Eletromagnetismo 1º Bim Densidade de Fluxo Elétrico UFJF

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Densidade de Fluxo Elétrico
Prof Daniel Silveira
Introdução
Objetivo
– Introduzir o conceito de fluxo 
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
– Introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade 
de fluxo elétrico
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
Conceito de Fluxo
Φ =(v.cosθ)A
Φ =v·A
Fluxo volumétrico= Vazão (volume por unidade de tempo) do ar através 
da espira por área
A) Incidência perpendicular
B) A componente perpendicular é v.cosθ
C) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v
Fluxo de um campo
É possível associar um vetor velocidade do vento a 
cada ponto do interior da espira
O conjunto de todos esses vetores é um campo de 
velocidades
A equação Φ =v·A pode ser interpretada como uma 
expressão para o fluxo do campo de velocidades 
através da espira
Interpretando desta forma, fluxo seria o produto de 
uma área pelo campo que existe no interior dessa 
área
Introdução
Michael Faraday (1791-1867)
– Autodidata, com apenas educação primária
– Grandes contribuições na química e na física
– Habilidade com experimentos
– Descobriu algumas leis que regem a eletricidade e o 
magnetismo
– Propôs a representação do campo elétrico através 
de linhas de força
• Recusado pelos matemáticos da época
• Provado posteriormente por Maxwell
Introdução
Michael Faraday
– Papel com limalha de ferro em cima e imã embaixo
– Há também linhas de força para campo elétrico?
Introdução
Michael Faraday
– Cargas opostas mergulhadas em óleo com 
barbantes finos
– Como medir este fluxo elétrico?
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Seja uma esfera metálica com carga +Q
– Colocando esta esfera no interior de outra esfera metálica
• Carga –Q induzida na parte interna
• Carga +Q induzida na parte externa
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Ligando a esfera à terra
• Carga positivas se deslocarão para a terra
• Esfera externa com carga negativa
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Faraday interpretou o fenômeno como um fluxo de 
deslocamento de cargas da esfera interna para a externa
– Este fluxo deve ser igual à carga total
– As trajetórias de deslocamento de carga são denominadas 
linhas de fluxo
Q=Ψ
Densidade de Fluxo Elétrico
Densidade de Fluxo 
Elétrico ( )
Medida de quantidade 
de linhas de fluxo por 
unidade de área
Grandeza vetorial que 
aponta na direção das 
linhas de fluxo
D
r
Densidade de Fluxo Elétrico
Esferas concêntricas
– Considerando uma esfera de 
raio r entre as duas esferas
– A carga total, i.e. o fluxo, 
dentro da esfera é Q e a 
área total é 4pir 2
– não depende do “corpo”, 
desde que r seja maior que 
este
D
r
Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem
– Considerando esfera interna centrada na origem com 
e esfera externa com
– Se a carga estiver localizada em
ra
r
QD r
r
24pi
=
0→r ∞→r
'r
r
( )
'
'
'4 2 rr
rr
rr
Q
rD rr
rr
rr
rr
−
−
−
=
pi
Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem
– Comparando com a equação do campo para uma 
carga pontual
– No espaço livre
