Física 4-03

Prévia do material em texto

www.profafguimaraes.net 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 03 
 Questão 1
Um capacitor de placas paralelas, com 
armaduras circulares, está sendo carregado. 
Suponha que o vetor campo elétrico entre as 
placas possua módulo dado por: ܧ ൌ ܧ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ. 
Obtenha o módulo da indução magnética B em 
função da distância r ao centro da placa para os 
casos: (a) ݎ ൑ ܴ, (b) ݎ ൒ ܴ. 
Resolução: 
a) Para ݎ ൑ ܴ, teremos: රܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴ ൬݅ ൅ ߳଴ ݀Ȱா݀ݐ ൰ 
(1.1) 
Em que: 
 Ȱா ൌ නܧሬԦ ή ݀ܣԦ 
(1.2) 
Em (1.1) a corrente de condução é nula e a 
integração será sobre um contorno circular de 
raio r entre as placas. Assim, teremos: 
ܤ ή ʹߨݎ ൌ ߤ଴߳଴ߨݎଶܧ௠ ݀൫ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ൯݀ݐ � ׵ ܤ ൌ ߤ଴߳଴ݎܧ௠߱ʹ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ 
(1.3) 
b) Utilizando (1.1): 
ܤ ή ʹߨݎ ൌ ߤ଴߳଴ߨܴଶܧ௠ ݀൫ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ൯݀ݐ � ׵ ܤ ൌ ߤ଴߳଴ܴଶܧ௠߱ʹݎ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ 
(1.4) 
 
 Questão 2
Você dispõe de um capacitor de 500 pF. Como 
seria possível obter uma corrente de 
deslocamento instantânea de 0,01 mA entre as 
placas do capacitor? 
Resolução: 
A corrente de deslocamento é dada por: 
 ݅ௗ ൌ ߳଴ ݀Ȱா݀ݐ 
(2.1) 
 
Em que Ȱா é o fluxo do campo elétrico dado por 
(1.2). Podemos escrever o campo elétrico em 
função da voltagem. Assim, teremos: 
 ܧ ൌ ܸ݈ 
 (2.2) 
 
Utilizando (1.2), (2.1) e (2.2), teremos: 
 ݅ௗ ൌ ߳଴݀ܣ ή ܸ݀݀ݐ 
(2.3) 
 
Em (2.3), 
ఢబ஺ௗ ൌ ܥ (Capacitância para um capacitor 
de placas paralelas). Assim, teremos: 
 ݅ௗ ൌ ܥ ή ܸ݀݀ݐ 
(2.4) 
 
Substituindo os dados numéricos em (2.4), 
teremos: 
 ܸ݀݀ݐ ൌ ݅ௗܥ ൌ ͳͲହͷ ൌ ʹͲͲͲͲ�ܸ ή ݏିଵ 
(2.5) 
 
 Questão 3
 
Mostre que para o capacitor da questão 1, a 
densidade de corrente de deslocamento é dada, 
para ݎ ൏ ܴ, por: 
 ܬௗ ൌ ߳଴ ௗாௗ௧ . 
Resolução: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
2 
A densidade de corrente de deslocamento é dada 
por: ܬௗ ൌ ݅ௗܣ�� ܬௗ ൌ ߳଴ߨܴଶߨܴଶ ή ݀݀ܧݐ �� ׵ ܬௗ ൌ ߳଴ ή ݀݀ܧݐ 
(3.1) 
 Questão 4
O capacitor da figura 4.1, consistindo de duas 
placas circulares de área ܣ ൌ ͲǡʹͲ�݉ଶ está ligado a 
uma fonte de potencial ࣟ ൌ ࣟ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ com ࣟ௠ ൌ ͶͲͲ�ܸ�݁�߱ ൌ ͳͷͲ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ. O valor máximo 
da corrente de deslocamento é ݅ௗ ൌ Ͷǡͷ ή ͳͲିହ�ܣ. 
Despreze os efeitos de borda do campo elétrico 
nas extremidades das placas. Calcule (a) o valor 
máximo da corrente i, (b) o valor máximo de 
ௗ஍ಶௗ௧ , 
sendo Ȱா o fluxo elétrico através da região entre 
as placas, (c) a separação d entre as placas, (d) o 
valor máximo do módulo de B entre as placas e a 
uma distância ݎ ൌ ͲǡͳͲ�݉ do centro. 
 
