Integral de Lebesgue

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
Instituto de Ciências Exatas – ICEX 
Departamento de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da Integral de Riemann para a 
Integral de Lebesgue 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Leidyanna Jhonaika Garcia Lima 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2012 
 
 
 
 
 
 
 
Leidyanna Jhonaika Garcia Lima 
 
 
 
 
 
Da Integral de Riemann para a 
Integral de Lebesgue 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao programa de pós–
graduação em Matemática para Professores 
com Ênfase em Cálculo da Universidade 
Federal de Minas Gerais UFMG, como 
requisito parcial à obtenção do título de 
Especialista em Educação Matemática. 
 
 
 
 
 
Orientadora: Profª. Dra. Jussara de Matos Moreira 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte 
2012 
 
 
 
 
 
Agradecimentos 
 
 
Agradeço a Deus por todas as graças concedidas, pela força e inspiração no decorrer deste 
trabalho. 
Agradeço a minha família, em especial a minha mãe e a meus irmãos pelo apoio e 
incentivo. 
Agradeço aos amigos, colegas e a meu namorado pela solidariedade e compreensão. 
Agradeço à minha orientadora por seu apoio, dedicação e paciência. 
 
Sumário 
 
 
Introdução ............................................................................................................................... 6 
1 - Preliminares ....................................................................................................................... 7 
1.1– A evolução do Cálculo ............................................................................................... 7 
1.2– Henri Léon Lebesgue................................................................................................ 12 
2 – A construção da Integral de Riemann............................................................................. 14 
2.1 – Conceitos Básicos ................................................................................................... 14 
2.2– Integral de Riemann.................................................................................................. 18 
2.3 – Uma melhor definição para a Integral de Riemann ................................................. 25 
3 - Introdução à Teoria da Medida ....................................................................................... 29 
 3.1 – Álgebra e σ-Álgebra ................................................................................................ 29 
 3.2 –Medidas .................................................................................................................... 37 
 3.3– Espaço de Medida ..................................................................................................... 38 
 3.4–Medida de Lebesgue na Reta ..................................................................................... 39 
4 – A Integral de Lebesgue .................................................................................................. 43 
4.1 – Função Mensurável ................................................................................................. 43 
4.2 – A Integral de Lebesgue ........................................................................................... 46 
4.3 – Relação entre a integral de Lebesgue e a de Riemann ............................................ 53 
Considerações Finais ............................................................................................................ 60 
Referências Bibliográficas .................................................................................................... 62 
 
 
 
Resumo 
 
Neste trabalho foi feito um estudo sobre o desenvolvimento do Cálculo ao longo dos 
séculos e foi abordada de maneira introdutória a Integral de Lebesgue, tendo como objetivo 
ressaltar sua construção e fazer uma comparação com a Integral de Riemann. 
Para cumprir esse objetivo foram estudados os conceitos necessários para a 
construção da Integral de Lebesgue dando assim uma breve abordagem aos fundamentos da 
Teoria da Medida. Não se pretende fazer um estudo sistemático desta teoria, iremos 
apresentá-la fazendo uma exposição dos seus principais resultados que são necessários para 
o processo de construção da Integral de Lebesgue. 
6 
 
 
Introdução 
O Cálculo Diferencial e Integral detém grande importância para os estudantes de 
Ciências Exatas. Ele está presente em diversos cursos e possui uma ampla rede de 
aplicações. 
O principal objetivo deste trabalho é desenvolver através de uma linguagem 
acessível a estudantes de graduação, uma comparação entre a técnica de integração de 
Riemann e a técnica de integração de Lebesgue que se baseia na Teoria da Medida. 
Seus capítulos estão divididos em duas partes distintas: Na primeira, damos ênfase 
às contribuições dos principais matemáticos ao longo dos séculos para o desenvolvimento 
do Cálculo Diferencial e Integral e dedicamos um capítulo ao matemático francês, Henri 
Léon Lebesgue. Na segunda, revemos a construção da Integral de Riemann, depois 
apresentamos uma breve introdução à Teoria da Medida e à Integral de Lebesgue e por fim 
damos destaque à comparação entre as integrais de Riemann e Lebesgue. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
1 - Preliminares 
 
1.1–A evolução do Cálculo 
 
Muitos matemáticos contribuíram de forma direta ou indireta, através dos séculos, 
para que se chegassem à formalização do Cálculo como conhecemos hoje. Cada 
matemático, ao seu tempo, desenvolveu novas idéias e aperfeiçoou os métodos para o 
estudo e a aplicação do Cálculo em diferentes áreas do conhecimento. Acredita-se que as 
primeiras idéias do Cálculo surgiram na Grécia Antiga há 2500 anos. Matemáticos como 
Eudoxo, Euclides e Arquimedes, deram contribuições fundamentais para o cálculo da área 
de polígonos, círculos e outras figuras geométricas. 
• Eudoxo (408-355 a.C.) criou o método da exaustão, que permitia aproximar 
a área da figura dada por meio de outras áreas e volumes conhecidos, utilizando-se 
de polígonos inscritos na figura e circunscritos a ela. Observe na figura abaixo um 
exemplo de aplicação do método da exaustão para o cálculo aproximado da área de 
um círculo. 
 
Figura 1 – Exemplo do método da exaustão 
8 
 
 
Na figura, n representa o número de lados do polígono utilizado. A área do círculo 
seria um valor que figurava rigorosamente entre a área do polígono circunscrito e a 
área do polígono inscrito. Quanto maior o número de lados do polígono utilizado, 
maior exatidão se teria para o valor da área do círculo. 
• Euclides (360-295a.C.) também tinha seu método da exaustão, muito 
utilizado em suas demonstrações para o desenvolvimento da geometria, conhecida 
como Geometria Euclidiana. 
• Arquimedes (287-212 a.C.) desenvolveu e aperfeiçoou o método da 
exaustão. É considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele fez 
uma significativa contribuição ao Cálculo ao achar a área da região limitada por 
uma parábola e uma reta, fazendo a soma das áreas de infinitos triângulos. Foi o 
primeiro a calcular soma com infinitos termos. 
No século XVI, com o início da Revolução Científica na Europa, a ciência foi 
perdendo suas influências místico-religiosas tornando-se cada vez mais estruturada na 
razão. Nessa época havia grande dedicação ao estudo sobre o movimento dos planetas. 
• Johannes Kepler (1571-1630) desenvolveu cálculos de volumes de vários sólidos 
tridimensionais através de “fatias” muito finas chamadas de infinitésimos (ou 
indivisíveis) cuja soma se aproximaria do volume total dosólido. Ele também 
utilizou o método de infinitésimos para encontrar a quadratura de segmentos de uma 
elipse ao formular a sua segunda lei sobre o movimento dos planetas. 
• Galileu Galilei (1564-1642) também através do método de infinitésimos mostrou 
que a área sob a curva velocidade versus tempo era a distância percorrida, para a 
9 
 
 
aceleração uniforme, chegando assim a tangenciar o Teorema Fundamental do 
Cálculo. 
Já no século seguinte, Bonaventura Cavalieri (1598-1647) publicou o livro 
 Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota que tratava da 
mensuração de áreas e volumes segundo as idéias de Kepler e de seu professor Galileu. 
Pierre de Fermat (1601-1665) também contribuiu significativamente ao desenvolvimento 
do cálculo. Ele desenvolveu uma técnica similar à Integral de Riemann para calcular a área 
sob as curvas que eram chamadas de “parábolas superiores” e ainda desenvolveu um 
processo de diferenciação através do método de encontrar máximos e mínimos. 
Podemos citar ainda vários matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento 
do cálculo, como Evangelista Torricelli (1608-1647), James Gregory (1638-1675) e Isaac 
Barrow (1630-1677). Após a metade do século XVII já havia então vários métodos bem 
sucedidos para as questões que envolviam cálculo de tangentes e quadraturas, mas nenhum 
deles trazia uma sistematização que facilitasse o seu uso de maneira geral. Então, 
finalmente dois grandes nomes entraram para a história, Isaac Newton (1642-1727) e 
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), por inventarem o Cálculo Infinitesimal ou Cálculo 
Diferencial e Integral. 
Os cálculos de Newton e Leibniz começam por caminhos distintos. O primeiro, por 
interpolação de curvas e coeficientes relacionados a tais curvas. O segundo, por perceber 
que somar sequências e tomar as sequências de diferenças são operações inversas. Foram 
caminhos bem diferentes, mas que convergiam a um mesmo princípio em comum, a 
descoberta do cálculo. Dentro deste princípio em comum, as principais diferenças foram na 
concepção das quantidades variáveis e nas formas de notações utilizadas por cada um ao 
longo de seus estudos. 
10 
 
 
O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a 
percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo 
tipo de aproximação por retângulos. Mas na prática, a descoberta fundamental foi a 
possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva. Nascia 
assim o “Teorema Fundamental do Cálculo”. Principalmente como consequência do 
Teorema Fundamental do Cálculo as integrais foram simplesmente vistas como 
antiderivadas. 
Posteriormente, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) criou uma definição formal de 
limite. Os estudos de Cauchy deram início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo 
Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções. 
Em 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo 
bem mais aprofundado sobre a integral e formulou a definição atual, nos padrões da Análise 
Moderna, tornando-a um instrumento poderoso na resolução de inúmeros problemas. Durante 
muito tempo foi desenvolvida uma teoria de integração baseada nas idéias de Riemann. A 
noção moderna da integral de Riemann foi finalizada por Gaston Darboux (1842-1917), que 
demonstrou que uma função é integrável, ou tem sua área mensurável, quando as somas 
superior e inferior de Riemann convergem para o mesmo valor, à medida que os subintervalos 
tendem a zero, para qualquer partição usada. Esta teoria, entretanto, contém certos 
inconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de vários problemas da Análise 
Matemática. 
Em 1902, Henri Léon Lebesgue (1875-1941) revolucionou a Análise Moderna com 
seus trabalhos que generalizam a Integral de Riemann, dando origem à Teoria da Medida e à 
Integral de Lebesgue. Ele argumenta que: 
11 
 
 
“Os geômetras do século XVII consideraram a integral de f(x) 
(embora a palavra “integral” não houvesse ainda sido inventada) como a 
soma de uma infinidade de indivisíveis, cada qual tendo a ordenada positiva 
ou negativa de f(x). Muito bem!! Nós, simplesmente, agrupamos os 
indivisíveis de grandezas comparáveis. Estamos, como se diz em álgebra, 
colecionando termos similares. Diria que, de acordo com o procedimento de 
Riemann, um modo para somar os indivisíveis seria somá-los, na ordem em 
que eles são fornecidos pela variação em x; semelhante a um comerciante 
não-sistemático que conta moedas e cédulas ao acaso, na ordem em que elas 
chegam à mão, enquanto nós operamos como um comerciante metódico que 
diz: 
Eu tenho m(E1) pennies que valem 1m(E1) 
Eu tenho m(E2) nickels que valem 5m(E2) 
Eu tenho m(E3) dimes que valem 10m(E3) 
Somando tudo, tenho S = 1m(E1) + 5m(E2) +10m(E3)+... 
Os dois procedimentos certamente levarão o comerciante ao mesmo 
resultado porque independente da quantidade de dinheiro que ele tenha, há 
apenas um número finito de moedas e cédulas para contar. Mas, para 
somarmos um número infinito de indivisíveis, a diferença entre os dois 
métodos é de suma importância “1 
(Lebesgue, 1961, p. 181, 182) 
 
 
1
 Tradução livre feita por Luzia Aparecida Palaro. 
12 
 
 
1.2– Henri Léon Lebesgue 
Henri Léon Lebesgue foi um grande matemático, pesquisador e 
professor. Nasceu em 1875 na cidade Beauvais, localizada ao 
norte da França. Aos dezenove anos entrou na “École Normale 
Supérieure” em Paris e em 1897 formou-se em Ensino de 
Matemática. Nos dois anos seguintes ele trabalhou na biblioteca 
da École, dando início à publicação de uma série de cinco artigos. 
 
