LEi de Biot Savart

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Aula-09 
Campos Magnéticos 
Produzidos por Correntes 
Curso de Física Geral F-328 
2o semestre, 2013 
 Lei de Biot - Savart 
A
mT1026,1
A
mT104 670
⋅×≈⋅×= −−πµ
de maneira análoga, o campo 
magnético produzido por cargas 
em movimento (correntes) é: 
 Assim como o campo elétrico 
produzido por cargas é: 
r
r
dqr
r
dqEd 

3
0
2
0 4
1ˆ
4
1
πεπε
==
onde é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, é 
um vetor que vai de até o ponto P e 
ld

lid

2
0
3
0 ˆ
44 r
rlid
r
rlidBd ×=×=

π
µ
π
µ
r
é a permeabilidade do vácuo. 
Ed

Bd

, 
, 
⊗
r Ed

distribuição 
 de corrente 
distribuição 
 de carga 
rlid

Bd

 Campo num ponto P qualquer 
∫
×=
C r
rlidB 2
0 ˆ
4


π
µ
(Lei de Biot-Savart) 
2
ˆ
4 r
rlidBd o ×=


π
µ
B

x 
z 
lid

P 
r
⊗ Bd

y 
C 
θ
 Campo magnético de um fio retilíneo 
== 2
sen
4 r
dzidB o θ
π
µ
ββ 222 cosecsen Rr
r
R =⇒=
 Integrando-se: 
=−= ∫ ββπ
µ
π
d
R
iB sen
2
0
2
0
βββ dRdz
R
z 2coseccotg −=→=
R
iB
π
µ
4
0= (fio semi-
infinito) 
R
i
π
µ
2
0
 Neste caso, a lei de Biot-Savart 34 r
rlidBd o
 ×=
π
µ
Mas: 
se reduz a: 
Sentido do campo : dado pela regra 
da mão direita ou regra do saca-rolhas 
 (ver figura) 
B

i 
B

2
sen
4 r
dzio β
π
µ ( ) βθθπβ sensen- =∴=
r
β
ld

Bd

z 
i 
longo com corrente i 
 Campo magnético de um fio infinito 
i 
 As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais 
pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma 
dada distribuição de correntes no espaço. Como vimos, no 
entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da 
forma: 
corrente “entrando” no papel 
ld

i=0 
B

Observe que as linhas de são fechadas. B

 de uma corrente em um arco circular 
•  Calcular o campo magnético no ponto O. 
•  Para os segmentos e da figura, o produto é nulo 
(vetores paralelos e antiparalelos) 
•  No arco são perpendiculares. 
R
iB
π
ϕµ
4
0=
rld 

×
rld 

e
ϕ
B

onde é o ângulo central 
 subentendido pelo arco. Se 
, 
Neste caso: 
AA ′ CC ′
,CA
i 
i 
ld
rˆ
ϕ
:2πϕ =
R
iB
2
0µ= (campo no centro de uma espira) 
 Força entre dois fios condutores paralelos 
)ˆ(
2
ˆ
2
00 rdl
d
iield
d
iiBldiFd bbabbaabbba −=×=×= π
µ
π
µ
ϕ

 A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b: 
 O fio b, na presença de , fica sujeito a uma uma força dada por: 
 A força sobre um comprimento Lb do fio b vale: 
=
b
ba
L
F
d
ii ba
π
µ
2
0
Esta expressão possibilita a definição do ampère. 
ϕπ
µ e
d
iB aa ˆ2
0=

∫
×=
a
aa
a r
rldiB 2
0 ˆ
4


π
µ
(de atração, neste caso) 
aB

ϕeˆ
ib 
ia bb
ldi

aa ldi

d 
r
baF

)ˆ(
2
0 r
d
LiiF bbaba −= π
µ ou 
(módulo da força por unidade de comprimento) 
aB

aB

Bd

 
⊥Bd
⊥
+= BdBdzBd

||)(
)90(sen
4
0
2
0
r
dlidB
π
µ=
22
222 cose
zR
R
r
RzRr
+
==+= α
Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se: 
2/322
2
0
)(2
)(
zR
RizB
+
= µ
 
Campo magnético de uma bobina 
 Como a soma vetorial dos se anula: 
 O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser 
calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para 
calcular em pontos do eixo central da espira. B

Temos: 
∫∫ +== espira
dl
zR
iRdBzB 2/322
0
|| )(4
)(
π
µ
||Bd

r z 
ld

Bd

α∫∫ == cos)( || dBBdzB
 Campo magnético de uma bobina 
2/322
2
0
)(2
)(
zR
iRzB
+
= µ
3
0
2
)(
z
iAzB
π
µ=
3
2
0
2
)(
z
RizB µ≈
3
0
2
)(
z
zB µ
π
µ  =
 Para pontos afastados ( ): Rz >>
 (a bobina se comporta como um ímã – ver semelhança das linhas) 
 Lembrando que é a área da 
espira e é o seu momento de dipolo 
magnético: 
AR =2π
nAi ˆ=µ
Vimos: 
i 
≈
i B