Figura 4.1 
Resolução: 
a) A corrente máxima é igual à corrente de 
deslocamento máxima: ݅௠ž௫ ൌ ݅ௗǡ௠ž௫. 
b) Da relação (2.1), teremos: ݀Ȱா݀ݐ ฬ௠ž௫ ൌ ݅ௗǡ௠ž௫߳଴ 
(4.1) 
Utilizando os dados numéricos da questão, 
teremos: ݀Ȱா݀ݐ ฬ௠ž௫ ൌ Ͷǡͷ ή ͳͲିହͺǡͺͷ ή ͳͲିଵଶ ؆ ͷǡͳ ή ͳͲ଺�ܸ ή ݉ ή ݏିଵ 
(4.2) 
 
c) Utilizando a relação (2.4), teremos: 
 ݅ௗ ൌ ܥ ή ࣟ௠ ή ߱ ή ݀ሾݏ݁݊ሺ߱ݐሻሿ݀ݐ 
(4.3) 
 
A corrente de deslocamento será máxima para: 
 ݅ௗǡ௠ž௫ ൌ ܥ ή ࣟ௠ ή ߱ 
(4.4) 
 
Utilizando os dados numéricos em (4.4), teremos 
para a capacitância: 
 ܥ ൌ Ͷǡͷ ή ͳͲିହͶͲͲ ή ͳͷͲ ൌ ͹ǡͷ ή ͳͲିଵ଴�ܨ 
(4.5) 
 
A capacitância por sua vez é dada por: 
 ܥ ൌ ߳଴݀ܣ 
(4.6) 
 
Com isso, teremos para d: 
 ݀ ൌ ͺǡͺͷ ή ͳͲିଵଶ ή ͲǡʹͲ͹ǡͷ ή ͳͲିଵ଴ ൌ ʹǡ͵͸�݉݉ 
(4.7) 
 
d) Para o campo magnético entre as placas, temos: 
 රܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴߳଴ߨݎଶ ݀݀ܧݐ �� ܤ ൌ ߤ଴߳଴ʹ ή ݎ ݀݀ܧݐ 
(4.8) 
 
Para o campo de indução máximo, tomamos 
ௗாௗ௧ 
máxima. Logo: 
 ܤ௠ž௫ ൌ ߤ଴߳଴ʹ ή ݎ ή ͳܣ ή ݀Ȱா݀ݐ ฬ௠ž௫�� ܤ௠ž௫ ൌ Ͷߨ ή ͳͲି଻ ή ͺǡͺͷ ή ͳͲିଵଶʹ ή ͲǡͳͲǡʹ ή ͷǡͳ ή ͳͲ଺� ׵ ܤ ൌ ͳǡͶʹ ή ͳͲିଵଵ�ܶ 
(4.9) 
 
 
 ࣟ R d 
 
www.profafguimaraes.net 
3 
 Questão 5
Um capacitor de placas paralelas e circulares, 
de diâmetro ʹͲǡͲ�ܿ݉, está sendo carregado como 
na figura 4.1. A densidade de corrente de 
deslocamento através da região é uniforme, de 
cima para baixo e tem o valor de ʹͲǡͲ�ܣ ή ݉ିଶ. (a) 
Calcule o campo magnético B a uma distância ݎ� ൌ �ͷǡͲ�ܿ݉ do eixo de simetria da região. (b) 
Calcule ݀ܧ ݀ݐΤ nessa região. 
Resolução: 
a) Utilizando a densidade de corrente, teremos: ݅Ԣௗ ൌ ܬௗ ή ߨݎଶ ݅Ԣௗ ൌ ͲǡͲͷߨ�ܣ 
 (5.1) 
Agora, utilizando o resultado de (5.1), teremos 
para o campo magnético: ܤ ൌ ߤ଴ʹߨ ή ݅ᇱௗݎ �� ׵ ܤ ൌ ʹߨ ή ͳͲି଻�ܶ 
(5.2) 
b) A corrente de deslocamento é dada por (2.1). 
Assim, teremos: ݅ௗ ൌ ߳଴ߨܴଶ ݀݀ܧݐ � �ܬௗ ή ߨܴଶ ൌ ߳଴ߨܴଶ ݀݀ܧݐ � ݀݀ܧݐ ൌ ܬௗ߳଴ ؆ ʹǡʹ͸ ή ͳͲଵଶ�ܸ ή ݉ିଵ ή ݏିଵ 
(5.3) 
 
