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COMUNICAÇÃO ANALÓGICA E DIGITAL 2
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1
CAPÍTULO IV
CIRCUITOS E PRINCÍPIOS DE SINALIZAÇÃO PASSA-FAIXA
Este capítulo trata das técnicas de sinalização “passa-faixa”. Como
indicado no capítulo I, o sinal de comunicação passa-faixa é obtido por um
sinal banda básica digital ou analógico. Aqui neste capítulo são
desenvolvidos os princípios básicos da representação do sinal passa faixa e
do processo de modulação pelo uso da envoltória complexa. A envoltória
complexa é então usada para avaliar os espectros e potências dos sinais
passa-faixa.
A Segunda metade deste capítulo, que inicia na seção 4-8, usa esta teoria
passa-faixa para analisar e projetar blocos de componentes e circuitos que
são usados em sistemas de comunicações. Estes são os filtros,
amplificadores lineares e não lineares, conversores, moduladores, detetores
e phase-locked loops (PLL’s).
4.1. Representação por Envoltória Complexa de Formas de Onda
Passa- Faixa
· Qual é uma representação genérica para sinais passa-faixa digitais e
analógicos?
· Como representar um sinal modulado ?
· Como representar um ruído passa-faixa ?
Estas são algumas das questões que serão respondidas nesta seção.
Definições : Banda-básica ; Passa-faixa, e Modulação
Definição: Uma forma de onda banda-básica tem um espectro do módulo
que é diferente de zero para frequências na vizinhança da origem (f = 0) e
desprezível para outros valores.
Definição: Uma forma de onda passa-faixa tem o espectro de módulo que é
diferente de zero para frequências em alguma faixa concentrada em torno de
uma frequência f = + fc, onde fc >> 0. O espectro de módulo é desprezível
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para outros valores. A frequência fc é chamada de “frequência
deportadora”.
Para formas de onda passa-faixa o valor de fc, pode ser arbitrariamente
fixado por conveniência matemática em alguns problemas. Em outros, nos
problemas de modulação, fc é a frequência de um sinal oscilatório no
circuito transmissor, e é a frequência determinada do transmissor, por
exemplo, 850 kHz para uma emissora de radiodifusão AM.
Em problemas de comunicação, o sinal da fonte de informação é usualmente
um sinal banda-básica: por exemplo, uma forma de onda TTL (Transistor-
Transistor-Logic) proveniente de uma circuito digital ou um sinal de áudio
(analógico) proveniente de um microfone. O engenheiro de comunicações
tem o trabalho de construir um sistema que transfira a informação desta
fonte de sinal, m(t), para o destino desejado. Como mostrado na figura
4.1, isto usualmente requer o uso de um sinal passa-faixa, s(t), que tenha um
espectro passa-faixa que esteja concentrado em + fc, onde fc é selecionado
tal que s(t) se propague através do canal de comunicação (ou canal rígido ou
pelo espaço).
Definição:
Modulação é o processo de inserção da fonte de informação dentro de um
sinal passa-faixa com frequência de portadora fc, pela introdução de
perturbações de amplitude e/ou fase. Este sinal passa-faixa é chamado de
sinal modulado s(t), e o sinal em banda-básica da fonte é chamado de sinal
modulação m(t).
Exemplos de como a modulação é conseguida serão dados posteriormente
neste capítulo. Esta definição indica que a modulação pode ser visualizada
como uma operação de mapeamento que mapea a informação da fonte
dentro do sinal passa-faixa s(t) que será transmitido através do canal.
Ao passar pelo canal o sinal modulado é corrompido por ruído. O resultado
é uma forma de onda de passa-faixa de sinal mais ruído que esta disponível
na entrada do receptor, r(t) (ver figura 4.1). O receptor tem o trabalho de
tentar recuperar a informação que foi enviada a partir da fonte. m~ denota a
versão corrompida de m.
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Figura 4.1. Sistema de comunicação.
