exercicios para portfolio aula 4

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CURSO DE LICENCIATURA FÍSICA SEMIPRESENCIAL 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS PARA O PORTFÓLIO DA AULA 4 -MODELOS 
ATÔMICOS II 
 
“O oposto de uma afirmação correta é uma afirmação falsa. Mas o oposto de uma verdade 
profunda pode ser outra verdade profunda.” ―Niels Bohr 
 
ATIVIDADE INDIVIDUAL 
ATENÇÃO: JUSTIFIQE TODAS AS RESPOSTAS! SEM JUSTIFICATIVA AS 
RESPOSTAS NÃO TERÃO VALOR. 
NÃO SE LIMITE A MOSTRAR APENAS OS CÁLCULOS. APRESENTE 
ARGUMENTOS QUE MOSTREM O SEU RACIOCÍNIO 
 
01) . O modelo de Bohr é baseado em quatro postulados. Quais são esses postulados e o que cada 
um deles significa? 
R- 1- Um elétron em um átomo se move em órbita circular ao redor do núcleo sob a influência da 
atração coulombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo às leis da mecânica clássica. 
2- Em vez de infinitas órbitas, possíveis na mecânica clássica, um elétron se move apenas em uma órbita 
na qual seu movimento angular é múltiplo inteiro de (constante de Planck h = 6,63x10-34 J.s, dividida 
por 2π). 
3- A energia total do elétron permanece constante. Isso ocorre porque o elétron que se move em uma 
órbita não emite radiação eletromagnética. 
4- É emitida radiação eletromagnética se um elétron, que se move inicialmente sobre uma órbita de 
energia total Ei, muda seu movimento descontinuamente de forma a se mover em uma órbita de 
energia total Ef. A freqüência da radiação emitida é igual à quantidade ( ) dividida pela 
constante de Planck h, ou seja: 
 
 
 
Este postulado mistura a física clássica com a física quântica. Um exemplo disso é que com relação ao 
movimento circular dos elétrons ao redor do núcleo, o primeiro postulado condiz com a mecânica 
clássica, e a idéia não clássica está na quantização do momento angular no segundo postulado. 
A justificativa para os postulados de Bohr, ou para qualquer conjunto de postulados, só pode ser 
encontrada comparando-se as previsões que podem ser obtidas a partir dos postulados com os 
resultados experimentais 
Esse postulado rendeu para Niels Bohr o prêmio Nobel de Física em 1922. 
 
02) Mostre que a quantização do momento angular, leva à quantização da energia. 
R- Usando a expressão para o raio do átomo: 
 
E substituindo esta expressão pela expressão da energia cinética: 
 
 Teremos: 
 
 
Usando novamente a expressão para o raio do átomo: 
 
E substituindo esta expressão pela expressão da energia potencial: 
 
Teremos: 
 
Sabendo qual é a energia cinética e a energia potencial do átomo, podemos encontrar a 
energia total: E+EC + Ep. 
Encontramos assim a energia do átomo que é dada por: 
 
Segundo o Modelo de Bohr, o átomo que apresenta um núcleo carregado positivamente 
e ao seu redor gira elétrons com carga negativa e o momento angular do átomo é 
quantizado, quando as únicas órbitas permitidas são aquelas em que o momento angular 
L, do elétron é um múltiplo inteiro de constante de Planck h 
 
No movimento circular uniforme os vetores r e v, são sempre perpendiculares entre si, 
então o módulo do vetor momento angular fica sendo: 
 
Com o postulado de Bohr, o momento angular fica: 
 
Se nós substituirmos a expressão para a velocidade dada pela equação(3), na equação 
(1), teremos: 
 
Encontrando assim o raio do átomo. Os termos dentro do parêntese, a equação acima 
são todos constantes bem conhecidas: 
 
Desta forma, ao realizar todos os cálculos iremos e transformar os valores em Angstron, 
encontraremos o raio do átomo de hidrogênio, que é dado pela equação: 
 
 
 
03) O modelo de Bohr também é um modelo planetário. 
a) Mostre que os raios das órbitas, supostas circulares, também são quantizados. 
R- – Sabendo que os átomos hidrogenóides são aqueles formados por um núcleo e um 
só elétron e possuir comportamento químico similar ao do hidrogênio. É considerado 
átomo hidrogenóide, quaisquer dos isótopos do hidrogênio, ou ainda, é considerado 
átomo hidrogenóide, o átomo, de qualquer elemento que se tenha ionizado até perder 
todos os elétrons menos um. 
 
b) Explique o que é o raio de Bohr e determine o seu valor. 
 
