Relatório de Queda Livre (Física Prática)

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OBJETIVO: 
Estudar o movimento de um corpo em queda livre e a partir desse estudo, determinar o módulo da aceleração da gravidade local.
INTRODUÇÃO:
Denomina-se Queda Livre o movimento vertical, próximo à superfície da Terra, quando um corpo de massa m é abandonado no vácuo ou em uma região onde desprezamos a resistência do ar. O movimento de queda livre foi estudado primeiramente por Aristóteles. Ele foi um grande filósofo grego que viveu aproximadamente 300 a.C. Aristóteles afirmava que se duas pedras caíssem de uma mesma altura, a mais pesada atingiria o solo primeiro. Tal afirmação foi aceita durante vários séculos tanto por Aristóteles quanto por seus seguidores, pois não tiveram a preocupação de verificar tal afirmação. 
Séculos mais tarde, Galileu Galilei, introduziu o método experimental e acabou por descobrir que o que Aristóteles havia dito não se verificava na prática. No seu experimento mais famoso ele repetiu o feito do filósofo e verificou que elas chegavam ao solo no mesmo instante. Assim, confirmou que a afirmação de Aristóteles estava errada, chegando à conclusão que o ar exerce grande influência na queda dos corpos. E tomamos hoje como verdade a seguinte afirmação: 
“Quando dois corpos quaisquer são abandonados, no vácuo ou no ar com resistência desprezível, da mesma altura, o tempo de queda é o mesmo para ambos, mesmo que eles possuam pesos diferentes.” 
O movimento de queda livre, como já foi dito, é um movimento uniformemente variado. Sendo assim, possui aceleração, sendo ela a aceleração da gravidade (g) e é variável para cada ponto da superfície da Terra. Porém para o estudo de Física, e desprezando a resistência do ar, seu valor é constante e aproximadamente igual a 9,8 m/s². 
E a equação que determina o movimento da queda livre é: 
Em que y0 é a posição inicial do objeto, V0 é a velocidade inicial de queda do objeto, a é o módulo da aceleração do objeto, que na queda livre é a aceleração da gravidade (g) e t é o tempo que o objeto permanece em queda livre. Sendo assim, a equação simplificada para queda livre é:
METODOLOGIA: 
MATERIAL UTILIZADO: 
Dispositivo para medição de tempo (fotogate), suportes, duas esferas metálicas, sendo uma de 13mm e outra de 16mm, trena e fita adesiva. 
PROCEDIMENTO: 
Figura 
1
 - Esquema de montagem do equipamento do experimentoPara realizar o experimento de queda livre, primeiramente ajustamos a altura do sensor 1 de acordo com os valores de y nas tabelas 1 e 2, depois posicionamos o sensor 2 diretamente abaixo do sensor 1 e o fixamos com fita adesiva para evitar possíveis erros. 
Em seguida posicionamos a esfera de 13mm no sensor1, resetamos o fotogate e a soltamos, e a partir do momento que o objeto entrou em queda livre, o fotogate dispara, iniciando assim a contagem de tempo e parando no momento em que a esfera atinge o sensor 2. Fizemos este processo duas vezes para cada altura, assim completando as colunas t1 e t2 de acordo com os tempos registrados. 
Analogamente, repetimos o processo para a esfera de 16mm. 
Tabela 1 – Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera de 13mm de diâmetro.
Tabela 2 - Dados coletados e calculados relativos à queda da esfera 16mm de diâmetro.
RESULTADOS, ANÁLISES E DISCUSSÃO
Primeiramente iremos explicar os dados apresentados na tabela 1 e 2. Para compensar as imperfeições no experimento adotamos as seguintes margens de erro: para y(m), como a menor divisão da trena (que foi o objeto utilizado para medição das alturas) é o milímetro, sua margem de erro é a metade dessa medida, ou seja, +/- 0,0005. E para os tempos t1 e t2, a precisão do fotogate está na casa dos milissegundos, e a margem de erro especificada é +/- 0,001. 