Figura 2 - Henri Léon Lebesgue 
 
De 1899 a 1902, Lebesgue lecionou no Lycée Centrale em Nancy. 
Baseando-se principalmente nos trabalhos de Émile Borel e Camille Jordan, 
Lebesgue formulou em 1901 a Teoria da Medida e deu a definição da Integral de Lebesgue. 
No ano seguinte, ele apresentou sua tese de doutorado à Faculdade de Ciências de Paris, 
cujo título original é “Intégrale, longueur, aire” (que pode ser traduzida como "Integral, 
comprimento, área"). 
Em 03 de dezembro de 1903 casou-se com Louise-Marguerite Valletcom quem teve 
dois filhos. 
Respectivamente em 1904 e em 1906, Lebesgue publicou dois trabalhos: 
“Leçonssurles intégrale et La recherches primitivas fonctions” (que pode ser traduzida 
como “Lições sobre Integração e Pesquisa de funções primitivas”) e “Leçonssurles Séries 
trigonométriques” (que pode ser traduzida como “Lições sobre Séries Trigonométricas”), 
13 
 
 
que surgiram a partir de cursos ministrados no “College de France” e serviram para tornar 
suas idéias mais importantes amplamente conhecidas. 
Em 1906 ele foi nomeado professor de mecânica da Faculdade de Ciências de 
Poitiers. Em 1910 foi nomeado professor assistente na Sorbonne, onde obteve a cátedra em 
1918. 
Durante a Primeira Guerra Mundial, trabalhou para a defesa da França e neste 
momento ele se desentendeu com Borel que fazia um trabalho semelhante. 
Em 1921 ele foi nomeado como professor de Matemática no Collège de France, 
cargo que ocupou até sua morte em 1941. Ele também ensinou na École Supérieure de 
Physiqueet de ChimieIndustrielles de La Ville de Paris entre 1927 e 1937 e na École 
Normale Supérieure, em Sèvres. 
Lebesgue foi premiado por várias academias e foi doutorado honoris causa por 
várias Universidades. Também recebeu uma série de prêmios, incluindo o Prêmio 
Houllevigue (1912), o Prêmio Poncelet (1914), o Prêmio Saintour (1917) e o Prêmio 
d’Ormoy (1919).14 
 
 
2 – A construção da Integral de Riemann 
Neste capítulo iremos desenvolver a Integral de Riemann através de uma linguagem 
mais acessível que geralmente é utilizada em cursos introdutórios de Cálculo e depois 
passaremos para uma definição mais completa que será utilizada no capítulo 4. 
2.1 – Conceitos Básicos 
Definição 2.1: Seja f�x�: I ⊂ ℝ → ℝ uma função definida no intervalo I. Dizemos que f é 
contínua no ponto a ∈ I se, para todo ε > 0, dado arbitrariamente, existir um δ > 0 de forma 
que para todo x ∈ I com |x − a| < � ⟹ |f�x� − f�a�| < �, ou seja, uma função f é contínua em 
um ponto a se: 
lim�→� ���� = �� � 
 
Dizemos que f é contínua se for contínua em todos os pontos do seu domínio. 
Exemplo 2.2: A função ���� = ln � não é contínua em � ∈ �−∞, 0] pois não está definida 
neste intervalo porém é contínua em (0, ∞� pois ∀ ∈ �0, ∞�, temos �� � = ln =
lim�→� ���� . 
Exemplo 2.3: A função Maior Inteiro dada por ���� = *�+; *�+ = o maior inteiro que é menor 
ou igual a x; é descontínua em todos os inteiros, pois dado ∈ ℤ, 
lim�→�-*�+ = mas lim�→�.*�+ = − 1 
portanto, 
 ∄ lim�→�*�+ ∀ ∈ ℤ . 
15 
 
 
 
Figura 3: Gráfico da função Maior Inteiro 
 
Exemplo 2.4: A função definida por 
���� = 2 3�4, 56 � ≠ 02, 56 � = 0 
é descontínua em x = 0, pois 
lim�→9 3�4 = ∞ ≠ ��0� = 2. 
 
Definição 2.5: Seja ����: I ⊂ ℝ → ℝ uma função definida no intervalo aberto I. Dizemos que 
f é derivável no ponto x0 ∈ I se o seguinte limite existir 
lim�→�: ���� − ���9�� − �9 . 
 
Neste caso, este limite é denominado derivada de f no ponto x0 e denotado por �;��0�. 
Dizemos que f é derivável se ela for derivável em todos os pontos do seu domínio. 
Considere x = �9 + ℎ, então h = x – �9 e h tende a zero quando x tende a �9, assim 
podemos escrever a derivada de f(x) no ponto �9 como 
�;��0� = lim>→9 ���0 + ℎ� − ���9�ℎ 
Exemplo 2.6: A função ���� = �? + 4� + 3 é uma função derivável, pois ∀ ∈ ℝ , 
16 
 
 
�;� � = lim>→9 �� + ℎ� − �� �ℎ 
 = lim>→9 B� + ℎ�? + 4� + ℎ� + 3] − B ? + 4 + 3]ℎ 
 = lim>→9 ? + 2 ℎ + ℎ? + 4 + 4ℎ + 3 − ? − 4 − 3ℎ 
 = lim>→9 2 ℎ + ℎ? + 4ℎℎ = lim>→9 2 + ℎ + 4 = 2 + 4 
Exemplo 2.7: Seja f(x) = |x|. f é contínua em todo ℝ; em particular em x0 = 0. Mas a 
derivada de f em 0 não existe; de fato: 
�;�0� = lim>→9 ��0 + ℎ� − ��0�ℎ = lim>→9 |ℎ| − 0ℎ = lim>→9 |ℎ|ℎ 
Temos que 
lim>→9- |ℎ|ℎ = lim>→9- CℎℎD = 1 
lim>→9. |ℎ|ℎ = lim>→9. − CℎℎD = −1. 
Logo não existe lim>→9 |>|> e portanto, f não é derivável em x0 = 0. 
Exemplo 2.8: Considere a função 
���� = EF�?, 56 � < 5,� + H, 56 � ≥ 5. 
Vamos encontrar os valores das constantes m e n para que f(x) seja derivável. Devemos 
calcular 
�;�5� = lim>→9 ��5 + ℎ� − ��5�ℎ . 
Temos que os limites laterais são 
lim>→9- ��5 + ℎ� − ��5�ℎ = lim>→9- �5 + ℎ + H� − �5 + H�ℎ = lim>→9- ℎℎ = 1. 
17 
 
 
lim>→9. ��5 + ℎ� − ��5�ℎ = lim>→9. F�5 + ℎ�? − �25F�ℎ = lim>→9. 10ℎF + ℎ?Fℎ = 10F. 
Precisamos que 
lim>→9- ��5 + ℎ� − ��5�ℎ = lim>→9. ��5 + ℎ� − ��5�ℎ J 1 = 10F J F = 110 . 
E ainda, f deve ser contínua em � = 5, logo 
lim�→K- ���� = lim�→K.���� L 5 + H = 25F M H = − 52 ; 
então a função será definida por 
���� = O 110 �?, 56 � < 5,� − 52 , 56 � ≥ 5. 
Definição 2.9: 
Uma partição P de um intervalo [a;b] é um conjunto finito de pontos P = {x0; x1; . . . ; xn} 
tal que a = x0 < x1 < . . . < xn =b. Uma partição P de [a; b] divide [a; b] em n intervalos 
[xi−1, xi], i = 1; 2; 3; . . . ; n 
 
Figura 4 – Partição de um Intervalo 
 
 
O tamanho (norma) de uma partição P, denotado por |P|, é o comprimento do maior 
subintervalo determinado por dois números consecutivos da partição, isto é, intervalos da 
forma [xi−1, xi ], ou seja: 
|Q| = F �R��3 − �9�; ��? − �3�; … ; ��T − �TU3�; ��V − �VU3�W. 
O comprimento do intervalo [�TU3, �T] será indicado por ∆�T = �T − �TU3. Assim, 
18 
 
 
∆�T 
∆�3 = �3 − �9; ∆�? = �? − �3, etc. Os números ∆�3, ∆�?, ... , ∆�Y não são necessariamente 
iguais. 
 
2.2 – Integral de Riemann 
Vamos considerar inicialmente, a título de simplicidade, uma função f(x) contínua, não 
negativa, definida em um intervalo [a,b]. 
Façamos uma partição no intervalo [a,b] de comprimento ∆xi e em cada um dos intervalos 
[xi– 1, xi] tomemos um ponto ci . 
Assim, construímos um retângulo de base ∆xi e altura f(ci) para cada i = 1, 2, 3, . . ., n. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Representação dos retângulo de base ∆xi e altura f(ci). 
A soma das áreas dos n retângulos sob a curva f (x) é dada por 
f(c1).∆x1 + f(c2).∆x2 + f(c3).∆x3+ . . . + f(cn).∆xn = ∑ f�ci�. ΔxiYT]3 
e é denominada “Soma de Riemann”. 
À medida que n cresce muito, cada ∆xi, i = 1, 2, ..., n, torna-se muito pequeno e assim a 
soma das áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva de f(x). Quanto menor for ∆xi, 
a b 
x 
y 
ci cn 
19 
 
 
melhor é a aproximação. 
Assim: 
lim∆�^→9 ∑ ��_T�. ∆�TYT]3 = área sob a curva f(x) = A . 
 
Se f(x) assume valores negativos e positivos, podemos continuar a aproximar o cálculo da 
área sob a curva de f(x) através da Soma de Riemann, considerando a soma das áreas dos 
retângulos que estão acima do eixo x e o negativo das áreas dos retângulos que estão 
abaixo do eixo x. Tomando o limite das somas de Riemann encontramos a área líquida pela 
diferença de áreas:`3 − `?, onde `3 representa a área da região acima do eixo x e abaixo 
do gráfico de f(x) e `? é a área da região abaixo do eixo x e acima do gráfico de f(x). A 
figura abaixo ilustra esta situação. 
 y 
 + + 
 0 
a _ b x 
Figura 6: Representação da área líquida. 
 
