíveis de serem analisados, é 
usual se estudar as relações entre as ordens de grandeza das três dimensões características de cada 
elemento estrutural. 
1.2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À GEOMETRIA 
Com base na classificação geométrica, pode-se agrupar os elementos estruturais em quatro tipos 
fundamentais: 
a) Elementos lineares de seção delgada 
São os elementos que têm a espessura b muito menor que a altura h da seção transversal e, esta 
muito menor que o comprimento llll, como mostrado na figura abaixo. 
l
h b
 
Figura 1.1 - Elementos lineares de seção delgada. 
 
 Estes elementos são estudados pala Teoria das Barras de Elementos Delgados. Podem ser citados 
como exemplos as peças de argamassa armada. 
b) Elementos lineares de seção não delgada ou barras 
São os elementos que têm a espessura b da mesma ordem de grandeza da altura h da seção 
transversal, ambas bem menores que o comprimento llll. 
Os elementos lineares de seção não delgada, nas estruturas dos edifícios, são as vigas, os pilares 
e, se houver, os tirantes. 
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Os esforços solicitantes nesses elementos são calculados a partir dos conceitos relativos à 
Resistência dos Materiais. 
 
l
h
b
 
Figura 1.2 - Elementos lineares de seção não delgada. 
 
c) Elementos bidimensionais 
São os elementos estruturais que têm as suas dimensões em planta (b e l) da mesma ordem de 
grandeza, e muito maiores que a espessura (h). 
l
h
b
 
Figura 1.3 - Elementos bidimensionais. 
 
Como exemplos de elementos bidimensionais têm-se as lajes dos pavimentos dos edifícios, as 
paredes dos reservatórios, as lajes das escadas e as cortinas de contenção, etc. 
d) Elementos tridimensionais ou blocos 
São aqueles que têm as três dimensões da mesma ordem de grandeza. São exemplos de elementos 
tridimensionais as sapatas, os blocos sobre estacas, os consolos entre outros. 
l
h
b
 
Figura 1.4 - Elementos tridimensionais. 
 
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Para efeito de orientação prática, pode-se considerar da mesma ordem de grandeza as dimensões 
cuja relação se mantenha inferior a 1:10. 
Esse tipo de classificação, apesar de correto, não associa cada elemento com seu comportamento 
estrutural. E essa associação é de fundamental importância para um bom projeto estrutural. 
1.2.2 CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL 
O ponto de partida de um projeto estrutural consiste na idealização de um arranjo estrutural 
formado por elementos estruturais, com o qual se pretende que todas as partes da construção possam ter 
sua resistência assegurada. Para se imaginar um arranjo estrutural eficiente, é necessário se conhecer o 
comportamento de cada elemento da estrutura a ser projetada, ou seja, a forma com que as ações são 
recebidas e transmitidas. 
Torna-se conveniente relacionar as características de funcionamento dos elementos com suas 
características geométricas, a fim de se escolher corretamente a teoria que regerá o cálculo dos esforços. 
Assim sendo, pode-se apresentar a seguinte classificação: 
a) Elementos lineares 
Os elementos lineares, de seção delgada ou não, são caracterizados segundo a Mecânica das 
Estruturas como elementos de barras. Podem ser submetidos a solicitações normais ou tangenciais. As 
solicitações normais (momento fletor e/ou esforço normal) são características das barras submetidas a 
compressão uniforme, flexão composta (normal ou oblíqua), flexão simples ou tração simples. As 
solicitações tangenciais (esforços cortantes) se limitam a barras submetidas a flexão simples. 
São exemplos de elementos lineares usuais: 
• Pilares 
Os pilares são barras submetidas a ação ou de compressão simples ou de flexão composta. Essa 
variação do tipo de solicitação é função da posição de cada um deles na planta do edifício, como pode ser 
visto na Figura 1.5. 
 
• Vigas 
As vigas são barras submetidas a flexão simples. Geralmente encontram-se na horizontal, 
servindo de apoio para as lajes. 
 
• Tirantes 
Os tirantes são barras submetidas a tração simples. São usualmente feitos com materiais 
metálicos, pois o concreto apresenta uma resistência à tração muito baixa. 
 
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Laje
Viga
Pilar
 
a) Planta 
Mx
yM
N
 
b) Pilar de canto (flexão composta oblíqua) 
Mx
N
 
c) Pilar de extremidade (flexão composta normal) 
 
N
 
d) Pilar central (compressão centrada) 
 
Figura 1.5- Solicitações nos pilares. 
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b) Elementos bidimensionaisOs elementos bidimensionais são elementos de superfície nos quais, como já foi visto, duas das 
dimensões, medidas ao longo da superfície média, têm ordem de grandeza maior que a espessura. 
Quando a curvatura na superfície média for diferente de zero, estes elementos são chamados de 
cascas; caso contrário, ou seja, quando a curvatura for nula, são chamados ou de placas ou de chapas. 
As cascas são estruturas não planas que têm sido utilizadas na construção de coberturas de 
grandes vãos, tampas de reservatórios de grande capacidade de armazenamento, e silos, entre outros. 
 
Figura 1.6 - Exemplo de casca. 
 
As placas caracterizam-se por uma ação uniformemente distribuída, aplicada perpendicularmente 
ao plano de sua superfície média. 
 
 
Figura 1.7 – Exemplo de placa. 
 
As chapas, por outro lado, apresentam a ação uniformemente distribuída aplicada paralelamente 
ao plano da superfície média. 
 
 
Figura 1.8 – Exemplo de chapa. 
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São exemplos de elementos bidimensionais: 
• Lajes 
As lajes são placas de concreto armado, normalmente dispostas horizontalmente, podendo 
apresentar-se segundo alguns diferentes tipos, como: moldadas no local ou pré-fabricadas; maciças ou 
nervuradas. Além disso, podem estar diretamente apoiadas nos pilares, dispensando o uso de vigas, sendo 
nestes casos chamadas de lajes-cogumelo ou lajes planas. 
As lajes maciças são aquelas em que, ao longo de toda sua superfície, a espessura é mantida 
constante ou sofre pequena variação. As lajes nervuradas, por sua vez, podem ser entendidas como um 
conjunto de pequenas vigas (nervuras), em uma ou nas duas direções, solidarizadas a uma mesa de 
espessura constante (laje maciça). 
As lajes sem vigas apóiam-se diretamente sobre pilares. Estes pilares podem ou não possuir um 
aumento da sua seção transversal próximo da ligação com a laje, que é chamado capitel, cuja principal 
finalidade é diminuir as tensões de cisalhamento nessa região, prevenindo a punção. Quando a laje 
apresenta capitel, ela pode ser chamada de laje-cogumelo; quando não apresenta, é chamada de laje 
plana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9 - Lajes sem vigas, com ou sem capitéis. 
 
Quanto aos esforços, as lajes são solicitadas essencialmente a flexão simples, com momentos 
fletores agindo nas direções de seus eixos principais. 
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• Paredes 
As paredes estruturais são chapas de concreto armado, definidas pela NB-1/78 como "estruturas 
laminares planas verticais, apoiadas de modo contínuo em toda a sua base, sendo que o comprimento da 
seção transversal é maior que 5 vezes a largura". 
Como exemplo pode-se citar as paredes de reservatórios enterrados ou apoiados diretamente 
sobre o solo, cuja laje de fundo funciona também como fundação. As reações de apoio das lajes de tampa 
e de fundo, transmitidas às paredes são ações uniformemente distribuídas e que atuam paralelamente ao 
seu plano médio. 
b
h > 5b
 
 
Figura 1.10 - Parede 
 
• Vigas Parede 
 As vigas parede são chapas de concreto armado, definidas pela NB-1/78 como "estruturas 
laminares planas verticais apoiadas de modo descontínuo, cuja altura total, no caso de peças de tramo 
único livremente apoiadas, seja no mínimo igual à metade do vão, e nos demais casos seja no mínimo 
igual a 0,4 do vão". 
l
h ≥ 0,5 l
ou
h ≥ 0,4 l
 
 
Figura 1.11 – Viga-parede 
 
Como exemplo de vigas parede podem ser citadas as paredes de reservatórios elevados, apoiadas 
sobre pilares, que além de receberem o empuxo de água (comportamento de placa), recebem as reações 
de apoio das lajes de tampa e de fundo. trabalhando como chapa. 
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c) Sapatas Flexíveis 
As sapatas flexíveis, que podem ser consideradas como placas, são elementos estruturais que têm 
a finalidade de transferir para o terreno as ações dos pilares. Elas possuem altura relativamente menor 
que as dimensões da base, o que contribui para que os esforços devidos à flexão simples e à punção 
sejam relevantes para o dimensionamento. 
d) Elementos tridimensionais 
 Dentre os elementos estruturais, os tridimensionais são os de análise mais complexa, devido às 
dificuldades de se estudar a distribuição das tensões. 
 São exemplos de elementos tridimensionais: 
 
• Sapatas semi-rígidas 
As sapatas semi-rígidas, assim como as flexíveis, são elementos estruturais que têm a finalidade 
de transferir para o terreno as ações dos pilares. Possuem altura da mesma ordem de grande das 
dimensões da base. 
 
• Blocos sobre estacas 
Os blocos sobre estacas são elementos de transição. Sua função é transmitir as ações dos pilares 
para as estacas, que, por sua vez, transmitem-nas ao terreno. Vale ressaltar que as estacas não são 
necessariamente de concreto, podendo ser também de madeira ou metálicas. 
 
