Física 2-05

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 2 – Questões 5 
Questão 1 
 
Uma onda senoidal propaga-se ao longo de 
uma corda. Um dado ponto da corda move-se 
desde o deslocamento máximo até o 
deslocamento zero num intervalo de tempo de 
0,2 s. Suponha que o comprimento de onda seja 
igual a 1,2 m. Determine: (a) o período, (b) a 
frequência, (c) a velocidade da onda. 
Resolução: 
a) Como o intervalo de tempo para o ponto se 
deslocar do ponto máximo até o zero, 
podemos concluir que o período vale: 
 
4 0,2 0,8T s= ⋅ = 
(1.1) 
 
Que é o intervalo de tempo para o ponto se 
deslocar: 1º do máximo para o zero; 2º do zero 
para o mínimo; 3º do mínimo para o zero e 4º do 
zero para o máximo. 
 
b) A frequência: 
 
11 1
1,25
0,8
s
T
υ −= = = 
(1.2) 
 
c) A velocidade da onda: 
 
11,2
1,5
0,8
v m s
T
λ −= = = ⋅ 
(1.3) 
 
Questão 2 
 
Uma onda, cuja frequência é igual a 400 Hz, 
possui velocidade de fase igual a 300 m∙s-1. (a) 
Calcule a distância entre dois pontos, sabendo 
que a diferença de fase entre eles vale 300. (b) 
Seja de 900 a diferença de fase entre dois 
deslocamentos produzidos num mesmo ponto; 
calcule o intervalo de tempo para que isto ocorra. 
Resolução: 
a) Previamente, determinemos o comprimento 
de onda desta onda: 
 
300 400
3
4
v
m
λ υ
λ
λ
= ⋅
= ⋅
∴ =
 
(2.1) 
 
Considere a figura abaixo como uma onda 
senoidal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A diferença de fase entre os pontos 1 e 3 é de 
3600 (2π Rad), cuja distância é de 0,75 m, de 
acordo com o resultado de (2.1). Logo, a distância 
entre dois pontos cuja diferença de fase é de 300 
(π/6 Rad) é de λ/12, ou seja: 0,0625 m ou 6,25 
cm. 
 
b) Se para uma diferença de fase igual a 2π Rad, o 
intervalo de tempo é de 1/400 = 0,0025 s; então 
para uma diferença de fase igual a π/2 Rad, o 
intervalo de tempo correspondente será de 
6,25·10-4 s. 
 
Questão 3 
 
Escreva a equação de uma onda que se 
propaga no sentido positivo do eixo Ox, sabendo 
os seguintes dados: 
∼ amplitude = 1,5 cm; 
∼ período = 0,04 s; 
∼ velocidade = 250 m·s-1; 
∼ para x = 0 e t = 0, y = 8 cm. 
 
1 2 3 
 
 
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2 
Resolução: 
Essa onda terá como comprimento de onda o 
seguinte valor: 
250
0,04
10 1000
v
T
m cm
λ λ
λ
= ⇒ =
∴ = =
 
(3.1) 
 
A equação para esta onda pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
2
2
m
x t
y y sen
T
ϕ
π
λ π
 = − −  
 
(3.2) 
 
Agora, para x = 0 e t = 0, temos: 
 
( )
0
0,8 1,5
32,2 0,18
sen
Rad
ϕ
ϕ π
= −
∴ = − ≅
 
(3.3) 
 
Assim, utilizando os resultados de (3.1), (3.3) em 
(3.2), teremos: 
 
1,5 2 0,09
1000 0,04
x t
y sen π
 
= − + 
 
 
(3.4) 
 
Questão 4 
 
(a) Um vibrador ligado a uma mola espiral 
produz uma onda senoidal que se propaga 
continuamente ao longo da mola. A frequência da 
fonte de vibração é igual a 20 Hz e a distância 
entre duas rarefações sucessivas na mola é igual 
a 20 cm. Calcule a velocidade da onda. (b) O 
deslocamento longitudinal máximo de uma 
partícula da mola é igual a 2,5 mm e a onda se 
move no sentido negativo do eixo Ox. Escreva a 
equação da onda. Suponha que a fonte da 
vibração esteja no ponto x = 0 e que nesse ponto 
o deslocamento no instante t = 0 seja nulo. 
Resolução: 
a) Utilizando a frequência e o comprimento de 
onda, teremos: 
 
