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Aula Pilares final 2010

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ECC 1008 – ESTRUTURAS DE CONCRETO
PILARES
Exemplo de dimensionamento das armaduras
ELU – solicitações normaisç
Prof. Gerson Moacyr Sisniegas Alva
INTRODUÇÃO
Alterações na maneira de tratar o dimensionamento de pilares
Atualização da NBR 6118: 1978 para 2003; 2007
Utilização necessária e crescente dos recursos computacionais
Criação da norma de sismos: NBR 15421 (2006)
Ações horizontais (vento; sismo; desaprumo)
Realizar combinações de ações (incluindo horizontais em diversas direções)
(dimensionamento: verificação para todas as combinações)
Substituir modelo de viga contínua por modelo de pórticos
(incapaz de capturar deslocamentos horizontais)
Classificar pilares (canto, extremo; interno) apenas para identificação 
(incapaz de capturar deslocamentos horizontais) 
(impossibilita a avaliação dos efeitos globais de 2° ordem) 
Substituir ábacos por aplicativos para flexão oblíqua
(não recomendado para definir os momentos solicitantes) 
(softwares livres e comerciais)
EDIFÍCIO ANALISADO Pilar escolhido: P4
(entre fundação e 1° piso)
M t i i t t i
Distância entre pisos: 4,60m
(entre fundação e 1 piso)
Materiais estruturais:
Concreto C25
Aço CA-50 
(barras longitudinais)
Cobrimento: 3,0cm
Diâmetro máximo agregado
Pl t d f t t i d t d d FUSCO (1981)
= 19mm
Ações atuantes:
Planta de formas estruturais – adaptado de FUSCO (1981)
Já calculadas e combinadas
Combinações do ELU analisadas
Combinação 1: Vento à 90 graus como ação variável secundáriaCombinação 1:
1vento,qsob,qgd F84,0F4,1F4,1F ++=
Vento à 90 graus como ação variável secundária
Combinação 2: Vento à 90 graus como ação variável principal
1vento,qsob,qgd F4,1F98,0F4,1F ++= 1vento,qsob,qgd
Combinação 3:
F840F41F41F
Vento à 180 graus como ação variável secundária
2vento,qsob,qgd F84,0F4,1F4,1F ++=
Combinação 4: Vento à 180 graus como ação variável principal
2vento,qsob,qgd F4,1F98,0F4,1F ++=
Processadas em modelo de pórtico com posterior amplificação pelo γz
(Efeitos globais de 2° ordem)
Combinação 1: Combinação 3:
Esforços extraídos do modelo de pórtico (já inclui amplificação com γz)
kN2338NSd = kN2420NSd =
My Mx
Combinação 2:
My Mx
Combinação 4:ç ç
kN2108NSd = kN2357NSd =
My Mx My Mx
Q l é bi ã i ítiQual é a combinação mais crítica para o 
dimensionamento do pilar?
E os esforços de 2° ordem locais?E os esforços de 2 ordem locais?
Efeitos globais de 2° ordem Efeitos locais de 2° ordem
Ponto indeslocável
VIGAi Be
B
PILARPILAR
e2
eNM ×=∆
WM δ∆ ∑
Ponto indeslocável
VIGAi Ae
A
2Sd eNM ×=∆
(no elemento isolado)
d,hid,iWM δ×=∆ ∑
(na estrutura como um todo)
Por isso é que o dimensionamento é na realidade uma verificação para cada 
combinação...
EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO EM SALA DE AULAEXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO EM SALA DE AULA
Esforços da Combinação 1Esforços da Combinação 1
Proceder de forma similar para as demais combinações
COMPRIMENTO EQUIVALENTE el
Seção do pilar P4
Flexão em torno do eixo y:
⎧ 42325398⎩
⎨⎧ += l
ll hmenor oe No plano da estrutura (pórtico) analisada(o)
cm39862460o =−=l ⎩⎨
⎧ =+=
cm 460
cm42325398
menorel
cm460=l
cm423e =∴l
Analogamente, para flexão em torno do eixo x:
cm40852460 =−=l cm40852460o ==l
⎩⎨
⎧ =+=+=
cm460
cm47870408h
menor oe l
ll
cm460e =∴l
⎩ = cm460l
MOMENTOS MÍNIMOS DE 1° ORDEM
( )h03,0015,0NM dmin,d1 +=
Flexão em torno do eixo y:
( ) m.kN61,5225,003,0015,02338M min,d1 =×+×=,
Flexão em torno do eixo x:
( ) kN178470003001502338M ( ) m.kN17,8470,003,0015,02338M min,d1 =×+×=
COEFICIENTES bα
M 40,0
M
M40,060,0
A
B
b ≥+=α
Flexão em torno do eixo y:
M MkN9328M xM yM
0,1b =α momentos fletores menores que o momento mínimo
kN6152M
m.kN93,28MA =
m.kN61,52M min,d1 =
Flexão em torno do eixo x:
mkN43210M
m.kN82,16MB +=
m.kN43,210MA =
Positivo de tracionar mesma face que AM
631,0
43,210
42,1640,060,0b =×+=α
ÍNDICES DE ESBELTEZ
Flexão em torno do eixo y:
61,58
25
12423
h
12e =×==λ l
y
25h
sdA1
h
N/M5,1225
h
e5,1225 ×+×+
bb
1
hh
α=α=λ
2338/9328
62,25
0,1
25,0
2338/93,285,1225
1 =
×+
=λ
,
351 =λ9035 1 ≤λ≤Lembrando que
1λ>λComo Consideração obrigatória dos efeitos locais de 2° ordem 
locais em torno deste eixo
76221246012e ×λ l
Flexão em torno do eixo x:
76,22
70
12460
h
12e ===λ l
2338/43210N/M
17,42
631,0
70,0
2338/43,2105,1225
h
N/M5,1225
b
sdA
1 =
×+
=α
×+
=λ
1λ<λComo Podem ser desprezados os efeitos locais de 2° ordem locais 
em torno deste eixo
MOMENTO DE CÁLCULO DE 1° ORDEM
Momento usado nas amplificações dos métodos aproximados
Flexão em torno do eixo y:
Momento usado nas amplificações dos métodos aproximados
m.kN61,52M mind1 =
m.kN93,28MA =maiorM A,d1 = (Diagrama de momentos – modelo estrutural)
min,d1
m.kN61,52M A,d1 =
Flexão em torno do eixo x:
m.kN43,210MA =maiorM (Diagrama de momentos – modelo estrutural)
m.kN17,84M min,d1 =
AmaiorM A,d1 =
mkN43210M = m.kN43,210M A,d1 =
MOMENTO TOTAL PARA DIMENSIONAMENTO
VIGAi Be
B
Na seção crítica: ponto intermediário entre A e B
Ponto indeslocável
ç p
Efeitos locais de 2° ordem são máximos
Métodos aproximados da NBR 6118:
PILAR
e
Métodos aproximados da NBR 6118:
Pilar Padrão com curvatura aproximada
Pilar Padrão com rigidez κ aproximada
Ponto indeslocável
e2( )A,d1tot,Sd MãoamplificaçM =
VIGAi Ae
A(1°ordem + 2°ordem) (1°ordem)
Nas seções A e B: efeitos locais de 2° ordem podem ser desprezados
A,d1tot,Sd MM = (apenas 1°ordem)
Porém lembrar que os momentos nas extremidades já devem incluir os efeitos globais
de 2° ordem (ex: coeficiente γz; P-Delta global, etc) 
Método do pilar padrão com curvatura aproximada
Segundo os itens 15.8.3.3.2 e 15.8.3.3.3 da NBR 6118
p p p
Método do pilar padrão com rigidez κ aproximadap p g p
A seção crítica é a que comanda o dimensionamento segundo 
os métodos acimaos métodos acima
É impossível que assuma valores menores que A,d1M min,d1Metot,SdM
Flexão em torno do eixo y: 6158=λ 351 =λ>
MOMENTOS TOTAIS PARA DIMENSIONAMENTO (SEÇÃO CRÍTICA)
Obrigatório considerar Flexão em torno do eixo y: 61,58=λ 351λ>
Método do pilar padrão com curvatura aproximada
efeitos locais de 2°ordem
( ) h
005,0
5,0h
005,0
r
1 ≤+ν=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
cdc
Sd
fA
N=νCurvatura (1/r): Parcela de 2°ordem
Momento total máximo no pilar: 
(1° d 2° d )
A,d1
2
e
SdA,d1btot,Sd M r
1
10
NMM ≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+α= l
74802338 =⎞⎛=ν 14cm10002
005,0005,0 −−×
(1°ordem + 2°ordem) r10 ⎠⎝
( ) 748,0
4,1
5,27025 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛××
ν
⎞⎛
cm1000,2
25h
×==
( ) h
005,0cm1060,1
5,0748,025
005,0
r
1 14 <×=+×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− (ok!)