Definição 2.10: Seja f(x) uma função contínua definida no intervalo [a,b] e seja P uma 
partição qualquer de [a,b], então a Integral definida de f(x) no sentido de Riemann de a até 
b é dada por 
a ����b� =c� limdá� ∆�^→9 f ��_T�. ∆�T
g
T]3 , 
desde que o limite exista. 
20 
 
 
Observação: As demonstrações completas dos três teoremas seguintes podem ser 
encontradas nas referências [9] e [11]. 
 
Teorema 2.11: Se f é uma função contínua e limitada no intervalo fechado [a,b], então f é 
Riemann-integrável em [a,b]. 
 
Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1: Se f é uma função contínua em [a,b], então a 
função g definida por 
h��� = a ��i�bi ≤ � ≤ k�� 
é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b) e h;��� = ����. 
 
Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2: Se f é uma função contínua em [a,b], então 
a ����b� = l�k� − l� �c� , 
em que F é uma antiderivada de f, isto é, uma função tal que l;��� = ����. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 2.12: Considere a função ���� = 56H���. Temos que em qualquer intervalo 
B , k] ∈ ℝ, f é contínua e limitada, logo é integrável segundo Riemann. 
Exemplo 2.13: Seja ���� = Y�Y + YU3�YU3 + ⋯ + 9�9, H ∈ ℕ. Como f(x) é uma 
função polinomial, ela é contínua e limitada em qualquer intervalo B , k] ∈ ℝ, logo é 
integrável segundo Riemann. 
 
21 
 
 
A definição apresentada anteriormente de integral definida é a que em geral é tratada 
inicialmente em livros de Cálculo 1, em que o objetivo principal é que o aluno se 
familiarize com o conceito de integral de uma forma introdutória e tenha uma primeira 
intuição da relação entre a integral definida e a área sob o gráfico da função. Entretanto, a 
noção de integral pode ser estendida, tanto para funçõesdescontínuas, quanto para 
intervalos ilimitados, o que apresentaremos a seguir. 
 
Integrais Impróprias 
Nas situações onde o intervalo de integração da função a ser integrável é infinito ou a 
função possui uma descontinuidade infinita utilizamos a integração imprópria. 
Definição 2.14 – Integral Imprópria do Tipo I (Integral de f sobre um intervalo 
infinito) 
a) Se o ����b�p� existe para cada número i ≥ , então 
a ����b� = limp→q a ����b�p�q� 
desde que o limite exista (como um número). 
b) Se o ����b�cp existe para cada número i ≤ k, então 
a ����b� = limp→Uq a ����b�cpcUq 
desde que o limite exista (como um número). 
As integrais impróprias definidas em (a) e (b) são ditas convergentes se os limites 
correspondentes existem e divergentes se os limites não existem. 
c) Seo ����b�q� e o ����b��Uq são convergentes, então definimos ∀ ∈ ℝ 
22 
 
 
a ����b� = a ����b��Uq + a ����b�q�qUq 
 
Definição 2.15 - Integral Imprópria do Tipo II (Integrandos Descontínuos) 
a) Se f é contínua em B , k� e descontínua em b, então 
a ����b� = limp→c. a ����b�p�c� 
desde que o limite exista (como um número). 
b) Se f é contínua em ( , k] e descontínua em a, então 
a ����b� = limp→�- a ����b�cpc� 
desde que o limite exista (como um número). 
A integral imprópria o ����b�c� é chamada convergente se o limite correspondente existir, 
e divergente se o limite não existir. 
c) Se f tiver uma descontinuidade em c, onde < _ < k e as integrais 
o ����b� 6 r� o ����b�cr forem convergentes, então definimos: 
a ����b� = a ����b�r� + a ����b�crc� 
Exemplo 2.16: Vamos determinar um número s ∈ ℝ que represente a área da região R do 
plano limitada pela curva t = 3�, o eixo oy, o eixo ox e a reta � = −1. 
23 
 
 
 
Figura 7: Gráfico da região R. 
Sabemos que a função ���� = 3� é contínua em [-1,0) e não está definida em x = 0. Para que 
exista o número k é preciso que a integral imprópria o − 3�9U3 b� seja convergente. Mas 
a − 1�
9
U3 b� = limu→9. a −
1�
c
U3 b� = limu→9. −BvH|�|]U3c = limu→9.�−vH|k| + vH|−1|� = +∞. 
Logo, a integral não converge e então não existe o número k. 
Para o próximo exemplo precisamos introduzir a seguinte definição, que será utilizada 
também no último capítulo desta monografia para definir a integral de Lebesgue. 
 
Definição 2.17: Dado ` ⊂ w, a função característica xy: w → ℝ é uma função da forma 
xy = ���� = z1, 56 � ∈ `0, 56 � { `. 
Exemplo 2.18: Vamos analisar a função característica dos números racionais no intervalo 
[0,1], conhecida como função de Dirichlet. Será possível integrá-la através da integral de 
Riemann? 
Seja �: B0,1] → ℝ dada por 
24 
 
 
���� = E1, 56 � ∈ B0,1] ∩ ℚ0, _ 5~ _~Hiá€~, 
 
Esta função é limitada e assume o valor unitário para os números do conjunto dos racionais, 
e zero, para os números do conjunto dos irracionais. Para saber se a função é integrável a 
Riemann temos que usar a idéia de particionar o intervalo [0,1] e olhar para os retângulos 
como na Figura 5. Note que a aproximação da área pelo limite da soma das áreas dos 
retângulos não pode depender do valor escolhido de f(ci) para cada i. De fato, poderíamos 
tomar retângulos com altura sempre igual ao máximo da função no intervalo ou retângulos 
com altura sempre igual ao mínimo de f, por exemplo. Ou seja, podemos fazer tanto uma 
aproximação por excesso quanto por falta que no limite deveríamos obter o mesmo valor. 
Entretanto, no caso da função de Dirichlet, em cada intervalo da partição existirão tanto 
racionais quanto irracionais e, portanto, o máximo de f em cada subintervalo da partição 
sempre será 1 e o mínimo 0. Com isso, a soma no caso da aproximação por falta será 
sempre zero e no caso da aproximação por excesso será: 
1.(x1 – x0) + 1. (x2 – x1) + 1. (x3 – x2) + . . . + 1. (xn– xn-1) = xn - x0 = 1, 
já que xn=1 e x0=0 (os extremos do intervalo [0,1]). Logo, as somas por falta ou excesso 
serão sempre constantes, independentemente do número de subintervalos e com valores 
diferentes (0 e 1), de modo que, no limite, obteremos valores diferentes e, 
consequentemente a função não será integrável segundo Riemann. 
 
 
 
25 
 
 
2.3 – Uma melhor definição para a Integral de 
Riemann 
 
A abordagem de integral que utilizamos até o momento é a que em geral é apresentada em 
cursos introdutórios sobre integração, como o Cálculo Diferencial e Integral I. 
Apresentaremos agora uma abordagem mais completa matematicamente, que é apresentada 
já em cursos de Análise Matemática. Para isso, precisaremos introduzir alguns conceitos, 
como os conceitos de supremo e ínfimo de um conjunto, que serão necessários para 
tratarmos a Integral de Riemann com certo rigor matemático. 
 
Definição 2.19: Dizemos que um elemento ∈ ℝ é ínfimo (inf) de um conjunto w ⊆ ℝ,
w ≠ ∅, se, e somente se, ≤ �, ∀ � ∈ w e ∀ � > 0, ∃ � ∈ w i v „…6 � < + �. Ou seja, 
o ínfimo é a maior das cotas inferiores do conjunto. 
 
Definição 2.20: Dizemos que um elemento k ∈ ℝ é supremo (sup) de um conjunto 
w ⊆ ℝ, w ≠ ∅, se, e somente se, � ≤ k, ∀ � ∈ w e ∀ � > 0, ∃ � ∈ w i v „…6 k − � < �. 
Ou seja, o supremo é a menor das cotas superiores do conjunto. 
 
Exemplo 2.21: Sejam A e B subconjuntos não vazios de ℝ. Vamos mostrar que se ` ⊂ †, 
então, 
inf ` ≥ inf † e sup ` ≤ sup †. 
Demonstração: Toda cota inferior de B é cota inferior de A, logo o inf † é cota inferior de 
A, então vale inf ` ≥ inf † pois inf ` é a maior das cotas inferiores de A. Analogamente, 
26 
 
 
toda cota superior de B é cota superior de A, logo o sup † é cota superior de A e como 
sup ` é a menor das cotas superiores de A segue que sup ` ≤ sup †. 
 
Proposição 2.22: Sejam `, † ⊂ ℝ. Se ≤ k, para todo ∈ ` e todo k ∈ †, então 
sup ` ≤ inf †. 
Além disso, 
sup ` = inf † L ∀ � > 0 existem ∈ ` 6 k ∈ † tais que b − a < �. 
Demonstração: Todo elemento de B é cota superior de A, logo sup ` ≤ k para cada b, 
pois sup ` é a menor das cotas superiores. Essa relação implica que sup ` é uma cota 
inferior de B, mas inf † é a maior cota inferior de B, logo sup ` ≤ inf †. 
Vamos provar a segunda parte. Para isso vamos assumir inicialmente sup ` = inf †. Então, 
para qualquer � > 0, sup ` − ‹4 não é cota superior de A pois é menor que sup ` (que é a 
menor cota superior) e, da mesma forma, inf † + Œ? não é cota inferior de B. Assim, 
existem ∈ ` 6 k ∈ † tais que 
sup ` − �2 < ≤ sup ` = inf † ≤ k < inf † + �2. 
Novamente usando que sup ` = inf †, obtemos a desigualdade: 
inf † − Œ? < ≤ k < inf † + Œ?. 
Logo, inf † − Œ? < , ou seja, − < − inf † + Œ? e k < inf † + Œ?. Somando ambas temos k − < �. 
Para provar a recíproca usaremos a contrapositiva, isto é, vamos supor que sup A é 
diferente de inf B. Sabemos pela primeira parte da demonstração que não podemos ter 
sup ` > inf †. Então forçosamente temos que sup ` < inf †. Tomando � = inf † −
27 
 
 
sup ` > 0 temos que k − ≥ � para todo ∈ ` 6 k ∈ †, pois k ≥ inf † e sup ` ≥ de 
onde segue − ≥ − sup `. Somando as desigualdades obtemos k − ≥ inf † −
sup ` = �, o que finaliza a prova. 
 