1
20 20
400
v v
v cm s
λ υ
−
= ⋅ ⇒ = ⋅
∴ = ⋅
 
(4.1) 
 
b) Tomando os dados do enunciado, juntamente 
com o resultado de (4.1), teremos: 
 
( )
11
2 ; 20
2
0,25 0,314 125,7
m
x t
y y sen s
T T
y sen x t
ϕ
π
λ π
− = + + =  
∴ = +
 
(4.2) 
 
Questão 5 
 
Uma onda senoidal contínua propaga-se numa 
corda com velocidade de 50 cm·s-1. Verifica-se 
que o deslocamento das partículas da corda no 
ponto x = 10 cm varia com o tempo de acordo 
com a equação ( )5,0 1,0 4,0y sen t= ⋅ − em cm. A 
densidade linear da corda é 4,0 g·cm-1. (a) Qual é 
a frequência da onda? (b) Qual é o comprimento 
de onda da onda? (c) Escreva a equação geral que 
dá o deslocamento transversal das partículas da 
corda em função da posição e do tempo. (d) 
Calcule a tensão na corda? 
Resolução: 
a) Da equação temos: 
 
1 1
2 4 2
2
0,64s s
ω πυ πυ
υ
π
− −
= ⇒ =
∴ = ≅
 
(5.1) 
 
b) Utilizando a velocidade, e o resultado de (5.1) 
teremos para o comprimento de onda: 
 
50 0,64
78,1
v
cm
λ υ
λ
λ
= ⋅
= ⋅
∴ =
 
(5.2) 
 
c) Assim, utilizando o resultado de (5.2), 
poderemos determinar o número de onda k, logo: 
 
12
0,08k cm
π
λ
−= ≅ 
(5.3) 
 
 
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3 
Agora, da equação da onda, temos: 
 
1
0,08 10 1
0,2
k x
Rad
ϕ
ϕ
ϕ
⋅ − =
⋅ − =
∴ = −
 
(5.4) 
 
De posse dos resultados de (5.3) e (5.4), teremos: 
 
( )5,0 0,08 4,0 0, 2y sen x t= ⋅ − + 
(5.5) 
 
d) Com o valor da velocidade e também da 
densidade linear, teremos: 
 
( )
1
2
2
2
50 10
0,40
0,1
T
v
T
T N
µ
−
 
=  
 
⋅ =
∴ =
 
(5.6) 
 
Questão 6 
 
Prove que a inclinação de uma corda, em 
qualquer ponto, é numericamente igual à razão 
entre a velocidade da partícula e a velocidade da 
onda naquele ponto. 
Resolução: 
Considere a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere um pulso se propagando. Assim, a 
tangente do ângulo α vale: 
 
y
y ttg
xx
t
α
∆
∆ ∆= =
∆∆
∆
 
(6.1) 
Onde Δt é o intervalo de tempo que o pulso leva 
para percorrer Δx. Aqui, α é o ângulo da reta 
secante ao pulso. Agora se tomarmos o limite 
quando o intervalo de tempo tende a zero, a reta 
secante tenderá para uma reta tangente. E a 
tangente do ângulo α, tenderá para a razão entre 
as referidas velocidades instantâneas: 
 
0
y
t
x
y
vttg lim
x v
t
α
∆ →
∆
∆= =
∆
∆
 
(6.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 7 
 
Um aro circular uniforme feito com uma corda 
no sentido horário, na ausência de gravidade (ver 
figura). A velocidade tangencial é v0. Determinar 
a velocidade das ondas que se propagam nessa 
corda. (Sugestão: A resposta independe do raio 
do aro e da massa por unidade de comprimento 
da corda!). 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
A força centrípeta sobre o elemento de arco Δl 
será dada por: 
 
2cpF Tsenα= 
(7.1) 
 
Seja Δm a massa do referido elemento de arco. 
Assim, a força centrípeta sobre o elemento de 
arco pode ser expressa por: 
T T 
R 
2α 
α α 
ΔΔΔΔl 
α 
ΔΔΔΔyyyy 
ΔΔΔΔxxxx 
α 
 
 
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4 
 
2
0
cp
m v
F
R
∆ ⋅
= 
(7.2) 
 
Sendo o ângulo α muito pequeno, poderemos 
fazer a seguinte aproximação: 
 
2
l
sen
R
α α
∆
≅ = 
(7.3) 
 
Agora utilizando as expressões (7.1), (7.2) e (7.3), 
teremos: 
 
2
0
2
0
2
2
;
m vl
T
R R
T m
v
l
µ
µ
∆ ⋅∆
⋅ =
∆
= =
∆
 
(7.4) 
 
Mas 
T
µ
 é o quadrado da velocidade de 
propagação da onda na corda. Logo, v=v0. 
 