 Circuitação de um campo vetorial 
•  Cada linha de é uma curva fechada. 
•  A determinação de pode ser feita em termos da sua 
circuitação. 
θϕ cosdlrd =
ididr
r
idBrBdl
C
0
00
22
cos µϕ
π
µϕ
π
µϕθ ==== ∫∫∫∫
r
iB
π
µ
2
0=Intensidade de : 
∫∫ =⋅
CC
BdlldB θcos

B

B

B

Mas, da figura: 
θ
ϕd
B

r
θcosdl
Circuitação de ao longo de um contorno C : ∫ ⋅
C
ldB

B

θ B

r
ld

C 
i 
 A lei de Ampère 
 A lei de Ampère é geral, mas a sua 
utilidade no cálculo do campo magnético 
 devido a uma distribuição de correntes 
depende da simetria da distribuição. 
envo
C
ildB µ=⋅∫

)(cos 21o21 iiBdliii
C
env −=⇒−= ∫ µθ
 Da figura ao lado tem-se: 
Então: 
( )21o iildB
C
−=⋅∫ µ

(lei de Ampère) 
ld

sentido de 
integração 
B

sentido de 
integração 
C 
C 
 Campo magnético de um fio infinito 
i 
ildB
C
0µ=⋅∫

 Em C, é paralelo a B

ld

e ∴=uniformeB

Lei de Ampère: 
=⋅=∫ rBdlB π2=⋅∫
C
ldB

⇒i0µ r
i
B
π
µ
2
0=
a bússola aponta sempre 
na mesma direção (norte 
 geográfico) 
a bússola aponta na 
direção de resultante B
 limalhas de ferro nas 
proximidades do fio 
ld

i=0 
C 
r 
ld

i 
B

B

00
11
cos iBdlldB µθ ==⋅ ∫∫

1cos0o =⇒= θθ
 possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma 
intensidade em todos os pontos a uma distância r do centro. 
 é paralelo a 
r
iB
π
µ
2
00= (fora do fio) 
B

ld

B

Curva 1 ( r>R ): 
00)2( irB µπ =
0i
ld

rBdlBBdl πθ 2cos
1
⋅== ∫∫
 Campo magnético de um fio cilíndrico 
longo com corrente 
Campo magnético de um fio cilíndrico 
(dentro do fio) 
B

 longo com corrente 
Curva 2 ( r<R ): 
 A corrente envolvida pela curva 2 
 (de raio r) é: 
2
2
0 R
riienv π
π=
⇒== 2
2
000)2( R
riirB env π
πµµπ r
R
iB 2
00
2π
µ=
O sentido de é dado pela regra da mão direita. 
ld

rBdlBBdl πθ 2cos
2
⋅== ∫∫
0i
Gráfico da intensidade de de um fio 
•  Para 
•  Para 
Rr ≤
Rr ≥
r
R
iB 2
00
2π
µ=
r
iB
π
µ
2
00=
: 
: 
 cilíndrico longo com corrente 
dentro fora 
B

Solenoides e Toroides 
•  Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é 
chamado de solenoide. 
•  O campo magnético do solenoide é a soma vetorial dos campos 
produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma. 
Solenoide compacto Solenoide esticado 
≈
ímã 
 
 O campo no interior de um solenoide é praticamente uniforme. As figuras 
abaixo mostram um solenoide ideal e um solenoide real. Em ambos os casos os 
campos fora do solenoide são muito fracos, em comparação com os do interior. 
 Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd: 
env
b
a
c
b
d
c
a
dC
iBhldBldBldBldBldB 0µ==⋅+⋅+⋅+⋅=⋅ ∫ ∫ ∫ ∫∫

00inB µ=
Havendo n espiras por unidade comprimento no solenoide: 
 
0nhiienv =
 Campo de umsolenoide 
 Campo de um toroide 
NildB
C
0µ=⋅∫

)2( rBldB
C
π=⋅∫

)toroide(
2
0
r
iN
B
π
µ
=
 A figura mostra o enrolamento de um toroide de N voltas, 
transportando uma corrente i. O campo é diferente de zero apenas 
no interior do toroide. Sua intensidade varia com r. 
 Aplicando-se a lei de Ampère para 
a curva tracejada em azul, tem-se: 
B

n
r
N ≈
π2
Note que como , esta expressão é parecida à do campo 
magnético de um “solenoide enrolado”. 
i 
i 
B

ld

Os exercícios sobre Lei de Ampère estão na página da disciplina : 
(http://www.ifi.unicamp.br). 
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III 
Aulas gravadas: 
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) 
 ou 
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin) 
Lista de exercícios do Capítulo 29 
F328 – 1S20123 19