Definição 2.23: Seja �: B , k] → ℝ uma função limitada e Ž = R�9, ⋯ , �YW uma partição de B , k]. Para cada € ∈ R1, ⋯ , HW, definimos 
T = B�TU3, �T], ∆�T = �T − �TU3, FT = inf R����; �TU3 ≤ � ≤ �TW e M‘ = sup R����; �TU3 ≤ � ≤ �TW. 
Considerando cada intervalo T = B�TU3, �T] como a base de um retângulo e o ínfimo ou o 
supremo de f em cada i-ésimo intervalo como a altura desse retângulo, obtemos uma 
aproximação para a área sob o gráfico de f somando as áreas de cada retângulo assim 
construído. 
 
Definição 2.24: As somas inferior e superior de f relativas à partição P, chamadas de 
Somas de Darboux-Riemann,são dadas respectivamente por, 
5��, Ž� = f FT��T − �TU3�YT]3 , 
’��, Ž� = f “T��T − �TU3�YT]3 . 
28 
 
 
 
Figura 8: Soma inferior e soma superior. 
 
No caso em que f�x� ≥ 0 ∀ x ∈ Ba, b], os números s�f, P� e S�f, P� são valores 
aproximados, respectivamente por falta e por excesso, da área da região limitada pelo 
gráfico de f, pelo intervalo [a, b] do eixo das abscissas e pelas verticais levantadas nos 
pontos a e b desse eixo. Quando f�x� ≤ 0 ∀ x ∈ Ba, b], essas somas são valores 
aproximados de tal área, com sinal trocado. 
 
Definição 2.25: Seja �: B , k] → ℝ uma função limitada. A integral inferior e a integral 
superior da função f são definidas respectivamente, por 
a ����b�c�U = supP 5��; Ž�, a ����b�
Uc
� = infP ’��; Ž�, 
onde o sup e o inf são tomados relativamente a todas as partições P intervalo B , k]. 
 
Definição 2.26: Uma função limitada �: B , k] → ℝ é integrável (a Riemann) se suas 
integrais inferior e superior forem iguais. Neste caso, denotamos a integral de f por: 
a ���� = a ����b�c�U =
c
� a ����b�
Uc
� . 
 
29 
 
 
3 –Introdução à Teoria da Medida 
 
3.1 – Álgebra e –-Álgebra 
 
Definição 3.1: Dado um conjunto X, dizemos que uma família — de subconjuntos de X é 
uma álgebra se w ∈ — 6 56 ∀ ` ∈ — 6 † ∈ — tivermos: 
` ∪ † ∈ — (i) 
e 
` − † ∈ —. (ii) 
Teorema 3.2: Se — é uma álgebra, então; 
1 - ∅ ∈ —. 
2 - �∀ `, † ∈ —� J ` ∩ † ∈ —. 
3 - ∀ ` ∈ — J `∁ ∈ —. 
Demonstração:1-Podemos deduzir facilmente de (ii) que ∅ ∈ — basta tomarmos ∀ ` ∈ —,
 
† = ` J ` − ` = ∅ ∈ —. 
2 – Pela propriedade de conjuntos temos que ` − �` − †� = ` ∩ †, então, dado A ∈ —, 
seja C = A – B; C ∈ —. Como — é uma álgebra, temos que ` − ž ∈ —,mas, 
` − ž = ` − �` − †� = ` ∩ † ∈ —. 
3 – Como — é uma álgebra, w ∈ —, logo, ∀ ` ∈ — temos w − ` = `∁ ∈ —. 
 
Na verdade, o Teorema 3.2 e a Definição 3.1 são equivalentes. Observe que ao invés de 
utilizarmos a definição 3.1 para demonstrarmos o Teorema 3.2, poderíamos ter feito o 
inverso. De fato, considere — com as propriedades enunciadas no Teorema 3.2. Temos que 
30 
 
 
�∀ `, † ∈ —� J ` ∩ † ∈ — J �` ∩ †�∁ ∈ —. Então ` ∪ † = �` ∩ †� ∪ �` ∩ †�∁ ∈ —. 
Além disso, �∀ `, † ∈ —� J †∁ ∈ — e ` ∩ †∁ = ` − † ∈ —. 
 
Definição 3.3: Uma álgebra — diz-se uma –-álgebra se, para cada sucessão �`Y�Y∈ℕ de 
elementos de —, a união Ÿ `Y ∈Y∈ℕ —. 
Exemplo 3.4: Seja w = R , ¡, ¢W. Então ’ = R∅, R W, R¡W, R¢W, R , ¡W, R , ¢W, R¡, ¢W, wW é uma 
σ-álgebra. 
Exemplo 3.5: Considere um conjunto X finito. A família ℱ de todos os subconjuntos 
finitos de X é uma álgebra, em particular é uma σ-álgebra, pois ∀ ` 6 † ∈ ℱ, ` ∪ † é um 
conjunto finito, logo pertence a ℱ e ` − † também é um conjunto finito, logo ` − † ∈ ℱ. 
Portanto ℱ é uma álgebra. Além disso, uma união qualquer de subconjuntos de ℱ é um 
subconjunto finito de ℱ, de fato, pois consideramos X finito, assim, teremos um número 
finito de subconjuntos de X, (mais precisamente, se X possuir n elementos terá 2n 
subconjuntos) cada um deles com número finito de elementos, assim a união enumerável de 
subconjuntos de ℱ também terá um número finito de elementos, logo podemos concluir que 
ℱ é uma σ − ávh6k . 
 
Exemplo 3.6: Seja w ≠ ∅. Então, a família de todos os subconjuntos de X, ’ = Ž�w�, é 
uma σ-álgebra. De fato, qualquer interseção de subconjuntos de X é um subconjunto de X, 
logo está em S; o complementar de um subconjunto qualquer de X é um subconjunto de X, 
logo também está em S; ∅ ∈ w, ∀ w J ∅ ∈ ’; e ainda toda união de subconjuntos de X é 
um subconjunto de X, logo está em S também. 
 
31 
 
 
Exemplo 3.7: Considere agora um conjunto X infinito e enumerável. Suponha X = ℕ. Seja 
K a família de subconjuntos finitos de X. Tome ¤Y = R1,2, ⋯ , HW; H ∈ B1, ∞�. Temos que 
os conjuntos ¤Y ∈ x, pois são finitos. Porém, a união 
ℕ = ¥ ¤Y { xqY]3 
por conter infinitos pontos e assim podemos concluir que K é uma álgebra mas não é uma 
σ-álgebra. 
Exemplo 3.8: Seja w ≠ ∅. Então ’ = R∅, wW é uma σ-álgebra. 
Exemplo 3.9: Seja Auma família de subconjuntos não vazios de w. Como vimos no 
Exemplo 3.6, a família de todos os subconjuntos de X é uma σ-álgebra e obviamente 
contém A. Agora, se considerarmos a interseção de todas as σ-álgebras que contém A esta 
interseção também é uma σ-álgebra que contém A. Seja �lT�T∈ℕ uma família de σ-álgebras 
de X que contém A. Para que l = ¦ lTT∈ℕ seja uma σ-álgebra devemos verificar: 
a) ∅ ∈ l, o que se verifica pois ∀ € ∈ ℕ, ∅ ∈ lT pois cada lT é uma σ-álgebra de X. 
b) Dado † ∈ l, †∁ ∈ l já que se † ∈ l então ∀ € ∈ ℕ, † ∈ lT, logo, †∁ ∈ lT pois cada lT é uma σ-álgebra de X. 
c) Dado �lY�Y∈ℕ ∈ l, temos que ∀ € ∈ ℕ, �lY�Y∈ℕ ∈ lT, então ∀ € ∈ ℕ, Ÿ �lY� ∈ lTY∈ℕ , 
pois cada lT é uma σ-álgebra de X, portanto, F é uma σ-álgebra. 
Essa menor σ-álgebra que contém A é chamada σ-álgebra gerada por A. 
Exemplo 3.10: Seja w = ℝ, a σ-álgebra gerada por todos os intervalos abertos � , k� de ℝ 
é chamada σ-álgebra de Borel. Seus elementos são os conjuntos de Borel ou Borelianos. 
Observe que a σ-álgebra de Borel também é gerada por todos os intervalos fechados 
B , k] b6 ℝ. 
32 
 
 
De fato, considere o conjunto §¨ − ©g, k + ©gª, H ∈ ℕ«. Temos que ¦ ¨ − ©g, k + ©gª ∈qY]3
 σ − álgebra. Mas ¦ ¨ − ©g, k + ©gª = B , k],qY]3 como mostramos a seguir: 
[a,b] ⊂ ¨ − ©g, k + ©gª ∀ H ∈ ℕ, logo, B , k] ⊂ ® ¨ − ©g, k + ©gªqY]3 . Para mostrar a 
recíproca, considere dois números positivos �3, �? e defina � = minR�3, �?W. Mostraremos 
que − �3 6 k + �? não pertencem à ® ¨ − ©g, k + ©gªqY]3 . Para qualquer H9 > 3Œ, 
• H9 > 3Œ ⟹ � > 3Y: ⟹ k + � > k + 3Y: ⟹ k + �? ≥ k + � > k + 3Y: ⟹ k + �? {
¯ − 3Y: , k + 3Y:° ⟹ k + �? { ® ¨ − ©g, k + ©gªqY]3 . 
• H9 > 3Œ ⟹ � > 3Y: ⟹ −� < − 3Y: ⟹ − � < − 3Y: ⟹ − �3 ≤ − � < −
3Y: ⟹ − �3 { ¯ − 3Y: , k + 3Y:° ⟹ − �3 { ® ¨ − ©g, k + ©gªqY]3 . 
Logo ® ¨ − ©g, k + ©gª ⊂ B , k],qY]3 portanto ® ¨ − ©g, k + ©gª = B , k].qY]3 
 
Definição 3.11: Seja — uma álgebra. Uma função ±: — → B0; +∞], não-constante será 
aditiva se, dados `, † ∈ —, 
` ∩ † = ∅ J ±�` ∪ †� = ±�`� + ±�†� 
A proposição seguinte fornece algumas propriedades elementares das funções aditivas. 
 