• Consolos 
Os consolos podem ser definidos como vigas de pequeno vão em balanço, com relação entre vão 
e altura menor do que 1,0. São solicitados principalmente ao cisalhamento. 
e) Conjuntos de elementos estruturais 
Os conjuntos de elementos estruturais são aqueles formados por elementos estruturais diversos, 
de geometria e comportamentos não necessariamente iguais, que juntos conseguem desempenhar uma 
determinada função específica diferente de suas funções individuais. 
Muitos dos sistemas estruturais dos edifícios são compostos por conjuntos de elementos 
estruturais. Podem ser citados: 
• Reservatórios 
Os reservatórios são compostos por elementos de placa que apresentam comportamentos 
estruturais diferentes. No caso de reservatórios elevados, as paredes desempenham tanto a função de 
lajes verticais, submetidas a ação da água, como as de vigas parede, submetidas a ação das reações de 
apoio das lajes de tampa e de fundo. 
• Escadas 
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As escadas são compostas por lajes, que formam os patamares e os degraus, apoiadas em vigas, 
posicionadas ou transversalmente ou longitudinalmente. 
 
• Muros de Arrimo 
Os muros de arrimo também podem ser considerados como conjuntos de elementos estruturais 
quando são formados por uma parede, em contato direto com o terreno a ser contido, e por uma sapata 
corrida, em sua base. Enquanto a parede se comporta como uma laje submetida a uma ação linearmente 
variável (empuxo de terra), a sapata também se comporta como uma placa cuja finalidade seria 
equilibrar o momento de tombamento gerado pela parede. 
Esses elementos ou conjuntos de elementos estruturais descritos anteriormente podem ser 
visualizados nesta perspectiva de parte de um edifício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.16 – Perspectiva de parte de um edifício. 
1.3 SISTEMAS ESTRUTURAIS 
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 Como já mencionado, os elementos estruturais podem ser utilizados de variadas formas na 
composição de um sistema estrutural. Em qualquer uma delas, cada elemento deve ser capaz de 
desempenharadequadamente sua função individual, contribuindo para a adequação do desempenho da 
edificação como um todo. 
Quando uma ação é aplicada a um dos elementos estruturais de um edifício, os demais acabam 
por receber parcelas dela, em forma de reações. Com isso a capacidade resistente da estrutura cresce. Em 
outras palavras, cada laje, viga, pilar ou parede estrutural deve apresentar, individualmente, resistência 
mecânica, estabilidade local e rigidez, de modo que a resistência global da edificação seja suficiente 
para garantir a segurança. 
O funcionamento conjunto dos elementos estruturais é conseguido através da transmissão das 
ações, verticais e horizontais. 
Num edifício de vários pavimentos, de estrutura convencional, as lajes (elementos de placa 
horizontais) recebem as ações verticais distribuídas em sua superfície e as transmitem para seus apoios: 
as vigas (elementos lineares horizontais). Estas, por sua vez, distribuem suas ações (reações das lajes e 
cargas de parede) para os pilares (elementos lineares verticais), lance a lance, de forma que a carga final 
na fundação corresponde à carga total incidente na edificação, mais seu peso próprio. 
Com relação às ações horizontais, o sistema resistente é constituído basicamente pelo conjunto 
de pilares e vigas, denominado pórtico. Se houver necessidade de se aumentar a capacidade desse 
sistema, pode-se introduzir chapas verticais rígidas, chamadas de pilares-parede, que podem atuar 
isolados ou em pórticos. 
1.3.1 DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM UM SISTEMA 
ESTRUTURAL 
Dentre os aspectos que regem a disposição dos elementos estruturais dentro de um sistema 
estrutural, é essencial que o projetista gere condições de resistência para a estrutura, tanto às ações 
verticais como às horizontais. 
A idealização de um projeto estrutural está, portanto, intimamente associada ao conhecimento 
das ações incidentes. Só assim pode-se coletá-las e controlar-lhes o fluxo até a fundação. 
Pode-se subdividir os sistemas estruturais em subsistemas, de acordo com o tipo de ação que ele 
se destina a receber: horizontal ou vertical. 
 
 
 
a) Subsistemas Horizontais 
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 Os subsistemas horizontais são formados por combinações de elementos de placa (lajes) e barra 
(vigas) dispostos horizontalmente. O exemplo mais simples seria formado apenas por painéis de laje, sem 
vigas (laje cogumelo). 
Esses grupos de elementos estruturais têm duas finalidades principais: coletar e transmitir as 
ações gravitacionais (verticais) para os diversos subsistemas verticais, em função da rigidez e disposição 
de cada um deles; e coletar e transmitir as ações horizontais para os subsistemas verticais que compõem 
os painéis resistentes às ações laterais. 
 O caminho das ações gravitacionais já foi mencionado anteriormente. Quanto às horizontais, as 
lajes, por apresentarem rigidez “infinita” no plano horizontal (comportamento de diafragma rígido), 
distribuem essas ações de acordo com a rigidez dos elementos que as suportam (subsistemas verticais); as 
vigas, neste caso, funcionam como enrijecedores do subsistema horizontal e auxiliam na transmissão das 
ações para os pilares. 
b) Subsistemas Verticais 
 Os subsistemas verticais são formados por elementos de barra ou de chapa, dos quais pode-se 
destacar os pilares, os pórticos, os pilares-parede, e as caixas de elevadores e escadas (arranjos 
tridimensionais de chapas que geralmente envolvem as regiões de fluxo humano vertical nos edifícios). 
Esses grupos de elementos estruturais têm três finalidades principais: suportar os subsistemas 
horizontais; compor com os subsistemas horizontais os painéis resistentes às ações laterais; e transmitir 
as ações gravitacionais e horizontais que recebe para os elementos de fundação. 
1.4 ESCOLHA DA FORMA DA ESTRUTURA 
Para que se possa determinar o arranjo estrutural de uma edificação, ela deve estar perfeitamente 
delimitada através de um projeto arquitetônico. E é importante que a posição dos elementos estruturais 
não crie interferências neste projeto (apesar dele usualmente criar imposições estruturais) nem nos 
demais (instalações hidráulicas, sanitárias, elétricas, ar condicionado, incêndio, telefone, etc). 
 A forma de uma estrutura em concreto armado é definida a partir da posição dos pilares, e depois 
das vigas. Com a disposição destas, os painéis das lajes ficam definidos. 
1.4.1 LOCAÇÃO DOS PILARES 
 Como já foi dito, a forma da estrutura começa a ser delineada a partir do posicionamento dos 
pilares, chamado de locação, e sempre em concordância com o projeto arquitetônico. 
 Procura-se manter um certo alinhamento entre estes elementos, com a finalidade de gerar 
pórticos capazes de resistir às ações horizontais. Também é conveniente posicioná-los coincidindo com 
as paredes previstas pela arquitetura. 
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Não se pode deixar de ter em mente que afastamentos exagerados entre pilares exigirão vigas 
com alturas significativas, em decorrência do grande vão livre. Como muitas vezes essas alturas são 
limitadas pelas esquadrias, o melhor é se controlar as distâncias entre apoios. 
 Quanto às dimensões, elas são adotadas em função dos esforços solicitantes, respeitando-se os 
limites mínimos estabelecidos por norma. 
1.4.2 POSICIONAMENTO DAS VIGAS 
 As vigas podem se apoiar diretamente nos pilares, ou em outras vigas. 
É conveniente posicioná-las coincidindo com as paredes previstas pela arquitetura. Entretanto, 
não é necessário se prever uma viga coincidindo com cada parede do pavimento, uma vez que as lajes são 
capazes de absorver suas cargas linearmente distribuídas. 
Também não se pode deixar de ter em mente que afastamentos exagerados entre vigas exigem 
lajes com espessuras elevadas, em decorrência do grande vão livre. Como isso acarreta um grande 
consumo de concreto, o melhor é se controlar as distâncias entre apoios. 
 As larguras das vigas são adotadas em função da necessidade de compatibilizá-las com as 
espessuras da parede acabada de alvenaria, respeitando-se os limites mínimos estabelecidos por norma; 
as alturas, por sua vez, são definidas a partir dos esforços solicitantes e da arquitetura (não devem 
ultrapassar a distância de piso a piso menos a altura das portas e caixilhos). 
1.4.3 POSICIONAMENTO DAS LAJES 
 Uma vez definida as posições dos pilares e das vigas, as lajes ficam automaticamente 
determinadas. 
1.4.4 PAVIMENTO DE TRANSIÇÃO 
 Se os pilares lançados para o pavimento-tipo estiverem em posições que interferem áreas 
destinadas a garagem ou em algum ambiente social do playground, eles não poderão descer até o nível da 
fundação. O pavimento onde esses pilares nascerão é o chamado de pavimento de transição. 
Os pavimentos de transição caracterizam-se por vigas de grandes dimensões (vigas de transição), 
uma vez que elas são carregadas pelas reações dos pilares, cuja ordem de grandeza é bastante superior ao 
das vigas do pavimento-tipo. Por isso, este tipo de solução deve, sempre que possível, ser evitado. 
 