– Da mesma forma, para uma distribuição volumétrica 
de carga
ra
r
QE r
r
2
04piε
=
ED
rr
0ε=
( ) ∫
−
−
−
=
vol
v
rr
rr
rr
dv
rD
'
'
'4
'
2 rr
rr
rr
rr
pi
ρ
Densidade de Fluxo Elétrico
Exemplo 3.1)
– Calcular densidade de fluxo ao redor de uma linha de 
carga uniforme de 8nC/m no eixo z no espaço livre
E3.1)
– Dada uma carga pontal de 60µC na origem, determine 
o fluxo elétrico total que passa através de 
• Porção da esfera de r =26cm limitada por 0<θ<pi/2 e 
0<φ<pi/2
• Superfície fechada definida por z =±26cm e ρ =26cm
• Plano z =26cm
Densidade de Fluxo Elétrico
E3.2)
– Calcular densidade de fluxo no ponto P(2,-3,6) 
produzido por
• Uma carga pontual QA=55mC em Q(-2,3,-6)
• Uma linha de cargas uniforme com ρL=20mC/m no eixo x
• Um plano em z =-5m com ρS =120µC/m2
Aplicações da Lei de Gauss 
Introdução
Lei de Gauss
Vamos usá-la para determinar a densidade de 
fluxo se a distribuição de cargas for conhecida
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície 
fechada é igual à carga total dentro da superfície
∫ ⋅=
S
S SdDQ
rr
Introdução
Solução se torna simples se escolhermos uma 
superfície fechada em que
– é normal ou tangente à superfície gaussiana
• se torna ou zero
– Quando não for zero, deve ser 
constante
SdDS
rr
⋅
SD
r
SdDS
rr
⋅ dSDS
SD
Aplicações da Lei de Gauss
Carga pontual: superfície esférica de raio r em 
torno da carga Q, será sempre 
perpendicular à superfície e constante
SD
r
∫∫∫ ==⋅=
esfera
S
esfera
S
S
S dSDdSDSdDQ
rr
∫∫ ∫ ==
pipi pi
θθpiθφθ
0
2
0
2
0
2 sen2sen drDddrDQ SS
24 rDQ Spi= ⇒= 24 a
QDS pi rS aa
QD r
r
24pi
=
Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição uniforme linear de carga ρL
– Superfície cilíndrica de raio ρ
com tampa em z=0 e z=L
– A carga total então será Q=ρLL
∫∫∫∫ ++=⋅==
basetopolado
S
S
SL dSdSdSDSdDLQ 00
rr
ρ
⇒=
piρ
ρ
2
L
SD
ρ
piρ
ρ
aD LS
rr
2
=
LDL SL piρρ 2=
A integração geralmente 
se limita à área da 
superfície onde D é 
normal
Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição superficial de cargas ρS
– Superfície cilíndrica, uma base
em cada lado da placa
– é perpendicular à placa
– A carga total então será Q=ρSA
2
S
SD
ρ
=
E
AADADSdDQ SSS
S
S ... ρ=+=⋅= ∫
rr
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Cilindros condutores
– Raio interno ρinterno= a
– Raio interno ρexterno= b
– Temos ρS na superfície externa do condutor interno
– Achar o campo elétrico pela lei de Coulomb é 
complicado
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para ρ < a
• Como o condutor é metálico, a carga 
na está na superfície
• A superfície gaussiana não envolve 
nenhuma carga
– Para ρ > b
• A carga total envolvida é zero
000 =⇒=⇒⋅== ∫ SS
S
S DDSdDQ
rrr
0=SD
r
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para a <ρ < b
• A superfície envolve a carga contida 
no condutor interno para 0<z<L
Pela lei de Gauss
SaLQ ρpi2=
LDaL SS piρρpi 22 = ⇒= ρ
ρS
S
aD ρρ
ρ
a
aD SS
rr
=
S
L
z
S aLdzadQ ρpiφρ
pi
φ
2
0
2
0
== ∫ ∫
= =
LDQ S piρ2=
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para a <ρ < b
• Se o condutor interno for um fio com
distribuição de carga ρL
LQ Lρ=
ρ
piρ
ρ
aD LS
rr
2
=
SL aρpiρ 2=
⇒=
ρ
ρS
S
aD
Forma idêntica a da linha infinita de cargas!
