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1a Questão (Ref.: 201101775686) Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações. Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que (I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade. (II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo (a,b). (III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa identidade. (I) (III) (II) (I) e (II) (I), (II) e (III) 2a Questão (Ref.: 201101831805) Qual a única resposta correta como solução da ED : dydx=yx+1 ? lny=ln|x+1| lny=ln|x| lny=ln|x 1| lny=ln|1-x | lny=ln|x -1| 3a Questão (Ref.: 201101775685) A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é SOMENTE correto afirmar que (I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 . (II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y). (III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0 onde M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado. (I) (III) (I), (II) e (III) (II) (I) e (II) 1a Questão (Ref.: 201101889596) Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. dx+e3xdy=0 y=13e3x+C y=13e-3x+C y=ex+C y=12e3x+C y=e3x+C 2a Questão (Ref.: 201101775687) "As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima. Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que (I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita. (II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. (III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. (I) e (II) (I) (I), (II) e (III) (III) (II) 3a Questão (Ref.: 201101741488) Indique a solução da equação diferencial: dydx = 5x4+3x2+1. y=-x5-x3+x+C y=x5+x3+x+C y=5x5-x³-x+C y=x³+2x²+x+C y=x²-x+C 1a Questão (Ref.: 201101741492) Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação diferencial: xdx+ydy=0 x²- y²=C -x² + y²=C x + y=C x²+y²=C x-y=C 2a Questão (Ref.: 201101718902) Seja a equação diferencial 2dydx+3y=e-x. Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ? y=e-x+C.e-32x y=e-x y=e-x+2.e-32x y=e-x+e-32x y=ex 3a Questão (Ref.: 201101741360) A equação diferencial abaixo é de primeira ordem. Qual é a única resposta correta? cosΘdr-2rsenΘdΘ=0 rsec³Θ= c rcos²Θ=c rsen³Θ+1 = c rtgΘ-cosΘ = c r³secΘ = c 1a Questão (Ref.: 201101741495) Indique qual é a solução da equação diferencial: xdx+ydy=xy(xdy-ydx) 1+y²=C(lnx-x²) C(1 - x²) = 1 1+y²=C(1-x²) 1+y=C(1-x²) seny²=C(1-x²) 2a Questão (Ref.: 201101741319) Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a resposta correta: (1+x² )dy + (1+y2)dx = 0 y²-1=cx² y² +1= c(x+2)² y² = c(x + 2)² x+y =c(1-xy) y-1=c(x+2) 3a Questão (Ref.: 201101817847) Uma função f(x,y) é dita homogênea com grau de homogeneidade k quando f(tx,ty)=tkf(x,y) Verifique se a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a única resposta correta. Não é homogênea. Homogênea de grau 4. Homogênea de grau 1. Homogênea de grau 3. Homogênea de grau 2. 1a Questão (Ref.: 201101741490) Indique a solução correta da equação diferencial: dydx=7x³. y=7x³+C y=275x52+C y=7x+C y=- 7x³+C y=x²+C 2a Questão (Ref.: 201101669359) Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n: W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)= e2⋅x ; g(x)=senx e h(x)= x2+3⋅x+1 Determine o Wronskiano W(f,g,h) em x= 0. -2 -1 2 1 7 3a Questão (Ref.: 201101743518) Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: ey.(dydx+1)=1. lney-1=c-x lney =c y- 1=c-x ey =c-y ey =c-x 1. Encontre L{F(t)}=f(s)=L{(cosh(2t))/(cos2t)}ou seja a transformada de Laplace da função F(t)=cosh(2t)cos(2t) onde a função cosseno hiperbólico de t cosht é assim definida cosht=et+e-t2. Quest.: 1 s3s3+64 s2-8s4+64 s2+8s4+64 s4s4+64 s3s4+64 2. Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes. Quest.: 2 π4 0 π3 -π π 3. Aplicando a Transformada de Laplace na ED d2ydt2-7dydt+12y(t)=0 com as condições y(0)=1 e y'(0)= -1, indique qual a única resposta correta. Quest.: 3 Y(s)=S +8S2-7S+12 Y(s)=S-8S2-7S+12 Y(s)=S-8S2-7S -12 Y(s)=S-5S2-7S+12 Y(s)=S-8S2 +7S+12 1. Considere a função `F(s) = 28 / ( s^(2) + 6s + 25)`. Calcular a tranformada inversa de Laplace da função F(s). Quest.: 1 `7 * e^(3*t) * sen(4t)` `7 * e^(-3*t) * sen(4t)` `7 * e^(3*t) * ( sen(4t) + cos(4t)) ` `7 * e^(3*t) * cos(4t)` `7 * e^(-3*t) * cos(4t)` 2. Considere a função `F(s) = 4 / s^(5) + 2/ (s - 5)`. Calcular a tranformada inversa de Laplace da função F(s). Quest.: 2 `t^(4) / 24 + 2 * e^(-5t) ` `t^(4) / 6 + 2 * e^(5t) ` `t^(4) / 6 + 2 * e^(-5t) ` `t^(4) / 4 + 2 * e^(5t) ` `t^(4) / 4 + 2 * e^(-5t) ` 3. Calcule a Transformada Inversa de Laplace, `f(t)`, da função: `F(s) = 2/(s^2 + 9)`, com o uso adequado da Tabela: `L(senat) = a/(s^2 + a^2)`, `L(cosat) = s/(s^2 + a^2)` Quest.: 3`f(t) = 2/3sen(t)` `f(t) = 2/3sen(3t)` `f(t) = sen(3t)` `f(t) = 1/3sen(3t)` `f(t) = 2/3sen(4t)` 1. Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não homogênea a saber: dydx+y =senx Quest.: 1 2e-x - 4cos(4x)+2ex C1ex - C2e4x + 2ex C1e-x + 12(senx-cosx) C1e^-x- C2e4x + 2senx C1e-x - C2e4x - 2ex 2. Identifique no intervalo[ - π,π] onde as funções {t,t2, t3} são lineramente dependentes. Quest.: 2 t= π3 t=-π2 t=-π t=0 t= π 3. Seja f(t) = 1, t > 0. Qual das respostas abaixo representa a Transformada de Laplace da função f(t)? Quest.: 3 s 2s s³ s-1 , s>0 s² , s > 0 1. Para representar uma função em série de Fourier usa-se a fórmula: f(x)= a02 +∑(ancosnx+bnsennx) A expansão em série de Fourier da função f(x)=2x+1 com -π≤x≤π é Quest.: 1 2-∑(-1)nnsen(nx) 1-4∑(-1)nnsen(nx) 2-4∑(-1)nnse(nx) 2-∑(-1)nncos(nx) 1-4∑(-1)nncos(nx) 2. Considere a função F(x) = (Pi)^2 - x^(2), onde x varia no intervalo [-Pi , Pi]. Calcular a série de fourier associada a função F(x). O símbolo Pi representa a constante matemática de valor 3,1415926535... Quest.: 2 2 * (Pi)^2 / 3 + Somatório de n = 1 até Infinito ( ( 2 * (-1)^(n) ) / n^(2) ) 3 * (Pi)^2 / 2 + Somatório de n = 1 até Infinito ( ( -2 * (-1)^(n) ) / n^(2) ) 3 * (Pi)^2 / 2 + Somatório de n = 1 até Infinito ( ( -4 * (-1)^(n) ) / n^(2) ) 2 * (Pi)^2 / 3 + Somatório de n = 1 até Infinito ( ( -4 * (-1)^(n) ) / n^(2) ) 2 * (Pi)^2 / 3 + Somatório de n = 1 até Infinito ( ( -2 * (-1)^(n) ) / n^(2) ) 3. Calcule a Transformada Inversa de Laplace da função: F(s)=s2+3s+4(s-1)(s+2)(s+3), com o uso adequado da Tabela, indicando a única resposta correta: L(senat) =as2+a2, L(cosat)= ss2+a2, L(eat)=1s-a Quest.: 3 et-(23)e-(2t)+e-(3t) -(23)et-(23)e-(2t)+e-(3t) (23)et-(23)e-(2t)+e-(3t) (23)et-(23)e-(2t) (23)et +(23)e-(2t)+e-(3t) 1. Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a Transformada de Laplace de te4t e indique qual a resposta correta. Quest.: 1 1(s2-4)2 - 1(s-4)2 - 1(s +4)2 1(s-4)2 1(s +4)2 2. Seja f(t)=et+7 indique qual é a resposta correta de sua Transformada de Laplace. Quest.: 2 e7s e7s-1 e7 se7 e7s² 3. Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a Transformada de Laplace de te4t e indique qual a resposta correta. Quest.: 3 1(s +4)2 - 1(s-4)2 1(s-4)2 1(s2-4)2 - 1(s +4)2
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