Questão 8 
 
Uma corda homogênea de massa m e 
comprimento L pende do teto. (a) Mostre que a 
velocidade de propagação de uma onda 
transversal na corda é função de y, a distância da 
extremidade inferior, e é dada por v gy=. (b) 
Mostre que o transcurso do tempo de uma onda 
transversal que se propaga ao longo da corda é 
dado por 2t L g= . (c) A massa da corda afeta 
os resultados de (a) e (b)? 
Resolução: 
a) A velocidade de propagação de uma onda em 
uma corda é dada por: 
 
1
2T
v
µ
 
=  
 
 
(8.1) 
 
Observando a figura abaixo, poderemos concluir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T y gµ= ⋅ ⋅ 
(8.2) 
 
Assim, de (8.1) e (8.2), teremos: 
 
1
2y g
v v yg
µ
µ
 ⋅ ⋅/= ∴ = 
/ 
 
(8.3) 
 
b) Para o intervalo de tempo teremos: 
 
( )
0
1
2
0
1
2
2
2
L
L
dy dy
dt t
v yg
yg
t
g
L
t
g
= ⇒ ∆ =
∆ =
 
∴∆ =  
 
∫
 
(8.4) 
 
c) Não. 
 
Questão 9 
 
Uma onda transversal senoidal é gerada em 
uma das extremidades de uma longa corda 
horizontal mediante uma barra que se desloca 
para cima e para baixo. Quando esta onda se 
propaga ao longo da corda, cada uma das 
partículas desta sobe e desce 
perpendicularmente à direção do movimento 
ondulatório. Determinar: 
(a) A velocidade e a aceleração de uma partícula 
localizada a 62 cm da extremidade. 
0 
y 
T 
 
 
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5 
(b) Demonstre que a velocidade máxima de uma 
partícula da corda, pela qual esteja passando uma 
onda senoidal, é mu y ω= . 
(c) A energia mecânica de cada partícula é a soma 
de suas energias cinética e potencial e é sempre 
igual ao valor máximo de sua energia cinética. 
Considere um elemento de corda, de massa xµ∆ , 
e demonstre que a energia por unidade de 
comprimento da corda é 
 
2 2 2
2l mE yπ µυ= . 
 
(d) Mostre finalmente, que a potência média ou 
média temporal de transmissão de energia, é o 
produto de El pela velocidade de onda. 
Dados: ym = 0,25 cm; k = 0,39 cm-1 e ω = 740 s-1 
Resolução: 
(a) Seja a forma geral da onda dada por: 
 
( ) ( )m my y sen kx t y sen k x vtω= − = − 
(9.1) 
 
Sendo y o deslocamento de uma partícula da 
corda, então, utilizando (9.1), teremos para a 
velocidade: 
 
( )m
y
u y cos kx t
t
ω ω
∂
= = − −
∂
 
(9.2) 
 
E para a aceleração, utilizando (9.2), teremos: 
 
( )
2
2
2 m
y u
a y sen kx t
t t
ω ω
∂ ∂
= = = − −
∂ ∂
 
(9.3) 
 
Substituindo os dados nas expressões de (9.2) e 
(9.3), teremos: 
 
( )185 24,2 740u cos t= − − 
(9.4) 
E 
 
( )413,69 10 24,2 740a sen t= − ⋅ − 
(9.5) 
(b) Da expressão de (9.2), o módulo da 
velocidade máxima ocorre quando 
( ) 1sen kx tω− = , logo: 
 
máx mu y ω= 
(9.6) 
 
(c) Para um elemento de corda, a energia cinética 
máxima será dada por: 
 
( )22
2 2
mm
x ymu
K
µ ω∆
= = 
(9.7) 
 
Sendo 2ω πυ= , teremos: 
 