Proposição 3.12: Seja — uma álgebra e ±: — → B0; +∞] uma função aditiva. 
Se A, B, A1, A2, ... ,Ak∈ — então: 
(i) ±�∅� = 0; 
(ii) ±�†� ≤ ±�`� 56 † ⊂ `; 
33 
 
 
(iii) ±�` − †� = ±�`� − ±�†� 56 † ⊂ ` 6 ±�†� < +∞; 
(iv) ±�` ∪ †� = ±�`� + ±�†� − ±�` ∩ †� 56 ±�` ∩ †� < +∞; 
(v) ±�`3 ∪. . .∪ `V� = ±�`3� + ⋯ + ±�`V� 56 `T ∩ ²` = ∅ ∀ € ≠ ³; 
Demonstração: 
(i) Temos, pela Teoria de Conjuntos que ∅ = ∅ ∪ ∅ então, 
±�∅� = ±�∅ ∪ ∅� = ±�∅� + ±�∅� = 2±�∅� = 0. 
Portanto, ±�∅� = 0. 
(ii) Se † ⊂ ` então ` = † ∪ �` − †� e † ∩ �` − †� = ∅. Como ± é aditiva, segue 
que 
±�`� = ±¨† ∪ �` − †�ª = ±�†� + ±�` − †� ≥ ±�†� 
pois ± ≥ 0. 
(iii) Como † ⊂ `, 
` = † ∪ �` − †� 
aplicando ± e a aditividade temos 
±�`� = ±�†� + ±�` − †� 
Observe que devemos ter ±�†� < +∞ para que esteja bem definido ±�`� − ±�†�, pois 
† ⊂ ` não exclui a possibilidade de B = A, o que aconteceria se também ` ⊂ †. Logo, 
±�`� − ±�†� = ±�` − †�. 
(iv) Temos que ` ∪ † = �` − †� ∪ �` ∩ †� ∪ �† − `�. Aplicando ± e a 
aditividade temos 
±�` ∪ †� = ±�` − †� + ±�` ∩ †� + ±�† − `�. 
Mas, ` = �` ∩ †� ∪ �` − †� e analogamente, † = �† ∩ `� ∪ �† − `�, portanto, 
±�`� = ±�` ∩ †� + ±�` − †� 
34 
 
 
e 
±�†� = ±�† ∩ `� + ±�† − `� 
logo, substituindo, 
±�` ∪ †� = ±�`� + ±�†� − ±�` ∩ †�. 
(v) Considere †? = `? ∪ `´ ∪ ⋯ ∪ `Y. Então `3 ∪ †? = `3 ∪ `? ∪ ⋯ ∪ `Y. 
Pelo item (iv) segue que 
±�`3 ∪ †?� = ±�`3� + ±�†?� − ±�`3 ∩ †?� = ±�`3� + ±�†?�, 
pois, por hipótese, `T ∩ ²` = ∅ ∀ € ≠ ³, e pelo item (i) ±�∅� = 0. Definindo †´ = `´ ∪
`µ ∪ ⋯ ∪ `Y, temos que †? = `? ∪ †´. Logo, da mesma forma que anteriormente 
obtemos: 
±�†?� = ±�`? ∪†´� = ±�`?� + ±�†´� − ±�`? ∩ †´� = ±�`?� + ±�†´�. 
Logo, 
±�`3 ∪ `? ∪. . .∪ `Y� = ±�`3� + ±�`?� + ±�†´�. 
Agora, seja †T = `T ∪ `T¶3 ∪ ⋯ ∪ `Y para algum €; 2 ≤ € ≤ H. Suponhamos por indução 
±�`3 ∪ `? ∪. . .∪ `Y� = ±�`3� + ±�`?� + ⋯ + ±�`TU3� + ±�†T�. 
Mas 
±�`3 ∪ `? ∪ … ∪ `Y� = ±�`3� + ⋯ + ±�`TU3� + ±�`T ∪ †T¶3�, 
pois pela definição, †T¶3 = `T¶3 ∪ `T¶? ∪ ⋯ ∪ `Y, logo `T ∪ †T¶3 = †T e pelo item (iv) 
±�`T� + ±�†T¶3� = ±�`T ∪ †T¶3� + ±�`T ∩ †T¶3�= ±�`T ∪ †T¶3� + ±�∅�
= ±�`T ∪ †T¶3�. 
Portanto, 
±�`3 ∪ `? ∪. . .∪ `Y� = ±�`3� + ±�`?� + ⋯ + ±�`TU3� + ±�`T� + ±�†T¶3�, 
35 
 
 
o que finaliza a indução. Logo, 
±�`3 ∪. . .∪ `V� = ±�`3� + ⋯ + ±�`V� 56 `T ∩ ²` = ∅ ∀ € ≠ ³, 
conforme queríamos demonstrar. 
Definição 3.13: Seja — uma álgebra. Uma função ±: — → B0; ∞] aditiva será – −
 b€i€· se, para `3, `?, ⋯ ∈ — _~F Ÿ ²` ∈ —,¶q²]3 temos 
`T ∩ ²` = ∅ �€ ≠ ³� ⟹ ± ¸¥ ²`¶q²]3 ¹ = f ±�
¶q
²]3 ²`�. 
Exemplo 3.14: Dado um conjunto infinito X, seja P(X) a família de todos os seus 
subconjuntos. Vimos no exemplo 3.6 que P(X) é uma σ-álgebra. Tome um subconjunto 
qualquer E de X tal que 
º�¤� = E 0, se E tem finitos elementos+∞, se E tem infinitos elementos. 
Esta função é uma função aditiva. De fato, sejam A, B ⊆ w tal que ` ∩ † = ∅. Temos dois 
casos a considerar: 
1º caso - Suponha A e B com elementos finitos, então ` ∪ † possui finitos elementos, 
assim 
º�` ∪ †� = 0 = º�`� + º�†� = 0 + 0 = 0. 
2º caso - Suponha A ou B com infinitos elementos, então ` ∪ † possui infinitos elementos, 
assim 
º�` ∪ †� = +∞ 
º�`� + º�†� = +∞ + 0 = +∞ 
ou 
º�`� + º�†� = 0 + ∞ = +∞ 
ou ainda 
36 
 
 
º�`� + º�†� = +∞ + ∞ = +∞. 
Observe que º não é sigma-aditiva, pois se tomarmos uma família `3, `?, ⋯ de 
subconjuntos finitos de X, a união possuirá infinitos elementos então º¨Ÿ ²`¶q²]3 ª = +∞, 
porém º�`3� = º�`?� = ⋯ = 0, logo, ∑ º�¶q²]3 ²`� = 0. 
 
Exemplo 3.15: Dado um conjunto não-vazio X, seja P(X) a família de todos os seus 
subconjuntos. Sabemos que P(x) é uma σ-álgebra, em particular, uma álgebra. Tome um 
subconjunto qualquer E de X tal que 
º�¤� = E ~ HúF6~ b6 6v6F6Hi~5 b6 ¤, se E tem finitos elementos +∞ , se E tem infinitos elementos. 
Esta é a função “medida de contagem”. Ela é uma função aditiva, como facilmente pode-se 
verificar: 
1º caso - Suponha A e B com finitos elementos, tais que ` ∩ † = ∅. Sejam n e m, 
respectivamente o número de seus elementos. Temos que ` ∪ † possui finitos elementos, 
sendo n + m o seu total, então: 
º�` ∪ †� = H + F = º�`� + º�†�. 
2º caso – Suponha que ou A ou B possui infinitos elementos. Considere A com infinitos 
elementos. Então ` ∪ † possui infinitos elementos, logo 
º�` ∪ †� = +∞ = º�`� + º�†� = +∞ + F = +∞. 
 
 
 
 
37 
 
 
3.2 – Medidas 
Nesta seção é conveniente definirmos os números reais estendidos ℝ¼ que é formado pelo 
conjunto ℝ ∪ R+∞W ∪ R−∞W, para que possamos considerar as seguintes operações 
algébricas: 
1. ∞ + ∞ = ∞ e �−∞� − ∞ = −∞. 
2. �±∞� ∙ �+∞� = �±∞� e �±∞� ∙ �−∞� = �∓∞�. 
3. + ∞ = +∞ e − ∞ = −∞, para todo ∈ ℝ. 
4. ∙ �±∞� = �±∞�, 56 > 0 e ∙ �±∞� = �∓∞�, 56 < 0, para todo ∈ ℝ. 
As expressões ∞ − ∞ e − ∞ + ∞ são deixadas como indefinidas. E assumiremos: 
5. 0 ∙ ∞ = 0. 
Temos ainda que ℝ¼ também é ordenado, sendo −∞ o seu menor elemento e +∞ o seu 
maior elemento, ou seja, −∞ < < ∞, ∀ ∈ ℝ. 
 
Definição: 3.16: Dada uma σ-álgebra —, a função F: — ⟶ ℝ¼ é uma medida se: 
(i) F�∅� = 0; 
(ii) F�¤� ≥ 0 ∀ ¤ ∈ —; 
(iii) dada uma sucessão �`Y�Y∈ℕ de elementos de —, disjuntos dois a dois, tem-se 
F Â¥�`Y�Y∈ℕ à = f F�
¶q
Y]3 `Y�. 
Exemplo 3.17: Sejam w = R , ¡, ¢W e ’ = R∅, R W, R¡, ¢W, wW uma σ-álgebra de X. A 
função F: ’ ⟶ ℝ; F�∅� = 0, F�R W� = 2, F�R¡, ¢W� = 1 6 F�R , ¡, ¢W� = 3 é uma 
medida em S. 
Definição 3.18: Dizemos que um conjunto w ⊂ ℝ tem medida nula se para todo 
38 
 
 
� > 0, ∃ �Y�Y∈ℕ, Y = � Y, kY�, Y < kY i €5 „…6 w ⊂ ¥ Y 6 f�kY − Y� < �.Y∈ℕY∈ℕ 
Proposição 3.19: Todo conjunto enumerável possui medida nula. 
Demonstração: Considere w = R3, ?, ⋯ , Y, ⋯ W. Fixado qualquer � > 0 para os intervalos 
 Y = ¯Y − � 3�2Y�Ä , Y + � 3�2Y�Ä ° temos que w ⊂ Å YY∈ℕ e por outro lado, 
f�kY − Y� = 2 ∙ f �3
q
Y]3 ∙ C12D
Y = 2�3 ∙ f C12DY = 2�3 ∙ 1 2Ä1 − 1 2Ä
q
Y]3 = 2�3 < �.
q
Y]3 
 
3.3 – Espaço de Medida 
Definição 3.20: Um espaço de medida é uma tripla (X, —, μ�, sendo X um conjunto, — é 
uma σ-álgebra de subconjuntos de X e μ ∶ — ⟶ B0, +∞] é uma medida em X. 
Os elementos de — são conjuntos mensuráveis e a função É é uma função – − b€i€· . 
 
Exemplo 3.21: No exemplo 3.15 temos o espaço de medida (X, Ž�w�, ρ�, onde X é um 
conjunto não vazio qualquer, P(X) é uma σ-álgebra de X (a família de todos os 
subconjuntos de X) e ρ é uma medida em X. 
 
Exemplo 3.22: A medida delta de Dirac. Sejam o espaço de medida �Ω, —, É� e �9 ∈ Ω 
tal que para todo E ∈ —,tem-se 
É�¤� = E0, 56 �9 { ¤1, 56 �9 ∈ ¤. 
Esta é a definição da medida delta de Dirac em �9, denotada por ��: . 
 
39 
 
 
3.4 – Medida de Lebesgue na Reta 
Consideremos os subconjuntos de ℝ, em particular, os intervalos 
� , k�, B , k], � , k] 6 B , k�; , k ∈ ℝ, ≤ k. O comprimento de cada um desses 
intervalos é dado por k − . Ou seja, 
v�� = v�� , k�� = v�B , k]� = v�� , k]� = v�B , k�� = k − . 
E para = k, v�� = 0. 
 