1.4.5 RECOMENDAÇÕES 
De uma maneira geral, quando do lançamento de uma estrutura, deve-se procurar: 
• Atender ao projeto arquitetônico; 
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• Posicionar os pilares de modo a se obter distâncias entre seus eixos da ordem de 4 a 7 m, 
preferencialmente alinhando-os para formar pórticos; 
• Definir aslajes em conjunto com as vigas, de modo a se ter o menor vão da ordem de 4 a 6 m; 
• Verificar sempre a interferência com os outros projetos complementares. 
1.5 DIMENSÕES MÍNIMAS DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
São apresentadas a seguir, as dimensões mínimas de alguns elementos estruturais em concreto 
armado, de acordo com a NB1 (1978). 
1.5.1 LAJES 
a) Espessuras mínimas em função da utilização: 
 Lajes maciças Lajes sem vigas 
Lajes de cobertura (não em balanço) 5 cm 12 cm 
Lajes de piso e lajes em balanço 7 cm 15 cm 
Lajes destinadas à passagem de veículos 12 cm 15 cm 
 
b) Observações para lajes nervuradas: 
 A distância livre entre as nervuras não deve ultrapassar 100 cm; 
 A espessura das nervuras não deve ser inferior a 4 cm; 
 A espessura da mesa não deve ser inferior a 4 cm, nem a 1/15 da distância livre entre as 
nervuras. 
1.5.2 VIGAS 
 A largura das vigas de seção retangular, as nervuras das vigas de seção T e as paredes das vigas 
de seção caixão não devem ser menores do que 8 cm. 
 
 
 
 
1.5.3 PILARES 
a) Pilares de estruturas convencionais 
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• Pilares não cintados: 
A menor dimensão deve ser maior ou igual a 20 cm ou 1/25 da altura livre. 
 
• Pilares cintados: 
 O diâmetro do núcleo do pilar deve ser maior ou igual a 20 cm ou 1/10 da altura livre. 
b) Pilares que suportam lajes sem vigas 
• Pilares não cintados: 
A menor dimensão deve ser maior ou igual a 30 cm ou 1/15 da altura livre. 
 
• Pilares cintados: 
 O diâmetro do núcleo do pilar deve ser maior ou igual a 30 cm ou 1/10 da altura livre. 
c) Observações 
1. Para pilares que suportam lajes sem vigas, sua espessura em cada direção não deve ser 
inferior a 1/20 da distância entre seus eixos nessa direção. 
2. Para pilares de estruturas convencionais, permite-se adotar espessuras menores que as 
indicadas acima em alguns casos específicos, desde que o coeficiente de majoração dos 
esforços adotado seja 1,8. 
1.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 - Projeto 
e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão da 
NB-1. Rio de Janeiro. 
FUSCO, P. B. (1976). Estruturas de concreto: fundamentos do projeto estrutural. São Paulo. McGraw – 
Hill / Editora da Universidade de São Paulo. 
GIONGO, J. S. (1996). Concreto Armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São 
Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059. 
MACGREGOR, J. G. (1992). Reinforced Concrete: Mechanics and Design. 2ed. Englewood Cliffs, 
Prentice Hall. 
 
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Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
 
 
 
22 AAÇÇÕÕEESS AA SSEERREEMM CCOONNSSIIDDEERRAADDAASS NNOO PPRROOJJEETTOO DDEE EEDDIIFFÍÍCCIIOOSS 
 
 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
Segundo a NBR 8681/84, ações são “as causas que provocam esforços ou deformações nas 
estruturas”. Na prática, os esforços e as deformações causados por essas ações são considerados como se 
fossem as próprias ações. 
Na análise estrutural, deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir 
efeitos significativos para a estrutura em estudo, considerando-se tanto os estados limites últimos como 
os de utilização. 
Ainda de acordo com a NBR 8681/84, as ações que atuam nas estruturas podem ser divididas em 
ações permanentes, ações variáveis e ações excepcionais, de acordo com as variações de seus valores em 
torno de sua média, ao longo da vida da construção. 
As grandezas e os tipos de cada uma dessas ações variam segundo o as características e 
peculiaridades da estrutura analisada, e de acordo com as normas pertinentes a cada caso. 
2.2 AÇÕES PERMANENTES 
Segundo o Texto-Base para Revisão da NB-1, as ações permanentes são “as que ocorrem com 
valores praticamente constantes durante toda a vida da construção”. Também são consideradas como 
permanentes as ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. As ações permanentes 
são consideras com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança. 
 
 
 
2.2.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS 
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Texto provisório – Sujeito a alterações 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio dos elementos de concreto 
armado que compõem a estrutura, dos elementos construtivos e das instalações permanentes, além dos 
empuxos devidos ao peso próprio de terras não removíveis e ao peso da água de piscinas e reservatórios. 
2.2.2 AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas pelos fenômenos de 
retração ou fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas ou protensão. 
2.2.3 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES PERMANENTES DIRETAS 
De acordo com a NBR 6120/80, devem ser considerados nos projetos de edifícios, os pesos 
próprios de elementos estruturais (lajes, vigas, pilares e fundações), elementos de vedação (paredes de 
alvenaria), caixilhos e divisórias, elementos de revestimento de paredes (como argamassas, azulejos, 
pedras decorativas e madeiras), elementos de revestimentos de lajes (rebocos na face inferior das lajes, 
contrapisos ou camadas de regularização, e pisos de madeira, cerâmica, pedras, carpetes, etc.). 
O projetista da estrutura deve ter conhecimento de todos os materiais de acabamento 
especificados e seus respectivos pesos próprios, para não cometer erros na avaliação das ações. 
Por exemplo, um piso de 2 cm de espessura em ipê róseo tem peso por unidade de área igual a 
0,20 kN/m
2
; se for usado um piso de mármore de mesma espessura, o peso passa para 0,56 kN/m
2
, o que 
significa uma diferença de 180%. 
Para situações gerais, e na falta de determinação experimental, a NBR 6120/80 fornece valores 
aproximados dos pesos específicos aparentes de materiais de construção como os anteriormente citados. 
Tais valores são apresentados na Tabela 2.1. 
Para situações específicas, devem ser consultados catálogos do fabricante ou seu departamento 
técnico, a fim de se tomar conhecimento do peso específico correto do material. Na falta de dados 
normalizados ou de catálogos, há necessidade de se determinar experimentalmente os pesos específicos 
dos materiais. 
Em termos de projeto, é mais conveniente que os valores dos pesos próprios dos materiais 
estejam referidos por unidade de área, e não de volume (pesos específicos). Por exemplo, para se 
determinar o valor da ação de uma alvenaria atuante sobre uma viga de um edifício, por unidade de 
comprimento, o cálculo se restringe à multiplicação da altura da alvenaria pelo peso por unidade de área 
pré-determinado. 
Utilizando os valores dos pesos específicos aparentes indicados na Tabela 2.1, pode-se 
determinar esses pesos por unidade de área para qualquer um dos materiais listados. 
 
 
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 18 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Materiais Peso específico aparente (kN/m3)
Arenito 26
Basalto 30
Gnaiss 30
Granito 28
Mármore e calcário 28
Blocos de argamassa 22
Cimento amianto 20
Blocos Lajotas cerâmicas 18
Artificiais Tijolos furados 13
Tijolos maciços 18
Tijolos sílico-calcários20
Argamassa de cal, cimento e areia 19
Revestimentos Argamassa de cimento e areia 21
e Argamassa de gesso 12,5
concretos Concreto simples 24
Concreto armado 25
Pinho, cedro 5
Louro, imbuia, pau óleo 6,5
Guajuvirá, guatambu, grápia 8
Angico, cabriuva, ipê róseo 10
Aço 78,5
Alumínio e ligas 28
Bronze 85
Chumbo 114
Cobre 89
Ferro fundido 72,5
Estanho 74
Latão 85
Zinco 72
Alcatrão 12
Asfalto 13
Materiais Borracha 17
diversos Papel 15
Plástico em folhas 21
Vidro plano 26
Rochas
Madeiras
Metais
 
 
Tabela 2.1- Peso específico dos materiais de construção (Retirada da NBR 6120/80). 
 
Exemplo do cálculo do peso próprio de alvenaria de um tijolo furado revestida 
 
Seja uma alvenaria de tijolos furados, com dimensões de 9cm x 19cm x 19cm, revestida com 
argamassa mista (cimento, areia, cal) de 2 cm de espessura. Pela tabela o peso específico aparente dos 
tijolos furados é de 13 kN/m3, e da argamassa é de 19 kN/m3. 
O assentamento dos tijolos será com a mesma argamassa, com camadas de 1cm de espessura 
entre as fiadas horizontais e entre as faces verticais dos tijolos, como mostrado na Figura 2.1. Ainda 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 19 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
nesta figura, nota-se que a espessura final da alvenaria é de 23cm, já que a largura do tijolo é 19cm e o 
revestimento de argamassa em cada face é de 2cm. 
 
1
190,5 0,519 19 19 19
1 1 1
100
1
9
0,
5
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
0,
5
1 2 3 4 5
19
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 2
 
 
Figura 2.1 - 1m2 de alvenaria de tijolos furados com revestimento. 
 