Representação por Envoltória Complexa
Todas as formas de onda passa-faixa, sejam provenientes de sinais
modulados, sinais de interferência, ou ruído, podem ser representados de
uma forma conveniente dada pelo teorema a seguir . v(t) será usado para
denotar a forma de onda passa-faixa (canonicamente); especificamente, v(t)
pode representar o sinal quando s(t) º v(t), o ruído quando n(t) º v(t), o sinal
mais ruído filtrado na saída do canal quando r(t) º v(t), ou qualquer outro
tipo de forma de onda passa-faixa. O símbolo º denota uma equivalência e o
símbolo 
D
= denota uma definição.
Teorema
Qualquer forma de onda passa-faixa pode ser representada por
[ ]tcje)t(gRe)t(v w= (4.1a)
Re í·ý denota a parte real de í·ý, g(t) é chamada de envoltória complexa de
v(t), e fc é a frequência portadora associada, em hertz, onde wc = 2p fc.
Além disso duas outras representações equivalentes são:
v(t) = R(t) cos [wc t + q(t)] (4.1b)
e
v(t) = x(t) cos wc t – y(t) senwct (4.1c)
onde
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g(t) = x(t) + jy(t) = |g(t)| ejÐg(t) º R(t) ejq(t) (4.2)
x(t) = Re íg(t)ý º Rt) cos q(t) (4.3a)
y(t) = Im íg(t)ý º R(t) senq(t) (4.3b)
)t(y)t(x)t(g)t(R 22 +º=
D
(4-4a)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=Ð=q -
D
)t(x
)t(y
tan)t(g)t( 1 (4-4b)
As formas de onda g(t), x(t), y(t), R(t) e q(t) são todas formas de onda
banda-básicas, e, com exceção de g(t), são todas formas de ondas reais.
R(t) é uma forma de onda real não-negativa. Portanto (4-1) é uma
transformação passa-baixas para passa-faixa.
Prova: Qualquer forma de onda física (não tem que ser periódica) pode ser
representada durante todo o tempo, To ® ¥, pela série complexa de Fourier.
o
n
n
o
tjn
n T/2 ,ec)t(v
o p=w= å
¥=
-¥=
w (4-5)
Portanto, porque a forma de onda física é real
{ } { } { }*e*nn 2
1
2
1
R usando e cc ·+·=·=-
þý
ü
îí
ì += å
¥
=
w
1n
tjn
no
oeccRe)t(v (4-6)
Portanto, porque v(t) é uma forma de onda passa-faixa, os cn têm módulos
desprezíveis para n na vizinhança de 0, em particular, co = 0. Portanto,
com a introdução de um parâmetro arbitrário fc , (4-6) fica:
( )
þ
ý
ü
î
í
ì
÷
ø
öç
è
æ= w
¥
=
w-wå tj
1n
tnj
n
cco eec2Re)t(v (4-7)
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tal que (4.1a) segue, com
( )å
¥
=
w-wº
1n
tnj
n
coec2)t(g (4-8)
Devido a v(t) ser uma forma de onda passa-faixa com espectro não-zero
concentrado próximo a f = fc, os coeficientes de Fourier Cn, são não-zero
somente para valores de n na faixa + n fo » fc. Portanto, a partir de (4-8)
g(t) tem um espectro que está concentrado próximo a f = 0. Isto é, g(t) é
uma forma de onda banda-básica. É também óbvio, a partir de (4-8) que
g(t) deve ser uma função complexa do tempo . Representando a envoltória
complexa em termos de duas funções reais em coordenadas cartesianas
temos:
)t(jy)t(x)t(g +º
onde x(t) = Reíg(t)ý e y(t) = Imíg(t)ý
x(t) é dito ser a modulação em fase associada com v(t) e y(t) é dito ser a
modulação em quadratura associada com v(t). Alternativamente, a forma
polar de g(t), representada por R(t) e q(t), é dada por (4-2), onde as
identidades entre as coordenadas cartesianas e polares são dadas por (4-3) e
(4-4). R(t) e q(t) são formas de onda reais e,além disso, R(t) é sempre não
negativa. R(t) é dita ser a modulação de amplitude (AM) em v(t), e q(t) é
dito ser a modulação de fase (PM) em v(t). É também compreendido que
se v(t) for uma forma de onda determinística, x(t), y(t), R(t) e q(t) serão
também determinísticas. Se v(t) for estocástica, por exemplo,
representando ruído passa-faixa, x(t), y(t), R(t), e q(t) serão processos
banda-básica estocásticos. Portanto, em geral, ruído passa-faixa inclui
tanto as componentes de ruído AM, R(t), como as componentes de ruído
PM, q(t). Isto será discutido posteriormente no Capítulo VI. A utilidade
da representação da envoltória complexa para formas de onda passa-faixa
não deve ser super valorizada. Em sistemas de telecomunicações
modernos, o sinal passa-faixa é freqüentemente particionado em dois canais,
um para x(t), chamado de canal I (em fase) e um para y(t), chamado de canal
Q (quadratura de fase).