Definição 3.23: Medida exterior de Lebesgue. A medida exterior de Lebesgue, ou medida 
exterior de um conjunto ` ⊂ ℝ, é dada por 
É∗�`� = €H� Íf v�Y�; ` ⊂ ¥ YY∈ℕ
q
Y]9 Î, 
onde {YW é uma família enumerável de intervalos. 
Proposição 3.24: A medida exterior de Lebesgue satisfaz as seguintes propriedades: 
(i) É∗�∅� = 0; 
(ii) É∗�`� ≥ 0; 
(iii) É∗�`� ≤ É∗�†� 56 ` ⊂ †; 
Demonstração: (i) De fato, o conjunto vazio não possui nenhum elemento, assim a soma 
dos comprimentos de intervalos que o recobrem é nula. Tomando, por exemplo, intervalos 
do tipo � , � temos que v� , � = v�∅� = − = 0. 
(ii) Para cada intervalo I, seu comprimento será sempre positivo ou nulo, logo a soma de 
todos os intervalos que recobrem A será positiva ou nula. 
(iii) Sejam RYW 6 RY; W famílias enumeráveis de intervalos tais que ` ⊂ Ÿ YY∈ℕ e B⊂
Ÿ ′YY∈ℕ . Agora vamos construir os seguintes conjuntos 
40 
 
 
— = Íf v�Y�; ` ⊂ ¥ YY∈ℕ
q
Y]9 Î 6 ℬ = Íf v�′Y�; † ⊂ ¥ ′YY∈ℕ
q
Y]9 Î. 
Como ` ⊂ †, toda cobertura de B é também uma cobertura de A. Assim ℬ ⊂ —. 
Então, 
€H� Íf v�′Y�; † ⊂ ¥ ′YY∈ℕ
q
Y]9 Î = €H� ℬ ≥ inf — = €H� Íf v�Y�; ` ⊂ ¥ YY∈ℕ
q
Y]9 Î . 2 
Portanto, É∗�`� ≤ É∗�†� 56 ` ⊂ †. 
Exemplo 3.25: Se � ∈ ℝ, 6Hiã~ É∗�R�W� = 0. 
Vamos mostrar que a medida exterior de um conjunto unitário é nula. Considere a família 
de intervalos da forma Y = Ò�, � + ℇ4g-©ª, H ∈ ℕ, � > 0. Claramente, � ∈ Y e 
 É∗�R�W� ≤ f v�Y� = f ℇ2Y¶3
q
Y]9
q
Y]9 < �. 
Mas podemos tomar um � tão pequeno quanto quisermos, assim, É∗�R�W� < � J
 É∗�R�W� = 0. 
 
Definição 3.26: Seja — uma álgebra. Uma função ±: — → B0; +∞], não-constante será 
subaditiva se, dados `, † ∈ —, 
` ∩ † = ∅ J ±�` ∪ †� ≤ ±�`� + ±�†�. 
Proposição 3.27: A medida exterior de Lebesgue é subaditiva. Ou seja, dada uma sucessão 
�`Y�Y∈ℕ de partes de ℝ, temos que 
É∗ Â¥ `YY∈ℕ à ≤ f É∗
¶q
Y]3 �`Y�. 
Veja a demonstração desta proposição na referência [7]. 
 
2A demonstração está descrita no exemplo 2.21. 
41 
 
 
 
Definição 3.28: Conjunto Mensurável à Lebesgue. Um conjunto ¤ ⊂ ℝ é dito 
mensurável à Lebesgue se para qualquer conjunto ` ⊂ ℝ, tivermos 
É∗�`� = É∗�` ∩ ¤� + É∗�` ∩ ¤∁�. 
Como É∗ é subaditiva, para mostrar que E é mensurável, é suficiente mostrar que É∗�`� ≥
É∗�` ∩ ¤� + É∗�` ∩ ¤∁�.Exemplo 3.29: Vamos mostrar que todo conjunto de medida nula é mensurável. Ou seja, 
queremos mostrar que se É∗�¤� = 0 então E é um conjunto mensurável. 
Demonstração: Temos que ∀ ` ⊂ ℝ, ` ∩ ¤ ⊂ ¤, então, pelo item (iii) da Proposição 3.24 
segue que É∗�` ∩ ¤� ≤ É∗�¤� = 0, portanto, É∗�` ∩ ¤� = 0. Analogamente, ` ∩ ¤∁ ⊂
` J É∗�` ∩ ¤∁� ≤ É∗�`�, logo, É∗�`� ≥ É∗�` ∩ ¤� + É∗�` ∩ ¤∁�. 
Teorema 3.30: Se X é um subconjunto qualquer de ℝ e R¤TWT∈B9,¶q� uma família de 
conjuntos mensuráveis, disjuntos dois a dois, ou seja, ¤T ∩ ¤² = ∅, ∀€ ≠ ³, então 
É∗ Âw ∩ �¥ ¤T�YT]3 à = f É∗�w ∩ ¤T�
Y
T]3 . 
Demonstração: Vamos demonstrar por indução em n. 
Claramente, a equação é verdadeira para H = 1. Suponhamos que para algum n a equação é 
verdadeira. Sejam ¤3, ¤?, ⋯ , ¤Y, ¤Y¶3 conjuntos mensuráveis e disjuntos. Se w ⊂ ℝ, então 
Ôw ∩ �¥ ¤T�Y¶3T]3 Õ ∩ ¤Y¶3 = w ∩ ¤Y¶3 
Ôw ∩ �¥ ¤T�Y¶3T]3 Õ ∩ ¤Y¶3∁ = w ∩ ¥ ¤T�
Y
T]3 . 
42 
 
 
Como ¤Y¶3 é mensurável, temos que 
É∗ Âw ∩ �¥ ¤T�Y¶3T]3 à = É∗ Âw ∩ �¥ ¤T� ∩
Y¶3
T]3 ¤Y¶3à + É∗ Âw ∩ �¥ ¤T�
Y¶3
T]3 ∩ ¤Y¶3∁ Ã
= É∗�` ∩ ¤Y¶3� + É∗ Âw ∩ B¥ ¤T]YT]3 Ã
= É∗�` ∩ ¤Y¶3� + f É∗�w ∩ ¤T� =YT]3 f É∗�w ∩ ¤T�.
Y¶3
T]3 
 
De uma forma geral, podemos interpretar a maior dificuldade na definição de uma medida 
pelo fato de que ela deve assumir um valor não negativo ou infinito em todos os 
subconjuntos do seu domínio, devendo ainda ser aditiva e nula no conjunto vazio. 
O matemático alemão Constantin Carathéodory (1873-1950) desenvolveu um método para 
construir medidas não triviais tais como a Medida de Lebesgue. Esse método consiste em 
construir uma função (que chamamos de medida exterior ou pré-medida) que seja 
subaditiva (e não mais aditiva), assim conseguimos restringir essa função a certo 
subconjunto que será uma – − ávh6k , transformando-a em uma medida. 
No próximo capítulo veremos a Medida de Lebesgue nesse contexto, ou seja, ela será a 
medida exterior restrita a uma classe específica de conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
4 – A Integral de Lebesgue 
 
4.1 – Função Mensurável 
Definição 4.1: Seja �: ` → ℝ uma função definida em um conjunto mensurável ` ⊂ ℝ. 
Dizemos que f é uma função mensurável (à Lebesgue) se o conjunto 
R� ∈ `: ���� > _W = �U3¨�_, +∞�ª 
é mensurável para todo c ∈ ℝ. 
 
Proposição 4.2: Se �: ` → ℝ é uma função definida em um conjunto mensurável ` ⊂ ℝ 
então as seguintes afirmações são todas equivalentes: 
(i) R� ∈ `; ���� > _W é F6H5…á·6v ∀ _ ∈ ℝ; 
(ii) R� ∈ `; ���� ≥ _W é F6H5…á·6v ∀ _ ∈ ℝ; 
(iii) R� ∈ `; ���� < _W é F6H5…á·6v ∀ _ ∈ ℝ; 
(iv) R� ∈ `; ���� ≤ _W é F6H5…á·6v ∀ _ ∈ ℝ. 
Observação: Para um melhor estudo, o leitor pode encontrar as demonstrações da 
proposição acima nas referências [7], [8] e [10]. 
 
Exemplo 4.3: Qualquer função �: ℝ → ℝ¼ constante é mensurável. De fato, ���� = s, ∀ � ∈
ℝ. Seja Ù a família dos conjuntos mensuráveis de ℝ. Temos três casos a considerar: 
Caso 1) s ∈ ℝ 
Se s ∈ ℝ então 
∀ ≥ s J R�; ���� > W = ∅ ∈ Ù 
44 
 
 
e 
∀ < s J R�; ���� > W = ℝ ∈ Ù, 
logo, f é mensurável. 
Caso 2) s = +∞. Para todo a real temos 
R�; ���� > W = ℝ ∈ Ù, 
logo, f é mensurável. 
Caso3) s = −∞. Para todo a real temos 
R�; ���� > W = ∅ ∈ Ù, 
portanto, f é mensurável. 
 
Exemplo 4.4: Considere o conjunto w = ℝ. Seja f a função definida por ���� = �?, então f 
é mensurável, pois para qualquer ∈ ℝ, teremos 
�U3�−∞, � = E∅, 56 ≤ 0,¨−√ , √ ª , 56 > 0. 
 
Exemplo 4.5: Dado um conjunto mensurável ¤ ⊆ ℝ, toda função característicade E é 
mensurável. De fato, seja f a função característica de E. Considere os seguintes casos: 
Caso 1) < 0 
’6 < 0 6Hiã~ R�; ���� > W = ℝ ∈ Ù, 
logo, R�; ���� > W é mensurável se < 0. 
Caso 2) 0 ≤ < 1 
’6 0 ≤ < 1 6Hiã~ R�; ���� > W = ¤ ∈ Ù, 
logo, R�; ���� > W é mensurável se 0 ≤ < 1. 
Caso 3) ≥ 1 
45 
 
 
’6 ≥ 1 6Hiã~ R�; ���� > W = ∅ ∈ Ù, 
logo, R�; ���� > W é mensurável se ≥ 1. 
 
Exemplo 4.6: A função de Dirichlet: �: B0,1] → ℝ dada por 
���� = E0, 56 � ∈ B0,1] ∩ ℚ1, _ 5~ _~Hiá€~, 
é mensurável, de fato, esta função é um caso particular do exemplo 4.5. 
 
Vamos agora destacar alguns resultados que serão utilizados na próxima seção deste 
capítulo. As demonstrações desses resultados são encontradas, por exemplo, nas referências 
[7] e [18]. 
Teorema 4.7: Se ��Y� é uma família de funções mensuráveis de X em ℝ, então as funções 
supY∈ℕ �Y, infY∈ℕ �Y , lim�Y e lim�Y são mensuráveis. 
 