Para se construir uma parede de 1m2, são necessários 50 tijolos, cujo peso próprio é dado por: 
 
 50 x (0,19 x 0,19 x 0,09) x 13 = 2,11 kN/m2 
 
Para se computar o peso próprio da argamassa de assentamento basta determinar o volume da 
argamassa, na direção horizontal e vertical, e multiplicar pelo peso específico aparente da argamassa, 
resultando: 
 
10 x (0,19 x 0,01 x 0,95) x 19 + 5 x (0,19 x 0,01 x 1,00) x 19 = 0,52 kN/m2 
 
O valor do peso próprio do revestimento em ambas as faces da alvenaria é dado por: 
 
 2 x (0,02 x 1,00 x 1,00) x 19 = 0,76 kN/m2 
Portanto, o peso próprio de 1m2 de alvenaria de tijolo furado (Figura 2.1), revestida de argamassa 
em cada face, é igual: 
 
 2,11 + 0,52 + 0,76 = 3,39 kN/m2 
 
Na determinação deste valor já se imaginou que a resultante de cada parcial estava dividida por 
1m2. 
Para alvenarias com outros tipos de tijolos ou outras dimensões e tipos de revestimento, o 
procedimento é análogo. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 20 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Na Tabela 2.2 são apresentados os pesos por unidade de área, m2, para os principais materiais de 
alvenaria, enchimento de lajes rebaixadas, forros, coberturas, formas, esquadrias e caixilhos utilizados 
nos edifício usuais. Para as paredes, considerou-se uma espessura de 1cm para a camada de assentamento 
e 1,5cm para a de revestimento. Para as coberturas, considerou-se o peso específico de telhas úmidas, 
prevendo a ocorrência de chuvas. 
 
Item Material Ação (kN/m2)
Tijolos maciços, com 25cm de espessura 4,0
Tijolos maciços, com 15cm de espessura 2,5
Tijolos furados, com 23cm de espessura 3,2
Tijolos furados, com 13cm de espessura 2,2
Tijolos de concreto, com 23cm de espessura 3,5
Tijolos de concreto, com 13cm de espessura 2,2
Tijolos de concreto celular, com 23cm de espessura 0,8
Tijolos de concreto celular, com 13cm de espessura 0,5
Com telhas cerâmicas, com madeiramento 1,2
Com telhas de fibrocimento, com madeiramento 0,4
Com telhas de alumínio e estrutura de aço 0,3
Com telhas de alumínio e estrutura de alumínio 0,2
Com painéis de gesso, com estrutura de madeira e aço 0,5
Com blocos sólidos de gesso 0,7
Com estruturas de alumínio, com vidros 0,2
Com estruturas de aço, com vidros 0,3
De fibrocimento tipo Canalete 43 0,28
De fibrocimento tipo Canalete 90 0,25
Telhas
Paredes
Coberturas
Forros
Caixilhos
 
 
Tabela 2.2 - Ações permanentes por unidade de área. 
2.3 AÇÕES VARIÁVEIS 
Segundo a NBR 8681/84, as ações variáveis são “as que ocorrem com valores que apresentam 
variações significativas em torno de sua média, durante toda a vida da construção”. Correspondem às 
ações que ocorrem no uso das edificações, quantificadas através de estudos probabilísticos de ocorrência. 
2.3.1 AÇOES VARIÁVEIS NORMAIS 
São aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam 
obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural, de acordo com a NBR 8681/84. São as chamadas 
cargas acidentais atuantes sobre as lajes dos pavimentos, decorrentes da presença, por exemplo, de 
pessoas, móveis, utensílios e veículos. 
2.3.2 AÇÕES VARIÁVEIS ESPECIAIS 
São consideradas ações variáveis especiais aquelas que ocorrem durante um curto período na 
vida útil da estrutura, como as ações sísmicas e as cargas de natureza ou intensidade especiais. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 21 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
2.3.3 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS 
As ações variáveis normais são supostas verticais, uniformemente distribuídas e atuantes numa 
superfície horizontal e plana, como uma laje. Seus valores mínimos para edifícios residenciais e 
comerciais destinados a escritórios estão indicados na NBR 6120/80, e são apresentados na Tabela 2.3. 
 
Ação (kN/m2)
(Incluindo a massa das máquinas) a ser determinada
 em cada caso, porém com valor mínimo de
Com acesso ao público 3,0
Sem acesso ao público 2,5
Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5
Residenciais Dispensa, área de serviço e lavanderia 2,0
Com acesso ao público 3,0
Sem acesso ao público 2,5
Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula 3,0
Outras salas 2,0
Escritórios Salas de uso geral e banheiros 2,0
Forros Sem acesso a pessoas 0,5
Galerias 
de Arte
Galerias 
de lojas
Garagens e Para veículo de passageiros ou semelhantes com carga
Estacionamentos máxima de 25 kN por veículo
Ginásio de esportes 5,0
Sem acesso ao público 2,0
Terraços Com acesso ao público 3,0
Inacessível a pessoas 0,5
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,0
3,0
Escolas
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,0
7,5
Ambiente Arquitetônico
Casas de Máquinas
Corredores
Escadas
 
 
Tabela 2.3- Valores mínimos das ações variáveis normais (NBR 6120/80). 
 
Para projetos de edifícios com outras finalidades, devem ser consultadas normas específicas. 
 
Vale destacar que no caso de balcões e parapeitos, deve-se prever a mesma carga acidental do 
ambiente com o qual há comunicação, além de uma ação horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e 
uma ação vertical mínima de 2,0 kN/m. 
 
2.4 AÇÕES EXCEPCIONAIS 
As ações excepcionais são aquelas que têm duração extremamente curta e muito baixa 
probabilidade de ocorrência durante a vida útil da construção, mas que devem ser consideradas no 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 22 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
projeto de determinadas estruturas. São provocadas por fenômenos como incêndios, enchentes, choques 
de veículos e explosões. 
Nocaso de concreto armado, existe uma norma específica para projeto de estruturas resistentes 
ao fogo. 
2.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 - Projeto 
e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1980). (NB-5) NBR 6120 - Cargas 
para Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1984). (NB-862) NBR 8681 - Ações 
e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão da 
NB-1. Rio de Janeiro. 
GIONGO, J. S. (1996). Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São 
Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059. 
2,0 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 23 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
 
 
 
33 AAÇÇÕÕEESS VVEERRTTIICCAAIISS:: CCAARRRREEGGAAMMEENNTTOO DDEE UUMM PPAAVVIIMMEENNTTOO 
 
 
 
3.1 INTRODUÇÃO 
Já foi visto que a estrutura convencional de um edifício de vários pavimentos é constituída de 
lajes, vigas e pilares. As ações verticais distribuídas na superfície das lajes são transmitidas, através das 
reações de apoio, para as vigas. Estas, por sua vez, transmitem as ações que recebem para os pilares, 
lance a lance, de forma que a carga final que chega na fundação corresponde à carga total incidente na 
edificação. 
Este capítulo indica como se determinar as ações verticais atuantes nas lajes, vigas e pilares. Para 
isto, será desenvolvido, como exemplo, o carregamento de um pavimento de um edifício destinado a 
salas de escritórios. Convém ressaltar que, nesta etapa do curso, ainda não serão consideradas as ações 
horizontais. 
3.2 DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO ESTUDADO 
Seja um edifício destinado a salas de escritórios, cuja planta do pavimento tipo encontra-se na 
Figura 3.1a, e sendo o pé-direito de 2,80 m. Foram escolhidas as seguintes especificações: 
 
• pisos: L1 e L4, lajotas cerâmicas, com 1 cm de espessura; 
L2, L3 e L5, tabuado em ipê róseo, com 2 cm de espessura; 
• camada de regularização: argamassa de cimento e areia, com 2,5 cm de espessura; 
• forro: argamassa de cal, cimento e areia, com 1cm de espessura; 
• parede: tijolos maciços de 15cm de espessura; 
• enchimento: L4, entulho (peso específico aparente de aproximadamente17 kN/m3); 
 
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 24 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
 
347
39
7
31715 15
39
7
15
15
11
5
15
15
15
Mureta (H = 100cm)
Terraço
Sala 1 Sala 2
Sala 3
Sanitário Sanitário
15 151 15115 15
10
0
28
2
15
15 
 
 
 
Figura 3.1 - Planta de arquitetura 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 25 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
 
350
40
0
32012 12
40
0
12
12
11
8
12
12
12
V1 (12/60)
V2 (12/60)
V3 (12/60)
V4 (12/60)
V
5 
(1
2/
60
)
V
6 
(1
2/
60
)
V
7 
(1
2/
60
)
L1
h = 8
L2
h = 10
L3
h = 10
L5
h = 10
L4
h = 10
P1
(20/40)
P2
(20/40)
P3
(20/40)
P5
(20/40)
P6
(20/40)
P7
(20/40)
P4
(20/20)
CORTE A-A'
30
10
20
50
10
A A'
B
B
'
30102
0
528
501
0
C
O
R
T
E
 B
-B
'
 
 
 
Figura 3.2 - Planta de forma 
 
 
3.3 CARREGAMENTO DE LAJES 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 26 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Atuam nas lajes as ações permanentes diretas, provenientes dos pesos próprios da placa de 
concreto e dos materiais de acabamento, e as ações variáveis normais, decorrentes da utilização de cada 
ambiente. Essas ações são adotadas por unidade de área. 
3.3.1 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS LAJES DO EDIFÍCIO ESTUDADO 
a) AÇÕES PERMANENTES DIRETAS 
• Laje L1 
 De acordo com as informações fornecidas, a laje L1 apresenta as seguintes camadas: 
 
1.0
2.5
8.0
1.0
Piso Camada de regularização
Forro Laje
 
 
Figura 3.3 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios na laje L1. 
 