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4.2. Representação dos Sinais Modulados
Como definido anteriormente, modulação é o processo de codificação da
informação da fonte m(t), sinal de modulação, em um sinal passa-faixa s(t),
sinal modulado. Consequentemente o sinal modulado é uma aplicação
especial da representação passa-faixa. O sinal modulado é dado por:
{ }tj ce)t(gRe)t(s w= (4-9)
onde wc = 2p fc. fc é a frequência portadora. A envoltória complexa
g(t) é uma função do sinal de modulação m(t). Isto é,
g(t) = g[m(t)] (4-10)
Portanto g[·] desempenha uma operação de mapeamento em m(t). Isto está
ilustrado na figura 4-1.
A tabela 4-1 nos dá uma visão do quadro do problema da modulação.
Exemplos da função de mapeamento g(m) são dados para modulação de
amplitude (AM), AM banda lateral dupla com portadora suprimida (DSB-
SC), modulação de fase (PM), modulação de frequência (FM), AM banda
lateral única e portadora suprimida (SSB-AM-SC), PM com banda lateral
única (SSB-PM), FM com banda lateral única (SSB-FM), banda lateral
única com envoltória detectável (SSB-EV), banda lateral única com lei
quadrática detectável (SSB-SQ), e modulação em quadratura (QM). Os
sinais modulados estão discutidos em detalhes no Capítulo V. Sinais
passa-faixa modulados digitalmente são obtidos quando m(t) é um sinal
banda-básica digital – por exemplo a saída de um circuito TTL (“transistor-
transistor-logic”).
Obviamente é possível usar outras funções g[m] que não estão listadas na
tabela 4-1. A questão é: São úteis? g[m] são funções as quais
desejamos que sejam fáceis de implementar e que apresentem as
propriedades espectrais que esperamos. Além disso, no receptor a função
inversa m[g] é requerida. A inversa deve ser de um único valor dentro da
faixa usada e deve ser facilmente implementada. O mapeamento deve
suprimir tanto ruído quanto for possível, tal que m(t) possa ser recuperado
sem corrupção.
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4.3. Espectro de Sinais Passa-faixa
O espectro de um sinal passa-faixa esta diretamente relacionado ao espectro
de sua envoltória complexa.
Teorema: Se uma forma de onda passa-faixa estiver representada por:
{ }tj ce)t(gRe)t(v w= (4-11)
então o espectro da forma de onda passa-faixa é
( ) ( )[ ]c*c ffGffG2
1
)f(V --+-= (4-12)
e a PSD da forma de onda é
( ) ( )[ ]cgcgv ffff4
1
)f( --r+-r=r (4-13)
onde
G(f) = Á[g(t)] e rg(f) é a PSD de g(t)
Prova:
{ } tj*tjtj ccc e)t(g
2
1
e)t(g
2
1
e)t(gRe)t(v w-ww +==
Portanto,
[ ] [ ] [ ]tj*tj cc e)t(g
2
1
e)t(g
2
1
)t(v)f(V w-w Á+Á=Á= (4-14)
Se usarmos Á[g*(t)] = G*(-f), a partir da tabela 2-1, e da propriedade de
translação de frequência da transformada de Fourier, Tabela 2-1, esta
equação fica.
( ) ( ) [ ]{ })ff(GffG
2
1
fV c
*
c +-+-= (4-15)
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que se reduz a (4-12).
