19ªe20ª Aula TEXTO Espaços de Produto Interno e Processo de Granm Schmite

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Campus Pau dos Ferros-RN
Disciplina: Álgebra Linear
Professora: Mônica Sousa
Assunto: Espaços de Produto Interno e Processo de Granm-
Schimite
Data: 12 de outubro de 2016
1 Espaços de Produto Interno
Podermos operar com os vetores em um espaço vetorial nos levou a necessidade de
generalizar as noções de comprimento (ou magnitude), ângulo, distância e ortogonali-
dade, existentes em R3 à qualquer espaço vetorial, e com isso, como facilitar a obtenção dos
vetores, o que acontece quando conhecemos uma base ortonormal, conceito que depende da
ortogonalidade. Por isso, precisamos da seguinte definição:
Definição 1. Seja V um espaço vetorial real, não necessariamente de dimensão finita. Um
produto interno em V é uma função f : V × V → R tal que
f(u, v) = a
onde u, v ∈ V e representamos a por (u, v), e lemos "produto interno de u e v" ou "u interno
v", que satisfaz a propriedades a segui:
(a) (u, u) ≥ 0 e (u, u) = 0 ⇔ u = 0V ;
(b) (u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ V ;
(c) (u+ v, w) = (u, v) + (v, w), ∀u, v, w ∈ V ;
(d) (cu, v) = c(u, v), ∀u, v ∈ V e c ∈ R.
Por exemplo, para u =
[
u1
u2
]
e v =
[
v1
v2
]
em R2 definindo
(u, v) = u1v1 − u2v1 − u1v2 + 3u2v2
temos um produto interno em R2, pois
(a) (u, u) = u12 − 2u1u2 + 3u22 = (u1 − u2)2 + 2u22 ≥ 0 e
(u, u) = 0 ⇒ (u1 − u2)2 + 2u22 = 0 ⇒ (u1 − u2)2 = 0 e 2u22 = 0 ⇒ u1 = u2 e
u2 = 0 ⇒ u = 0V ;
(b) (u, v) = u1v1 − u2v1 − u1v2 + 3u2v2 = v1u1 − v2u1 − v1u2 + 3v2u2 = (v, u);
1
(c)
(u+ v, w) =(u1 + v1)w1 − (u2 + v2)w1 − (u1 + v1)w2 + 3(u2 + v2)w2
=(u1w1 − u2w1 − u1w2 + 3u2w2) + (v1w1 − v2w1 − v1w2 + 3v2w2)
=(u,w) + (v, w)
(d)
(cu, v) =(cu1)v1 − (cu2)v1 − (cu1)v2 + 3(cu2)v2
=c(u1v1 − u2v1 − u1v2 + 3u2v2)
=c(u, v)
donde as propriedade de produto interno são satisfeitas.
:::::::::::::
Observação: Notemos que um espaço vetorial pode ter mais do que um produto interno.
Agora, se a dimV = n, então todo produto interno é completamente determinado,
já que:
Teorema 1. Sejam S = {u1, u2, . . . , un} uma base de V e (u, v) um produto interno em V . Se
C = [cij ] onde cij = (ui, uj), então:
(a) C é simétrica;
(b) C determina (v, w) para todo v e w em V .
Assim, um produto interno em um espaço vetorial de dimensão finita pode ser