Para preenchermos a coluna do tempo médio fizemos a média aritmética dos tempos t1 e t2. Já na coluna da variação do tempo médio utilizamos a seguinte fórmula:
O tmed² foi calculado elevando tmed à segunda potência. E o Δtmed² foi calculado utilizando o método de propagação de erro por derivadas parciais, como mostra a fórmula:
Com as tabelas completas, podemos iniciar a construção do gráfico, que se encontra em anexo. 
A primeira coisa a se fazer na construção de um gráfico é colocar o título, que no nosso caso é y x tmed. Em seguida calculamos a escala de modo que o papel milimetrado seja melhor aproveitado. Sabemos que na vertical o papel possui 280mm, e na horizontal 180mm. 
Para calcular nossa escala vertical, percebemos que o valor máximo para y é 1,80m e o mínimo é 0,40m, logo a Δy=1,40m. Então 280mm do papel correspondem aos 1,40m do Δy. Fazendo uma regra de três, chegamos à conclusão de que nossa escala vertical é igual a 1mm para 0,005m. 
Para a escala horizontal, comparamos os valores máximos e mínimos das tabelas 1 e 2 e percebemos que o menor valor é 0,299 e o maior 0,687, encontramos Δt=0,388s. Então 180mm do papel correspondem aos 0,388s de t. Fazendo um regra de três, chegamos à conclusão de que nossa escala horizontal é igual a 1mm para 0,0022s.
(As contas para encontrar as escalas encontram-se anexas).
Assim, escrevemos no papel as escalas e colocamos como ponto inicial em t, 0,299s e final, 0,693s. E para y, colocamos como ponto inicial 0,40m e final 1,80m. 
Feito isto calculamos onde os pontos devem ser posicionados no gráfico encontrando Δy e Δt naquele ponto, e fizemos uma nova regra de três para encontrar as coordenadas de acordo com as escalas. Isto para todos os pontos. 
Para esfera de 13mm:
P1=(2,04;0)
P2=(37,5;40)
P3=(63,9;80)
P4=(85,7;120)
P5=(111,1;160)
P6=(130;200)
P7=(150,4;240)
P8=(167,5;280)
Para esfera de 16mm:
P1=(0;0)
P2=(36,4;40)
P3=(63,9;80)
P4=(85,2;120)
P5=(111,8;160)
P6=(128,18;200)
P7=(149,3;240)
P8=(173,4;280)
Depois de calculados os pontos da tabela 1, desenhamos o gráfico e fizemos o mesmo procedimento para a tabela 2. 
Percebemos que o gráfico é uma parábola, então para facilitar a análise dos dados é necessário linearizar a curva. E para isso, procedemos da seguinte maneira:
A fórmula para queda livre, como já mostramos é:
Que é a função de segundo grau responsável pela curva. Para linearizar, ou seja, adequar essa equação a equação de uma reta, precisamos transformá-la em uma equação de primeiro grau. 
Transformando t² em x. Desta forma a equação fica: 
Onde b representa os erros ou simplificações, sendo ele o significado físico da interseção de cada reta com o eixo vertical, e a equivale à metade do valor da gravidade. 
Para construir o gráfico linearizado calculamos a escala para tmed² da mesma forma que calculamos para tmed, porém analisando na coluna tmed² das duas tabelas, percebemos que o valor mínimo é 0,088 e o máximo é 0,459. E fazendo a regra de três chegamos à conclusão de que a escala é de um milímetro para 0,00207s²
A escala de y permanece a mesma do gráfico anterior. 
Feito isto calculamos onde os pontos devem ser posicionados no gráfico encontrando Δy e Δt naquele ponto, e fizemos uma nova regra de três para encontrar as coordenadas de acordo com as escalas. Isto para todos os pontos. 
Para esfera de 13mm:
P1=(1,40;0)
P2=(27,5;40)
P3=(49,95;80)
P4=(71,35;120)
P5=(99,13;160)
P6=(121,98;200)
P7=(148,02;240)
P8=(171,45;280)
Para esfera de 16mm:
P1=(0,09;0)
P2=(26,13;40)
P3=(49,95;80)
P4=(70,87;120)
P5=(99,90;160)
P6=(119,49;200)
P7=(146,52;240)
P8=(179,90;280)
Para análise pela melhor reta visual, escolhemos dois pontos arbitrários na reta da esfera de 13mm e outros dois pontos arbitrários na reta da esfera de 16mm. 
