Lajes março2015

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL (UFPA / ITEC / FEC) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO II - Prof. RONALDSON CARNEIRO versão: março/2015 
 
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1. INTRODUÇÃO 
 
1. DEFINIÇÃO: Elementos planos (placas), geralmente em posição horizontal, que 
apresentam uma dimensão, a espessura, muito menor em relação às demais. As lajes 
recebem os carregamentos atuantes e os transferem aos apoios dispostos no 
contorno, geralmente vigas, e destes para os pilares até as fundações. Nas estruturas 
usuais, as lajes respondem por aproximadamente 50 % do consumo de concreto. 
 
1.2. Tipos de lajes 
 
a. Lajes maciças: De seção homogênea, executadas sobre formas, que as 
moldam, e escoramentos, que as sustentam até que adquiram resistência 
própria. Recomendadas para vãos até 6 metros de comprimento. 
 
b. Lajes nervuradas moldadas no local: Apresentam nervuras, onde ficam 
concentradas as armações, entre as quais podem ser colocados materiais 
inertes (EPS, elemento cerâmico, etc.) com função de enchimento, o que 
simplifica a forma (plana) e deixa a superfície inferior lisa para receber o 
acabamento. Esse sistema é empregado em grandes vãos, onde é necessário 
trabalhar com espessuras elevadas a fim de atender as flechas e solicitações. 
A necessidade de espessuras elevadas inviabiliza o emprego de lajes maciças 
em razão do consumo de concreto e do peso próprio elevado, o que não 
acontece nas nervuradas, pois parte do concreto é retirado ou substituído por 
um material mais leve, colocado entre as nervuras, ficando a armação 
concentrada em faixas (nervuras) para atender às solicitações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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c. Lajes nervuradas parcialmente pré-moldadas: Trata-se de lajes nervurada com 
nervuras parcialmente pré-moldadas. A armação fica concentrada nas 
nervuras. Tem a vantagem da pré-fabricação, reduzindo o uso de formas e 
escoramentos, com conseqüente redução de custos e aumento de 
produtividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d.Lajes lisas (cogumelo): São lajes apoiadas diretamente pelos pilares (sem vigas). 
Esse tipo de laje apresenta diversas vantagens: facilidade de execução (forma e 
armação), redução de pé direito, facilita a passagem de tubulações (elétrica, 
hidráulica, ar condicionado, etc.), flexibiliza o arranjo de alvenarias e/ou divisórias 
(forro liso), etc. Apesar das inúmeras vantagens, ausência de vigas torna o sistema 
mais flexível, comprometendo estabilidade horizontal. A possibilidade de ruptura 
por punção e colapso progressivo deve ser cuidadosamente analisada. 
 
 
 
 
 
 
 
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2. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES MACIÇAS 
 As lajes podem ser classificadas quanto aos seguintes aspectos: 
 
 Quanto ao tipo de apoio: 
As lajes podem apresentar os seguintes tipos de apoio (vínculo): 
 
 
 
 
A borda da laje simplesmente apoiada permite a rotação, enquanto o engastado é 
impedido de girar. O engastamento depende da rigidez do apoio, ou seja, da rigidez do 
elemento onde a laje pretende se engastar. Na realidade, é muito difícil garantir o 
engastamento perfeito, sendo mais freqüente o engastamento parcial. Deve-se 
destacar que a existência de armação de ligação de uma laje com o apoio, 
normalmente, a laje vizinha, NÃO garante o engastamento, é preciso que a rotação 
seja impedida, daí a importância da rigidez do apoio. A figura abaixo exemplifica a 
representação da vinculação das lajes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quanto à armação 
De acordo com a atuação dos momentos fletores, em uma ou duas direções, as lajes 
podem ser classificadas em armadas em uma ou duas direções. 
 
a. Lajes armadas em uma direção: são aquelas em que os momentos fletores solicitam 
predominante apenas uma direção. É o caso das lajes em balanço (sacadas), 
daquelas com os dois lados opostos apoiados, sendo os outros dois livres (rampas, 
simplesmente 
apoiado
engastado Livre (sem apoio)Tipo de apoio
representação
bordas 
simplesmente 
apoiadas
borda 
engastada
borda livre
Laje
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escadas), e das lajes com lados apoiados (simples ou engaste), onde a medida do 
maior lado (L) supera o dobro do lado menor (l), como indicado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento na direção do menor vão é muito superior ao da outra direção quando a 
relação entre os vãos supera 2, sendo, dessa forma, considerada como armada em 
apenas uma direção. Na direção secundária, paralela a “L”, é colocada uma armação 
de distribuição. 
 
a. Lajes armadas em duas direções: são aquelas em que os momentos fletores 
solicitam as duas direções. Essa situação ocorre nas lajes retangulares apoiadas nos 
quatro lados, em que a relação entre o maior vão (L) e o menor (l) é inferior ou igual a 
dois. 
 
São mais econômicas que as lajes 
armadas em uma direção, pois o 
carregamento da laje solicita as 
duas direções, reduzindo a 
magnitude dos momentos fletores e 
das flechas. 
 
 
 
Para a determinação dos vãos efetivos, a NBR 6118 (item 14.6.2.4) prescreve: 
 Vão efetivo l = lo +a1 + a2 
 onde: 
 a1 = menor valor entre (t1/2) e (0,3 h) 
 a2 = menor valor entre (t2/2) e (0,3 h) 
L
l M f
y
Mfx
2
l
L
L
l
M
fy
Mfx
L
2
l
L
h
t1 t2
lo
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3.0 AÇÕES A CONSIDERAR 
As ações (carregamentos) podem classificadas segundo o tempo de atuação 
nas estruturas, dando origem às ações permanentes e ações variáveis. As ações 
permanentes atuam durante toda a vida, pode-se citar: peso próprio, revestimentos, 
paredes, etc. As ações variáveis são constituídas pelas cargas de uso da construção, 
ou seja, atuam durante certos períodos na estrutura, pode-se citar: móveis, pessoas, 
veículos, peso da água (reservatórios), etc. A figura mostrada a seguir ilustra as ações 
usuais nas lajes de construções residenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
No processo de cálculo das lajes, as ações devem ser consideradas por m2, algumas 
são de fato, caso do peso próprio, outras são admitidas assim por simplificação, como 
o peso de paredes, o qual deve ser distribuído na área da laje. O cálculo 
computacional por elementos finitos já permite a consideração mais precisa da 
atuação de ações discretas (paredes) nas lajes. 
 
3.1 COMPOSIÇÃO DO CARREGAMENTO DAS LAJES POR m2 
3.1.1 AÇÕES PERMANENTES 
 São constituídas pelo peso próprio do elemento estrutural e pelo peso de todos 
os elementos construtivos e instalações permanentes. Toda carga é de volume 
(kN/m3), transformada em peso por m2 (kN/m2) para efeito de cálculo. 
 
a. Peso próprio 
Para determinação do peso próprio (pp) por m2, basta multiplicar
o volume da laje em 
1 m2, pelo peso específico do concreto armado (γ = 25 kN/m3), assim: 
 
pp = 1 m x 1 m x e x 25 = 25. e (kN/m2), com e em metros. 
paredes
revestimento teto
pessoas, móveis, veículos, etc
revestimento do piso 
paredes
revestimento teto
pessoas, móveis, veículos, etc
revestimento do piso 
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Para cada “cm” na espessura da laje (0,01 m), o peso próprio aumenta de 0,25 kN. 
Assim, uma laje com 8 cm de espessura apresenta peso próprio de 2 kN por m2. 
Como a espessura ainda não é conhecida nesta fase do cálculo, e o peso próprio é um 
carregamento a ser considerado, deve-se fazer um pré-dimensionamento das 
espessuras. A norma brasileira (NBR 6118/2014) não apresenta critérios de pré-
dimensionamento, no entanto, para lajes retangulares, com bordas apoiadas ou 
engastadas, a altura útil (d) pode ser estimada por meio da expressão: 
 
100
)1,05,2( *ln
d


 
sendo n o número de bordas engastadas e l* o menor valor entre l (menor vão) e 0,7L 
(maior vão), para lajes armadas em duas direções, enquanto para lajes armadas em 
apenas uma direção, considera-se l* como o vão de atuação do maior momento, em 
geral, o menor vão. Nos balanços, considera-se l *como o dobro do vão. Ao valor da 
altura útil deve-se acrescentar o valor correspondente à metade do diâmetro da 
armação (estimado) e o valor do cobrimento das armaduras, como ilustrado na figura 
abaixo. Assim, 
 