R- 
 
Simplificando temos que 
 
 
2
22
2
0
.
...4
..4
n
ezm
hR 





=
pi
εpi
2
22
2
0
.
...
.
n
ezm
hR
pi
ε
=
Fazendo a substituição do valor de R na equação do momento angular: 
2
2
2
0
.
...
...
n
ezm
hvmL
pi
ε
=
 
Tomando como referencia somente as grandezas dimensionais: 
2
2
0
..
...
em
hvm
L
ε
= 
E substituindo as grandezas dimensionais pelas unidades, conforme tabela ao lado: 
Massa → kg 
Velocidade → m/s 
Carga elétrica → C (coulomb) 
Força → N (Newton) que é igual a kg.m/s2 
Permissividade 0ε → C
2/N.m2=C2.S2/kg.m3 
Desta forma, ao simplificarmos, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) De acordo com o modelo de Bohr, a energia do átomo é quantizada e, para o átomo de 
hidrogênio pode ser escrita como: 
 
 
a) O que significam valores negativos de energia? 
R- Significa que o elétron está em um estado de ligação com o próton presente no núcleo. 
 
b) O que significa a dependência com o quadrado do nível de energia n? 
R- O que difere os níveis de energia do átomo de hélio ionizado e o átomo de lítio duplamente ionizado dos níveis 
de energia do átomo de hidrogênio, é que nos dois primeiros os estados de energia é positiva, nesse caso, o elétron 
não está mais ligado, mas em um estado desagregado. Já o átomo de hidrogênio, tem seu menor nível de energia (n 
,...3,2,1,6,13 - 2 == neVn
En
[ ] 23
222
....
....
Ckgmkgs
hsCmkgL =
[ ]
[ ]
[ ]
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]hL
hL
hLL
temosL
s
mkg
como
h
s
mkgL
mkg
hsL
=
=
=
=
=
=
22
2
2
2
2
2
2
.
.
.
.
.
= 1) o que corresponde a cerca de -13.6 eV. O próximo nível de energia (n = 2) é -3.4 eV. O terceiro (n = 3), -1.51 
eV, e assim por diante, aqui, estas energias são menores que zero. 
 
05) Qual seria a expressão para a energia quantizada, se em vez de um átomo de hidrogênio, 
considerássemos um átomo de hélio ionizado? 
 
 
06) Explique, cuidadosamente o que é: 
a) Energia de ligação Elig. 
Quando ocorrem reações químicas, ocorre também quebra das ligações existentes nos reagentes, mas 
novas ligações são formadas nos produtos. Esse processo envolve o estudo da variação de energia que 
permite determinar a variação de entalpia das reações. 
 
O fornecimento de energia permite a quebra de ligação dos reagentes, esse processo é endotérmico, 
mas à medida que as ligações entre os produtos se formam o processo muda: fica exotérmico. Por quê? 
Ocorre a liberação de energia. 
 
A energia liberada na formação de uma ligação é numericamente igual à energia absorvida na quebra 
desta ligação, portanto a energia de ligação é definida para a quebra de ligações. 
 
 
b) Energia de excitação Eexc. 
É necessária para elevar um sistema de seu estado estacionário(de menor energia) para um estado 
excitado. A cada diferente estado excitado está associado uma energia de excitação específica. Resulta 
da absorção de fotóns ou da colisão inelástica com outras partículas. 
 
c) Energia de ionização Eion. 
Energia de Ionização, também denominada de Potencial de ionização, corresponde à energia mínima 
necessária para retirar um elétron de um átomo ou íon no estado gasoso. O átomo ou íon só perderá 
elétrons se ele receber energia suficiente, que é a energia de ionização. 
d) Qual a diferença entre elas. 
De acordo co as respostas acima notasse que cada uma delas tem a sua particularidade que é a ligação 
entre as ligações o ganho de energia para excitar suas moléculase ganho ou perda de elétrons quando 
sobe para outro nível. 
– Sabendo que as energias de ionização, de ligação e de excitação são sempre valores 
positivos, temos que a Energia de ionização (EIon) é a energia que o átomo precisa 
receber para que seu elétron saia do estado inicial ou fundamental ni=1 e passe para o 
estado final nf= , dessa forma temos a variação dada por: 
 
Já a energia de ligação (ELig), descrita pela expressão: 
 
É aquela responsável pela saída do átomo de um estado excitado qualquer (n≠1) e passe 
para o estado nf= . 
E finalmente, a Energia de excitação (EExc) é a energia recebida pelo átomo para que seu 
elétron saia do estado fundamental ni=1 e passe para qualquer outro estado n≠1, 
conforme expressão: 
 
 
 
 
07) Construa um diagrama 
de níveis de energia 
para o átomo de 
hidrogênio. 
 