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Como a carga total nos dois 
condutores tem o mesmo módulo
ba QQ −=
SaSb b
a ρρ −=
SbSa bLaL ρpiρpi 22 −=
Aplicações da Lei de Gauss
Exemplo 3.2)
– Seja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm, 
b=4mm e Qa=30nC
• Ache a densidade de carga em cada condutor
• Determine e D
r
E
r
Lei de Gauss
E3.3)
– Seja nC/m2 no espaço livre. Determine:
• Campo elétrico em
• Carga total dentro da esfera r = 3
• Determine o fluxo total que deixa a esfera r = 4
rarD
rr 23,0=
( )oo 90,25,2 === φθrP
Lei de Gauss
E3.4)
– Calcule o fluxo total saindo de uma superfície cúbica 
formada por seis planos x,y,z =±5, para
• Duas cargas pontuais 0,1µC em (1, -2, 3) e 1/7µC em 
(-1,2,-2)
• Linha uniforme de carga pi µC/m em x=-2 e y=3• Superfície uniforme de carga 0,1µC/m2 no plano y=3x
Aplicações da Lei de Gauss
E3.5)
– Uma carga pontual de 0,25µC está localizada em r=0 
e superfícies uniformes de carga estão dispostas da 
seguinte forma: 2mC/m2 em r=1cm, -0,6mC/m2 em 
r=1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elétrico em
• r=0,5cm
• r=1,5cm
• r=2,5cm
– Que densidade de carga superficial uniforme deve ser 
colocada em r=3cm para que a densidade de fluxo 
elétrico em r=3,5cm seja nula
Divergente
Relaciona um campo vetorial com um campo escalar 
O divergente do campo vetorial é o produto escalar 
entre ∇ e 
( )zzyyxxzyx aDaDaDa
z
a
y
a
x
D rrrrrr
r
++⋅





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
D
r
D
r
z
D
y
D
x
DDD zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==⋅∇
rr
 div
Divergente
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas esféricas
( )
z
DDDD z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇ φρρ
ρ
ρ
φρ 11r
( ) ( )
φθθ
θ
θ
φθ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⋅∇
D
r
D
rr
Dr
r
D r
sen
1sen
sen
11 2
2
r
Divergente
A divergência de um campo vetorial dá como resultado 
o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que entra) por 
unidade de volume
O resultado é um escalar
vD ρ=⋅∇
r
←Carga por unidade de volume
0>⋅∇ D
r
0=⋅∇ D
r 0<⋅∇ D
r
Divergência
Exemplos
– Fluxo líquido de água através de qualquer superfície 
fechada é zero
• Água que entra, sai
• Divergência de velocidade é nula
– Ar se expande quando a pressão cai
• Divergência é maior que zero
Aplicações da Lei de Gauss
Lei de Gauss
Vamos aplicar a lei de Gauss a um elemento diferencial 
de volume em problemas que não possuem simetria
Isto servirá para determinar a divergência de um campo 
vetorial e para enunciar a primeira equação de Maxwell 
na forma diferencial
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é 
igual à carga total dentro da superfície
Divergência
Divergência informa quanto fluxo está deixando 
um volume por unidade de volume
– Fonte de densidade de fluxo positiva
– Fonte de densidade de fluxo negativa
– Não há fonte de densidade de fluxo
0>⋅∇ D
r
0=⋅∇ D
r
0<⋅∇ D
r
Primeira Equação de Maxwell
Sabemos que
então
A primeira equação de Maxwell estabelece que o fluxo elétrico 
por unidade de volume que deixa uma unidade de volume 
infinitesimal é igual a sua densidade volumétrica de carga
v
SdD
D S
v ∆
⋅
=⋅∇
∫
→∆
rr
r
0
lim QSdD
S
=⋅∫
rr
⇒=
∆
=⋅∇
→∆ vv v
QD ρ
0
lim
r
vD ρ=⋅∇
r Primeira Equação de 
Maxwell (Eletrostática)
Teorema da Divergência
A integral da componente normal a qualquer campo 
vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral 
da divergência desse campo vetorial através do volume 
limitado por uma superfície fechada
Relação entre uma integral dupla de superfície com 
uma integral tripla de volume
∫∫ ⋅∇=⋅
volS
dvDSdD
rrr
Teorema da Divergência
Fisicamente, podemos analisar este resultado como 
sendo preferível se preocupar com as consequências 
do que ocorre na superfície de um volume sem se 
importar com o fenômeno que está se desenvolvendo 
dentro deles
– O que diverge em uma célula
converge na adjacente
– Só contribui para o total
o que diverge na superfície
Teorema da Divergência
Exemplo 3.5
– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o 
campo
C/m2
e um paralelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3
yx axaxyD
rrr 22 +=
Teorema da Divergência
Exemplo proposto
– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o 
campo
C/m2
e um paralelepípedo ρ ≤5, 0 ≤ φ ≤ 0,1pi, 0 ≤ z ≤ 10
zaaaD
rrrr 222 25sen25cos2 ρφρφρ φρ +−=
Lista de Exercícios
Capítulo 3
– 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27, 
3.29