Calculo lista 1

Prévia do material em texto

Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I
Curso de Biotecnologia
Professor Jose´ de Anchieta Delgado
27/02/2012
1. Determine o domı´nio de f e simplifique f(x+h)−f(x)
h
h 6= 0 onde f(x) igual a:
(a) x2 + 3x,
(b) x3 + x2 − x.
(c) 2x
x+2 .
2. Considere a fun¸a˜o f dada por f(x)x2 + 4x + 5.
(a) Mostre que f(x) = (x + 2)2 + 1,
(b) Esboce o gra´fico de f.
(c) Determine o mı´nimo de f.
(d) Encontre uma func¸a˜o quadra´tica cujo gra´fico passa pelos pontos (−1, 2), (3, 9), (−2, 4).
Esta func¸a˜o e´ u´nica?
3. Resolva os problemas:
(a) Seja d a distaˆncia de (0, 0) a (x, y). Calcule a func¸a˜o distaˆncia sabendo que (x, y)
esta´ sobre a curva y = 1
x
.
(b) Determine a para que as retas sejam paralelas. y = 2x+13 e y = 3ax+ 5.
(c) A reta r passa pelo ponto (1, 2) e intersepta os eixos coordenados em A e B. Expresse
a distaˆncia entre A e B em func¸a˜o do coeficiente angular m.
(d) Um arrame de 10cm de comprimento deve ser cortado em dois pedac¸os, um dos quais
sera´ torcido para formar um quadrado e o outro formar uma circunfereˆncia. De que modo
devera´ ser cortado para que a soma das a´reas das regio˜es limitadas pelas figuras seja mı´nima?
(e) Um cilindro circular reto esta´ inscrito em uma esfera de raio r dado. Expresse o volume
do cilindro em func¸a˜o da altura h do cilindro.
4. Esboce o gra´fico das func¸o˜es:
(a) y = 2cosx
(b) y = x + sen x.
5. Verifique que:
(a) sec2 x = 1 + tg2 x
(b) se cosx 6= 0, enta˜o sen x =
2tg x
2
1+tg2 x
2
.
1
6. Resolva:
(a) Deˆ os domı´nios e esboce os gra´ficos de f + g g
f
, onde f(x) = x e g(x) = 1√
x
.
(b) Determine f de modo que g(f(x)) = x para todo x no domı´nio de f, onde
g(x) = x+2
x+1 .
(c) Determine o maior conjunto A tal que Im f ⊂ Dominio de g e encontre a func¸a˜o
h = g(f(x)).
2