 
 
 
 
a)indique graficamente, que para qulquer que seja o nível de energia n, sempre 
teremos Eion. = Eexc. + Elig. 
 
 
c) Considere n=5 e 
verifique 
numericamente a 
afirmativa do item 
(a). 
 
 
08) Considere um 
elétron no estado fundamental de um átomo de hidrogênio. 
a) Determine a frequência desse elétron ao redor do núcleo do átomo. 
b) Determine em Ampères, o valor da corrente elétrica correspondente a esse 
movimento do elétron. 
Respostas: (a) 7 x 105 Hz; (b) 1,13 mA 
 
09) Anos antes do modelo de Bohr ser proposto com um modelo atômico, os 
espectroscopistas já apresentavam fórmulas empíricas para explicar as raias 
espectrais emitidas pelos gases. As raias da série de Balmer, foi a primeira a ser 
descoberta em 1885, 27 antes de Bohr propor o seu modelo quantizado de átomo. 
Além da série de Balmer, foram descobertas as séries de Lyman, de Paschen, 
Brackett e de Pfund. 
a) Identifique e descreva cada uma dessas séries espectrais. 
 
 
 
 
 
 
b) Explique cuidadosamente, como o modelo de Bohr explica a existência das séries e 
como ele elimina totalmente a necessidade de decorar cada uma das fórumas 
associada a cada uma delas. 
 
 
10) Trabalhar somente com fórmulas matemáticas não é nada interessante. Entretanto, 
não podemos abrir mão dessa ferramente tão poderosa que é a Matemática. Assim, 
trabalhe um pouquinho e demonstre que a quantização de energia proposta por Bohr, 
leva exatamente às expressões das séries espectrais. 
 
 
 
 
 
Onde R é a constante de Rydberg. 








−= 22
11R1
if nnλ
 
 
 
 
 
 
 
11) Determine a mínima energia que deve ser fornecida a um átomo de hidrogênio 
para que ele possa emitir a linha Hγ na série de Balmer? 
 
 
 
12) Considerando a situação do problema 11, determine quantas raias espectrais 
possíveis se pode esperar se o elétron finalmente cai para o estado fundamental? 
 
Duas raias espectrais que corresponde a cor vermelha e azul. 
 
13) Um fóton de energia igual a 12,1 eV é absorvido por um átomo de hidrogênio, 
originalmente no estado fundamental e leva esse átomo a um estado quântico excitado. 
Determine o número quântico desse estado. 
 
 
P/ n=2 En= -12,1/4= -3,025 
P/ n=3 En=- 12,1/9= - 1,344 
.... 
 
 
14)Um átomo de hidrogênio pode receber energia de valor 25,6 eV, por exemplo? 
Isso estaria violando a quantização de energia? JUSTIFIQUE. 
Certamente o valor de excitação é de 13,5 o limite tanto inferior como superior 
os elementos tendem a estar em seu ponto de equilíbrio o ponto de excitação é 
uma ação externa para ele poder chegar ao seu ápice e pular de orbital. 
 