 
 = d +Ø/2 + c 
 
 
Para efeito de pré-dimensionamento pode-se admitir um diâmetro de 1 cm 
(Ø = 10 mm). O valor do cobrimento (c) é estabelecido na NBR 6118/2014 de acordo 
com a classe de agressividade ambiental (CAA) em que a estrutura será construída, 
conforme as Tabelas 6.1 e 7.2 da norma, mostradas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
Ø/2
c
e
d
Ø/2
c
e
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Permite ainda a norma que os cobrimentos acima sejam reduzidos de 5 mm, quando 
houver um controle rigoroso de execução, o que deve ser explicitado nos desenhos do 
projeto. De acordo com a NBR 6118/2014, lajes executadas em Belém, ambiente 
urbano, classe II, devem ter cobrimento nominal de 25 mm enquanto aquelas 
executadas em Salinópolis, ambiente marinho, classe III, devem ser executadas com 
cobrimento de 35 mm. 
A NBR 6118/2014 ainda prescreve que devem ser respeitados os seguintes limites 
mínimos para a espessura de lajes maciças: 
 7 cm para lajes de cobertura não em balanço; 
 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
 10 cm para lajes em balanço; 
 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para 
lajes de piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas; 
 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. 
 
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 8 
L = 400
l=
 3
50
L = 400
l=
 3
50
Segundo a NBR 6118/2014, no dimensionamento das lajes em balanço, os esforços 
solicitantes de cálculo devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, de 
acordo com o indicado na Tabela 13.2 da norma. 
 
Como exemplo de pré-dimensionamento, seja a laje de piso indicada na figura a 
seguir, a ser executada em ambiente classe, armada com ferros de diâmetro 10 mm. 
100
)1,05,2( *ln
d


, sendo n = 1 e l* o menor valor 
entre l = 350 e 0,7 L = 280 cm, ou seja, l* = 280 cm, 
logo, 
cmd 72,6
100
280)11,05,2(



 
Assim, a espessura da laje: 
 
e = d +Ø/2 + c 
 
 e = 6,72 + 1,0/2 + 2 = 9,22 cm e = 9 cm 
O peso próprio da laje com 9 cm de espessura 
 
 pp = 25 . 0,09 = 2,25 kN/m2 
 
b. Revestimento da superfície inferior (teto) 
Para determinação da carga correspondente ao revestimento do forro, deve-se 
multiplicar o volume do material aplicado em 1 m2 (1 x 1 x hrt) pelo peso específico do 
material ( γrt ), sendo hrt a espessura da camada de revestimento. 
 
 = (1 x 1 x hrt) x γrf 
 
 De acordo com o tipo de revestimento, pode-se encontrar as seguintes situações: 
hrfhrf
1m
1m hrt
1m
1m hrt
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 argamassa de cimento+areia+cal (γ = 19 kN/m3) com espessura média de 2 cm: 
 0,02 x 19 = .. ... .0,38 kN/m2 
 Gesso espatulado diretamente sobre o concreto: .................... Não considerar 
 Placas de gesso (forro falso) penduradas na laje: ...............................0,1 kN/m2 
 
c. Revestimento de piso 
 É normalmente constituído de camada niveladora e acabamento final. 
 
c.1 Camada niveladora ou camada de regularização em argamassa de cimento+areia 
(γ = 21 kN/m3) com espessura média de 4 cm: 0,04 x 21 = ........................... 0,84 kN/m2 
c.2 Acabamento: 
 Em lajota (e = 0,5 cm) ................................................. 0,005 x 18 = 0,09 kN/m2 
 Em taco/tábua corrida (e = 2 cm) ....................................0,02 x 10 = 0,2 kN/m2 
 Em mármore/granito (e = 2 cm) ..................................... 0,02 x 28 = 0,56 kN/m2 
 Em carpete/paviflex ou similar ............................................... Não considerar 
Como resultado final do revestimento de piso deve-se considerar o peso da camada 
niveladora somado com o do acabamento. De modo a simplificar a consideração da 
carga de revestimento nos projetos de prédios residenciais dois valores distintos em 
função do acabamento especificado: 1 kN/ m2 para acabamento simples (lajota, tábua 
corrida, taco de madeira, carpete) e 1,5 kN/m2 para acabamentos mais sofisticados 
que incluam pedras de mármore ou granito) 
 
d. Cargas de parede sobre lajes 
O peso das paredes depende da espessura (largura) definida no projeto arquitetônico. 
O peso das paredes de tijolos cerâmicos é obtido da soma do peso dos elementos 
cerâmicos (tijolo) com o da argamassa de rejunte e de acabamento (reboco). Assim, o 
peso de 1 m2 ( 1m de comprimento por 1 m de altura) de paredes acabadas, 
executadas com tijolos cerâmicos furados, é dado por: 
 espessura da parede peso por m2 
 13 cm .................................... ~ 2 kN/m2 
 15 cm .................................... ~ 2,3 kN/m2 
 20 cm .................................... ~ 2,9 kN/m2 
e 
(m) 
γ 
(kN/m
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 10 
1,5 m
2
,5
 m4
,5
 m
4 m
0,15 m
1,5 m
2
,5
 m4
,5
 m
4 m
0,15 m
lb
paredetotalPeso
palv


Desta forma, para se obter o peso total das paredes sobre determinada laje, deve-se
multiplicar o comprimento total das paredes pela altura, para se determinar a área 
total, e o resultado pelo peso por m2, o qual varia com a espessura. 
 
d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em duas direções 
 Nessas lajes o peso das paredes deve ser uniformemente distribuído na área da 
laje, resultando em uma carga por m2. É uma simplificação em razão dos processos 
manuais de cálculo, válido para lajes com dimensões reduzidas, como as de prédios 
residenciais. Para a laje indicada na figura, a carga proveniente das paredes com 2,8 
metros de altura resulta em: 
 
 
lajedaárea
paredestotalpeso
palv 
 
 
 
2/43,1
45,4
3,28,2)5,15,2(
mkNpalv 



 
 
 
 
d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em apenas uma direção 
Há duas situações quanto à distribuição do peso das paredes, visto que essas 
lajes são admitidas como faixas sucessivas de 1 m de largura, como vigas, segundo o 
menor vão. 
 Parede paralela à menor direção: a peso da parede é distribuído apenas em um 
trecho correspondente a 2/3 do menor vão, como indicado na figura, ficando a 
laje com carregamentos diferentes. 
Nos trechos “a” e “c”: 
 
 
 
 No trecho “b”: 
 
 
 
l
L
a
b = 
l
3
2
c
l
L
a
b = 
l
3
2
c
pp+rev+sc
l
pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidental
pp+rev+sc+palv
l
pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidental
palv = peso parede
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 Parede paralela à maior dimensão: A parede é considerada como uma carga 
concentrada na laje. 
No trecho “a””: 
 
 
 
 No trecho “b”: 
 
 
 
 
 Ppar = 1 ml x altura parede x peso 1 m
2 parede 
 
Nos dois casos acima, a carga da parede solicita trechos diferentes da laje (a, b e c), 
resultando em momentos e, provavelmente, armaduras diferentes na mesma laje. De 
modo a simplificar o detalhamento e evitar possíveis erros de execução, costuma-se 
adotar a maior armação em toda extensão da laje. 
Nos balanços (sacadas), o peso do guarda-corpo deve ser considerado como uma 
carga concentrada, aplicada na extremidade do balanço. 
 
3.1.2 AÇÕES VARIÁVEIS 
São aquelas que atuam na estrutura em função de seu uso, tais como: pessoas, 
móveis, veículos, etc. O termo variável refere-se ao tempo de permanência da carga 
na estrutura. Os valores mínimos das cargas variáveis dependem da finalidade da 
edificação e estão especificados na NBR 6120. 
 