Se uma propriedade P é válida para todo � ∈ ¤ − ` e se o conjunto A possui medida nula, 
normalmente usa-se a expressão P vale em quase todo ponto de E, e de forma abreviada, P 
vale qtp. 
 
Proposição 4.8: Se f é uma função mensurável e � = h qtp, então h é uma função 
mensurável. 
 
 
46 
 
 
4.2 – A Integral de Lebesgue 
Em sua tese de doutorado de 1902, Lebesgue desenvolveu uma nova teoria de integração 
onde diferenciação e integração podiam ser consideradas operações inversas para uma 
classe mais geral de funções que a classe das funções Riemann-integráveis. 
Nesta seção vamos definir a integral de Lebesgue de uma função em relação a uma medida. 
Começaremos definindo o conceito de integral para o caso de funções mensuráveis simples 
e depois o usaremos para definir a integral de uma função mensurável arbitrária. 
 
Definição 4.9: Uma função simples é uma função 5: w → ℝ cuja imagem é finita, ou seja, 
s(x) assume um número finito de valores. Uma função s simples mensurável pode ser 
representada por 
5 = f Txy^ ,YT]3 
em que T ∈ ℝ, e xy^ é a função característica do conjunto `T. Observe que a representação 
acima é única se 3, ?, ⋯ , Y forem todos distintos e os `T subconjuntos dois a dois 
disjuntos, tais que w = Å `T .YT]3 Essa representação única é chamada de forma canônica. 
 
Definição 4.10: Uma função simples s é uma função escada se s possui representação da 
forma 5 = f Txy^ ,YT]3 onde cada `T é um conjunto mensurável de medida finita, isto é, É�`T� < ∞. 
Definição 4.11: Seja s uma função simples da forma 
47 
 
 
5 = f Txy^ , T ≥ 0.YT]3 
Então a Integral de Lebesgue de s é definida por 
�5� = f TYT]3 É�`T�. 
Usaremos o 5bÉÛ para denotar a integral de s. Para todo ` ⊂ w, 
a 5bÉy = a 5xybÉÛ = f T
Y
T]3 É�` ∩ `T�. 
Teorema 4.12: Considere o espaço de medida (ℝ, —, É�. Se s é uma função simples e 
mensurável, então 
€� a 5bÉÜ = f T
Y
T]3 É�¤ ∩ `T�, ∀ ¤ ∈ —; 
€€� a 5bÉ = a5bÉyy∪Ý + a 5bÉÝ , ∀ `, † ∈ — i €5 „…6 ` ∩ † = ∅; 
Demonstração: (i) é imediata da definição 4.9. Para (ii) temos que 
a5bÉy + a 5bÉ = f T
Y
T]3 É�` ∩ `T�Ý + f T
Y
T]3 É�† ∩ `T�
= f TYT]3 ɨ�` ∪ †� ∩ `Tª = a 5bÉy∪Ý . 
Exemplo 4.13: 
a) Considere o espaço de medida (w, —, É∗�. Seja s uma função simples e não negativa 
definida por 
5��� = 2+3, 56 � ∈ �3, 8�, 0, 56 � { �3, 8�, 
48 
 
 
então o 5bÉ∗Û = +3É∗��3, 8�� + �0�É∗�ℝ\�3, 8�� = 3 × 5 + 0 × ∞ = 15. 
b) Seja suma função simples e mensurável definida por 
5��� = 2 +3, 56 � ∈ �1, ∞�, 0, 56 � ∈ �−∞, 1], 
então o 5bÉÛ = +3É∗�1, ∞� + �0�É∗��−∞, 1]� = 3 × ∞ + 0 = ∞. 
Proposição 4.14: Considere um espaço de medida (w, —, É�, e sejam 53, 5?: w → B0, +∞] 
funções simples e mensuráveis. Então 
a�53 + 5?�bÉ = a53bÉy + a 5?bÉ, ∀ ` ∈ —.yy 
Demonstração: Sejam 5T��� = f  T,²xy^,á���,d^²]3 em que  T,² ∈ B0, +∞], `T,² ∈ —,
Ÿ `T,²d^²]3 = w, e `T,² ∩ `T,V = ∅ ∀ ³ ≠ s, € = 1,2. Então temos que 
�53 + 5?���� = f  3,²xy©,á��� + f  ?,Vxy4,â���d4V]3
d©
²]3
= f  3,² ¸f xy©,á∩y4,â���d4V]3 ¹ +
d©
²]3 f  ?,V ¸f xy©,á∩y4,â���
d©
²]3 ¹
d4
V]3
= f f� 3,² +  ?,V�xy©,á∩y4,â���d4V]3 .
d©
²]3 
Logo, 
49 
 
 
a �53 + 5?�bÉ =y f f� 3,² +  ?,V�ɨ` ∩ `3,² ∩ `?,Vªd4
V]3
d©
²]3
= f f  3,²É¨` ∩ `3,² ∩ `?,Vªd4V]3 + f f  ?,Vɨ` ∩ `3,² ∩ `?,Vª
d4
V]3
d©
²]3
d©
²]3
= f  3,²É ¸` ∩ `3,² ∩ ¥ `?,Vd4V]3 ¹ +
d©
²]3 f  ?,VÉ ¸` ∩ `?,V ∩ ¥ `3,²
d©
²]3 ¹
d4
V]3
= f  3,²É¨` ∩ `3,²ª + f  ?,Vɨ` ∩ `?,Vªd4V]3
d©
²]3
= a 53bÉy + a5?bÉ.y 
 
Proposição 4.15. Se _ ∈ ℝ e 5��� é uma função simples, mensurável então _ ∙ 5��� 
também é, além disso, o _5bÉy = _ ∙ o 5bÉ.y 
Demonstração: De fato, temos que 5 = ∑ Txy^ J _ ∙ 5 = ∑ �_ ∙ T�xy^dT]3dT]3 J o _5bÉy =∑ �_ ∙ T�É�`T� = _ ∑ TÉ�`T� = _ ∙ o 5bÉ.ydT]3dT]3 
Observação: Pelas proposições 4.14 e 4.15 fica provado que a Integral de Lebesgue é um 
operador linear. 
 
Definição 4.16: Seja �: ` → ℝ uma função mensurável, não negativa, definida em um 
conjunto mensurável. A integral de Lebesgue de f em A é dada por: 
a �bÉ = sup 2a5bÉy : 5 é uma função simples, mensurável, com 0 ≤ 5 ≤ �. ãy 
 
Verifica-se pela definição acima que para uma função simples s: ℝ → ℝ, não negativa, 
50 
 
 
a 5bÉ = y�5�.y 
Podemos definir a integral para uma função mensurável através da seguinte decomposição: 
f = f + – f – , onde as componentes �± são as funções mensuráveis, não negativas, 
definidas por: 
�¶ = max��, 0�, �U = − min��, 0�. 
Observe os gráficos a seguir que ilustram uma função f e suas componentes �±: 
 
Gráfico de f 
 
51 
 
 
 
Gráfico de �¶ = F ���, 0� 
 
 
Gráfico de �U = − F€H��, 0�. 
 
Definição 4.17: Seja �: ` → ℝ uma função mensurável, definida num conjunto 
mensurável. A integral de Lebesgue de f em A é dada por: 
a �bÉ = a�¶yy bÉ − a �UbÉ ,y 
desde que pelo menos uma das integrais o �±bÉy seja finita. 
Observe que a integral de Lebesgue assume valores em B−∞, +∞]. 
52 
 
 
Dizemos que �: ` → ℝ é uma função integrável em A e escrevemos � ∈ ℒ�`� se a integral 
de Lebesgue de f existe e é finita. 
Vejamos algumas propriedades elementares da integral de Lebesgue. 
Proposição 4.18: Seja A um conjunto mensurável e �: ` → ℝ uma função mensurável. 
(i) Se f é limitada e É�`� < +∞, então � ∈ ℒ�`�; 
(ii) Se f, g ∈ ℒ�`� e ���� ≤ h��� para � ∈ `, então o �bÉ ≤ o hbÉ;yA 
(iii) Se ≤ ���� ≤ k æ  � ∈ ` 6 É�`� < +∞, então � ∈ ℒ�`� 6 
 É�`� ≤ a�bÉ ≤ kÉ�`�;y 
 
(iv) Se É�`� = 0 então o �bÉ = 0;y 
(v) Se f ∈ ℒ�`� e † ⊂ ` é mensurável então � ∈ ℒ�†�. 
O leitor pode encontrar a prova da proposição acima nas referências [2], [8] e [10]. 
 
Exemplo 4.19: Se f é uma função integrável, então |o �bÉ| ≤ o|�|bÉ. 
De fato isso segue da propriedade (ii) acima e pela desigualdade −|�| ≤ � ≤ |�|. 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
4.3 – Relação entre a integral de Lebesgue e a de Riemann 
É possível mostrar que uma função mensurável f é integrável a Lebesgue se e somente se 
|�| é integrável (veja por exemplo [17]); no entanto, não é válido para integrais impróprias 
no sentido de Riemann, isto é, existem funções cuja integral imprópria de Riemann 
o ����b�q� existe, mas o |����|b�q� não existe. Por exemplo, considere �: B1, ∞� →
ℝ; ���� = çèY���� . Vamos mostrar quea çèY���� b�q3 existe, mas não existe a éçèY���� é b�.q3 
Pela definição de integral Imprópria de Riemann, ê ����b� = limp→¶q o ����b�p3q3 , caso o 
limite exista como um número. 
Usando a integração por partes, com … = 3� 6 b· = 56H���b� de modo que b… =
− 3�4 6 · = − cos���, obtemos que 
a 56H���� b� = limp→¶q a 56H���� b� =p3q3 limp→¶q ë1� ∙ cos��� + a _~5����? b�p3 ìí3
p
= limp→¶q C1� ∙ cos���Dî3p + limp→¶q a _~5����? b�.p3 
Na primeira parcela da soma, o limite vale cos�1� = 0,54. Na segunda parcela, observe 
que o limite também existe pois, cos��� ≤ 1 J ïðñ����4 ≤ 3�4, assim, pelo Teorema da 
Comparação3, o ïðñ����4q3 b� converge pois o 3�4q3 b� converge, ou seja, existe o çèY���� b�.q3 
 
 
3
 Ver Teorema da Comparação na referência [9], p. 530. 
54 
 
 
Por outro lado, sabemos que |56H���| ≤ 1 ∀ � ∈ ℝ e como |56H���| ≥ 0, ∀ � ∈ ℝ, 
podemos multiplicar ambos os lados da primeira desigualdade por |56H���|: 
|56H?���| = 56H?��� ≤ 1 ∙ |56H���| J 56H?���� ≤ |56H���|� , � ≥ 1. 
Agora, basta observar que a çèY4���� b�q3 diverge para, devido a desigualdade acima 
concluirmos que a éçèY���� é b�q3 também diverge, usando o Teorema da Comparação. 
Novamente, usando integração por partes, com … = 3� 6 b· = 56H?���b� = 3? B1 −
cos�2��] de modo que b… = − 3�4 6 · = ¯�? − ñòó �?��µ °, obtemos que 
ô 56H?���� b�
q
3 = limp→¶q a
56H?���� b�p3
= limp→¶q C− 12 + sen �2��4� Dî3p + limp→¶q a C 12� − sen �2��4�? D b�p3
= limp→¶q C− 12 + sen �2��4� Dî3p + 12 limp→¶q a b�� − limp→¶q a sen �2��4�?õ3 .p3 
Agora, a integral o ñòó �?��µ�4õ3 converge e existe o limite da primeira parcela da soma pois 
limp→¶q ñòó �?��µ� = 0, porém a integral o 3�q3 diverge, ou seja, não existe limp→¶q o 3�p3 então 
podemos concluir que a soma dos limites acima também não existe, portanto a çèY4���� b�q3 
diverge. 
 