Para a esfera de 13mm os pontos foram: P1(20,30) e P2(155,250).
Para a esfera de 16mm os pontos foram: P1’(30,50) e P2’(150,250)
Para calcular a usa-se a fórmula:
E com isso encontramos o valor de a para a esfera de 13mm = 3,93m/s². 
Sendo a o coeficiente angular da equação, e para encontrar b (coeficiente linear), aplicamos na equação da reta o ponto P1. Sendo y=y1 e t=t1. Encontrando assim o valor de b igual a 0,041. Com isso chegamos à equação da reta que representa o movimentolinearizado de queda da esfera de 13mm:
O mesmo procedimento foi tomado para encontrar a equação da reta que representa o movimento linearizado de queda da esfera de 16mm: 
Se a equivale à metade do valor da gravidade, chegamos à conclusão de que o valor da aceleração da gravidade para a esfera de 13mm é 7,86m/s² e para a esfera de 16mm é 8,04m/s². 
Para calcularmos o erro relativo percentual utilizamos a seguinte fórmula:
Sendo assim, o erro percentual da gravidade encontrada para a esfera de 13mm é 19,63% e para a esfera de 16mm é 17,79%. 
Assim finalizamos nosso experimento e chegamos à conclusão de que o resultado obtido pelo nosso grupo não apresentou uma boa aproximação com a gravidade esperada. Esses erros teriam como causas, erro de calibragem do fotogate, erro de manuseio, nivelação mal feita do equipamento, entre outros.
Seria muito difícil conseguir valores ideais para as constantes citadas de acordo com a forma que o experimento foi realizado, apenas em laboratórios bem equipados e em condições especiais tais situações seriam alcançadas. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
FIS 224 – LABORATÓRIO DE FÍSICA
QUEDA LIVRE
Bruna Lisboa – 81857
Camila Franklin – 90746
Flávio de Matos – 91475
Viçosa –MG
Agosto 2016
BIBLIOGRAFIA:
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica
Plan1
	Esfera	y(m)	t1(s)	t2(s)	tmed +/- Δtmed	tmed² +/- Δtmed²
	Margem de erro	+/- 0,0005	+/-0,001	+/-0,001
	Esfera de 13mm	1.8000	0.667	0.664	0.6655	+/-	0.0015	0.4429	+/-	0.0020
	1.6000	0.629	0.627	0.628	+/-	0.001	0.3944	+/-	0.0013
	1.4000	0.584	0.583	0.5835	+/-	0.0005	0.3405	+/-	0.0006
	1.2000	0.549	0.534	0.5415	+/-	0.0075	0.2932	+/-	0.0081
	1.0000	0.485	0.486	0.4855	+/-	0.0005	0.2357	+/-	0.0005
	0.8000	0.433	0.442	0.4375	+/-	0.0045	0.1914	+/-	0.0039
	0.6000	0.380	0.379	0.3795	+/-	0.0005	0.1440	+/-	0.0004
	0.4000	0.301	0.302	0.3015	+/-	0.0005	0.0909	+/-	0.0003
Plan1
	Esfera	y(m)	t1(s)	t2(s)	tmed +/- Δtmed	tmed² +/- Δtmed² 
	Margem de erro	+/- 0,0005	+/-0,001	+/-0,001
	Esfera de 16mm	1.8000	0.687	0.67	0.6785	+/-	0.0085	0.4604	+/-	0.0115
	1.6000	0.624	0.627	0.6255	+/-	0.0015	0.3913	+/-	0.0019
	1.4000	0.577	0.581	0.579	+/-	0.002	0.3352	+/-	0.0023
	1.2000	0.55	0.536	0.543	+/-	0.007	0.2948	+/-	0.0076
	1.0000	0.484	0.485	0.4845	+/-	0.0005	0.2347	+/-	0.0005
	0.8000	0.437	0.438	0.4375	+/-	0.0005	0.1914	+/-	0.0004
	0.6000	0.379	0.375	0.377	+/-	0.002	0.1421	+/-	0.0015
	0.4000	0.299	0.295	0.297	+/-	0.002	0.0882	+/-	0.0012