Utilizando-se os pesos específicos da Tabela 2.1, tem-se: 
 
� peso próprio da laje: 
 0,08 × 25 = 2,000 kN/m2 
� peso próprio da camada de regularização: 
 0,025 × 21 = 0,525 kN/m2 
� peso próprio do piso (lajota cerâmica): 
 0,01 × 18 = 0,180 kN/m2 
� peso próprio do forro: 
 0,01 × 19 = 0,190 kN/m2 
Portanto, a ação permanente direta total na laje L1 é igual a 2,895 kN/m2. 
 
• Lajes L2, L3 e L5 
As lajes L2, L3 e L5 apresentam as camadas ilustradas na Figura 3.4. 
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 27 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
2.0
2.5
10.0
1.0
Piso Camada de regularização
Forro Laje
 
 
Figura 3.4 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios nas lajes L2, L3, L5. 
 
Utilizando-se novamente os pesos específicos da tabela 2.1, tem-se: 
 
� peso próprio da laje: 
 0,10 × 25 = 2,500 kN/m2 
� peso próprio da camada de regularização: 
 0,025 × 21 = 0,525 kN/m2 
� peso próprio do piso (ipê róseo) 
 0,02 × 10 = 0,200 kN/m2 
� peso próprio do forro: 
 0,01 × 19 = 0,190 kN/m2 
 
Portanto, a ação permanente direta total nas lajes L2, L3 e L5 é igual a 3,415 kN/m2. 
• Laje L4 
Como pode ser visto na figura 3.5, a laje L4 é rebaixada em relação às demais, e, de acordo com 
a Tabela 2.1, têm-se os seguintes pesos próprios para as diversas camadas que a compõem: 
 
� peso próprio da laje: 
 0,10 × 25 = 2,500 kN/m2 
� peso próprio do piso (lajota cerâmica): 
 0,01 × 18 = 0,180 kN/m2 
� peso próprio da camada de regularização: 
 0,025 × 21 = 0,525 kN/m2 
� peso próprio do forro: 
 0,01 × 19 = 0,190 kN/m2 
� peso próprio do enchimento: 
0,20 × 17 = 3,400 kN/m2 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 28 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Piso
Camada de regularização
L5
V6
ForroL4
20.0
10.0
1.0
1.0
2.5
Enchimento
 
 
Figura 3.5 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios na laje L4 
 
� peso da parede: 
Deve-se considerar também a ação das paredes que se apóiam na laje L4. A ação da parede pode 
ser suposta uniformemente distribuída na área da laje, e determinada a partir dos comprimentos medidos 
de eixo a eixo (vão teórico) das vigas de apoio. Para a L4 em estudo: 
 
 Lx = 3,20 + 0,12 = 3,32m 
 Ly = 4,00 + 0,12 = 4,12m 
 
 Portanto, a resultante da ação das paredes na laje L4 é: 
 
22,96kN/m
4,12 3,32
2,50 0,10)(2,80 2,82)(3,17
=
⋅
⋅−⋅+
 
 
onde, 
(3,17 + 2,82) é o somatório dos comprimentos das paredes; 
(2,80 - 0,10) é a altura total da parede, que corresponde ao pé direito, menos a espessura da laje; 
2,50 é o peso por unidade de área da parede de tijolos maciços, com 15 cm de espessura 
(Tabela 2.2); 
3,32 × 4,12 é a área da laje; corresponde ao produto dos comprimentos medidos de eixo a eixo das 
vigas de apoio. 
 
 Portanto, a ação permanente direta total da laje L4 vale 9,755 kN/m2 
 
 
 
ENG 298 – Estática das ConstruçõesNotas de Aula - 29 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
b) AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS 
 Como o edifício em estudo é destinado a escritórios, a ação variável normal a ser considerada é 
igual a 2,0 kN/m2 , segundo a NBR 6120/80 (Tabela 2.3). 
c) AÇÕES VERTICAIS TOTAIS 
 Para as lajes analisadas nos itens anteriores, as ações verticais totais, correspondentes à soma das 
ações permanentes diretas (g) e das ações variáveis normais (q), são apresentadas a seguir. 
 
Camada de
Regularização
L1 8 2 0,18 0,525 0,19 - - 2,895 2 4,895
L2
L3
L5
L4 10 2,5 0,18 0,525 0,19 3,4 2,96 9,755 2 11,755
2 5,415
Laje Piso Forro Enchimento Parede
q (kN/m2) p (kN/m2)
10 2,5 0,2 0,525 0,19 - - 3,415
Laje h(cm)
Peso próprio (kN/m2)
g (kN/m2)
 
 
3.3.2 CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO DE LAJES NERVURADAS 
 No caso de lajes nervuradas, como a da figura a seguir, o peso próprio deve ser calculado da 
seguinte forma: 
70
0
400
117 711
8
17
21
11
17
Enchimento:
- Tijolo furado de 11x17x21 cm
Detalhe das Nervuras
Mesa (ou capa)
Nervura
 
 
 
Figura 3.6 - Laje com nervuras em uma direção 
 
� peso próprio da mesa (ou capa): 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 30 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 0,08 × 25 × 1,00 = 2,00 kN/m2 
� peso próprio das nervuras: 
2kN/m 1,03
29
100
 x 25 x 0,17 x 0,07 =





 
� peso próprio dos tijolos (enchimento): 
2kN/m 1,68
29
100
 x 13 x 0,17 x 0,22 =





 
Portanto, a ação permanente direta total da laje nervurada vale 4,71 kN/m2. 
3.4 CARREGAMENTO DE VIGAS 
 As ações atuantes nas vigas são provenientes do seu peso próprio e das paredes ou divisórias que 
nelas se apóiam, e das reações de apoio das lajes. 
3.4.1 REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES 
 A NB-1 (1978) sugere que as reações de apoio de lajes retangulares sejam determinadas a partir 
das linhas de plastificação. Diz o seguinte: ”Permite-se calcular as reações de apoio das lajes 
retangulares, com ação uniformemente distribuída, considerando-se para cada apoio ação correspondente 
aos triângulos ou trapézios obtidos traçando-se, a partir do vértice, na planta da laje, retas inclinadas de”: 
- 45o entre dois apoios de mesmo tipo; 
45°
45°
 
- 60o a partir do apoio engastado quando o outro for simplesmente apoiado; 
60° 60°
 
- 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. 
90°
 
Na Figura 3.7 são apresentados alguns tipos de sistemas estáticos e suas configurações de linhas 
de plastificação, para lajes retangulares usuais submetidas a carregamento uniformemente distribuído. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 31 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
 
45°
45
°
60°
60°
60°
60
°45°
45
°45°
45°45
° 45°45
°
45
°45°
45°
45
°
45°45
°
45°
60° 60
°
60° 60
°
60
° 60°
60°
60
°45°
45
°
 
 
Simplesmente apoiada (sem continuidade)
Engastada (com continuidade)
Borda livre
 
 
Figura 3.7 - Esquemas estáticos das lajes 
 
Como aplicação da recomendação da norma, sejam os exemplos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Calcular as reações de apoio da laje da Figura 3.8, cuja ação total incidente é de 6 kN/m2. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 32 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
30
0
500
A1 15
0
15
0
87263
60
°45°
45
° 60°
150
A 2
3A A 4
1R
2R
3R 4R
 
Figura 3.8 - Laje do exemplo 1 
 
2
21 m 5,721,50 x 2
2,635,0
AA =




 +== ⇒ kN/m 6,87
5,00
6,00 x 5,72p A
RR
1
1
21 ====
l
 
2
3 m 2,252
1,50 x 3,00
A == ⇒ kN/m 4,50
3,00
6,00 x 2,25p A
R
2
3
3 ===
l
 
2
4 m 1,3052
0,87 x 3,00
A == ⇒ kN/m 2,61
3,00
6,00 x 1,305p A
R
2
4
4 ===
l
 
Exemplo 2: Calcular as reações de apoio da laje apresentada a seguir, cuja ação total incidente é de 
(p+g). 
l
l
A1
l - l
45°
45
°
l /2
A2
3A A 4
1R
2R
3R 4R
2
1
1
45°
45
°
22
l
 
/2
2
l
 
/2
2
l /22
 
Figura 3.9 - Laje do exemplo 2 
( )
4
)2(
22
AA 221
2211
21
l
ll
llll
−=




 −+
== ⇒ 
4
p 
2
pA
RR 2
1
2
1
 1
21
l
l
l
l






−=== 
4
AA
2
2
43
l
== ⇒ 
4
 pp A
RR 2
2
3
43
l
l
=== 
3.4.2 PESO PRÓPRIO DAS VIGAS 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 33 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
O peso próprio das vigas deve ser dado por metro linear. Para isso, multiplica-se o peso 
específico do concreto armado pela área da seção transversal da viga (b × h). Por exemplo, uma viga em 
concreto armado, com seção transversal de 15 cm de largura por 60 cm de altura tem peso próprio igual 
a: 
 25 × 0,15 × 0,60 = 2,25 kN/m 
3.4.3 PESO PRÓPRIO DE PAREDES 
O peso próprio de paredes (ou divisórias) que se apoiam em vigas também deve ser dado por 
metro linear, e é obtido pela multiplicação da altura da parede pelo seu peso por unidade de área (dado na 
Tabela 2.2). Sendo assim, uma parede de tijolos furados, com 23cm de espessura (3,2 kN/m2) e 2,80m de 
altura, se apoiando sobre uma viga, causa nesta uma ação por metro linear de: 
 3,20 × 2,80 = 8,96 kN/m 
3.4.4 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS VIGAS DO EDIFÍCIO ESTUDADO 
a) V1 (12 x 60) 
 