15) A experiência desenvolvida por James 
Franck e Gustav Hertz, em 1914, forneceu 
evidências favoráveis ao modelo atômico de 
Bohr. Releia a Aula 4. Sobre este assunto. 
O resultado da experiência é mostrado na 
figura ao lado, que mostra o gráfico de da 
corrente elétrica I versus a ddp aplicada,V. O 
gráfico mostra claramente uma queda na 
corrente para valores da voltagem aplicada 
múltiplos de 4,9 V 
a) Explique cuidadosamete por que isso 
ocorreu. 
b) Como você pode justificar essas quedas na 
corrente baseado na quantizaçãod e energia, de 
acordo com o modelo de Bohr? 
R- a) e b) 
Frank e Hertz tiveram uma grande contribuição quando o assunto é estrutura atômica da matéria, eles 
fizeram um experimento que determinava a interação de elétrons quando eles passavam através de um 
gás de átomos. E através da figura acima, descreveram a medida da corrente I do ânodo como função de 
Va. 
Assim, a produção de uma energia cinética maior, produzida por uma alta voltagem de aceleração, dava 
razão para explicar porque o resultado de uma corrente maior fazia com que elétrons atingissem o 
ânodo. 
A colisão inelástica era a responsável por mandar o elétron de valência do mercúrio para o primeiro 
nível excitado, logo ele não consegue mais atravessar a região entre a grade e o ânodo, devido à 
diferença de potencial Vd, forçando a corrente I a atingir um mínimo. Mas se aumentarmos a diferença 
de potencial Va, para acima de 4,9 V, a energia cinética dos elétrons é novamente suficiente para que 
eles consigam vencer a diferença de potencial Vd, fazendo com que a corrente I volte a aumentar. 
Quando Va é duplicado, ou seja, 2 × 4,9 V, a energia cinética é tão alta que dois átomos em sucessão 
podem ser excitados pelo mesmo elétron, produzindo um segundo mínimo na corrente I, o que pode 
ser observado na figura acima, pois o gráfico de I versus Va apresenta máximos e mínimos 
equidistantes, a intervalos de 4,9 V. Observamos com isso o mesmo espaço entre os valores, ou seja, é 
possível observar 10 máximos sequenciais com o mesmo espaçamento de 4,9 V. 
Desta forma, os dados em analise mostram um efeito quântico, comprovando a Teoria de Bohr para o 
modelo quantizado do átomo, pois os elétrons não perdem nenhuma energia ou perdem algum 
múltiplo inteiro de 4,9 eV, eles, podem perder somente 4,9 eV para o átomo de mercúrio porque os 
níveis de energia do mercúrio são quantizados, assim como, o elétron perde um múltiplo inteiro de 4,9 
eV através de colisões com mais de um átomo e o átomo de mercúrio retorna para o estado 
fundamental através da emissão de um fóton com uma energia de 4,9 eV, onde seu comprimento de 
onda, quando se refere ao fóton é de aproximadamente 253 nm. 
 
 
 
16) Determine a máxima energia de um fóton emitida ou absorvida pelo átomo de 
hidrogênio. 
 
 
17) Imagine que a Terra em seu movimento de translação, obedece ao modelo de Bohr. 
Determine o número quântico da Terra em sua órbita em torno do Sol. Interprete seu 
resultado. 
Resposta: 2 x 1072 
 
18) Determine o máximo comprimento de onda de um fóton que um átomo de 
hidrogênio, em seu primeiro estado excitado pode absorver. 
 
 
 
 
 
 
 
19) De acordo com o modelo clássico, a radiação emitida por um átomo seria igual à 
frequência orbital de um elétron em seu movimento em torno do núcleo. No modelo de 
Bohr, as energias são quantizadas. Assim compare a frequência orbital de um elétron de 
um átomo de hidrogênio no nível n=3 com as frequências permitidas que esse átomo 
pode emitir. Discuta seu resultado. 
 
20)Imagine que a única força envolvida na interação entre o alétron e o núcleo de um 
átomo de hidrogênio fosse a força gravitacional. 
a) Determine, nessas condições, que tamanho teria um átomo de hidrogênio. Comente 
o seu resultado. 
b) Determine a energia do estado fundamental desse átomo hipotético. 
 
0
22963
54,0
12400
A=
=
λ
λ
Resposta: (a) 1,2 x 1029 mR= 4x3,14x6,62x10(-3)x8,85x10(-12)/9,31x10(-31)x1² 
R= 738,85x10(-15)/9,31x10(-31) 
R= 79x10(16) 
A= 3,14x(r)²/2 
A= 1,2x 10(29) m 
 
 
 
 
 
 
********************************************************************* 
 
Todas as questões têm igual valor: 0,5.. 
 
DADOS QUE VOCÊ PODE PRECISAR: 
 
 
Carga do elétron: e= 1,6 x 10 – 19 C 
Massa do elétron: me = 9,1 x 10 – 31 kg 
Massa do próton: mp=1,6726 x 10-27 kg 
Massa do neutron: mn =1,6750 x 10-27 kg 
Constante eletrostática: k = 9,0 x 109 N. m2/C2 
Constante de Rydberg: R= 
Constante gravitacional: G= 6,67 x× 10-11 m3 kg-1 s-2 
Cosntante de Planck: h=6,625 x 10-34 J.s 
 
 
1,0 eV=1,6 x 1019 J 
1,0 A=10-10m; 
1,0 fm = 10-15m 
 
 Bom trabalho!!!