Atv 04 álgebra

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Atv 04 álgebra
1a Questão: Sejam e um subgrupo de G. De acordo com a tábua do grupo quociente , identifique o inverso aditivo de 1+H.
	
	H + H
	 
	3 + H
	
	H
	
	1 + H
	
	2 + H
2a Questão: Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3}  subgrupo de (Z6, +). Determine o número de classes laterais.
	 
	3
	
	1
	
	6
	
	2
	
	4
3a Questão: Considere o Teorema de Lagrange: Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
4a Questão: Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
		
	 
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	
	H∩J é um subgrupo cíclico de G.
	
	H∩J é um subgrupo abeliano de G.
	
	H∩J não é um subgrupo de G.
	 
	H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal.
	 
	
5a Questão: Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
6a Questão: Sejam e um subgrupo de G. De acordo com a tábua do grupo quociente , identifique o elemento neutro.
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
7a Questão: Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	H é cíclico
8a Questão: Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	{i, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}