São freqüentes os valores: 
 1,5 kN/m2 : edifícios residenciais (salas, dormitórios, cozinha e banheiros); 
 2 kN/m2 : escritórios 
 0,5 kN/m2 : forro / terraço sem acesso ao público; 
 3 kN/m2 : garagem / estacionamento para veículos de passageiros com carga 
máxima de 25 kN por veículo; 
 
l
L
a
b
d1 d2
l
L
a
b
d1 d2
pp+rev+sc
l
pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidental
pp+rev+sc
l
d1 d2
Ppar
pp+rev+sc
l
d1 d2
Ppar
pp = peso próprio
rev = revestimento
sc = carga acidental
Ppar = peso parede
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A NBR 6120 ainda exige que deve-se considerar a atuação de uma carga horizontal 
de 0,8 kN e outra vertical de 2 kN, por metro linear, ao longo de parapeitos e balcões, 
como ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
Cabe citar a situação de estruturas com cargas variáveis (sobrecargas) elevadas, caso 
de depósitos, supermercados, etc., onde deve-se analisar os resultados da aplicação 
da carga variável em lajes distintas de modo a se obter os maiores esforços, visto que 
a aplicação localizada de valores elevados de carga pode alterar a condição de 
engastamento da laje, ou seja, pode resultar na rotação (apoio simples) na borda da 
laje, admitida inicialmente engastada. 
 
 
 
 
4. ESFORÇOS SOLICITANTES 
O dimensionamento das lajes é realizado a partir dos momentos fletores, das forças 
cortantes e dos momentos de torção. As lajes são consideradas como faixas 
sucessivas de 1 m de largura, dispostas em uma ou duas direções, onde atuam os 
esforços solicitantes. O valor determinado para a faixa de laje é considerado o mesmo 
em toda sua extensão. Os esforços dependem do carregamento, das vinculações e 
dos vãos da laje. 
 
 
4.1 Momentos fletores 
4.1.1 Nas lajes armadas em uma direção ( L / l >2 ) 
a. Apoiadas nos quatro lados ( L / l >2 ) 
O cálculo é análogo ao de uma viga de base igual a 1 m e altura correspondente à 
espessura da laje. Os seguintes casos podem ser encontrados: 
0,8 kN
2 kN
parapeito 
(guarda-corpo)
carga variável elevadacarga variável elevada
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b. Em balanço 
A laje fica engastada em apenas um lado, considera-se como uma viga em balanço 
 
4.1.2 Nas lajes armadas em duas direções ( L / l 

 2 ) 
Para determinação dos esforços nas lajes armadas nas duas direções há dois 
processos de cálculo: o elástico e o plástico. 
O cálculo no regime plástico permite a determinação do momento fletor último a 
partir da configuração de ruína da laje, definida por “linhas de ruptura, charneiras ou 
rótulas plásticas”, de acordo com a provável distribuição das fissuras no momento da 
ruptura, como ilustrada na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Linhas de ruptura
(charneiras plásticas)
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 As “linhas de ruptura” dividem a laje em triângulos e trapézios, ou seja, painéis 
rígidos que giram em torno das rótulas plásticas. A carga última pode ser obtida por 
meio do princípio dos trabalhos virtuais ou equações de equilíbrio. A verificação aos 
ELS (estado limite de serviço) deve ser realizada por processo elástico de cálculo. 
O cálculo em regime elástico (cargas de serviço) pode ser realizado a partir da 
equação diferencial fundamental da teoria das placas, denominada equação de 
Lagrange, admitindo material homogêneo, isótropo, elástico e linear. A equação 
relaciona o deslocamento elástico, z, da placa com carga uniforme, p, normal à 
superfície, como segue: 
 
 
 
D
p
y
z
yx
z
x
z









4
4
22
4
4
4 2 
 
sendo: 
)1(12 2
3


Eh
D
= é a rigidez à flexão da placa; 
E é módulo de elasticidade do material; 
h é a espessura da placa; 

 é o coeficiente de Poisson do material. 
Os momentos fletores nas direções x e y da placa podem ser determinados por: 












2
2
2
2
y
z
x
z
DM x 
 e 












2
2
2
2
x
z
y
z
DM y 
 
A solução das equações diferenciais é normalmente obtida por meio de 
processos numéricos (diferenças finitas, elementos finitos, etc.) ou integração por 
séries trigonométricas,
dos quais resultaram tabelas de uso prático, como as de 
Czerny, Bares, Marcus, etc. 
O chamado Processo de Marcus é um dos mais empregados na determinação 
dos momentos fletores em lajes retangulares. A obtenção dos momentos fletores é 
realizada com base na teoria das grelhas ou quinhões de carga, corrigidos por 
coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange. A teoria das grelhas consiste 
em dividir a laje em faixas de largura unitária, ortogonais entre si, paralelas aos bordos, 
h
y
x
z
p
h
y
x
z
p
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onde a carga total da laje, p, é dividida em duas parcelas, px e py, chamadas de 
quinhões de carga, função da relação entre os vãos e da vinculação da laje, sendo 
px + py = p. As faixas, admitidas como vigas independentes submetidas aos respectivos 
quinhões de carga, produzem esforços mais elevados por não considerar a ligação 
com as outras faixas, daí a necessidade de correção por meio de coeficientes 
resultantes da equação de Lagrange. O cálculo dos momentos fletores em lajes 
retangulares, apoiadas em todo seu contorno, pelo Processo de Marcus pode ser 
realizado por meio de tabelas conforme o roteiro a seguir: 
 
1. Observa-se, pelo esquema estático, o tipo de laje a ser calculada. Há seis situações 
possíveis: 
 
 
 
 
2. Calcula-se a relação 
xy ll
, onde 
xl
 é a direção que contém o maior número 
de engastes. No caso de igualdade no número de engastes, 
xl
 será o menor vão: 
 
 
 
3. Com a definição do tipo de laje e do valor de 

, obtém-se na tabela de Marcus os 
coeficientes m e n para cálculo dos momentos positivos e negativos, respectivamente; 
 
4. Os momentos são então obtidos pelas expressões: 
 Momentos positivos Momentos negativos 
 
x
x
x
m
pl
M
2

 
x
x
x
n
pl
X
2

 
 
y
x
y
m
pl
M
2

 
y
x
y
n
pl
X
2

 
 
Observar que o numerador das expressões é sempre o mesmo, 
2
xpl
, nas duas 
direções. 
 
1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
lx l x lx l x l xlx l x lx l x l x
ly
l x
Xy
X x
M
x
My
ly
l x
Xy
X x
M
x
My
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL (UFPA / ITEC / FEC) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO II - Prof. RONALDSON CARNEIRO versão: março/2015 
 
 16 
Diagrama compatibilizado
L1 L2
XL1 XL2

Xc
XL1 Xc
XL2
1LM
2LM
Diagrama compatibilizado
L1 L2
XL1 XL2

XcXc
XL1 Xc
XL2
1LM
2LM
4.1.3 Compatibilização dos momentos 
O cálculo dos momentos fletores indicado nos itens anteriores é realizado como lajes 
isoladas. No trabalho conjunto, as lajes admitidas contínuas apresentam, 
normalmente, sobre um mesmo apoio, momentos de engastamento diferentes face ao 
cálculo isolado. Dessa forma, entre lajes contínuas, o momento negativo deve ter valor 
único, o que requer a compatibilização (uniformização) dos momentos das lajes 
engastadas. O momento compatibilizado pode ser obtido por: 
 








2
)(8,0
21
21
LL
LL
c XX
XeXentremaiordo
X
 
 
 Como conseqüência da 
compatibilização, convém corrigir 
os momentos positivos, 
aumentando-o ou reduzindo-o, 
conforme for o caso, de um valor 
correspondente a metade da 
diferença entre o momento 
compatibilizado, Xc, e o momento 
negativo da laje calculada 
isoladamente, XL1 ou XL2, ou seja, ΔML1=(XL1 – Xc)/2 para L1 e ΔML2=(Xc – XL2)/2 para L2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL (UFPA / ITEC / FEC) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO II - Prof. RONALDSON CARNEIRO versão: março/2015 
 