• Peso próprio da viga: 
 25 × 0,12 × 0,60 = 1,80 kN/m 
• Reação de apoio da laje L1: (p = 4,895 kN/m2 calculado anteriormente) 
 
59848 48
694
130
82
48A1
2A
3A 4A
1R
2R
3R 4R
 
Figura 3.10 - Esquema estático da laje L1 
 
 
2
1 m 3,100,48 x 2
5,986,94
A =




 += kN/m 2,19
6,94
4,895 x 3,10
l
p A
R
1
1
1 === 
• Peso próprio da mureta de 1m de altura, com tijolos maciços, com 15 cm de espessura: 
 2,50 × 1,0 = 2,50 kN/m 
• Ação vertical total atuante, por metro linear, na viga V1: 
(1,80 + 2,19 + 2,50) = 6,49 kN/m 
• Esquema estático da viga V1 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 34 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
694
6,49 kN/m
A B
V5 V7
 
Figura 3.11 - Esquema estático da viga V1 
b) V5 (12/60) 
• Peso próprio da viga: 
 25 × 0,12 × 0,60 = 1,80 kN/m 
• Peso próprio da parede nos vãos 1 e 2 (hpar = 2,80 - 0,60 = 2,20m) 
 2,50 × 2,20 = 5,50 kN/m 
• Peso próprio da parede no balanço (hpar = 1,00m) 
 2,50 × 1,00 = 2,50 kN/m 
• Reação de apoio das lajes: 
No vão 1 (L4): p = 11,755 kN/m2 (calculado anteriormente) 
16
6
80
16
6
166166
41
2
332
45
°45°
45°45
°
A3R 3
 
Figura 3.12 - Esquema estático da laje L4 
2
3 m 4,08 66,1 2
0,804,12
A =⋅




 += 
⇒ kN/m 11,64
4,12
11,755 x 4,08p A
R
3
3
3 ===
l
 
No vão 2 (L2): p = 5,415 kN/m2 (calculado anteriormente) 
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 35 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
2
3 m 3,001,22 x 2
0,804,12
A =




 += 
 ⇒ kN/m 3,94
4,12
5,415 x 3,00p A
R
3
3
3 ===
l
 
41
2
332
A3
R 3
21
0
80
12
2210122
60°
45°60
°
45°
 
 
Figura 3.13 - Esquema estático da laje L2 
 
No balanço (L1, ver figura 3.12) 
 
2
3 m31,02
48,030,1
A =




 += 
 ⇒ m/kN17,1
30,1
895,4x31,0pA
R
3
3
3 ===
l
 
 
• Ação vertical total atuante, por metro linear, na viga V1: 
 
Vão 1 ⇒ 1,80 + 5,50 + 11,64 = 18,94 kN/m 
Vão 2 ⇒ 1,80 + 5,50 + 3,94 = 11,24 kN/m 
Vão 3 ⇒ 1,80 + 2,50 + 1,17 = 5,47 kN/m 
• Reação de apoio de V1 
É importante observar que, na extremidade do balanço, existe uma carga concentrada oriunda da 
reação de apoio da viga V1 na viga V5, que vale: 
kN 22,52
2
6,94 x 6,49
2
p
(V1)R A ===
l
 
• Esquema estático da viga V5 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 36 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
18,94 kN/m
11,24 kN/m 5,47 kN/m
R V = 22,52 kNA 1
398 150398
A B C
 
Figura 3.14 - Esquema estático da viga V5 
3.5 CARREGAMENTO DE PILARES 
A ação vertical atuante nos pilares é proveniente do peso próprio destes e das reações das vigas 
que neles se apóiam. 
3.5.1 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DOS PILARES DO EDIFÍCIO ESTUDADO 
a) Pilar P1 
• Peso próprio 
 0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RA V2 e RC V5 
b) Pilar P2 
• Peso próprio 
 0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RB V2 e RC V7 
c) Pilar P3 
• Peso próprio 
 0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RB V5 e RA V3 
d) Pilar P4 
• Peso próprio 
 0,20 × 0,20 × 2,80 × 25 = 2,80 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RB V3 e RB V6 
e) Pilar P5 
• Peso próprio 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 37 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RC V3 e RB V7 
f) Pilar P6 
• Peso próprio 
 0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RA V5 e RA V4 
g) Pilar P7 
• Peso próprio 
 0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN 
• Reações de apoio das vigas 
RB V4 e RA V7 
3.6 EXERCÍCIO 1 
Para a estrutura em concreto armado, apresentada na Figura 3.15, determinar o carregamento das 
lajes, vigas e pilares. Sabe-se que: 
� revestimento = 1,50 kN/m2 
� ação variável normal = 2,50 kN/m2 
� parede: tijolos furados, com 13 cm de espessura (2,2 kN/m2) 
� considerar paredes em V1, V3 e V4. 
3.6.1 CARREGAMENTO DAS LAJES 
a) L1 (h = 12 cm) 
� peso próprio (0,12 × 25) = 3,00 kN/m2 
� revestimento = 1,50 kN/m2 
� ação variável normal = 2,50 kN/m2 
 Total = 7,00 kN/m2 
b) L2 (h = 8 cm) 
� peso próprio (0,08 × 25) = 2,00 kN/m2 
� revestimento = 1,50 kN/m2 
� ação variável normal = 2,50 kN/m2 
 Total = 6,00 kN/m2 
c) L3 (h = 10 cm) 
� peso próprio (0,10 × 25) = 2,50 kN/m2 
� revestimento = 1,50 kN/m2 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 38 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
� ação variável normal = 2,50 kN/m2 
 Total = 6,50 kN/m 
 
V1 (12/50)
V
4 
(1
5/
60
)
P1
(25/60)
P2
(20/50)
P3
(25/60)
P4
(20/50)
L1
h = 12
L3
h = 10
L2
h = 8
V2 (12/50)
V3 (12/50)
V
5 
(2
0/
60
)
12
38
0
32
0
12
15 425 20 100
12
295
295
Corte Esquemático
Planta de Forma
 
 
Figura 3.15 – Planta de forma 
3.6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES 
a) L1 (p = 7,00 kN/m2) 
A1
60
°
45
°
A 2
3A A 4
1R
2R
3R 4R
45°
60°
24
9
442,5
39
2
14
3
156,5143 143
 
 
Figura 3.16 – Esquema estático da laje L1 
 
kN/m 6,78
4,425
7,00
 x 1,43 x 
2
1,5654,425
R1 =




 += 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 39 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
kN/m 80,11
4,425
7,00
 x 2,49 x 
2
1,5654,425
R 2 =




 += 
kN/m 5,00
3,92
7,00
 x 
2
1,4392,3
RR 43 =




 ⋅== 
b) L2 (p = 6,00 kN/m2) 
3A3R39
2
1A
2A
60°
60°
R1
R 2
110
26
4
64
64
 
 
Figura 3.17 – Esquema estático da laje L2 
 
c) L3 (p = 6,50 kN/m2) 
A1
A 2
3A A 4
2R
3R 4R
442,5
122 122198,5
21
0
12
2
33
2
1R
60
° 60°
45
°45°
 
 
Figura 3.18 – Esquema estático da laje L3 
 
kN/m 89,9
4,425
6,50
 x 2,10 x 
2
1,9854,425
R1 =




 += 
kN/m 74,5
4,425
6,50
 x 1,22 x 
2
1,9854,425
R 2 =




 += 
kN/m ,921
1,10
6,00
 x 
2
64,010,1
R 21 =




 ⋅
== R 
kN/m 52,5
3,92
6,00
 x x1,10
2
64,292,3
R 3 =




 += 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 40 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
kN/m 97,3
3,32
6,50
 x 
2
1,2232,3
RR 43 =




 ⋅== 
 
3.6.3 CARREGAMENTO DAS VIGAS 
a) V1 (12/50) 
Vão: 
� peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m 
� parede: 2,20 × (2,95 - 0,50) = 5,39 kN/m 
� reação de apoio de laje (R1 L1) = 6,78 kN/m 
 Total =13,67 kN/m 
 
Balanço: 
� peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m 
� parede: 2,20 × 2,45 = 5,39 kN/m 
� reação de apoio de laje (R1 L2) = 1,92 kN/m 
 Total = 8,81 kN/m 
 
 
Esquema estático: 
422,5
13,67 kN/m
125
8,81 kN/m
A B
P1 P2
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
 
kN 25,27R 0
2
1,25
 8,81
2
4,225
 13,674,225 R 0M A
22
AB =⇒=⋅+⋅−⋅→=∑
 
kN 52,41R 04,225
2
1,25
 1,25 8,81
2
4,225
 13,674,225 R 0M B
2
BA =⇒=




 +⋅⋅−⋅−⋅→=∑ 
 
b) V2 (12/50) 
Vão: 
� peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m 
� reações de apoio de laje (R2 L1) = 11,80 kN/m 
 (R1 L3) = 9,89 kN/m 
 Total = 23,19 kN/m 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 41 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Balanço: 
� peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m 
� reação de apoio de laje (R2 L2) = 1,92 kN/m 
 Total = 3,42 kN/m 
 