calculado usando o produto interno em Rn,
(v, w) = ([v]S , C[w]S) = [v]v
TC[w]S ,
ou seja, é a multiplicação da transposta do primeiro vetor de coordenadas por C e o
segundo vetor de coordenadas.
Por exemplo, em P1 para (p(t), q(t)) = 2a1b1+a2b1+a1b2+2a2b2 em relação a base ordenada
S = {t, 1} teríamos t = 1 · t+ 0 e 1 = 0 · t+ 1, daí
c11 = (t, t) = 2 + 0 + 0 + 0 e c12 = (t, 1) = 0 + 0 + 0 + 0
c21 = (1, t) = 0 + 0 + 0 + 0 e c22 = (1, 1) = 0 + 0 + 0 + 2
donde C = I2.
:::::::::::::
Observação:
2
1. A matriz C é chamada de matriz do produto interno em relação à base ordenada
S;
2. Uma matriz n×n simétrica C com propriedade de que xTCx > 0, ∀x ∈ Rn é dita positiva
definida;
3. Uma matriz definida positiva é não singular.
Por exemplo, Se C =
[
2 1
1 2
]
, então C é definida positiva, pois
xTCx =
[
x1 x2
] [ 2 1
1 2
][
x1
x2
]
= 2x1
2+2x1x2+2x2
2 = x1
2+(x1
2+2x1x2+x2
2)+x2
2 > 0.
Definição 2. Um espaço vetorial real com um produto interno definido nele é chamado de
espaço com produto interno. Se o espaço tem dimensão finita, ele é chamado de espaço
euclidiano.
Assim, tem-se:
Definição 3. Em um espaço com produto interno, definimos o comprimento de um vetor u
por
‖u‖ =
√
(u, u).
Por exemplo, se f(t) = 1 + t no espaço com produto interno das funções contínuas em [0, 1]
onde (f, g) =
∫ 1
0 f(t)g(t)dt, então seu comprimento é
‖f‖ =
√∫ 1
0
f(t)2dt =
√∫ 1
0
(t2 + t+ 1)dt =
1
3
+
1
2
+ 1− 0 = 5
6
.
Para o cosseno do ângulo precisamos:
Teorema 2. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Se u e v são vetores em um espaço com
produto interno V , então
|(u, v)| ≤ ‖u‖‖v‖.
Daí, obtemos que |(u,v)|‖u‖‖v‖ está entre −1 e 1 e definimos:
Definição 4. O ângulo entre dois vetores em um espaço com produto interno é tal que
cos θ =
|(u, v)|
‖u‖‖v‖ , 0 ≤ θ ≤ pi.
3
Por exemplo, Em P2 com (p(t), q(t)) =
∫ 1
0 p(t)q(t)dt tem-se ‖p(t)‖ =
√
49
3 , ‖q(t)‖ =
√
13
3 e
(p(t), q(t)) = −296 , donde
cos θ = − 29
2
√
19 · 13 .
Além disso,
:::::::::::::
Observação:
1. (Desigualdade triangular) Se u, v ∈ V , então ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖;
2. Definimos a distância entre u e v por d(u, v) = ‖u− v‖;
3. Dizemos que u e v são ortogonais se (u, v) = 0;
4. E um conjunto S é dito ortogonal se quaisquer dois vetores distintos em S forem
ortogonais. Será ortonormal se, além disso, forem de comprimento unitários.
Por exemplo, se x1 =

