1ª APOSTILA DE FUNDAMENTOS DE CÁLCULO I LIMITES

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1 
Limites e Continuidade 
Limites das funções 
Verifique como a função 
1
1
)(
2



x
x
xf
 se comporta próximo de 
1x
 ? 
Observe que quando x = 1 
0
0
)( xf
 (indeterminação) 
Então para qualquer x 
0
 podemos simplificar 
1
1
)1)(1(
)( 


 x
x
xx
xf
 para x
1
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
 
1
1
)(
2



x
x
xfy
, lembrando que o 
intervalo fica aberto em x = 1. 
y = x + 1
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
 
1)(  xxfy
, observe que é o 
mesmo gráfico, agora incluindo x = 1. 
Observe que o gráfico da função 
1
1
)(
2



x
x
xfy
 é semelhante ao gráfico da função 
1xy 
 só 
que sem o ponto (1,2). 
Observe o quadro: 
 
 2 
x
 f(x) 
0,9 1,9 
1,1 2,1 
0,99 1,99 
1,01 2,01 
0,999 1,999 
1,001 2,001 
0,999999 1,999999 
1,000001 2,000001 
Observe que f(x) está próximo de 2 conforme o valor de x se aproxima de 1. 
1xpara,1x
1x
1²x
)x(f 



 
2
1x
1x
limou2)x(flim
2
1x1x





 
Definição Informal de Limite 
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto talvez em x0. Dizemos que f tem 
limite L quando x tende a x0: 
L)x(flim
0xx


, se quanto mais próximo x estiver de x0, mais 
próximo de f(x) estiver de L. 
Notação Significação intuitiva Interpretação Gráfica 
Lxf
xx


)(lim
0
 
Podemos tornar f(x) tão 
próximo de L quanto 
quisermos, escolhendo x 
suficientemente 
próximo de x0 ou x = x0, 
se f(x) estiver definida 
em x0 e f(x0) = L. 
y = f(x)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7
 
 
 
 3 
Exemplo: 
O valor do limite não depende do modo como a função é definida em x0. 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
 
a) 
1
1²
)(



x
x
xf
 
 
 
b) 









1,1
1,
1
1²
)(
x
x
x
x
xg
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
x
y
 
c) 
1)(  xxh
 
Vimos que 
2
1x
1x
lim
2
1x




 apesar da função não ser definida em x = 1. E 
2)x(glim
1x


 mesmo 
quando 
)1(g
2. 
Mas 
2)(lim
1


xh
x
 é o único em que 
)1()(lim
1
hxh
x


, ou seja, o limite é o valor da função para x = 1. 
2)(lim)(lim)(lim
111


xhxgxf
xxx
 
 
 4 
Função sem limite 
 






0x,1
0x,0
y
 
Não há um único valor de L do qual f(x) se 
aproxime quando x → 0. 
Obtendo Limites e Limites Laterais 
Propriedades dos limites 
O próximo teorema mostra como calcular limites de funções que são combinações aritméticas de 
funções cujos limites já conhecemos. 
Se L,M,c e k são números reais e
M)x(glimeL)x(flim
cxcx


, então 
1- Regra da Soma: 
ML))x(g)x(f(lim
cx


, o limite da soma de duas funções é a soma de seus 
limites; 
2- Regra da Diferença: 
ML))x(g)x(f(lim
cx


, é a diferença de seus limites; 
3- Regra do Produto: 
MLxgxf
cx


))()((lim
, é o produto de seus limites; 
4- Regra da Multiplicação por Constante: 
Lk))x(fk(lim
cx


, é o produto da constante pelo limite 
da função; 
5- Regra do Quociente: 
0M,
M
L
)x(g
)x(f
lim
cx


, o limite do quociente de duas funções é o quociente de 
seus limites (o denominador não pode ser zero); 
6- Regra da Potenciação: se r e s são inteiros e se s
0
,
s
r
s
r
cx
L))x(f(lim 

, desde que L sr seja um 
número real. 
O limite de uma potência racional de uma função é a potência do limite da função, desde que a última 
seja um numero real. 
 
 5 
Exemplo: Utilize as observações 
cxlimekklim
cxcx


e as propriedades dos limites para obter os 
seguintes limites: 
 
a) 
)32(lim
4


x
x
 
 
 
 
 
 
b) 
2lim
7


x
x
 
c) 
1lim 2
3


x
x
 
 
d) 
)34(lim 23 

xx
cx
 
 
 
 
 
 
e) 
5
)1(
lim
2
24


 x
xx
cx
 
 
 
 
 
 
 
f) 
34lim 2
2


x
cx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em alguns casos, há necessidade de se fazer manipulações algébricas para determinar certos limites 
g) 
675
)252(
)(
2
2



xx
xx
xf
, encontre 
).x(flim
2x
 
 
 
 
 
 
h) Seja 
3
9
)(



x
x
xf
, ache 
)x(flim
9x
e depois 
esboce o gráfico de f(x) e ilustre graficamente o 
limite de 
)x(flim
9x
. 
i) Porque que 
x
1
lim
0x
 não existe? 
 