2 2 2
2l m
K
E y
x
π µ υ∴ = =
∆
 
(9.8) 
 
(d) A força transversal exercida em um elemento 
da corda é dada pela seguinte expressão: 
 
T
y
F F
x
∂
= − ⋅
∂
 
(9.9) 
 
Onde F é a tensão da corda. Para a potência 
teremos: 
 
y y
P F
x t
∂ ∂ = − ⋅ ⋅ ∂ ∂ 
 
(9.10) 
 
Que é a componente transversal da força 
multiplicada pela velocidade. Com o auxílio das 
expressões (9.1) e (9.2), teremos, para (9.10), a 
seguinte expressão: 
 
( )2 2mP y k Fcos kx tω ω= − 
(9.11) 
 
A média no período é dada por: 
 
1 t T
t
P Pdt
T
+
= ∫ 
(9.12) 
 
 
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6 
Sendo a média de sen2x e cos2x igual a ½, 
teremos: 
 
2 2 2
2 mP y vπ υ µ= 
(9.13) 
 
Onde ( )
1
2
Fv µ= . Utilizando as expressões (9.8) 
e (9.13), podemos concluir: 
 
lP E v= ⋅ 
(9.14) 
 
 
Questão 10 
 
Uma fonte linear emite uma onda que se 
expande cilindricamente. Supondo que o meio 
não absorva energia, determine como (a) a 
intensidade e (b) a amplitude da onda dependem 
da distância à fonte. 
Resolução: 
(a) A relação da intensidade da onda é dada por: 
 
P
I
A
= 
(10.1) 
 
Onde I é a intensidade, P a potência e A é a 
área transversal à direção de propagação da 
onda. No caso de uma expansão cilíndrica, a área 
é dada por: 
 
2A r hπ= ⋅ 
(10.2) 
 
Logo, da expressão (10.1) e (10.2), podemos 
concluir: 
 
1I rα − 
(10.3) 
 
(b) Da expressão (9.13), temos que: 
 
2
mP yα 
(10.4) 
 
Temos também, das expressões (10.1) e (10.4): 
2
my Iα 
(10.5) 
 
Logo, de (10.3) teremos: 
 
2 1
1
2
m
m
y r
y r
α
α
−
−
∴
 
(10.6) 
 
Questão 11 
 
Duas ondas progressivas possuem a mesma 
amplitude (ym = 3 cm) e se propagam no mesmo 
sentido com a mesma velocidade de propagação 
(v = 15 cm·s-1). As duas ondas possuem o mesmo 
comprimento de onda (λ = 1,5 cm) e a diferença 
de fase entre elas é igual a (π/2) radianos. 
Obtenha a expressão da onda resultante destes 
dois movimentos oscilatórios. 
Resolução: 
Vamos previamente determinar a frequência e o 
número de onda das duas ondas: 
1
1
20
2
2
1,3
v rad s
k k cm
ω
λ ω π
π
π
π
λ
−
−
= ⋅ ⇒ = ⋅
= ⇒ =
 
(11.1) 
Agora podemos escrever a equação das duas 
ondas: 
 
( )1
2
3 1,3 20
3 1,3 20
2
y sen x t
y sen x t
π π
π
π π
= −
 = − − 
 
 
(11.2) 
 
Agora da superposição teremos: 
 
( )
( ) ( )
1 2
1 2
3 1,3 20
1,3 20 ;
2
1 1
2
2 2
6 cos 1,3 20
4 4
y y sen x t
sen x t
sena senb sen a b cos a b
y y sen x t
π π
π
π π
π π
π π
+ = − +
 − −  
± = ± ⋅
 ∴ + = ⋅ ⋅ − − 
 
∓
 
(11.3) 
 
 
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7 
Questão 12 
 
Determine a amplitude do movimento 
oscilatório resultante, quando se superpõem dois 
movimentos senoidais, que possuem o mesmo 
comprimento de onda e que se propagam com a 
mesma velocidade. As amplitudes valem 3,0cm e 
5,0 cm e a diferença de fase entre as ondas é igual 
a (π/3) radianos. 
Resolução: 
Sejam 
 
( )1
2
5
3
3
y sen kx t
e
y sen kx t
ω
π
ω
= −
 = − − 
 
 
(12.1) 
 
