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82260 - Ca´lculo Diferencial e Se´ries
Primeira lista de exerc´ıcios
Prof. Rafael F. Barostichi 10 de outubro de 2016
1. Em cada ı´tem abaixo, encontre uma fo´rmula para o n-e´simo termo da sequeˆncia.
(a) 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . (b) 1,−1
4
,
1
9
,− 1
16
,
1
25
, · · ·
(c) −3
2
,−1
6
,
1
12
,
3
20
,
5
30
, . . . (d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · ·
2. Decida se as sequeˆncias abaixo convergem ou divergem. Calcule o limite de cada sequeˆncia
convergente.
(a) an = 2 + (−1)n (b) an = npi cos(npi) (c) an = senn
n
(d) an =
n+ (−1)n
n
(e) an =
2n+ 1
1− 3√n (f) an =
ln(n+ 1)√
n
(g) an =
3n
n3
(h) an =
1− 5n4
n4 + 8n3
(i) an =
n2 − 2n+ 1
n− 1
(j) an =
lnn
ln 2n
(k) an = 1 + (−1)n (l) an = n
2n
(m) an = (−1)n
(
1− 1
n
)
(n) an =
(
1 +
7
n
)n
(o) an =
n
√
10n
(p ) an =
(−1)n
2n− 1 (q) an =
(
−1
2
)n
(r ) an =
n
√
n2
(s) an =
lnn
n
1
n
(t) an =
n!
nn
(u) an = arctg n
(v) an =
(lnn)200
n
(w) an = n−
√
n2 − n (x) an = 1
n
∫ n
1
1
x
dx
3. Prove o Teorema da sequeˆncia intercalada: Se (an) e (bn) sa˜o duas sequeˆncias que convergem
para L, enta˜o a sequeˆncia
a1, b1, a2, b2, . . . , an, bn, . . .
converge para L.
4. Considere a sequeˆncia a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, . . . .
(a) Verifique que a sequeˆncia e´ crescente e limitada superiormente por 2. (Sugesta˜o: utilize o
processo de induc¸a˜o finita)
(b) Calcule lim
n→∞ an.
1
5. Calcule a soma da se´rie dada abaixo:
(a)
∞∑
n=0
(−1)n
4n
(b)
∞∑
n=0
(
5
2n
+
1
3n
)
(c)
∞∑
n=2
1
4n
(d)
∞∑
n=1
7
5n
(e)
∞∑
n=0
(
1
2n
+
(−1)n
5n
)
(f)
∞∑
n=0
2n+1
5n
(g)
∞∑
n=1
4
(4n− 3)(4n+ 1) (h)
∞∑
n=1
2n+ 1
n2(n+ 1)2
(i)
∞∑
n=1
6
(2n− 1)(2n+ 1)
(j)
∞∑
n=1
(
1√
n
− 1√
n+ 1
)
(k)
∞∑
n=1
(
1
ln(n+ 2)
− 1
ln(n+ 1)
)
(l)
∞∑
n=1
(arctg(n)− arctg(n+ 1))
6. Expresse cada um dos nu´meros abaixo como a raza˜o de dois inteiros.
(a) 0, 23 = 0, 232323 . . . (b) 0, 234 = 0, 234234234 . . .
(c) 0, d = 0, dddd . . . , sendo d um d´ıgito (d) 0, 06 = 0, 06666 . . .
(e) 1, 414 = 1, 414414414 . . . (f) 3, 142857 = 3, 142857142857 . . .
7. Suponha que, para todo natural n, an pertenc¸a ao conjunto {0, 1, 2, . . . , 9}. Mostre que a se´rie∞∑
n=1
an
10n
e´ convergente. O que significa a soma dessa se´rie?
8. Em cada ı´tem abaixo, decida se a se´rie e´ convergente ou divergente. Caso a se´rie convirja, calcule
sua soma.
(a)
∞∑
n=1
n
n+ 10
(b)
∞∑
n=1
(
3
n2
− 3
(n+ 1)2
)
(c)
∞∑
n=0
cos(npi)
5n
(d)
∞∑
n=1
(−1)n+1n (e)
∞∑
n=1
(−1)n 3
2n
(f)
∞∑
n=1
(
ln
√
n+ 1− ln√n)
(g)
∞∑
n=1
(
1− 1
n
)n
(h)
∞∑
n=0
2n − 1
3n
(i)
∞∑
n=0
( e
pi
)n
(j)
∞∑
n=1
ln
1
n
(k)
∞∑
n=0
n!
1000n
(l)
∞∑
n=1
nn
n!
9. Em cada ı´tem abaixo, encontre os valores de x que tornam a se´rie geome´trica dada convergente.
Encontre tambe´m a soma da se´rie (como func¸a˜o de x) para esses valores de x.
(a)
∞∑
n=0
(−1)nxn (b)
∞∑
n=0
3
(
x− 1
2
)n
(c)
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(d)
∞∑
n=0
2nxn (e)
∞∑
n=0
senn x (f)
∞∑
n=0
(lnx)n
10. Em cada ı´tem abaixo, decida se a afirmac¸a˜o e´ verdadeira ou falsa. Justifique.
(a) A se´rie
∑
(an/bn) pode divergir mesmo quando
∑
an e
∑
bn convergem e bn 6= 0 para todo
n.
(b) Se A =
∑
an e B =
∑
bn enta˜o
∑
anbn = AB.
(c) Se
∑
an converge e an > 0 para todo n enta˜o
∑
(1/an) diverge.
(d) Se
∑
an converge e
∑
bn diverge, enta˜o
∑
(an + bn) diverge.
2
11. Utilizando o teste da integral, determine se as se´ries abaixo convergem ou divergem. Certifique-se
de que as condic¸o˜es do teste da integral sejam satisfeitas.
(a)
∞∑
n=1
1
n2
(b)
∞∑
n=2
1
n(lnn)2
(c)
∞∑
n=1
1
5
√
n
(d)
∞∑
n=1
n
n2 + 4
(e)
∞∑
n=1
1
n2 + 4
(f)
∞∑
n=1
ln(n2)
n
(g)
∞∑
n=1
1
n+ 4
(h)
∞∑
n=1
n2
en
(i)
∞∑
n=2
n− 4
n2 − 2n+ 1
12. Decida se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta.
(a)
∞∑
n=1
e−n (b)
∞∑
n=1
1
2n− 1 (c)
∞∑
n=1
n
n+ 1
(d)
∞∑
n=2
lnn
n
(e)
∞∑
n=2
lnn√
n
(f)
∞∑
n=1
2
n
√
n
(g)
∞∑
n=1
en
1 + e2n
(h)
∞∑
n=3
(1/n)
lnn
√
ln2 n− 1
(i)
∞∑
n=1
1
(n(1 + ln2 n)
(j)
∞∑
n=1
n sen
1
n
(k)
∞∑
n=1
8 arctg n
1 + n2
(l)
∞∑
n=1
sechn
13. Estude a convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=2
1
n(lnn)p
,
sendo p uma constante positiva.
14. Use o teste da integral para mostrar que a se´rie
∞∑
n=0
e−n
2
converge.
15. Para quais valores de a a se´rie
∞∑
n=3
(
1
n− 1 −
2a
n+ 1
)
e´ convergente?
BONS ESTUDOS E ME PROCUREM PARA TIRAR AS DU´VIDAS!!!
3