Esquema estático: 
442,5
23,19 kN/m
110
3,42 kN/m
A B
V4 V5
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
0
2
1,10
 x 42,3
2
4,225
 x 3,1924,225 x R 0M
22
AB =+−→=∑ ⇒ RA = 50,84 kN 
04,225
2
1,10
 x 1,10 x 42,3
2
4,225
 x 3,1924,225 x R 0M
2
BA =




 +−−→=∑ 
⇒ RB = 55,54 kN 
c) V3 (12/50) 
� peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m 
� parede: 2,20 × 2,45 = 5,39 kN/m 
� reação de apoio de laje (R2 L3) = 5,74 kN/m 
 Total = 12,63 kN/m 
Esquema estático: 
422,5
12,63 kN/m
A B
P3 P4
 
Cálculo das reações de apoio: 
kN 26,68
2
4,225 x 12,63
RR BA === 
d) V4 (15/60) 
1o trecho: 
� peso próprio: 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m 
� parede: 2,20 × (2,95 - 0,60) = 5,17 kN/m 
� reação de apoio de laje (R3 L3) = 3,97 kN/m 
 Total = 11,39 kN/m 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 42 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
2o trecho: 
� peso próprio: 0,15× 0,60 × 25 = 2,25 kN/m 
� parede: 2,20 × (2,95 - 0,60) = 5,17 kN/m 
� reação de apoio de laje (R3 L1) = 5,00 kN/m 
 Total = 12,42 kN/m 
Reação de apoio de V2: 
� RAV2 = 50,84 kN 
 
Esquema estático: 
11,39 kN/m
368308
12,42 kN/m
R V2 = 50,84 kN
AP3 B P1
A
 
Cálculo das reações de apoio: 
 
0
2
3,68
 x 12,423,68 x 50,843,68
2
3,08
 x 3,08 x 11,396,76 x R 0M
2
AB =−−




 +−→=∑
 ⇒ RA = 67,21 kN 
03,08
2
3,68
 x 3,68 x 12,423,08 x 50,84
2
3,08
 x 11,396,76 x R 0M
2
BA =




 +−−−→=∑
 ⇒ RB = 64,42 kN 
e) V5 (20/60) 
 
1o trecho: 
� peso próprio: 0,20 × 0,60 × 25 = 3,00 kN/m 
� reação de apoio de laje (R4 L3) = 3,97 kN/m 
 Total = 6,97 kN/m 
2o trecho: 
� peso próprio: 0,20 × 0,60 × 25 = 3,00 kN/m 
� reações de apoio de laje (R4 L1) = 5,00 kN/m 
 (R3 L2) = 5,52 kN/m 
 Total = 13,52 kN/m 
Reação de apoio de V2: 
� RBV2 = 55,54 kN 
 
Esquema estático: 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 43 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
6,97 kN/m
388328
13,52 kN/m
R V2 = 55,54 kN
A
P4
B
P2
B
 
 
Cálculo das reações de apoio: 
 
0
2
3,88
 x 13,523,88 x 55,543,88
2
3,28
 x 3,28 x 97,67,16 x R 0M
2
AB =−−




 +−→=∑
 ⇒ RA = 61,94 kN 
03,28
2
3,88
 x 3,88 x 13,523,28 x 55,54
2
3,28
 x 97,67,16 x R 0M
2
BA =




 +−−−→=∑
 ⇒ RB = 68,92 kN 
3.6.4 CARREGAMENTO DOS PILARES 
a) P1 (25/60) 
� peso próprio: 
 0,25 × 0,60 × 2,95 × 25 = 11,06 kN 
� reações de apoio das vigas 
RA V1 = 27,25 kN 
RB V4 = 64,42 kN 
� Total = 102,73 kN 
 
 
 
b) P2 (20/50) 
� peso próprio: 
 0,20 × 0,50 × 2,95 × 25 = 7,38 kN 
 
� reações de apoio das vigas 
RB V1 = 41,52 kN 
RB V5 = 68,92 kN 
� Total = 117,82 kN 
c) P3 (25/60) 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 44 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
� peso próprio: 
 0,25 × 0,60 × 2,95 × 25 = 11,06 kN 
� reações de apoio das vigas 
RA V3 = 26,68 kN 
RA V4 = 67,21 kN 
� Total = 104,95 kN 
d) P4 (20/50) 
� peso próprio: 
 0,20 × 0,50 × 2,95 × 25 = 7,38 kN 
� reações de apoio das vigas 
RB V3 = 26,68 kN 
RA V5 = 61,94 kN 
� Total = 96,00 kN 
 
3.7 EXERCÍCIO 2 
Para a estrutura em concreto armado, apresentada na figura abaixo, determinar o carregamento das 
lajes, vigas e pilares. Sabe-se que: 
• Pé-direito = 3,0 m 
• Revestimento das lajes (piso, camada de regularização, forro) = 1,50 kN/m2 
• A estrutura faz parte de uma escola (sala de aula) 
• As paredes são de tijolos de concreto celular, com 13 cm de espessura 
• Existem paredes até o teto, em toda a extensão das vigas V1, V2 e V4 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 45 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
V1 (15/50)
V2 (15/50)
V
3 
(1
5/
65
)
V
4 
(1
5/
60
)
39015 1585
15
59
0
15
P1
(25/35)
P2
(20/40)
P3
(25/50)
P4
(20/50)
L2
h = 12
L1
h = 8
VISTA 1
V
IS
T
A
 2
A A'
B
B'
 
CORTE A-A’ 
37585 25 20
P1 P2
V1V3 V4
L1 L2
8
42
12
38
 
 
CORTE B – B’ 
P4 P2
V4
V2 V1
12
48
53050 40
 
 
PLANTA DE FORMA 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 46 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
VISTA 1 
 
37585 25 20
P3 P4
V2V3 V4
L1 L2
 
 
 
VISTA 2 
53550 35
P3 P1
V3
V2 V1
L1
 
3.7.1 CARREGAMENTO DAS LAJES 
a) L1: 
Carga permanente: 
• Peso próprio da laje = 0,08 × 25 = 2,00 kN/m2 
• Revestimento = 1,50 kN/m2 
Carga variável (utilização: terraço com acesso ao público): q = 3,00 kN/m2 
Carga vertical total: = g + q = p = 6,50 kN/m2 
b) L2: 
Carga permanente: 
• Peso próprio da laje = 0,12 × 25 = 3,00 kN/m2 
• Revestimento = 1,50 kN/m2 
Carga variável (utilização: sala de aula): q = 3,00 kN/m2 
Carga vertical total: = g + q = p = 7,50 kN/m2 
2kN/m 3,50 g =⇒



 
2kN/m 4,50 g =⇒



 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 47 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
3.7.2 CARREGAMENTO DAS VIGAS 
a) Reações de apoio das lajes: 
� L1 
605
92,5
498,2
53,4
53,4 A1
A 3
A 2
60°
60°
 
� L2 
Caso 1: Totalmente apoiada: 
202,5 202,5
202,5
202,5
200
405
605
45° 45°
45
°45°
A 1
2A
3A A4
 
22
21 m 0,247 cm 2470
2
4,535,92
AA ==
⋅
== 
 
m/kN 74,1
925,0
 6,50 247,0
 
p A
RR 
1
1
21 =
⋅
=
⋅
==⇒
l
 
 
 
( ) 22
3 m 5,102 cm 51023
2
5,92 2,498605
A ==
⋅+
= 
 
kN/m 48,5
05,6
6,50 102,5p A
R 
3
3
3 =
⋅
=
⋅
=⇒
l
 
 
2
21
2
21
m 10,4AA 
cm 41006
2
202,5 405
AA
==⇒
=
⋅
==
 
 
kN/m 59,7RR 
05,4
7,50 10,4pA
RR
21
1
1
21
==⇒
⋅
=
⋅
==
l 
 
 
( )
2
43
2
43
m 15,8AA 
cm 81506
2
5,202200605
AA
==⇒
=
⋅+
==
 
 
kN/m 10,10RR 
05,6
50,715,8pA
RR
43
3
3
43
==⇒
⋅
=
⋅
==
l 
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 48 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 Caso 2: Um lado engastado e os demais apoiados: 
405
605
A 1
2A
3A A4 308,6
148,2
148,2
256,8 148,2
60°
60° 45°
45°
 
b) Carregamento total das vigas 
• Viga V1 = Viga V2 (15/50) 
 
Balanço: 
• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m 
• Reação de apoio de L1 (R1) = 1,740 kN/m 
• Peso de parede = hparede × pparede 
 