Faremos a seguinte substituição: 
 
kx t zω− = 
(12.2) 
 
Assim, utilizando o resultado de (12.2), 
poderemos escrever as equações de (12.1) da 
seguinte forma: 
 
1
2
5
3
3
y sen z
e
y sen z
π
=
 = − 
 
 
(12.3) 
 
Para a superposição, teremos, utilizando (12.3): 
 
1 2
5 3
3
y y y sen z sen z
π = + = + − 
 
 
(12.4) 
 
Agora, para obter a amplitude da onda resultante, 
ou seja, o ponto de máximo, teremos que obter a 
derivada de (12.4) e tornar nulo o seu valor. 
Assim, 
 
5 3
3
dy
cos z cos z
dz
π = + − 
 
 
(12.5) 
Agora, tornando nulo o resultado de (12.5), 
teremos: 
 
5 3
3 3
3 3
13
cos z cos z cos sen z sen
cos z sen z
π π = − +  
−
∴ =
 
(12.6) 
 
Utilizando o resultado de (12.6) na relação 
trigonométrica 2 2 1sen z cos z+ = , teremos: 
 
13 3 3
cos
14 14
sen z e z
−
= = 
(12.7) 
 
Agora utilizando os resultados de (12.7), em 
(12.4), teremos: 
1 2
13 13 1 3 3 3
5 3
14 14 2 14 2
65 33 98
14 14 14
7
y y y
y
y cm
  
= + = ⋅ + ⋅ − −      
= + =
∴ =
 
(12.8) 
 
Para provar que o resultado de (12.8) é um 
máximo, devemos obter a derivada segunda de 
(12.4) e avaliar o sinal para os valores dados em 
(12.7). Assim, teremos: 
 
2
2
2 2
2 2
5 3
3
98
0
14
d y
sen z sen z y
dz
d y d y
dz dz
π= − − − = − 
 
= − ∴ <
 
(12.9) 
 
Assim, o resultado dado por (12.8) é o máximo 
para (12.4). 
 
Questão 13 
 
Uma fonte S e um detector D de ondas de alta 
frequência estão no solo à distância d entre si. 
Verifica-se que uma onda recebida diretamente 
de S chega a D em fase com a onda refletida por 
uma camada horizontal situada à altura H. Os 
 
 
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8 
raios incidentes e refletidos formam ângulos 
iguais com a camada refletora. Se esta se elevar 
de uma distância h, nenhum sinal é recebido em 
D. Despreze a absorção na atmosfera e determine 
a relação entre d, h, H e o comprimento de onda λ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Considere a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
Assim, poderemos escrever: 
 
( )
1
2 2
2
1
2 2 2
4
1
4
2
d
a H
a H d
 
= + 
 
= +
 
(13.1) 
 
Para que ocorra uma interferência construtiva no 
detector D, a diferença de comprimento entre os 
caminhos d e 2a deve ser igual a um número 
inteiro de comprimento de ondas. Assim, 
utilizando o resultado de (13.1), teremos: 
 
( )
1
2 2 2
2
4
a d n
H d d n
λ
λ
− =
− − =
 
(13.2) 
 
Agora, como a camada horizontal foi deslocada 
para cima para uma distância H + h, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
1
2 2
2
1
2 22
4
1
4
2
d
a H h
a H h d
 
′ = + + 
 
 ′ = + + 
 
(13.3) 
 
Como ocorre uma interferência destrutiva no 
detector, nessa situação, a diferença de 
comprimento entre os caminhos d e 2a’ deve ser 
uma metade de comprimento de onda a mais do 
que na primeira situação. Logo, utilizando o 
resultado de (13.3), teremos: 
 
( )
1
2 22
1
2
2
1
4
2
a d n
H h d d n
λ
λ
 ′ − = + 
 
  + + − = +    
 
(13.4) 
 
Agora, podemos subtrair do resultado de (13.4) o 
resultado de (13.2). Assim: 
 
( )
( )
1 1
2 22 2 2 2
2 2 2 2
4 4
2
2 4 2 4
H h d H d
H h d H d
λ
λ
   + + − + =  
∴ = + + − +
 
(13.5) 
 