 17 
Coeficientes para cálculo dos momentos pelo Processo de Marcus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
λ mx my mx nx my mx nx my ny mx nx my mx nx my ny mx nx my ny λ
0,50 140,9 59,2 45,1 137,1 50,4 49,9 246,4 108,0 71,4 35,0 0,50
0,52 125,7 51,0 43,2 123,7 44,8 48,4 216,5 95,1 67,8 33,9 0,52
0,54 112,9 45,6 41,6 112,4 40,2 47,1 191,7 82,6 64,6 32,1 0,54
0,56 102,2 40,5 40,2 102,8 36,4 46,1 170,9 73,0 61,9 30,5 0,56
0,58 93,1 96,3 39,0 94,7 33,2 45,4 153,4 65,0 59,5 29,2 0,58
0,60 85,5 32,7 38,0 87,6 30,5 44,8 138,6 58,3 57,4 20,0 0,60
0,62 78,6 29,7 37,2 81,5 28,2 44,4 126,0 52,6 55,7 27,0 0,62
0,64 72,7 27,1 36,5 86,2 26,3 44,1 115,2 47,6 54,2 26,1 0,64
0,66 67,6 24,9 35,9 71,5 24,7 44,0 105,8 43,6 52,9 25,3 0,66
0,68 63,1 23,0 35,4 67,4 23,2 44,0 97,7 40,1 51,8 24,7 0,68
0,70 59,1 21,3 35,1 63,7 22,0 44,1 90,7 37,0 50,8 24,2 0,70
0,72 55,6 19,9 34,8 60,4 20,9 44,3 84,5 34,3 50,1 23,7 0,72
0,74 52,4 18,7 34,6 57,5 20,0 44,7 79,1 32,0 49,9 23,1 0,74
0,76 49,6 17,6 34,4 55,0 19,2 45,1 74,3 30,0 49,0 23,1 0,76
0,78 47,0 16,6 34,4 52,5 18,5 45,6 70,0 28,2 48,7 22,9 0,78
0,80 44,6 15,8 34,4 50,4 17,9 46,2 66,2 26,7 48,4 22,7 0,80
0,82 42,5 15,1 34,4 40,5 17,3 46,8 62,9 25,3 48,3 22,7 0,82
0,84 40,6 14,4 34,5 46,8 16,8 47,6 59,9 24,1 48,2 26,6 0,84
0,86 38,8 13,9 34,6 45,2 16,4 48,4 57,2 23,0 48,3 22,7 0,86
0,88 37,2 13,3 34,8 43,8 16,0 49,3 54,7 22,0 48,4 22,7 0,88
0,90 35,7 12,9 35,0 42,5 15,7 50,2 52,5 21,1 48,6 22,8 0,90
0,92 34,4 12,5 35,3 41,3 15,4 51,2 50,5 20,4 48,8 23,0 0,92
0,94 33,1 12,1 35,6 40,2 15,1 52,2 48,7 19,7 49,2 23,2 0,94
0,96 32,0 11,8 36,0 39,2 14,8 53,4 47,1 19,1 49,6 23,4 0,96
0,98 30,9 11,5 36,3 38,5 14,6 54,5 45,6 18,5 50,0 23,7 0,98
1,00 27,4 27,4 29,9 11,2 36,7 37,1 16,0 37,1 16,0 37,5 14,4 55,7 44,2 18,0 50,6 24,0 55,7 24,0 55,7 24,0 1,00
1,02 26,4 27,4 29,0 11,0 37,2 35,7 15,4 37,2 16,0 36,7 14,2 57,0 42,9 17,5 51,1 24,3 53,6 23,1 55,8 24,0 1,02
1,04 25,4 27,5 28,2 10,7 37,7 34,4 14,8 27,2 16,1 36,0 14,1 58,3 41,8 17,1 51,8 24,7 51,8 22,3 55,9 24,1 1,04
1,06 24,5 27,5 27,4 10,5 38,2 33,2 14,3 37,3 16,1 35,3 13,9 59,7 40,7 16,8 52,4 25,1 59,9 21,5 56,1 24,2 1,06
1,08 23,6 27,5 26,7 10,4 38,7 32,1 13,9 37,4 16,2 34,7 13,8 61,1 39,7 16,4 53,2 25,5 40,3 20,8 56,3 24,3 1,08
1,10 22,8 27,6 26,0 10,2 39,3 31,1 13,5 37,6 16,3 34,2 13,6 62,6 38,8 16,1 54,0 25,0 46,8 20,2 58,8 24,4 1,10
1,12 22,0 27,6 25,4 10,0 39,9 30,1 13,1 37,8 16,4 33,7 13,5 64,1 38,0 15,8 54,8 26,5 45,4 19,6 57,0 24,6 1,12
1,14 21,3 27,7 24,8 9,9 40,6 29,3 12,7 38,0 16,6 33,2 13,4 65,7 37,3 15,8 55,6 27,0 44,1 19,1 57,4 24,8 1,14
1,16 20,7 27,8 24,3 9,8 41,2 28,5 12,4 38,3 16,7 32,7 13,3 67,3 36,5 15,3 56,6 27,5 43,0 18,6 57,8 25,1 1,16
1,18 20,0 27,9 23,8 9,7 41,9 27,7 12,1 38,6 16,9 32,3 13,2 68,9 35,9 15,1 57,5 28,0 41,9 18,2 58,3 25,3 1,18
1,20 19,5 28,0 23,3 9,6 42,6 27,0 11,9 38,9 17,1 31,9 13,2 70,8 35,3 14,9 58,5 29,0 40,9 17,8 58,9 25,6 1,20
1,22 18,9 28,1 22,9 9,4 43,4 26,4 11,6 39,2 17,3 31,0 13,1 72,3 34,7 14,7 59,0 29,2 40,0 17,4 59,5 25,6 1,22
1,24 18,4 28,3 22,5 9,4 44,1 25,8 11,4 39,6 17,5 31,2 13,0 74,1 34,2 14,5 60,0 29,8 39,1 17,1 60,2 26,3 1,24
1,26 17,9 28,4 22,1 9,3 44,9 25,2 11,2 40,0 17,7 30,9 13,0 75,9 33,7 14,4 61,7 30,4 38,3 16,8 60,8 26,6 1,26
1,28 17,4 28,6 21,8 9,2 45,6 24,7 11,0 40,4 18,0 30,6 12,9 77,8 33,2 14,2 62,9 31,1 37,6 16,5 61,6 27,0 1,28
1,30 17,0 28,8 21,4 9,1 46,6 24,2 10,8 40,8 18,3 30,3 12,8 79,7 32,8 14,1 64,0 31,8 36,9 16,2 62,1 27,4 1,30
1,32 16,6 28,9 21,1 9,1 47,5 23,7 10,6 41,3 18,5 30,1 12,8 81,8
32,4 14,0 65,3 32,5 36,3 16,0 63,2 27,8 1,32
1,34 16,2 29,1 20,8 9,0 48,3 23,3 10,5 41,8 18,8 29,8 12,7 83,6 32,0 13,9 66,5 33,2 35,7 15,7 64,0 28,2 1,34
1,36 15,9 29,4 20,5 8,9 49,3 22,9 10,3 42,3 19,1 29,6 12,7 85,6 31,7 13,8 66,5 33,9 35,1 15,5 64,9 28,7 1,36
1,38 15,3 29,6 20,3 8,9 50,2 22,5 10,2 42,8 19,4 29,4 12,7 87,6 31,3 13,7 69,1 34,7 34,6 15,3 65,8 29,2 1,38
1,40 15,2 29,8 20,0 8,8 51,2 22,1 10,1 43,4 19,6 29,2 12,6 89,7 31,0 13,6 70,5 35,4 34,1 15,1 66,8 29,6 1,40
1,42 14,9 30,1 19,8 8,6 52,1 21,6 10,0 43,9 20,1 29,0 12,6 91,8 30,7 13,5 71,0 36,2 33,6 15,0 67,8 30,2 1,42
1,44 14,6 30,3 19,6 8,7 53,1 21,5 9,9 44,5 20,5 28,8 12,6 94,0 30,4 13,4 73,2 37,0 33,2 14,8 68,8 30,7 1,44
1,46 14,4 30,6 19,4 8,7 54,2 21,2 9,8 45,1 20,1 28,6 12,5 96,0 30,2 13,3 74,7 37,9 32,8 14,6 69,9 31,2 1,46
1,48 14,1 30,9 19,2 8,7 55,2 20,9 9,7 45,7 21,2 28,5 12,5 98,5 29,9 13,3 76,2 38,7 32,4 14,5 71,0 31,8 1,48
1,50 13,9 31,2 19,0 8,6 56,3 20,6 9,6 46,4 21,6 28,3 12,5 100,7 29,7 13,2 77,7 39,6 32,0 14,4 72,1 32,3 1,50
1,52 13,6 31,5 18,8 8,6 57,4 20,4 9,5 47,1 21,9 28,2 12,5 105,0 29,5 13,1 79,2 40,4 31,7 14,3 73,3 32,9 1,52
1,54 13,4 31,9 18,7 8,6 58,5 20,1 9,4 47,7 22,3 28,0 12,4 105,4 29,3 13,1 80,8 41,3 31,4 14,1 74,4 33,5 1,54
1,56 13,2 32,2 18,5 8,5 59,6 19,9 9,4 48,4 22,6 27,9 12,4 107,8 29,1 13,0 82,4 42,2 31,1 14,0 75,7 34,1 1,56
1,58 13,0 32,5 18,4 8,5 60,7 19,7 9,3 49,1 23,2 27,8 12,4 110,2 28,9 13,0 84,0 43,1 30,8 13,9 76,9 34,8 1,58
1,60 12,9 32,9 18,2 8,5 61,9 19,5 9,2 49,9 23,6 27,6 12,4 112,6 28,7 12,9 85,6 44,1 30,5 13,8 78,2 35,4 1,60
1,62 12,7 33,3 18,1 8,5 63,1 19,3 9,2 50,6 24,0 27,5 12,4 115,1 28,6 12,9 87,3 45,0 30,3 13,7 79,5 36,1 1,62
1,64 12,5 33,7 18,0 8,4 64,3 19,1 9,1 51,4 24,5 27,4 12,3 117,6 28,4 12,8 89,0 46,0 30,0 13,7 80,8 36,7 1,64
1,66 12,4 34,0 17,9 8,4 65,5 18,9 9,1 52,2 25,0 27,3 12,3 120,2 28,3 12,8 90,8 47,0 29,8 13,6 82,2 37,4 1,66
1,68 12,2 34,5 17,7 8,4 66,8 18,8 9,0 53,0 25,4 27,2 12,3 122,8 28,1 12,8 92,5 48,0 29,6 13,5 83,5 38,1 1,68
1,70 12,1 34,9 17,6 8,4 68,0 18,6 9,0 53,8 25,9 27,1 12,3 125,4 28,0 12,7 94,3 49,0 29,4 13,4 85,0 38,9 1,70
1,72 11,9 35,3 17,5 8,4 69,3 18,6 8,9 54,6 26,4 27,0 12,3 128,0 27,8 12,7 96,1 50,0 29,2 13,4 86,4 39,6 1,72
1,74 11,8 35,7 17,4 8,4 70,6 18,5 8,9 55,5 26,9 26,9 12,3 130,8 27,7 12,7 98,0 51,1 29,0 13,3 87,9 40,3 1,74
1,76 11,7 36,2 17,3 8,3 72,0 18,2 8,8 56,4 27,4 26,9 12,3 135,5 27,6 12,6 100,0 52,1 29,8 13,3 89,3 41,0 1,76
1,78 11,6 36,6 17,2 8,3 73,3 18,1 8,8 57,2 27,9 26,8 12,2 136,2 27,5 12,6 101,8 53,2 28,7 13,2 90,9 41,8 1,78
1,80 11,5 37,1 17,2 8,3 74,7 17,9 8,8 58,1 28,4 26,7 12,2 139,1 27,4 12,6 103,7 54,3 28,5 13,1 92,4 42,8 1,80
1,82 11,3 37,6 17,1 8,3 76,0 17,8 8,7 59,1 28,9 26,6 12,2 141,9 27,3 12,6 105,6 55,4 28,4 13,1 94,0 43,4 1,82
1,84 11,2 38,1 17,0 8,3 77,4 17,7 8,7 60,0 29,4 26,6 12,2 144,8 27,2 12,5 107,6 56,6 28,2 13,1 95,5 44,2 1,84
1,86 11,2 38,6 16,7 8,3 78,9 17,6 8,7 60,9 30,0 26,5 12,2 147,7 27,1 12,5 109,6 57,7 28,1 13,0 97,2 45,0 1,86
1,88 11,1 39,1 16,8 8,3 80,3 17,5 8,6 61,9 30,5 26,4 12,2 150,6 27,0 12,5 111,7 58,8 28,0 13,0 98,8 45,8 1,88
1,90 11,0 39,6 16,8 8,2 81,7 17,4 8,6 62,9 31,1 26,4 12,2 153,5 26,9 12,6 110,7 60,0 27,8 12,9 100,5 46,8 1,90
1,92 10,9 40,1 16,7 8,2 83,2 17,3 8,6 63,8 31,7 26,3 12,2 156,5 26,8 12,4 115,8 61,2 27,7 12,9 102,1 47,5 1,92
1,94 10,8 40,6 16,6 8,2 84,7 17,2 8,6 64,8 32,2 26,3 12,2 159,6 26,8 12,4 117,9 62,3 27,6 12,9 103,9 48,4 1,94
1,96 10,7 41,2 16,6 8,2 86,2 17,1 8,5 65,8 32,6 26,2 12,2 162,6 26,7 12,4 120,0 63,6 27,5 12,8 105,6 49,2 1,96
1,98 10,6 41,7 16,5 8,2 87,7 17,1 8,5 66,9 33,4 26,1 12,2 165,8 26,6 12,4 122,8 64,8 27,4 12,8 107,4 50,1 1,98
2,00 10,6 42,3 16,5 6,2 89,2 17,0 8,5 67,9 34,0 26,1 12,2 169,0 26,5 12,4 124,4 66,0 27,3 12,8 109,1 51,0 2,00
λ mx my mx nx my mx nx my ny mx nx my mx nx my ny mx nx my ny λ
PROCESSO DE MARCUS
CÁLCULO DE LAJES
COEFICIENTES
TIPOTIPO
lx é o vão na direção que
contém o maior número de
engastes. Quando houver
igualdade, lx é o menor vão.
lx1 2 ly 3 lx 4 ly 5 ly 6 lx
ly
l x
X
x
M
x
My
Xy
 