 
Eliminando Algebricamente os Denominadores Nulos 
Se o denominador for zero, em x0, cancelando fatores comuns no numerador e denominador, podemos 
reduzir à fração a outra cujo denominador não seja mais zero em x0. 
a) 
0
02
lim
2
2
1



 xx
xx
x
, então é necessário manipular a expressão para eliminar a indeterminação. 
 
 6 
.1,
)2(
)1(
)2)(1(2
)(
2
2








 xse
x
x
xx
xx
xx
xx
xf
 
Então 
.3
1
212
lim
2
lim
12
2
1







 x
x
xx
xx
xx
 
b) 
0
022
lim
0


 h
h
h
, novamente é necessário uma manipulação algébrica. Mas o problema é que 
não temos um fator comum, para poder eliminar. 
h
h
xf
22
)(


= 
 
 
 
TEOREMA DO CONFRONTO 
O teorema se refere a uma função f cujos valores são limitados entre os valores de outras duas funções, 
g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando 
0xx 
, então f também terá esse mesmo limite. 
Suponha que g(x)  f(x)  h(x) para qualquer x em um intervalo aberto contendo x0, exceto 
possivelmente em x = x0. Suponha também que: 
L)x(hlim)x(glim
00 xxxx


, então 
L)x(flim
0xx


. 
Exemplo: Sendo 
2
x
1)x(u
4
x
1
22

para qualquer x  0. 
Limites Laterais 
Para ter um limite L quando x se aproxima de x0, uma função f deve ser definida em ambos os lados de 
x0 e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de x0 de cada lado, Por isso 
limites comuns são bilaterais. 
Limites Laterais à Direita 
Seja f(x) definida em um intervalo (x0, b), onde x0 < b. 
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de x0 nesse intervalo, dizemos que f 
tem LIMITE LATERAL À DIREITA em x0: 
L)x(flim
0xx


. 
Limites Laterais à Esquerda 
Seja f(x) definida em um intervalo (a, x0), onde a < x0. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M 
conforme x se aproxima de x0 nesse intervalo, dizemos que f tem LIMITE LATERAL À 
ESQUERDA em x0: 
L)x(flim
0xx


. 
 
 7 
 
Relação entre os Limites Lateral e Bilateral 
Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de x0 se e somente se tiver um limite lateral à 
direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais. 
Exemplo: 
Defina se existem os seguintes limites no gráfico logo abaixo: 
a) 


)(lim
1
xf
x
 


)(lim
1
xf
x
 


)(lim
1
xf
x
 
b) 


)(lim
2
xf
x
 


)(lim
2
xf
x
 


)(lim
2
xf
x
 
c) 


)(lim
3
xf
x
 


)(lim
3
xf
x
 


)(lim
3
xf
x
 
d) 


)(lim
4
xf
x
 


)(lim
4
xf
x
 


)(lim
4
xf
x
 
y=f(x)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
 
Exemplo 2 
Determine cada limite, se existir: 
a) 


3
4 )4(
1
lim
xx
 


3
4 )4(
1
lim
xx
 

 34 )4(
1
lim
xx
 
Limites Envolvendo o Infinito 
Limites Finitos quando 
x
 
Limite com 
x
 
Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e escrevemos 
L)x(flim
x


 se, a 
medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. 
Limites com 
x
 
Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos 
L)x(flim
x


 se, 
à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x) fica cada vez mais próximo de L. 
 
 8 
Exemplos: 
Como você pode concluir que os limites abaixo são verdadeiros: 
a)
0
1
lim 
 xx
 b) 
0
1
lim 
 xx
 c) 
kk
x


lim
 d) 
kk
x


lim
 
 
 
 
Limites tendendo ao infinito apresentam propriedades semelhantes às dos limites finitos. 
Exemplos: 
a)







 xx
1
7lim
 b) 

 2
52
lim
xx
 
 
Limites de Funções Racionais quando 
x
 
Para determinar o limite de uma função racional quando 
x
, podemos dividir o numerador e o 
denominador pela maior potencia de x que aparece no denominador. O que acontece depois depende 
dos graus dos polinômios envolvidos. 
a)



 23
385
lim
2
2
x
xx
x
 
 
b) 



 13
222
lim
3x
x
x
 
 
c) 



 49
52
lim
2
x
x
x
 
 
d) 



 1032
74
lim
2
3
xx
xx
x
 
 
 
 
 9 
Assíntotas Horizontais e Verticais: Limites Infinitos 
A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y = f(x) se 
b)x(flim
x


 
ou
b)x(flim
x


. 
Uma reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico se 


)x(flim
ax
ou


)x(flim
ax
. 
y = 1/x
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
Y
 
x = 0 é a assíntota vertical; 
y = 0 é a assíntota horizontal. 
 