Questão 14 
 
Cinco ondas senoidais se propagam no mesmo 
sentido numa corda vibrante. Todas as ondas 
possuem a mesma amplitude (ym = 1 cm), o 
mesmo comprimento de onda (λ = 2 cm) e a 
mesma velocidade de fase (v = 4 cm·s-1). A 
diferença de fase entre duas ondas consecutivas é 
constante (φ = 200). Determine a amplitude e a 
defasagem da onda resultante em relação à 
primeira onda. 
Resolução: 
Dos dados fornecidos pelo problema teremos: 
 
1
1
1
2
2
2 4
k cm
v s
s
π
π
λ
λ υ ν
ω πυ π
−
−
−
= =
= ⋅ ⇒ =
= =
 
(14.1) 
H 
h 
d 
S D 
H 
d/2 
a 
∙ 
H+h 
d/2 
a’ 
∙ 
 
 
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9 
Utilizando os resultados de (14.1), poderemos 
escrever as equações das cinco ondas senoidais 
serão. 
 
( )1
2
4 ;
4 ;
9
y sen x t
y sen x t
π π
π
π π
= −
 = − − 
 
 
 
3
4
5
2
4 ;
9
3
4 ;
9
4
4 .
9
y sen x t
y sen x t
y sen x t
π
π π
π
π π
π
π π
 = − − 
 
 = − − 
 
 = − − 
 
 
(14.2) 
 
Somando as duas primeiras equações de (14.2), 
teremos: 
 
1 2
2 4
18 18
y y cos sen x t
π π
π π + = − − 
 
 
(14.3) 
 
Onde foi utilizada a relação: 
 
( ) ( )1 12
2 2
sen sen sen cosα β α β α β± = ± ∓ 
(14.4) 
 
De forma semelhante, somando as duas últimas 
equações de (14.2), teremos: 
 
4 5
7
2 4
18 18
y y cos sen x t
π π
π π + = − − 
 
 
(14.5) 
 
Agora utilizando os resultados de (14.3) e (14.5), 
teremos: 
 
1 2 4 5
2 4
18 18
7
4
18
y y y y cos sen x t
sen x t
π π
π π
π
π π
  + + + = − −   
 + − −  
 
 
1 2 4 5
3
4
18 18
2
4
9
y y y y cos cos
sen x t
π π
π
π π
∴ + + + = ⋅
 − − 
 
 
(14.6) 
 
Agora, utilizando a terceira equação de (14.2) e 
adicionando ao resultado de (14.6), teremos: 
 
]
1 2 4 5 3
1 2 4 5 3
3
4
18 18
2 2
4 4
9 9
3
4
18 18
2
1 4
9
y y y y y cos cos
sen x t sen x t
y y y y y cos cos
sen x t
π π
π π
π π π π
π π
π
π π
+ + + + = ⋅
   − − + − −   
   
∴ + + + + = +
 − − 
 
 
(14.7) 
 
Logo, para a amplitude, teremos: 
 
3
4 1
18 18
my cos cos
π π
= + 
(14.8) 
 
E a defasagem, 
 
02
40
9
π
φ = = 
(14.9) 
 
Questão 15 
 
Duas cordas de densidade linear μ1 e μ2 são 
ligadas no ponto x = 0 e esticadas sob tensão F. 
Uma onda ( )1 1y Asen k x v t= − , na corda de 
densidade μ1, alcança a junção das duas cordas, 
na qual a onda é parcialmente refletida e 
parcialmente transmitida à outra corda. Sejam 
( )1 1B senk x v t+ e ( )2 2C senk x v t− essa ondas, 
respectivamente. (a) Suponha que 
2 2 1 1
k v k v ω= = 
e que o deslocamento do nodo, proveniente das 
ondas incidente e refletida, seja idêntico ao 
provocado pela onda transmitida. Prove que A = 
B + C. (b) Admitindo que, na proximidade do 
nodo, ambas as cordas tenham a mesma 
 
 
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10 
inclinação (porquê), ou seja, que dy/dx da corda 
1 seja igual a dy/dx da corda 2, mostrar que 
 
 
2 1 1 2
2 1 1 2
k k v v
B A A
k k v v
− −
= =
+ +
 
 
 
Em que condições B é negativo? 
Resolução: 
 
a) Na junção, onde x = 0, teremos: 
 
( ) ( ) ( )
ReInc Ty y y
Asen t B sen t C sen t
A B C A B C
ω ω ω
+ =
− + = −
− + = − ∴ = +
 
