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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA 
ANALÍTICA 
 
 Prof. Msc: Robson Ferreira 
 
Apresentação de Vetores 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
OPERAÇÕES COM VETORES - CONCEITO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Regra do polígono: 
ADIÇÃO DE VETORES SUBTRAÇÃO DE VETORES 
OPERAÇÕES COM VETORES - EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
BCAFd
CGABc
HGABb
BFDHa




)
)
)
)
coplanaressãoBCABh
EDBGg
DFAGf
HFACe
 CG e ,)
//)
||||)
)


A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Diga se é verdadeira ou falsa 
cada uma das afirmações abaixo: 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
BHBGFGEFHEc
BCBGBFb
BFDBEDa



)
)
)
Determine as somas que se pedem: 
OPERAÇÕES COM VETORES - EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
 
Álgebra de Vetores 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
ÁLGEBRA DE VETORES- CONCEITO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Dois vetores u e v de mesma direção são ditos paralelos se pertencem a mesma reta. 
ÁLGEBRA DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Achar um vetor x de módulo igual a 4 e de mesma direção que o vetor V =(6, –2, –3). 
ÁLGEBRA DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Achar um vetor x de módulo igual a 4 e de mesma direção que o vetor V =(6, –2, –3). 
𝑋 = 6𝑘, −2𝑘,−3𝑘 
Solução : 
𝑃𝑜𝑖𝑠 𝑋 // 𝑉 
ÁLGEBRA DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Achar um vetor x de módulo igual a 4 e de mesma direção que o vetor V =(6, –2, –3). 
𝑋 = 6𝑘, −2𝑘,−3𝑘 
Solução : 
𝑃𝑜𝑖𝑠 𝑋 // 𝑉 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 4 → 𝑋 = (6𝑘)2+(−2𝑘)2+ −3𝑘 2 
(6𝑘)2+(−2𝑘)2+ −3𝑘 2 = 4  36𝑘2 + 4𝑘2 + 9𝑘2 = 4 49𝑘2 = 4  𝑘 = 4/7 
ÁLGEBRA DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Achar um vetor x de módulo igual a 4 e de mesma direção que o vetor V =(6, –2, –3). 
𝑋 = 6𝑘, −2𝑘,−3𝑘 
Solução : 
𝑃𝑜𝑖𝑠 𝑋 // 𝑉 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 4 → 𝑋 = (6𝑘)2+(−2𝑘)2+ −3𝑘 2 
(6𝑘)2+(−2𝑘)2+ −3𝑘 2 = 4  36𝑘2 + 4𝑘2 + 9𝑘2 = 4 49𝑘2 = 4  𝑘 = 4/7 
𝑋 = 6𝑘, −2𝑘,−3𝑘  
24
7
, −
8
7
, −
12
7
 
Produto e Ângulo de Vetores 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
PRODUTO E ÂNGULO DE VETORES- CONCEITO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR 
PRODUTO E ÂNGULO DE VETORES- CONCEITO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
ÂNGULO ENTRE DE DOIS VETORES 
PRODUTO E ÂNGULO DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
O vetor 𝑣 = (−1,−1,−2) forma um ângulo de 60o com o vetor 𝐴𝐵 , onde A (0,3,4) 
e B(m, -1,2). Calcular o valor de m. 
PRODUTO E ÂNGULO DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
O vetor 𝑣 = (−1,−1,−2) forma um ângulo de 60o com o vetor 𝐴𝐵 , onde A (0,3,4) 
e B(m, -1,2). Calcular o valor de m. 
Solução : 
𝑣 = (−1,−1, −2)
𝐴𝐵 = (𝑚, 4,2)
 Cos 𝜃 = 
𝑣.𝐴𝐵
𝑣 𝐴𝐵
 Cos 60𝑜 = 
(−1,−1,−2).(𝑚,4,2) 
(−1)2+(−1)2+(2)2. (𝑚)2+(4)2+(2)2
 
PRODUTO E ÂNGULO DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
O vetor 𝑣 = (−1,−1,−2) forma um ângulo de 60o com o vetor 𝐴𝐵 , onde A (0,3,4) 
e B(m, -1,2). Calcular o valor de m. 
Solução : 
𝑣 = (−1,−1, −2)
𝐴𝐵 = (𝑚, 4,2)
 Cos 𝜃 = 
𝑣.𝐴𝐵
𝑣 𝐴𝐵
 Cos 60𝑜 = 
(−1,−1,−2).(𝑚,4,2) 
(−1)2+(−1)2+(2)2. (𝑚)2+(4)2+(2)2
 