A PSD para v(t) é obtido através da avaliação da autocorrelação para v(t).
{ } { }ñt+á=ñt+á= t+ww )tjtjv cc e)t(g Ree)t(g Re)t(v )t(v)t(R
Usando a identidade (ver Prob. 2-66),
Tabela 4-1 – Funções Envoltória Complexa para Vários Tipos de Modulação.
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)ccRe(
2
1
)ccRe(
2
1
)c(R )cRe( 121
*
21E2 +=
onde
,e)t(gc e e)t(gc )t(j1
tj
2
cc t+ww t+== temos
{ } { }ñt+á+ñt+á=t t+wwt+ww )t(jtj)t(jtj-*v cccc e )eg(t )t(gRe2
1
e )eg(t )t(gRe
2
1
)(R
Notando que á ñ e Re são operadores lineares, podemos trocar a ordem dos
operadores sem afetar o resultado, e a autocorelação fica:
{ } { }ñt+á+ñt+á=t www tjt2jtj*v ccc e e)t(g)t(gRe2
1
e)t(g)t(gRe
2
1
)(R
{ } { }tjt2jtj*v ccc e e)t(g)t(gRe2
1
e)t(g)t(gRe
2
1
)(R www ñt+á+ñt+á=t
Mas ág*(t) g(t + t)ñ = Rg(t). O segundo termo a direita é desprezível porque
t2senjt2cose cc
tj c w+w=w oscila muito mais rapidamente do que as
variações em g(t) g(t + t). Em outras palavras, fc é muito maior do que as
frequências em g(t), tal que a integral é desprezível. Isto é uma aplicação
do lema de Riemann-Lebesque do cálculo integral [Olmsted, 1961].
Portanto a autocorrelação se reduz a:
( ){ }twt=t cjgv eRRe2
1
)(R (4-16)
A PSD é obtida tomando-se a transformada de Fourier de (4-16) (isto é,
aplicando-se o teorema de Wiener-Khintchine). Observe que (4-16) tem a
mesma forma matemática do que (4-11) quanto t é substituído por t, tal que
transformada de Fourier tem a mesma forma do que (4-12). Portanto:
[ ] ( ) ( )[ ]c*gcgvv ffff4
1
)(R)f( --r+-r=tÁ=r
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Mas *gr (f) = Pg(f) desde que a PSD é uma função real. Portanto a PSD é
dada por (4-13).
4.4. Avaliação da Potência
Teorema:
A potência normalizada média total de uma forma de onda passa-faixa,
v(t), é:
( ) ( ) ( )ò
¥
¥-
ñá==r=ñá=r
2
vv
2
v tg2
1
)o(Rdfftv (4-17)
onde “normalizada” implica que a carga é equivalente a 1 W.
Prova: Substituindo v(t) em (2-67), temos:
ò
¥
¥-
r=ñá=r df)f()t(v v
2
v
Mas [ ] ò
¥
¥-
p- r=rÁ=t dfe)f()f()(R ft2jvv
1
v
tal que ò
¥
¥-
r= df)f()o(R vv
Também, de (4-16),
{ } )t(g Re
2
1
)o(R
2
v =
mas |g(t)| é sempre real, tal que
2
v )t(g2
1
)0(R =
Outro tipo de especificação de potência, chamada de potência de envoltória
de pico (PEP) é útil para especificações de transmissores.
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Definição: A potência pico de envoltória (PEP) é a potência média que
deve ser obtida se |g(t)| for mantida constante em seu valor de pico.
Isto é equivalente a avaliação da potência media em uma senóide de RF não
modulada que possua um valor de pico de Ap = max [v(t)], como é
prontamente visto da figura 5-1.
Teorema: a potência PEP normalizada é dada por:
[ ]2PEP )t(gmax2
1
P = (4-18)
A prova deste teorema segue aplicando-se a definição a (4-17). Como
descrito nos capítulos posteriores 5 e 8, a PEP é útil para especificar a
capacidade de potência dos transmissores de AM, SSB e de televisão.
Exemplo 4-1 – Sinal Modulado em Amplitude
Avalie o espectro do módulo para um sinal modulado em amplitude (AM).