(15.1) 
 
b) Na junção, teremos também: 
 
( )
( ) ( ) ( )1 1 2
1 1 2
cos cos cos
T
Inc R
dyd
y y
dx dx
Ak t Bk t Ck t
Ak Bk Ck
ω ω ω
+ =
− + = −
+ =
 
(15.2) 
 
Agora, utilizando o resultado de (15.1) em (15.2), 
Teremos: 
 
( )
( ) ( )
1 1 2
2 1 1 2
1 2 1 2
Ak Bk A B k
A k k A v v
B B
k k v v
+ = −
− −
= ∴ =
+ +
 
(15.3) 
 
Logo, para v2 > v1 ⇒ B < 0. Para a proposta desta 
questão, sendo B > 0, a onda refletida terá uma 
mudança de fase de 1800 com relação à onda 
incidente. 
 
 
Questão 16 
Considere uma onda estacionária que é a soma 
de duas ondas que se propagam em direções 
contrárias e, que a não ser por este fato, são 
iguais. Mostre que a energia em cada arco da 
onda estacionária é 2 22 my vπ µ υ . 
Resolução: 
Sendo a potência média dada por (9.13), teremos: 
 
2 2
1
2 m
E P T P
E y v
υ
π υ µ
= ⋅ = ⋅
∴ =
 
 
Questão 17 
 
Um arame de alumínio de comprimento l1 = 
60,0 cm e de 1,00 x 10-2 cm2 de área transversal 
está ligado a um arame de aço de mesma área 
transversal. O fio combinado, que suporta um 
bloco m de 10,0 kg de massa, é disposto, 
conforme a figura abaixo, de modo que a 
distância l2 que vai da junta até a polia, seja de 
86,6 cm. Uma fonte externa de frequência 
variável, produz ondas transversais no arame. (a) 
Determine a frequência mais baixa de excitação 
pela qual ondas estacionárias sejam produzidas 
de maneira que a junta no arame seja um nodo. 
(b) Qual é o número total de nodos observados 
nesta frequência, excetuando os dois das 
extremidades do arame? A densidade do 
alumínio é de 2,60 g·cm-3 e a do aço, 7,80 g·cm-3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) As frequências naturais de oscilação de um 
sistema são dadas pela expressão: 
 
; 1, 2,3,...
2
n F
n
l
υ
µ
= = 
(17.1)Determinaremos previamente, a densidade linear 
de cada material. Assim, temos: 
 
;
m
V A l A
V
ρ µ ρ= = ⋅ ∴ = ⋅ 
(17.2) 
 
l1 l2 
Alumínio Aço 
m 
 
 
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11 
Em que A é a área de secção transversal e ρ é a 
densidade do material. Desta forma, utilizando o 
resultado de (17.2), e os dados fornecidos, 
teremos: 
 
5 1 5 1
156 10 , 675,5 10Al Açokg m kg mµ µ
− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 
(17.3) 
 
O bloco de 10 kg oferece para os arames uma 
força de tração de 98 N. Agora, utilizando a 
expressão (17.1) e os resultados de (17.3), 
teremos para as frequências naturais para os 
arames: 
 
5
3 1
98
1,2 156 10
2,1 10
Al
Al
Al Al
n
n s
υ
υ − −
=
⋅
≅ ⋅ ⋅
 
(17.4) 
 
 
5
4 1
98
1,732 675,5 10
6,9 10
Aço
Aço
Aço Aço
n
n s
υ
υ − −
=
⋅
∴ = ⋅ ⋅
 
(17.5) 
 
Dos resultados de (17.4) e (17.5), podemos 
verificar que se nAl = 1 então nAço ≅ 3. Logo, a 
frequência mais baixa deve ser igual a 2,1·10-3 s-1. 
 
b) Para nAl = 1 teremos para o alumínio, dois 
nodos, um na parede e outro na junção (conforme 
exigência da questão). E para nAço = 3 teremos 
para o aço, quatro nodos, sendo os dois extremos 
e dois intermediários. Como na junção teremos 
nodos em comum para o alumínio e para o aço, 
no total, teremos 5 nodos. Excetuando-se os dois 
extremos, um na parede e o outro na roldana, 
ficam apenas 3 nodos.