1
2
= 
(−1,−1,−2). (𝑚, 4,2) 
(−1)2+(−1)2+(2)2. (𝑚)2+(4)2+(2)2
 1
2
= 
−𝑚 − 8
6. 𝑚2 + 20
 
PRODUTO E ÂNGULO DE VETORES- EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
O vetor 𝑣 = (−1,−1,−2) forma um ângulo de 60o com o vetor 𝐴𝐵 , onde A (0,3,4) 
e B(m, -1,2). Calcular o valor de m. 
Solução : 
𝑣 = (−1,−1, −2)
𝐴𝐵 = (𝑚, 4,2)
 Cos 𝜃 = 
𝑣.𝐴𝐵
𝑣 𝐴𝐵
 Cos 60𝑜 = 
(−1,−1,−2).(𝑚,4,2) 
(−1)2+(−1)2+(2)2. (𝑚)2+(4)2+(2)2
 
1
2
= 
(−1,−1,−2). (𝑚, 4,2) 
(−1)2+(−1)2+(2)2. (𝑚)2+(4)2+(2)2
 1
2
= 
−𝑚 − 8
6. 𝑚2 + 20
 
6𝑚2 + 120 = -2m-16 6𝑚2 + 120 = 4𝑚2+ 64m + 256 𝑚2 − 32𝑚 - 68 = 0 
𝑚 = 2 𝑚 =-34 
Produto Vetorial 
 Prof. Msc: Robson Ferreira 
PRODUTO VETORIAL - CONCEITO 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
MULTIPLICAÇÃO VETORIAL OU EXTERNA 
PRODUTO VETORIAL - EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Dados os vetores a =( –1,3,2) e b=(1,5,–2). Calcule as coordenadas dos vetor a x b . 
PRODUTO VETORIAL - EXERCÍCIO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Dados os vetores a =( –1,3,2) e b=(1,5,–2). Calcule as coordenadas dos vetor a x b . 
𝑎 𝑥𝑏 = 
𝑖 𝑗 𝑘
−1 3 2
1 5 −2
= −6𝑖 + 2𝑗 − 5𝑘 − 3𝑘 − 2𝑗 − 10𝑖 = −16𝑖 − 8𝑘 , 𝑖𝑠𝑡𝑜 é ⇒ (−16, 0, −8) 
Solução : 
Produto Misto 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
PRODUTO MISTO- CONCEITO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
MULTIPLICAÇÃO MISTA 
Dados os vetores u, v e w, o produto misto destes três vetores é o escalar 
representado por u x v . w. 
PRODUTO MISTO- EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor 
de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores AB , AC e AD . 
PRODUTO MISTO- EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor 
de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores AB , AC e AD . 
𝑉 = |[𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷]| = 
1 1 −7
−1 4 −3
−2 𝑚 + 2 −2
= −8 + 6 + 7𝑚 + 14 − 56 − 2 + 3𝑚 + 6 
Solução : 
PRODUTO MISTO- EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor 
de m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores AB , AC e AD . 
𝑉 = |[𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷]| = 
1 1 −7
−1 4 −3
−2 𝑚 + 2 −2
= −8 + 6 + 7𝑚 + 14 − 56 − 2 + 3𝑚 + 6 
𝑉 = |[𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐴𝐷]| = 10𝑚 − 40 
10𝑚 − 40 = 20 
10𝑚 − 40 = −20 
𝑚 = 6 
𝑚 = 2 
Solução : 
Equações da Reta 
Prof. Msc: Robson Ferreira 
EQUAÇÕES DA RETA- EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Observe o gráfico das retas r e s, de equações 3x + 2y = 4 e x + my = 3, 
respectivamente. A inclinação da reta s é: 
 a) -1/4 
b) 1/2 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
EQUAÇÕES DA RETA- EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
Observe o gráfico das retas r e s, de equações 3x + 2y = 4 e x + my = 3, 
respectivamente. A inclinação da reta s é: 
 
a) -1/4 
b) 1/2 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
4
1
.
4
3
4
3434:)
426623
2
1
)1(
2
1
,1
3:
)
1
3
14
4134
2
1
2)(3
2
1
,
423:
)








































angularcoef
x
yxyyxsiii
mmm
s
myxs
ii
aaa
ra
yxr
i
Solução : 
CCE 0005 – Cálculo Vetorial com Geometria Analítica 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
EP 1 :: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F 
EP 2 : 
EP 3 : 
EP 4 : 
EP 5 : 
EP 6 : m= 6 e m=2 
 BGc)2 BGb)2 EFa) 
RESP: 







7
12
,
7
8
,
7
24
x

 
m=–34 ou m=2 
(–16,0,-8) 
EP 7 : Letra a