Exemplo: 
Encontre as assíntotas do gráfico de 
2
3



x
x
y
. 
y = (x+3)/(x+2) = 1 + (1/(x+2))
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
Y
 
 
 
 10 
Continuidade 
Continuidade em um ponto 
Funções contínuas são as funções que usamos para achar o ponto em que um planeta mais se aproxima 
do Sol ou o pico de concentração de anticorpos no plasma sanguíneo. Na verdade, tantos processos 
físicos ocorrem de modo contínuo que durante os séculos XVIII e XIX raramente se pensou em algo 
diferente. Foi uma surpresa quando os físicos de 1920 descobriram que a luz vem em partículas e que 
os átomos aquecidos emitem luz em freqüências distintas, com isto o tema descontinuidade se tornou 
importante tanto prática como teoricamente. 
Vamos analisar novamente o seguinte gráfico, mas agora investigando a continuidade: 
 
Pontos nos quais f é contínua: 
Quando x = 0 
)0()(lim
0
fxf
x


 
Quando x = 3 
)3()(lim
3
fxf
x


 
Quando 0 < x0 < 4, x0  1, 2 e 4 
)()(lim 0
0
xfxf
xx


 
Pontos nos quais f é descontínua: 
Quando x = 1 
existenãoxf
x


)(lim
1
. 
Quando x = 2 
).2(1,1)(lim
2
fmasxf
x


 
Quando x = 4 
)4(1,1)(lim
4
fmasxf
x


 
Uma função f é contínua em um número c se satisfaz as seguintes condições: 
i) f (c) é definida ii) 
existexf
cx
)(lim

 iii) 
)()(lim cfxf
cx


 
Ao utilizar esta definição para mostrar que uma função f é contínua em c, basta verificar a terceira 
condição, porque se 
)()(lim cfxf
cx


, então f (c) deve ser definida e também 
)(lim xf
cx
 deve existir; 
ou seja, as duas primeiras condições estão satisfeitas automaticamente. 
 
 11 
Exemplos: 
Valor da Função Gráfico Descontinuidade 
f (x) = x + 2 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
 
Nenhuma, pois para todo c 
)(2)(lim cfcxf
cx


. 
1
2²
)(



x
xx
xg
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
 
Em c =1, pois g(1) é indefinido. 
(descontinuidade removível) 








1,2
1,
1
2²
)(
xse
xse
x
xx
xh
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
 
c = 1, pois 
).1(3)(lim
1
hxh
x


 
(descontinuidade removível) 
 
 12 
x
xh
1
)( 
 
y = 1/x
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-15 -10 -5 0 5 10 15
X
Y
 
c = 0, pois h(0) não existe e 
também
)(lim
0
xh
x
 não existe. 
x
x
xp )(
 
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
 
c = 0, pois p(0) é 
indefinido
)(lim
0
xp
x
 não existe 
(descontinuidade tipo salto). 
Uma função contínua não precisa ser contínua em todo intervalo. Por exemplo, y = 1/x não é contínua 
em [-1, 1]. 
Os seguintes tipos de funções são contínuos em cada ponto de seus domínios: 
 Polinomiais: são contínuas em todo número c porque 
)()(lim cfxf
cx


. 
 Racionais: são contínuas em todo ponto de seus domínios. Elas têm pontos de descontinuidade 
nos zeros de seus denominadores. 
 Raiz (
n x,
n um inteiro positivo maior que 1). 
 Trigonométricas e trigonométricas inversas. 
 Exponenciais e logarítmicas. A função exponencial y = a x foi definida para ser contínua e, 
portanto, sua inversa y = loga x é também contínua sobre seu domínio. 
 
 13 
Combinações Algébricas 
Propriedades de Funções Contínuas 
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes combinações são contínuas em x = c. 
1. Somas: f + g 2. Diferenças: f – g 
3. Produtos: f . g 4. Constantes múltiplas: k.f, para qualquer número real k. 
5. Quocientes: f/g, uma vez que g(c)  0. 
 
Compostas 
Todas as compostas de funções contínuas são contínuas. 
Exemplos 
Verifique se as funções abaixo são contínuas em [-1,3]. Se não, onde ela deixa de ser contínua e 
por quê? 
a) 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
 
b) 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
 
 
 
 14