38
250
12
38
12
300
L2 (1 PAV.)
L2 (2 PAV.)
o
o V1 (2 PAV.)o
oV1 (1 PAV.) 
 → Peso da parede = 2,50 × 0,50 = 1,25 kN/m 
⇒ Carga vertical total do balanço = 1,875 + 1,74 + 1,25 = 4,865 kN/m 
Vão 1: 
2
21
2
21
m 00,3AA 
cm 30010
2
148,2 405
AA
==⇒
=
⋅
==
 
 
kN/m 56,5
05,4
7,50 00,3
RR 21 =
⋅
== 
 
( )
2
3
2
3
m 73,11A 
cm 117306
2
8,2566,308605
A
=⇒
=
⋅+
=
 
 
kN/m 54,14
05,6
50,773,11pA
R
3
3
3 =
⋅
=
⋅
=
l
 
 
( )
2
4
2
4
m 77,6A 
cm 67698
2
2,1486,308605
A
=⇒
=
⋅+
=
 
 
kN/m 39,8
05,6
50,777,6
4
pA
R 44 =
⋅
=
⋅
=
l
 





=
==
2.2) (Tabela kN/m 0,50 p
m 2,50 0,50 - 3,00 h
2
parede
parede
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 49 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Caso 1 
• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m 
• Reação de apoio de L2 (R1) = 7,590 kN/m 
• Peso de parede = 1,250 kN/m 
 
⇒ Carga vertical total do vão 1 = 1,875 + 7,59 + 1,25 = 10,715 kN/m 
 
Caso 2 
• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m 
• Reação de apoio de L2 (R1) = 5,560 kN/m 
• Peso de parede = 1,250 kN/m 
 
⇒ Carga vertical total do vão 1 = 1,875 + 5,56 + 1,25= 8,685 kN/m 
 
Esquema estático e reações de apoio da viga V1 (= V2): 
 
Caso 1: 
4,865 kN/m
10,715 kN/m
3,9750,975
A B
 
 
Reações de apoio da viga V1: 
 
 
kN 26,621 R 
0
2
3,975
 975,3 715,10R 975,3975,3
2
0,975
 0,975 865,4 - 0M 
A
AB
=⇒
=⋅⋅−+




 +⋅⋅→=∑ 
kN 714,20R 
0R 975,3
2
3,975
 759,3 715,10
2
0,975
0,975 4,865 - 0M
B
BA
=⇒
=−⋅⋅+⋅⋅→=∑ 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 50 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
4,865 kN/m
8,685 kN/m
3,9750,975
A B
 
 
Reações de apoio da viga V1: 
kN 22,587 R 
0
2
3,975
 759,3 685,8R 975,3975,3
2
0,975
 0,975 865,4 - 0M 
A
AB
=⇒
=⋅⋅−+




 +⋅⋅→=∑ 
 
kN 680,16R 
0R 975,3
2
3,975
 759,3 685,8
2
0,975
0,975 4,865 - 0M
B
BA
=⇒
=−⋅⋅+⋅⋅→=∑ 
 
• Viga V3 (15/65) 
 
Caso 1: 
• Peso próprio = 0,15 × 0,65 × 25 = 2,438 kN/m 
• Reações de apoio das lajes: 
L1 (R3) = 5,480 kN/m 
L2 (R3) = 10,100 kN/m 
⇒ Carga vertical total de V3 = 2,438 + 5,48 + 10,10 = 18,018 kN/m 
Caso 2: 
• Peso próprio = 0,15 × 0,65 × 25 = 2,438 kN/m 
• Reações de apoio das lajes 
L1 (R3) = 5,480 kN/m 
L2 (R3) = 14,54 kN/m 
 
⇒ Carga vertical total de V3 = 2,438 + 5,48 + 14,54 = 22,458 kN/m 
 
Esquema estático reações de apoio da viga V3: 
 
Caso 1: 
18,018 kN/m
5,775
A B
 
 
Reações de apoio da viga V3: 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 51 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 kN 027,52
2
5,775 8,0181
2
 p
RR BA =
⋅
===
l
 
Caso 2: 
22,458 kN/m
5,775
A B
 
 
Reações de apoio da viga V3: 
 kN 847,64
2
5,775 458,22
2
 p
RR BA =
⋅
===
l
 
 
• Viga V4 (15/60) 
 
Caso 1 
• Peso próprio = 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m 
• Reações de apoio da laje L2 (R4) = 10,10 kN/m 
• Peso de parede = (3,00-0,60) × 0,50 = 1,20 kN/m 
 
⇒ Carga vertical total de V4 = 2,25 + 10,10 + 1,20 = 13,55 kN/m 
 
Caso 2 
• Peso próprio = 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m 
• Reações de apoio da laje L2 (R4) = 8,39 kN/m 
• Peso de parede = (3,00-0,60) × 0,50 = 1,20 kN/m 
 
⇒ Carga vertical total de V3 = 2,25 + 8,39 + 1,20 = 11,84 kN/m 
 
Esquema estático e reações de apoio da viga V4: 
 
Caso 1 
13,55 kN/m
5,75
A B
 
Reações de apoio da viga V4: 
 kN 956,38
2
5,75 3,551
2
 p
RR BA =
⋅
===
l
 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 52 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
Caso 2 
11,84 kN/m
5,75
A B
 
 
Reações de apoio da viga V4: 
 kN 04,34
2
5,75 84,11
2
 p
RR BA =
⋅
===
l
 
3.7.3 CARREGAMENTO DOS PILARES 
a) P1 (25/35) 
 
• Peso próprio = 0,25 × 0,35 × 3,00 × 25 = 6,56 kN 
 
Caso 1 
• Reação RA de V1 = 26,621 kN 
• Reação RB de V3 = 52,027 kN 
⇒ Carga total de P1 = 85,208 kN 
 
Caso 2 
• Reação RA de V1 = 22,587 kN 
• Reação RB de V3 = 64,847 kN 
⇒ Carga total de P1 = 93,994 kN 
 
b) P2 (20/40) 
 
• Peso próprio = 0,20 × 0,40 × 3,00 × 25 = 6,00 kN 
 
Caso 1 
• Reação RB de V1 = 20,774 kN 
• Reação RB de V4 = 38,956 kN 
⇒ Carga total de P2 = 65,730 kN 
 
Caso 2 
• Reação RB de V1 = 16,680 kN 
• Reação RB de V4 = 34,040 kN 
⇒ Carga total de P2 = 56,720 kN 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 53 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
c) P3 (25/50) 
 
• Peso próprio = 0,25 × 0,50 × 3,00 × 25 = 9,375 kN 
 
Caso 1 
• Reação RA de V2 = 26,621 kN 
• Reação RA de V3 = 52,027 kN 
⇒ Carga total de P3 = 88,023 kN 
 
Caso 2 
� Reação RA de V2 = 22,587 kN 
� Reação RA de V3 = 64,847 kN 
⇒ Carga total de P3 = 96,809 kN 
 
d) P4 (20/50) 
 
� Peso próprio = 0,20 × 0,50 × 3,00 × 25 = 7,50 kN 
Caso 1 
� Reação RB de V2 = 20,774 kN 
� Reação RA de V4 = 38,956 kN 
⇒ Carga total de P4 = 67,230 kN 
 
Caso 2 
� Reação RB de V2 = 16,680 kN 
� Reação RA de V4 = 34,040 kN 
⇒ Carga total de P4 = 58,220 kN 
 
Carregamento dos pilares (em kN) 
 
Pilar Caso 1 Caso 2 
P1 85,208 93,994
P2 65,730 56,720
P3 88,023 96,809
P4 67,230 58,220
ΣΣΣΣ 306,2 305,7 
3.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 - Projeto 
e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 54 
 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1980). (NB-5) NBR 6120 - Cargas 
para Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1984). (NB-862) NBR 8681 - Ações 
e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão da 
NB-1. Rio de Janeiro. 
GIONGO, J. S. (1996). Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São 
Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 55 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
 
 
 
 
44 AAÇÇÃÃOO DDOO VVEENNTTOO NNAASS EEDDIIFFIICCAAÇÇÕÕEESS 
 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
Vento é o movimento de massas de ar, causado por condições de pressão e de temperatura na 
atmosfera. O estudo dessas condições é do domínio da meteorologia, que nos deve fornecer informações 
sobre as características do fluxo de ar, necessárias para a determinação os efeitos do vento sobre as 
edificações. 
Para que um engenheiro projetista possa desenvolver todas as análises sobre a ação do vento em 
estruturas é necessário o conhecimento das seguintes características: 
� direção do vento; 
� gradiente de velocidade do vento; 
� máxima velocidade do vento e indicação de ocorrência durante a vida útil da estrutura; 
� intensidade de turbulência e espectro de energia das rajadas. 
4.2 VELOCIDADE DO VENTO 
A velocidade do vento em uma região depende, além de aspectos meteorológicos, de vários 
fatores, dentre os quais podem ser citados: 
� Topografia do terreno. 
� Rugosidade do terreno (tipo e altura dos obstáculos à passagem do vento). 
� Altura em relação ao nível do terreno 
Fica evidente, então, que para a determinação da velocidade do vento é necessária a consideração 
de todos esses fatores, que são comentados a seguir. 
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 56 
 
Texto provisório – Sujeito a alterações 
4.2.1 VELOCIDADE GRADIENTE DO VENTO 
Como já foi comentado, a velocidade do vento varia com a altura e com a condição de ocupação 
(rugosidade) do terreno. Entretanto, a partir de determinada altura, as massas de ar movem-se a uma 
velocidade aproximadamente constante. Essa altura limite, a partir da qual não ocorrerão alterações 
significativas na velocidade do vento, varia com a rugosidade