Da tabela 4-1 a envoltória complexa de um sinal AM é:
g(t) = Ac[1 + m(t)]
tal que o espectro da envoltória complexa é:
G(f) = Ac d(f) + Ac M(f) (4.19)
Usando (4-9), obtemos a forma de onda do sinal AM
s(t) = Ac[1 + m(t)] cos wct
e, usando (4-12), o espectro AM
[ ])ff(M)ff()ff(M)ff(A
21
)f(S ccccc +++d+-+-d= (4-20a)
onde, porque m(t) é real, M*(f) = M(-f) e d(f) = d(-f), a função delta foi
definida como sendo par, foram usados. Suponha que o espectro do
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módulo, da modulação, seja uma função triangular, como mostra a figura 4-
2a . Este espectro pode ser proveniente de uma fonte de áudio onde as
baixas frequências estejam enfatizadas. O espectro AM resultante, usando
(4-20a), esta ilustrado na figura 4-2b. Note que, porque G(f – fc) e G*(-f –
fc) não se sobrepõem, o espectro do módulo é:
( )
( )ïïî
ïï
í
ì
<--++d
>-+-d
=
0f ,ffMA
2
1
)ff(A
2
1
0f ,ffMA
2
1
)ff(A
2
1
)f(S
cccc
cccc
(4-20b)
O 1 em g(t) = Ac[1 + m(t)] causa que funções delta ocorram no espectro em
f = + fc, onde fc é a frequência de portadora correspondente. Usando (4-17),
obtemos a potência de sinal média total.
2
s )t(g2
1
P =
[ ])t(m)t(m21A
2
1
)t(m)t(m21A
2
1
)t(m1A
2
1
P 22c
22
c
22
cs ++=++=+=
Se admitirmos que o valor DC da modulação é zero, como ilustrado na
figura 4-2.a, a potência de sinal média fica:
Figura 4-2 – Espectro do sinal AM - (a) Espectro do módulo para a modulação - (b) Espectro do
módulo do sinal AM.
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[ ]m2cs P1A2
1
P += (4-21)
{ 321
laterais bandas
nas potência
m
2
c
portadora
da potência
2
cs PA2
1
A
2
1
P +=
onde Pm = á m2 (t) ñ é a potência na modulação, m(t), 2cA2
1
 é a potência da
portadora, e 2cA2
1
 Pm é a potência nas bandas laterais de s(t).
4.5. Filtragem Passa-faixa e Distorção linear
Filtro Passa-Baixas Equivalente
Na seção 2-6 a técnica de função transferência geral foi descrita para o
tratamento de problemas de filtros lineares. Agora será desenvolvida
resumidamente uma técnica para o modelamento de um filtro passa-faixa
pelo uso de um filtro passa-baixas equivalente que tem uma resposta
impulsiva com valor complexo (ver figura 4-3a).
v1(t) e v2(t) são as formas de onda passa-faixa de entrada e saída, com as
correspondentes envoltórias complexas g1(t) e g2(t). A resposta impulsiva
do filtro passa-faixa, h(t), pode também ser representada por sua envoltória
complexa k(t). Além disto, como ilustrado na figura 4-3a, a descrição no
domínio da frequência, H(f), pode ser expressa em termos de K(f) com a
ajuda de (4-11) e (4-12). A figura 4-3b ilustra uma característica de
resposta em frequência passa-faixa típica, |H(f)|.
Teorema: As envoltórias complexas para a entrada, saída, e resposta
impulsiva de um filtro passa-faixa estão relacionadas por:
)t(k
2
1
 * )t(g
2
1
)t(g
2
1
12 = (4-22)
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Figura 4-3 – Filtragem passa-faixa.