x
x
x
m
pl
M
2

 
x
x
x
n
pl
X
2

 
y
x
y
m
pl
M
2

 
y
x
y
n
pl
X
2

 
x
y
l
l

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 18 
5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO 
Calculados os momentos fletores, pode-se realizar o dimensionamento das 
armaduras de flexão. O dimensionamento é realizado admitindo-se as faixas de laje 
como vigas de base 1 m e altura h igual à espessura da laje. Em geral, o 
dimensionamento conduz a seções subarmadas com armadura simples. A armadura 
dupla deve ser evitada em virtude da altura reduzida o que dificulta a execução. Para o 
cálculo das armaduras, além da altura e momento fletor, é preciso definir a altura útil 
(d = h – d’), a resistência característica à compressão do concreto (fck) e o aço a ser 
empregado (CA 50 ou CA 60). As armaduras podem ser obtidas por: 
 
ydz
Sd
s
fdk
M
A 
 
sendo: 
kSd MM  4,1
, momento solicitante de cálculo; 
d , a altura útil; 
fyd , valor de cálculo da resistência ao escoamento; 
zk
, coeficiente obtido na Tabela 5.1 a partir do coeficiente 
mdk
 obtido por: 
cdw
Sd
md
fdb
M
k
2

 
sendo 
cdf
 o valor de cálculo da resistência à compressão do concreto e bw a base da laje. 
 
Com o objetivo de proporcionar adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a 
posição da linha neutra no ELU, a NBR 6118/2014 exige que se observe os seguintes 
limites: 
45,0
d
x
kx
 para concretos com 
50ckf
 MPa 
35,0
d
x
kx
 para concretos com 50 MPa < 
35ckf
 MPa 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de 
armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões. 
 