Proposição 4.20: Seja f uma função limitada definida em um conjunto E de medida finita. 
Temos que 
55 
 
 
inf� ≤ ö a ö���b�Ü = sup� ≥ ± a ±���b�,Ü 
para todas as funções simples ± e ö, se e somente se, f for mensurável. 
Demonstração: 
⇐�Seja f uma função limitada por M e suponha que f seja mensurável. Considere os 
conjuntos da forma 
¤V = 2� ∈ ¤: s“H ≥ ���� > �s − 1�“H ã , s ≤ |H|. 
Observe que os conjuntos definidos acima particionam o domínio da função de acordo com 
os valores que ela assume. Eles são mensuráveis, pois f é mensurável por hipótese; são 
disjuntos e sua união é o conjunto E. 
 Assim, 
F� ¥ ¤V� = F�¤� =YV]UY f F�¤V�.
Y
V]UY 
As funções simples definidas por 
öY��� = “H f s
Y
V]UY øÜâ��� 
e 
±Y��� = “H f �s − 1�
Y
V]UY øÜâ���, 
satisfazem 
±Y��� ≤ ���� ≤ öY���, 
logo, para todas as funções simples ± e ö, 
56 
 
 
inf� ≤ ö a ö���b� ≤ a öY���b� = “H f s
Y
V]UY F�¤V�ÜÜ 
e 
sup� ≥ ± a ±���b� ≥ a ±Y���b� = “H f �s − 1�
Y
V]UY F�¤V�,ÜÜ 
portanto, 
0 ≤ inf a ö���b� −Ü sup a ±���b� ≤Ü “H f F�¤V�
Y
V]UY = “H F�¤�. 
Como n é arbitrário, podemos tomá-lo suficientemente grande, de modo que 
inf a ö���b� −Ü sup a ±���b�Ü = 0. J� Suponha agora que 
inf� ≤ ö a ö���b�Ü = sup� ≥ ± a ±���b�.Ü 
Então, dado n, existem funções simples ±Y e öY tais que ±Y��� ≤ ���� ≤ öY���, e 
a öY��� − a ±Y��� < 1H. 
Logo, as funções ö∗ = inf öY e ±∗ = sup ±Y são mensuráveis pelo Teorema 4.7 e ainda, 
±∗��� ≤ ���� ≤ ö∗���. 
Observe que o conjunto ∆= R�: ±∗��� < ö∗���W é formado pela união dos conjuntos 
∆ù= E�: ±∗��� < ö∗��� − 1·ú. 
Mas cada ∆ù está contido no conjunto §�: ±Y��� < öY��� − 1 ·Ä « que possui medida menor 
que · H⁄ . Como n é arbitrário, temos que F�∆ù� = 0, logo, F�∆� = 0. Assim, ±∗ =
57 
 
 
ö∗exceto em um conjunto de medida nula e ±∗ = � exceto em um conjunto de medida 
nula, portanto, pela Proposição 4.8, � é uma função mensurável. 
 
O próximo teorema mostra que toda função que é integrável no sentido de Riemann é 
também integrável no sentido de Lebesgue e essas integrais coincidem. Mas a recíproca 
não é verdadeira. Existem inúmeras funções que não são integráveis no sentido de 
Riemann, mas são no sentido de Lebesgue. Um exemplo desse tipo de função é a função de 
Dirichlet que analisaremos em seguida. 
Podemos então afirmar que a integral de Lebesgue é uma generalização da integral de 
Riemann. De maneira geral, elas diferem entre si no fato de que enquanto Riemann 
considerou subintervalos do domínio, Lebesgue considerou subintervalos do contra-
domínio. 
Dada uma função f, denotaremos a partir de agora sua integral no intervalo B , k] ⊂ ℝ no 
sentido de Riemann por ü o ����b�c� e no sentido de Lebesgue por o ����b�c� . 
 
Teorema 4.21: Seja  = B , k] ⊆ ℝ6 �:  → ℝ. Sef é uma função integrável à Riemann 
em B , k] e limitada, então f também é integrável à Lebesgue e 
a ����b�c� = ü a ����b�
c
� . 
Demonstração: Como toda função escada é também uma função simples, temos que 
ü a ����b�c� ≤ sup± ≤ � a ±���b�
c
� ≤ infö ≥ � a ö���b�
c
� ≤ ü a ����b�c� . 
58 
 
 
Como f é integrável à Riemann, as inequações são todas igualdades e f é mensurável pela 
Proposição 4.20. 
 
Exemplo 4.22: Vamos agora mostrar que a função de Dirichlet não pode ser integrável 
segundo Riemann, mas o pode segundo Lebesgue. Essa função assume o valor unitário para 
valores do conjunto dos racionais, e zero, para pontos no conjunto dos irracionais. Ambos, 
subconjuntos do conjunto dos números reais, assim, possui um número infinito de 
descontinuidades. 
Considere a função �: B0,1] → ℝ dada por: 
���� = E1, 56 � ∈ B0,1] ∩ ℚ0, _ 5~ _~Hiá€~. 
De fato, para qualquer partição Pn de [0,1] teremos 
f ��_T�. ∆�T = E 1, 56 _T ∈ B0,1] ∩ ℚ ∀ €0, 56 _T { B0,1] ∩ ℚ ∀ €,
Y
T]3 
onde ∆�T = �T − �TU3 e �9, �3, ⋯ , �Y são os pontos da partição Pn. Portanto, não existe o 
limFá� ∆�€→0 f ��_€�. ∆�€H€=1 
pois para qualquer partição sempre teremos números racionais e irracionais e assim o limite 
acima nunca existirá, portanto, f não é integrável no sentido de Riemann em [0,1]. 
Vamos agora utilizar a notação de função característica para mostrar que a função de Dirichlet 
é integrável no sentido de Lebesgue. Considere 
xℚ��� = f _TxÜ^?T]3 ���, 
em que _3 = 1, _? = 0, ¤3 = ℚ, ¤? = ý. Calculando a integral de Lebesgue temos 
59 
 
 
a xℚbF = 0,39 
uma vez que 
o xℚbF = 0 = B9,3]xℚ = 1 ∙ F�B0,1] ∩ ℚ� + 0 ∙ F39 �B0,1] ∩ � = 0 (usando a Proposição 
3.19). 
 
 
60 
 
 
Considerações Finais 
 
O desenvolvimento deste trabalho proporcionou-me grande aprendizagem tanto no que se 
refere a uma nova e moderna técnica de integração quanto às noções básicas que estão 
diretamente ou indiretamente relacionadas a ela e que aqui foram utilizadas. Contudo, ainda 
há muito a aprender. Fica aqui registrado o desejo em trabalhar também os diversos tópicos 
que não foram tratados tais como o Teorema da Convergência Monótona, o Lema de Fatou, 
o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, o Teorema da Convergência 
Limitada, o Teorema de Radon-Nikodým, Teorema de Fubini, etc. Para os leitores que 
desejarem fazer um estudo mais aprofundado sobre a Integral de Lebesgue, indico as 
referências [1], [2], [4], [7], [8], [10],[17] e [18]. 
Claramente podemos concluir que a Integral de Lebesgue é amplamente melhor estruturada 
que a de Riemann. 
Apresento as principais dificuldades que ocorrem com a integral de Riemann: 
• Dificilmente se tem condição de demonstrar a validade da troca do processo de 
limite com a integração, ou seja, é difícil mostrar que 
limY→q þa �Y���b�� = a � limY→q�Y����b� ; 
• É apropriada a intervalos limitados. Não está definida para conjuntos que não são 
intervalos. 
• Não é trabalhada em espaços diferentes do ℝY. 
 
61 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
[1] MEDEIROS, Luis Adauto da Justa e MELLO, Eliel Amancio. A Integral de Lebesgue. 
Rio de Janeiro: UFRJ, 2008. 
[2] HÖNIG, Chaim Samuel. A Integral de Lebesgue e suas Aplicações. Rio de Janeiro: 
IMPA, 1977. 
[3] LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, Volume 1, 12ª edição. IMPA (2006). 
[4] CABRAL, Marco A. P. Introdução à Teoria da Medida e Integral de Lebesgue. Rio de 
Janeiro: UFRJ, 2009. 
[5] PALARO, Luzia. A. O teorema fundamental do cálculo e a obra de Henri Lebesgue. 
1998. 182 f. Dissertação (mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Educação, 
Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, 1998. 
[6] BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo, 1996. 
[7] SANTOS, José Carlos de S. O. Introdução à Análise Funcional. Porto: Universidade do 
Porto, 2010. 
[8] FERNANDES, Rui Loja. O integral de Lebesgue. Instituto Superior Técnico, Lisboa, 
2004. 
[9] STEWART, James. Cálculo, volume I. São Paulo, 2001. 
[10] MONTEIRO, Hemerson. Integral de Lebesgue no ℝY. Florianópolis, 2009. 130 f. 
Monografia (licenciatura) – Curso de Licenciatura em Matemática, Centro de Ciências 
Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina. Florianópolis, 2009. 
[11] NERI, Cássio. Curso de Análise Real. Rio de Janeiro, 2006. 
62 
 
 
[12] FELIPPE, Alana Cavalcante. Sobre a Teoria da Integração: Riemann, Darboux e 
Lebesgue. Ouro Preto, 2010. 80 f. Monografia – Curso de Licenciatura em Matemática, 
Universidade Federal de Ouro Preto. 
[13] LUIS, Antônio Gregório. Elementos de Análise Real. Volume 2. Lisboa, 2002. 
[14] http://cepa.if.usp.br. Acessado em janeiro/2012. 
[15] http://en.wikipedia.org/wiki/Measure (mathematics). Acessado em janeiro/2012 e 
fevereiro/2012. 
[16] http://futura-sciences.com/fr. Acessado em dezembro/2011. 
[17] BARTLE, Robert G. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. New York, 
1995. 
[18] ROYDEN, H. L. Real analysis. New Jersey, 1988.