1
0
2
, x2 =

−2
0
1
 e x3 =

0
1
0
, então S = {x1, x2, x3} é ortogonal,
pois
(x1, x2) = −2 + 0 + 2 = 0 (x1, x3) = 0 + 0 + 0 = 0 (x2, x3) = 0 + 0 + 0 = 0.
Lembrando que o produto interno definido em R3 para u =

u1
u2
u3
 e v =

v1
v2
v3
 com (u, v) =
u1v1 + u2v2 + u3v3.
E um resultado importante, quando queremos obter bases com o mínimo de cál-
culo é:
Teorema 3. Se S = {u1, u2, . . . , un} é um conjunto ortogonal finito de vetores não nulos em
V com produto interno, então S é L.I.
Por exemplo, no exemplo anterior temos que S = {v1, v2, v3} é L.I.
2 Processo de Gram-Schmidt
Assim, em todo espaço euclidiano V podemos obter uma base S que é um conjunto
ortonormal, ou seja,
Definição 5. Dizemos que uma base S em um espaço vetorial de dimensão finita com produto
interno é uma base ortonormal, se for um conjunto ortonormal.
4
Dessa forma qualquer vetor em V é escrito sem muito esforço, pois basta conhecer uma
base e o produto interno do espaço, já que
Teorema 4. Seja S = {u1, u2, . . . , un} uma base ortonormal de um espaço euclidiano V e v um
vetor em V . Então
v = a1u1 + a2u2 + . . .+ anun
em que ai = (v, ui), para i = 1, 2, . . . , n.
Com isso precisamos garantir a existência de tal base, ou seja,
Teorema 5. (Processo de Gram-Schmidt) Se V é um espaço com produto interno eW 6= {0}
um subespaço de dimensão m, então exite uma base ortonormal T = {w1, w2, . . . , wm} de W .
Em sua demonstração vemos que para obter uma base ortonormal T , primeiro obtemos
uma T ∗ = {v1, v2, . . . , vm} fazendo:
1. Tomando uma base S = {u1, u2, . . . , um} qualquer de W ;
2. Escolhemos um vetor u1 para ser o v1 de T ∗;
3. Fazemos uma combinação linear v2 = a1u1 + a2u2 e obtemos os coeficientes tais que
(v1, v2) = 0;
4. Em seguida, tomamos uma combinação linear v3 = a1v1 + a2v2 + a3u3, obtendo os coefici-
entes tais que (v3, v1) = 0 e (v3, v2) = 0;
5. Novamente, tomamos uma combinação linear v4 = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4u4, obtendo os
coeficientes tais que (v4, v1) = 0, (v4, v2) = 0 e (v4, v3) = 0;
6. Seguimos nesse processo até obter vm.
E finalizando tomando os vetores de comprimento unitários na direção do vi, chamados
versores, obtendo wi = 1‖vi‖vi para os vetores da base ortonormal procurada T .
Por exemplo, se W = R4 com produto interno padrão, transformemos a base S = {u1, u2, u3},
onde
u1 =

1
1
1
0
 , u2 =

−1
0
−1
1
 , u3 =

−1
0
0
−1
 ,
em uma base ortonormal T = {w1, w2, w3}
(I) Tomamos v1 = u1 e fazemos
v2 = a1v1+a2u2 ⇒ (v1, v2) = a1(v1, v1)+a2(v1, u2) ⇒ 0 = a1(v1, v1)+a2(v1, u2)
5
(II) Escolhemos a2 = 1 e obtemos
v2 = u2 − (v1, u2)
(v1, v1)
v1.
Assim,
v2 =

−1
0
−1
1
−
(
−2
3
)

1
1
1
0
 =

−13
2
3
−13
1
 .
(III) Agora fazemos v3 = a1v1 + a2v2 + a3u3 obtendo
0 = (v1, v3) = a1(v1, v1)+a2(v1, v2)+a3(v1, u3) e 0 = (v2, v3)= a1(v2, v1)+a2(v2, v2)+a3(v2, u3)
(II) Escolhemos a3 = 1 e sabendo que (v1, v2) = 0 obtemos
v3 = u3 − (v1, u3)
(v1, v1)
v1 − (v2, u3)
(v2, v2)
v2.
Assim,
v3 =

−1
0
0
−1
−
(
−1
3
)

1
1
1
0
−
(
− 6
15
)

−13
2
3
−13
1
 =

−45
3
5
−15
−35
 .
(III) Obtemos assim T ∗ = {v1, v2, v3} ortogonal, também podemos tomar os múltiplos 3v2 e
5v3 que ainda teremos uma outra base T ∗∗ = {v1, 3v2, 5v3} ortogonal.
(IV) Multiplicando cada vetor em T ∗ pelo inverso de seu comprimento obtemos a base orto-
normal
T =


1√
3
1√
3
1√
3
0
 ,

− 1√
5
2√
5
− 1√
5
3√
5
 ,

− 4√
35
3√
35
1√
35
− 3√
35


Finalizando,
:::::::::::::
Observação:
1. Em cada estágio do processo de Gram-Schmidt, o conjunto ordenado {w1, . . . , wk} é
uma base ortonormal do subespaço gerado por {u1, . . . , uk}, 1 ≤ k ≤ n;
2. Um produto interno arbitrário em um espaço euclidiano V , quando expresso em fun-
ção das coordenadas em relação a uma base ortonormal, comporta-se como o produto
interno padrão de Rn.
6
3 Questões Dirigidas
Resolução dos exercícios da seção 5.3, página 281 do Kolman:
• Questões:
3., 15., 25. e 29.
E do exercício 11. da seção 5.4, página 292 do Kolman:
7
	Espaços de Produto Interno
	Processo de Gram-Schmidt
	Questões Dirigidas