01=α cm423=l
Flexão em torno do eixo y (continuação):
cmkN5261M =0,1b =α cm423e =l
Ad1
2
e
SdAd1btotSd M
1NMM ≥⎠
⎞⎜⎝
⎛+α= l
cm.kN5261M A,d1 =
A,d1SdA,d1btot,Sd r10 ⎠⎜⎝
( ) cmkN11954106014232338526101M 42 =×××+×= −( ) cm.kN119541060,1
10
233852610,1M tot,Sd =×××+×=
Flexão em torno do eixo x: 76,22=λ 17,421 =λ< Pode-se desprezar efeitos locais de 2°ordem, 1 efeitos locais de 2°ordem
631,0b =α cm460e =l cm.kN21043M A,d1 =
A,d1A,d1btot,Sd MMM ≥α=
cm.kN1327821043631,0M tot,Sd =×=
cm.kN21043M tot,Sd =∴
Resumo da 
Combinação 1
Modelo de pórtico (incluindo γz) Total para o dimensionamento
Flexão em torno 
do eixo y (My):do eixo y (My):
Efeitos locais de 2°ordem
Flexão em torno
Momentos mínimos
Flexão em torno 
do eixo x (Mx):
Flexão em torno do eixo y: Flexão em torno do eixo x:
Neste caso específico, analisando-se os momentos totais no pilar:
Flexão em torno do eixo y: Flexão em torno do eixo x:
Confirmando: seção crítica (entre A e B) é aque comanda o dimensionamento
m.kN54,119My =
kN2338N = Esforços solicitantes a serem 
utilizados no dimensionamento 
à flexão composta oblíqua day
m.kN43,210Mx =
à flexão composta oblíqua da
Combinação 1
PRÉ-DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS
Taxa de armadura longitudinal sugerida (pré-dimensionamento da seção): %2=ρg g ( ) ρ
c
s
A
A=ρ ( )7025
A02,0 s×=
2
s cm35A =
Diâmetro das barras longitudinais:
dimmenor mm250
Escolhendo φ = 20mm para as barras longitudinais
8
dim menormm10 ≤φ≤ mm25,31
8
mm250 =
)cm14,3mm201( 2=φEscolhendo φ 20mm para as barras longitudinais
barras 15,11
143
35 = 2012φ
),( φ
14,3
Diâmetro dos estribos:
⎧ mm5
Escolhido φt = 5mm⎩⎨
⎧
φ≥φ 4/
mm5
t mm54/mm20 =
cm5,4
2
0,25,00,3
2
cd t
` =++=φ+φ+=
Espaçamento livre entre as barras:
mm102cm21002212 == mm102cm2,100,22,12 ==−
⎪⎨
⎧
φ≥
mm20
6118NBR
(ok!)
(ok!)
⎪⎩
⎨ φ≥
agreg,máxd2,1
6118NBR (ok!)
(ok!)
mm8,22mm192,1 =×
( )
Espaçamento máximo entre eixos das barras:
mm160cm16 = mm160cm16 =
mm5002502 =×
⎩⎨
⎧ ×≤
400mm
dim menor2
6118NBR
(ok!)
(ok!)⎩ 400mm (ok!)
VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA: Envoltória resistente vs solicitações
Seção não resiste!
Será necessário aumentar resistência da seção (dimensões, armadura, fck)
2014φAumentando um pouco a área de armadura longitudinal
Seção resiste!
%0,4%51,2 ≤=ρ (ok!) Combinação 1: ok!!!
Combinação 2:
Momentos extraídos do modelo Momentos totais para oMomentos extraídos do modelo 
de pórtico (incluindo γz)
Momentos totais para o 
dimensionamento
Com a seção obtida Verificar segurança:Com a seção obtida 
anteriormente
Verificar segurança: 
envoltória resistente vs solicitações da combinação 2
Observação: a rigor, cada combinação possui uma envoltória resistenteç g , ç p
Dependente do valor da força normal
Se não houver 
resistência suficiente
Aumentar resistência da seção 
(dimensões, armadura, fck)
Combinação 3, Combinação 4, .....
Mesmos procedimentos:
Segurança deve ser atendida em todas as combinações do ELU
Otimização (economia) também é desejável
Qual é a seção do pilar “que deve ir para a obra”?
(dimensões, armaduras, concreto fck)
(exemplo de situação comum nos trabalhos da disciplina)
É a seção que satisfizer todas as combinações do ELU
LEITURA SUGERIDA
NBR 6118 (2003;2007)( )
Item 15.6 até o item 15.8.3.3
Item 18.4
(instabilidade e efeitos de 2° ordem)
(detalhamento das armaduras de pilares)
Artigo da Revista Ibracon de Estruturas e Materiais – RIEM (v.3; n.2)
Desenvolvimento de uma ferramenta didática para o estudo da flexão 
composta oblíqua em seções quaisquer de concreto armado
http://www.ibracon.org.br/publicacoes/revistas_ibracon/riem/home.asp

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