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 19 
Tabela 5.1 – coeficientes adimensionais para o dimensionamento à flexão para 
concretos com fck ≤ 50 MPa.* 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*do livro “ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO – FUNDAMENTOS DE PROJETO, 
DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO” – João Carlos Teatini de Souza Clímaco 
 
 
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 20 
O ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal 
pertencer a um dos domínios definidos na figura 17.1 da NBR 6118/2014, mostrada a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descrição dos domínios de estado limite último: 
 
 
 
 
 
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 21 
Após dimensionamento à flexão, a escolha das armaduras (bitola e 
espaçamento) deve atender as prescrições da NBR 6118/2014 relacionadas a seguir: 
 
a. Armadura mínima: 
Destinada a melhorar o desempenho e dutilidade à flexão, assim como controlar a 
fissuração, a armadura mínima em lajes deve ser obtida por 
 
hbA wmíns  min, 
 (cm2) para armaduras negativas
e para armadura 
positiva (principal) de lajes armadas em uma direção; 
hbA wmíns  min, 67,0 
 (cm2) para armaduras positivas de lajes 
armadas em duas direções e para armaduras negativas de bordas sem 
continuidade, 
sendo 
cmbw 100
, h em cm e 
mín
 obtido na Tabela 17.3 da NBR 6118/2014. 
Tabela 5.2 – Taxa de armadura mínima de armação de flexão (Tabela 17.3 da NBR 6118/2014) 
 
A armadura secundaria (distribuição) de lajes deve ser obtida por 







míns
prins
dists
A
mcm
A
A
,
2
,
,
5,0
/9,0
5/
 
b. Bitola máxima (
máx
) 
8
h
máx 
 , h é a espessura da laje 
c. Espaçamento máximo das barras (
s
) 
Na região de maiores momentos fletores, a armadura principal deve apresentar 
espaçamento máximo de 2h ou 20 cm, ou seja, 




cm
h
s
20
2 . 
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 22 
A armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 cm, o que 
corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção 
secundária. 
 
6. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DE LAJES 
 O detalhamento das armaduras das lajes é realizado em planta, utilizando como 
base a planta de formas da estrutura do pavimento. Na planta de armadura de lajes 
devem ser desenhadas apenas as barras representativas da armadura de cada laje 
nas duas direções, com indicação do número de barras destinadas àquela laje, 
diâmetro, espaçamento entre barras e comprimento unitário. O desenho deve indicar 
as armaduras positivas (junto à face inferior) e negativas (junto à face superior), no 
entanto, quando houver superposição de armaduras que dificulte a interpretação 
deve-se realizar o detalhamento dessas armaduras em plantas diferentes. Costuma-se 
representar as barras da armadura positiva com linhas cheias e as da negativa com 
linhas tracejadas de modo a facilitar a visualização do detalhamento. Por último, na 
planta de detalhamento das armaduras devem constar: a resistência característica do 
concreto, fck, o tipo de aço (CA 60 e/ou CA 50), os quadros com discriminação das 
barras e resumo do aço (quantitativos), e o cobrimento a ser adotado na execução do 
projeto. 
 
6.1 Armadura inferior (positiva) 
 Deve ficar junto à face inferior da laje com a finalidade de atender os momentos 
fletores positivos. As armaduras geralmente se estendem de apoio a apoio, 
penetrando no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. Na prática a armadura se 
estende até próximo à face externa da viga de apoio da laje, respeitando-se o 
cobrimento normativo. A Figura 6.1 mostra o detalhamento típico de armaduras 
positivas em lajes. 
A bitola e espaçamento são 
obtidos no dimensionamento. A 
quantidade é obtida dividindo-se o vão 
livre (interno), na direção transversal da 
armadura, pelo espaçamento, 
subtraindo-se uma unidade. O 
comprimento é obtido pela soma do vão 
32 Ø6.3 c14 - 405
46
0
380
15 15
15
23
 Ø
5.
0 
c1
6 
-4
85
Quantidade
Diâmetro
Espaçamento
Comprimento
vão livre
32 Ø6.3 c14 - 405
46
0
380
15 15
15
23
 Ø
5.
0 
c1
6 
-4
85
Quantidade
Diâmetro
Espaçamento
Comprimento
vão livre
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 23 
livre, na direção da armadura, com a largura dos apoios, subtraindo-se o cobrimento 
normativo nas duas extremidades. 
 
6.2 Armadura superior (negativa) 
6.2.1 Armadura negativa entre lajes totalmente apoiadas (nos quatro lados) 
 Deve ficar junto à face superior da laje com o objetivo de atender os momentos 
negativos. Quando não se determinar o diagrama exato de momentos negativos, as 
barras da armadura principal sobre os apoios deverão se estender, para cada lado, de 
um valor correspondente a 1/4 do maior entre os menores vãos das lajes contíguas, 
como exemplifica a Figura 6.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 – Detalhamento de armadura superior (negativa) 
 
A bitola e espaçamento são determinados pelo dimensionamento. A quantidade 
é determinada da mesma forma citada anteriormente e o comprimento total 
corresponde à soma do comprimento reto com os dos ganchos nas extremidades. De 
modo a garantir o posicionamento das barras, devem ser colocadas barras 
complementares na direção transversal de modo a proporcionar a sustentação 
desejada, como ilustra a Figura 6.3. Convém, ainda, empregar dispositivos de apoio 
tais como caranguejos ou blocos de argamassa. 
 
 
 
 
 
 
l 2=
400
l2 é o maior entre os menores vãos
l1=500 l3=300
L1
L2
menor vão de L1 menor vão de L2
ou
200
a
a/2
25 Ø8.0 c15 – 210
46
l1 > l2 > l3
a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm
h – 2c h = 10 
h = 8 
armadura de amarração
.. Ø
5.0
 c3
0 –
…
l2 / 4 l2 / 4
l 2=
400
l2 é o maior entre os menores vãos
l1=500 l3=300
L1
L2
menor vão de L1 menor vão de L2
ou
200
a
a/2
25 Ø8.0 c15 – 210
46
l1 > l2 > l3
a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm
h – 2c h = 10 
h = 8 
armadura de amarração
.. Ø
5.0
 c3
0 –
…
l2 / 4 l2 / 4
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 24 
 
 Figura 6.3 – Detalhamento da armadura superior de engastamento das lajes 
 
6.2.1 Armadura negativa em balanços 
 Com continuidade 
Nas lajes em balanço com continuidade as barras devem ser estender na laje 
contígua 1,5 vezes o comprimento do balanço. De modo a garantir o posicionamento 
das barras da armadura principal, devem ser dispostas barras complementares na 
direção transversal como indicado anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Detalhamento da armadura no balanço com continuidade 
Armaduras de distribuiçãoArmadura negativa (superior)
(continuidade das lajes)
VISTA FRONTAL
Viga
Armaduras de distribuição (N2)
ISOMÉTRICA
Armadura Superior(N1)
(continuidade das lajes)
Laje 2
Viga
Laje 1
Laje 1 Laje 2
(amarração da arm. superior)
FORMA da estrutura
L1 L2
l=120 
l1,5 l
300
h = 10 h = 8 
.. Ø8.0 c12 – 310
46
h – 2c 
a = 2 ,5 l = 300 cm
cobrimento
armadura de 
amarração
.. Ø
5.0
 c3
0 –
…
L1 L2
l=120 
l1,5 l
300
h = 10 h = 8 
.. Ø8.0 c12 – 310
46
h – 2c 
a = 2 ,5 l = 300 cm
cobrimento
armadura de 
amarração
.. Ø
5.0
 c3
0 –
…
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 25 
Lados simplesmente apoiados
Fissuras de canto
Lados simplesmente apoiados
Fissuras de canto
 Sem continuidade 
A armadura deve ficar ancorada na viga, é o caso de pequenas marquises de 
proteção. Deve-se destacar a necessidade de dimensionar a viga à torção. 
 
 
 
 
Figura 6.5 – Detalhamento da armadura no balanço sem continuidade 
 
6.3 Armaduras complementares: de canto e de bordo 
 
 Além dos momentos fletores, surge na região dos cantos de lajes simplesmente 
apoiadas um outro esforço, denominado momento volvente (torsor), produzido pela
tendência de elevação dos cantos da laje, do qual pode resultar em fissuras “de canto” 
na face superior, orientadas na direção normal à bissetriz, como indica a Figura 6.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.7 – Fissuras resultantes do momento volvente 
 
Em bordos simplesmente apoiados de lajes, podem surgir fissuras paralelas às 
vigas em razão da articulação da ligação laje-viga. Essas fissuras, indicadas na 
Figura 6.8 estão diretamente relacionadas à rigidez da laje (vão e espessura) e à 
magnitude do carregamento atuante. 
 