onde g1(t) é a envoltória complexa da entrada e k(t) é a envoltória complexa
da resposta impulsiva. Também segue que
)f(K
2
1
 . )f(G
2
1
)f(G
2
1
12 = (4-23)
Prova: Sabemos que o espectro da saída é:
V2(f) = V1(f) H(f) (4-24)
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Devido a v1(t), v2(t), e h(t) serem formas de onda passa-faixa, o espectro
destas formas de onda estão relacionados aos espectros de suas envoltórias
complexas por (4-12); portanto (4-24) fica:
( ) ( )[ ]c*2c2 ffGffG2
1
--+-
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]c*cc*1c1 ffKffK2
1
ffGffG
2
1
--+---+-=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
----+---+---+--= )ff(KffGffKffGffKffGffK)ff(G
4
1
c
*
c
*
1
0
cc
*
1
0
c
*
c1cc1 444 3444 214444 34444 21
 (4-25)
Mas G1(f – fc) K*(-f – fc) = 0 porque o espectro de G1(f – fc) é zero na região
de frequências em torno de –fc , onde K*(-f – fc) é não-zero. Isto é, não há
sobreposição espectral de G1(f – fc) e K*(-f –fc) porque G1(f) e K(f) têm
espectro não-zero apenas em torno de f = 0 (isto quer dizer, em banda-
básica, como ilustrado na figura 4-3d. Similarmente, G*1 (-f – fc) K (f – fc) =
0. Consequentemente (4-25) fica:
( ) ( ) ( )úû
ù
êë
é ----+úû
ù
êë
é --=úû
ù
êë
é --+úû
ù
êë
é - c
*
c
*
1cc1c
*
2c2 ffK2
1
ffG
2
1
ffK
2
1
)ff(G
2
1
)ff(G
2
1
)ff(G
2
1
(4-26)
Pela expressão (4-12) temos:
[ ])ff(G)ff(G
2
1
)f(G c
*
2c22 --+-= ,
e
[ ])ff(K)ff(G)ff(K)ff(G
2
1
)f(K).f(G c
*
c
*
1cc12 ----+--=
Então:
)f(K)f(G
2
1
)f(G 12 =
Multiplicando por ½ de ambos os lados:
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)f(K
2
1
)f(G
2
1
)f(G
2
1
12 =
que é idêntico a (4-23), tomando-se a transformada de Fourier inversa, de
ambos os lados, (4-22) é obtida.
Este teorema indica que qualquer sistema de filtro passa-faixa pode ser
descrito e analisado usando-se um filtro passa-baixas equivalente como
ilustrado na figura 4-3d. Equações para filtros passa-baixas equivalentes
são usualmente muito menos complicadas do que para os filtros passa-faixa,
tal que o modelo de sistema de filtro passa-baixas equivalente é muito útil.
Devido a maior frequência ser muito menor no filtro passa-baixas
equivalente, ela é a base para os programa de computador que simulam
sistemas de comunicação passa-faixa.
Sabe-se que os filtros passa-faixa lineares podem produzir variações na
modulação de fase na saída q2(t), onde q2(t) = Ðg2(t), como uma função da
modulação de amplitude na envoltória complexa de entrada, R1(t), onde
R1(t) = çg1(t)ç. Isto é chamado de conversão AM para PM. Similarmente,
o filtro pode também causar variações na saída AM, R2(t), devido a PM na
entrada, q1(t). Isto é chamado de conversão PM para AM.
Devido a h(t) representar um filtro linear, g2(t) será uma versão linear
filtrada de g1(t); todavia, q2(t) e R2(t) - as componentes PM e AM de g2(t) –
serão uma versão filtrada não linear de g1(t), desde que q2(t) e R2(t) são
funções não-lineares de g2(t). A análise da distorção não-linear é muito
complicada. Apesar de muitas técnicas de análise terem sido publicadas na
literatura, nenhuma foi inteiramente satisfatória.
Panter [1965] apresenta um resumo de algumas destas técnicas, e um
“paper” clássico também é recomendado, Bedrosian e Rice, 1968. Além
disso as não-linearidades que ocorrem em um sistema prático também
causarão distorção não linear e efeitos de conversão AM para PM. Efeitos
não lineares podem ser analisados por várias técnicas, incluindo-se a análise
de série de potências; isto é discutido numa seção sobre amplificadores que
está mais adiante neste capítulo. Se um efeito não linear em um sistema
passa-faixa tiver que ser analisado, poderemos usar uma técnica de série de
Fourier que usa a transformada de Chebyshev [Spilker, 1977].