 
 
 
.. Ø6.3 c15 – …
h – 2c
Viga
Laje
armadura de 
amarração
.. Ø6.3 c15 – …
h – 2c
Viga
Laje
armadura de 
amarração
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 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.8 – Fissuras de canto e de bordo 
 
Em geral, os momentos nos cantos e bordos das lajes simplesmente apoiados 
são pequenos em comparação aos momentos fletores calculados anteriormente, 
podendo ser dispensado o cálculo se forem adotadas armaduras conforme esquema 
mostrado na Figura 6.9. As armaduras devem ser colocadas junto à face superior da 
laje. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.9 – Armaduras de canto e de bordo 
lados simplesmente
apoiados
fissuras de canto
fissuras de bordo
A A
CORTE AA
fissuras de bordo
lados simplesmente
apoiados
fissuras de canto
fissuras de bordo
A A
CORTE AA
fissuras de bordo
h-2c
As ≥ 0,75 · As
+
As ≥ 0,25 · As
+
h-2c15Ø
A s
≥
0,
25
 ·
A s
+
h-
2c
15
Ø
A s
bo
rd
o
As canto
h-2c bw+0,2 l
bw
As
+ : maior armadura positiva da laje
l : menor vão
b w
0,
2 
l
0,2 l
bw+0,2 l
h-2c
As ≥ 0,75 · As
+
As ≥ 0,25 · As
+
h-2c15Ø
A s
≥
0,
25
 ·
A s
+
h-
2c
15
Ø
A s
bo
rd
o
As canto
h-2c bw+0,2 l
bw
As
+ : maior armadura positiva da laje
l : menor vão
b w
0,
2 
l
0,2 l
bw+0,2 l
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 27 
Cabe destacar que a armadura de canto só deve ser colocada nos cantos 
formados pelo encontro de dois lados simplesmente apoiados. A armadura de bordo 
deve ser interrompida ao chegar à área destinada à armadura de canto. 
 
7. FORÇAS CORTANTES EM LAJES. REAÇÕES DE APOIO 
7.1 Reações de apoio 
Em geral, nas lajes há interesse apenas nos cortantes máximos, ou seja, nas 
reações de apoio. Para o cálculo das reações, admite-se a divisão da laje em painéis 
rígidos, triângulos e trapézios, formados a partir de linhas de ruptura partindo dos 
vértices da laje, sendo a carga referente a cada painel transferida uniformemente ao 
apoio (viga) situado na base (bordo da laje) do painel, vide Figura 7.1. Os triângulos e 
trapézios são obtidos traçando-se, a partir dos vértices, retas inclinadas de: 
a. 45o – entre dois apoios do mesmo tipo (ambos apoios simples ou 
engastes); 
b. 60o – a partir do apoio engastado quando o outro for simplesmente 
apoiado; 
c. 90o – a partir do apoio quando o bordo vizinho for livre. 
 
Sendo “p” a carga na laje por m2, “A” as 
áreas formadas pelas linhas de ruptura, 
“L” e “l” os vãos da laje, as reações nas 
vigas de apoio (V1, V2 e V3) podem ser 
obtidas por: 
RV1 = p . A1 / L 
RV2 = p . A2 / L 
RV3 = p . A3 / l 
Figura 7.1 – Configuração das linhas de ruptura para obtenção das reações de apoio 
 
As expressões para o cálculo das reações de apoio (cortantes máximos) de lajes estão 
indicadas na Tabela 7.1, onde as reações “R” são aquelas obtidas nos lados maiores 
da laje (de vão “L”) enquanto “r” são as dos lados menores (de vão “l”). Os índices “a” 
e “e” representam a vinculação da laje, apoiado ou engastado. 
 
 
45o
60o
V1
V2
V
3 A2
A1
A
3
L
l
45o
60o
V1
V2
V
3 A2A2
A1
A
3
L
l
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 28 
 Assim, a indicação das reações de apoio, mostradas na Figura 7.2, ficaria como: 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7.2 – Indicação das reações de apoio 
 
Re = reação da laje no lado maior engastado; 
Ra = reação da laje no lado maior apoiado; 
ra = reação da laje no lado menor apoiado. 
 
Para as lajes armadas em uma só direção, as reações devem ser obtidas como em 
vigas considerando a base unitária. Para as lajes retangulares com relação entre vãos 
superior a 2, portanto, armada em apenas uma direção, costuma-se considerar 
calcular as reações apenas para os apoios nos lados maiores, no entanto, os lados 
menores recebem uma contribuição (r), que pode ser obtida com as expressões da 
Tabela 7.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re
Ra
r a
Re
Ra
r a
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Tabela 7.1 – Expressões para cálculo das reações da laje 
Notação: 
p = carga por m2 l = menor vão da laje L = maior vão da laje 
ra = reação no menor lado da laje apoiado 
re = reação no menor lado da laje engastado 
Ra = reação no maior lado da laje apoiado 
Re = reação no maior lado da laje engastado 
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 30 
L2
4
5
5
395
Aplicação: 
Determine as reações de apoio e o cortante máximo da laje L2, com os dados 
mostrados a seguir: 
 
 
Carregamento: 
Peso próprio ( e= 10 cm): 2,50 
Revestimento: 1,00 
Carga variável: 1,50 
Carga total (p) : 5,0 kN/m2 
 
 
 
 
Cálculo das reações de apoio (caso 2b, na Tabela 7.1): 
ra
mkN
lp
/61,3
4
95,35
732,0
4
732,0 




; 
Ra ra
mkN
L
l
/93,4)
55,4
95,3
732,02(61,3732,02 






; 
Re  
732,1
Ra
mkN /53,893,4732,1 
 
 
O cortante máximo corresponde à reação de apoio máxima na laje, de 8,53 kN/m. A 
força cortante solicitante de cálculo é obtida por 
 
VSd = 1,4 Vk = 1,4 · 8,53 VSd = 11,9 kN / m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 31 
7.2 Força cortante em lajes (bw ≥ 5d) 
 Segundo o item 19.4.1 da NBR 6118/2014, as lajes maciças ou nervuradas 
podem prescindir de armação transversal para atender aos esforços de tração 
oriundos da força cortante quando seu valor de cálculo (VSd), a uma distância d da face 
do apoio, atender a seguinte expressão: 
1RdSd VV 
 
A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: 
   dbkV wcpRdRd   15,0402,1 11
onde: 
-
ctdRd f 25,0
, tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, em MPa; 
-
cctkctd ff inf,
, valor de cálculo da resistência à tração do concreto, em MPa; 
-
3 2
inf, 21,0 ckctk ff 
; resistência à tração do concreto, valor inferior em MPa; 
-
dbA ws  11
, taxa de armação longitudinal, não maior que 0,02. 
1sA
 é a área da 
armadura de tração que se estende até não menos que 
necbld ,
 além da seção 
considerada, com 
necbl ,
 (comprimento necessário de ancoragem) definido no 
item 9.4.2.5 da NBR 6118 e Figura 7.3; 
 
 
 
 
 
Figura 7.3 – Comprimento de ancoragem necessário (Figura 19.1 da NBR 6118) 
 
-
d
 é a altura útil da laje, em metros; 
-
wb
 = 1 m, largura unitária da laje, em metros; 
-
cSdcp AN
, tensão normal no concreto sendo 
SdN
 a força longitudinal na seção 
devida à protensão ou carregamento (compressão positiva), em MPa; 
-
k
 é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
 = 1, para elementos onde 50 % da armadura não chega até o apoio; 
 = 
d6,1
, não menor que 1, com d em metros. 
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 32 
 
Aplicação: 
Determine o cortante máximo para se evitar armação transversal em uma laje com os 
seguintes dados: 
h = 10 cm = 0,1 m 
d’=2,5 cm = 0,025 m; 
d = h – d’ = 0,1 – 0,025 = 0,075 m; 
hbAA wmínss  %15,067,0,
 (armadura mínima em lajes armadas em duas 
direções). 
O cortante máximo corresponde ao valor do cortante resistente de projeto, 
1RdV
, dado 
por: 
 
 
MPafff cckcctkctdRd 32,0)4,1/2521,0(25,0)/21,0(25,0)(25,025,0
3 23 2
inf,  
 
535,1065,06,1 k
 
00134,0
075,01
1,010015,067,00015,067,0
11 






db
hb
dbA
w
w
ws 
   kNMNVRd 2,460462,0075,01015,000134,0402,1535,132,01 
 
 
 
kNVRd 2,461 
 , força cortante resistente de cálculo da laje. 
 
Para que seja dispensada armação transversal na laje em questão, o cortante deve ser 
menor ou igual a 46,2 kN/m. Geralmente, o esforço cortante solicitante é bem inferior 
ao valor resistente, logo, o cisalhamento em lajes retangulares não chega a preocupar, 
no entanto, deve-se atentar para situações de carregamentos elevados, como o de 
reservatórios, onde são observados cortantes com valores significativos. Nessa 
situação, quando for constatada a necessidade de armação transversal (VSd > VRd1), 
costuma-se aumentar a espessura da laje, de modo a aumentar o valor resistente de 
cálculo, até que seja atendida o critério de dispensa da armação transversal, face a 
dificuldade de execução dessa armação. Atenção especial deve ser dada às lajes lisas 
(cogumelo) em razão das tensões elevadas de cisalhamento, e, por conseguinte, da 
possibilidade de ruptura por punção, o que pode comprometer a estabilidade da 
estrutura (colapso progressivo). 
   dbkV wcpRdRd   15,0402,1 11
= 0 (sem protensão) 
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8. VERIFICAÇÕES AOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO (ELS) 
 Estão relacionadas à funcionalidade, aparência e durabilidade das estruturas 
em condições normais de utilização. Em geral, as principais verificações quanto aos 
ELS devem observar os seguintes aspectos: 
 flechas (ELS-DEF): devem ser limitadas a fim de evitar prejuízos à 
aparência da estrutura, dos elementos da edificação, ou ao uso da 
construção; 
 fissuração excessiva (ELS-W): devem ser limitadas de modo a evitar 
prejuízos à aparência, durabilidade e estanqueidade do elemento 
estrutural (reservatórios); 
 
8.1 Verificação do Estado limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF) - flechas 
Considera-se atendido ao estado limite de deformação excessiva quando o 
deslocamento do elemento estrutural (viga/laje) não ultrapassar os valores limites 
estabelecidos na NBR 6118. 
 
8.1.1 Deslocamentos limites 
Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em 
serviço do estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) da estrutura. A 
NBR 6118/2014 estabelece os valores limites, mostrados na Tabela 8.1, com base em 
quatro grupos básicos relacionados a seguir: 
a. aceitabilidade sensorial: caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito 
visual desagradável (vibrações em pisos, prejuízos à aparência); 
b. efeitos específicos: caracterizado por deslocamentos que limitem a utilização 
adequada da construção (quadra de ginásios, pistas de boliche, drenagem de 
coberturas e varandas, uso de equipamentos sensíveis em laboratórios); 
c. efeitos em elementos não estruturais: caracterizados por deslocamentos que 
acarretem em prejuízos ou mau funcionamento de elementos ligados à estrutura 
(esquadrias: janelas e portas, revestimentos, paredes, etc.); 
d. efeitos em elementos estruturais: caracterizados por deslocamentos que 
possam afetar o comportamento do elemento estrutural, afastando-o das 
hipóteses adotadas no cálculo (introdução de esforços não previstos). 
Os deslocamentos limites são normalmente estabelecidos com base no vão do 
elemento estrutural (viga/laje) e nas características do elemento estrutural. 
 
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Tabela 8.1 – Deslocamentos limites (Tabela 13.3 da NBR 6118/2014) 
 
 
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8.1.2 Cálculo dos deslocamentos (flechas) 
8.1.2.1 Flecha inicial (imediata) 
O cálculo dos deslocamentos deve ser realizado considerando-se a rigidez 
efetiva das seções e a ação da fluência do concreto. Deve-se destacar que o 
carregamento a ser utilizado (permanente e variável) depende da situação em que se 
deseja verificar o deslocamento e da combinação de ações. 
 Para as lajes armadas em uma direção, a obtenção das flechas é realizada 
como vigas de base unitária. Nas lajes retangulares armadas em duas direções, com 
apoios nos quatro lados, a flecha inicial (sem a consideração da fluência) pode ser 
obtida pela seguinte expressão: 
IE
lp
a
cs
i



4*
000.12
 (cm) 
onde: 

 é o coeficiente obtido na Tabela 8.3 em função de 
lL
; 
l
 é o menor vão, em m; 
csE
 = 
ckEi f600.5..
, é o módulo de deformação secante do concreto, sendo 
1
80
.2,08,0  cki
f
, 
E
 coeficiente função do agregado (item 8.2.8 da 
NBR 6118:2014) e 
ckf
em MPa; 
*p
=
qg  2
, é o valor do carregamento para combinação quase-permanente, em 
kN/m
2, sendo: 
 
2
 = 0,3, para edifícios residenciais 
 
2
 = 0,4, para edifícios comerciais 
 
2
 = 0,6, para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 
I
 é o momento de inércia da seção, em m4. No caso de seção não fissurada 
)( ra MM 
 pode-se utilizar o momento de inércia da seção bruta de concreto, 
123hbI wc 
. Quando a seção estiver fissurada 
)( ra MM 
, pode-se empregar um 
momento de inércia equivalente obtido por 
II
a
r
c
a
r
eq I
M
M
I
M
M
I





















33
1
 
 
 
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sendo: 
aM
 o momento fletor na seção crítica do vão considerado, ou seja, momento máximo 
no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços; 
rM
 é o momento de fissuração do elemento estrutural; 
III
 é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II 
 O momento de fissuração (
rM
) pode ser calculado com a seguinte expressão 
aproximada (item 17.3 da NBR 6118) 
t
cct
r
y
If
M


 
onde: 

 é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a 
resistência à tração direta, sendo 
 

 = 1,2 para seções T ou duplo T; 

 = 1,3 para seções I ou T invertido 

 = 1,5 para seções retangulares 
ctf
 é a resistência à tração direta do concreto, igual a
3 2
, 3,0 ckmct ff 
, para concretos 
de classe até C50, e a 
)11,01ln(.12,2, ckmct ff 
, para concretos de classe C55 até 
C90, no estado limite de deformação excessiva ou igual a 
mctctk ff ,inf, .7,0
 no estado 
limite de formação de fissuras com 
ckf
 em MPa (item ; 
cI
 é o momento de inércia da seção bruta de concreto= 
123hbw
; 
ty
 é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada. 
 A momento de inércia da seção fissurada 
)( III
 para seções retangulares sem 
armadura de compressão pode ser obtida por 
2
3
)(
3
xdA
xb
I se
w
II  
 
onde: 
csse EE
é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e o módulo secante 
do concreto; 
d
 é a altura útil; 
sA
 é a área de aço do elemento estrutural; 
x
 é a posição da linha neutra da seção fissurada, obtida por 
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








se
w
w
se
A
db
b
A
x 
 2
11
 
8.1.2.2 Flecha diferida em decorrência da fluência do concreto 
 A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função 
da fluência do concreto, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação 
da flecha imediata pelo fator 
f
dado pela expressão: 
'501 




f
 
onde: 
db
A
w
s
'
'
; 
'
sA
 é a armadura de compressão; 

 é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 8.2 
ou ser calculado pelas seguintes expressões: 
)()( ott  
 
32,0)996,0(68,0)( tt t  , para t ≤ 70 meses 
2)( t
, para t > 70 meses 
Tabela 8.2 – Valores de 

 em função do tempo (Tabela 17.1 da NBR 6118:2014) 
 
 
onde: 
t é o tempo, em meses, quando se deseja calcular o valor da flecha diferida; 
to é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No 
caso de parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, 
pode-se tomar para to o valor ponderado a seguir: 
i
oii
o
P
tP
t



 
onde 
iP
 representa as parcelas de carga; 
oit
 é a idade em que se aplicou cada parcela 
iP
, expressa em meses. 
 Pode-se, também, utilizar o princípio das superposição de efeitos, aplicando-se 
diferentes coeficientes 

, de acordo com o tempo de atuação do carregamento. 
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8.1.2.3 Flecha total 
 A flecha total, imediata e diferida, pode ser obtida por: 
figiqigfigitotal aaaaaa  
 
iqfigtotal aaa  )1( 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Tabela 8.3 – Coeficiente 

 para cálculo das flechas em lajes