 Questão 6
Uma barra condutora cilíndrica longa, de raio a, 
está centrada sobre o eixo dos x, como mostra a 
figura 6.1. Faz-se um corte fino em ݔ ൌ ܾ. Uma 
corrente de condução i, aumentando no tempo e 
dada por ݅ ൌ ߙݐ, sendo ߙ uma constante de 
proporcionalidade (positiva) percorre a barra da 
esquerda para a direita. Em ݐ ൌ Ͳ, não existe carga 
nas faces cortadas, perto de ݔ ൌ ܾ. (a) Determine 
o valor da carga nessas faces, em função do tempo. 
(b) Use ׯܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ೜ചబ para determinar E no 
intervalo entre as faces, em função do tempo. (c) 
Desenhe as linhas de B para ݎ ൏ ܽ, sendo r a 
distância a partir do eixo dos x. (d) Use ׯܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ఓబሺ݅ ൅ ݅ௗሻ para determinar B no 
intervalo entre as placas para ݎ ൏ ܽ. (e) Compare 
a resposta acima com o valor de B na barra, para ݎ ൏ ܽ. 
 
Figura 6.1 
 
Resolução: 
a) Para a carga em uma das faces, teremos: 
 ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ � ݍ ൌ න ݅�݀ݐ�� ݍ ൌ ߙන ݐ�݀ݐ � ׵ ݍ ൌ ߙݐଶʹ 
(6.1) 
 
b) Para o campo elétrico, teremos, utilizando o 
resultado de (6.1): 
 රܧሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߳ݍ଴�� ܧ ή ߨܽଶ ൌ ߙݐଶʹ߳଴ � ׵ ܧ ൌ ߙݐଶʹߨ߳଴ܽଶ 
(6.2) 
 
c) Para quem observa da extremidade esquerda, 
as linhas de indução serão circulares e orientadas 
no sentido anti-horário. 
d) Para o campo de indução, teremos, utilizando o 
resultado de (6.2): 
 රܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴߳଴ߨݎଶ ݀݀ܧݐ ܤ ή ʹߨݎ ൌ ߤ଴߳଴ߨݎଶ ߙݐߨܽଶ߳଴� ׵ ܤ ൌ ߤ଴ߙݐ ή ݎʹߨܽଶ 
(6.3) 
 
 
b 
i 
 
www.profafguimaraes.net 
4 
e) Encontra-se o mesmo resultado do item (d). 
 Questão 7
Suponha que a existência de monopolos 
magnéticos seja firmemente estabelecida 
experimentalmente. (a) Como é que você 
modificaria as equações de Maxwell? Seja ݍ௠ a 
expressão da carga magnética do suposto 
monopolo magnético, análoga à carga elétrica 
básica, e. (b) Quais, seriam as unidades MKS de ݍ௠? 
Resolução: 
a) O fluxo total do campo de indução magnética 
em uma superfície fechada não seria nulo. Seria 
igual à carga magnética (monopolo) dentro da 
superfície fechada. Assim, poderíamos escrever: රܤሬԦ ή ݀ܣԦ ൌ ߤ଴ݍ௠ 
(7.1) 
Diante do resultado (7.1), poderíamos dizer que 
uma corrente de carga magnética (corrente de 
monopolos) conduz a um campo elétrico. Assim, 
poderíamos escrever: රܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ െ݀Ȱ஻݀ݐ ൅ ߤ଴ ݀ݍ௠݀ݐ 
(7.2) 
b) Para manter a consistência dos resultados (7.1) 
e (7.2), no MKS, a unidade da carga magnética 
seria: ݍ௠ ൌ ͳܣ ή ݉ 
(7.3) 
 Questão 8
Uma propriedade de autoconsistência de duas 
das equações de Maxwell. Duas trajetórias 
adjacentes fechadas abcda e efcbe partilham um 
lado comum bc, como mostra a figura 8.1. (a) 
Pode-se aplicar ׯܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ െ݀Ȱ஻ ݀ݐΤ a cada uma 
dessas trajetórias separadamente. Mostrar que, 
apesar disso, ׯܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ െ݀Ȱ஻ ݀ݐΤ é 
automaticamente verificada para a trajetória 
fechada abefcda. (b) Repita utilizando ׯܤሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴ሺ݅ ൅ ߳଴݀Ȱா ݀ݐΤ ሻ. 
 
Figura 8.1 
 
Resolução: 
a) Tomando ׯܧሬԦ ή ݀Ԧ݈ ൌ െ݀Ȱ஻ ݀ݐΤ , teremos: 
 ර ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௔௕௖ௗ ൌ െܣ௔௕௖ௗ ݀݀ܤݐ 
(8.1) 
 
E para a outra trajetória: 
 ර ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௕௘௙௖ ൌ െܣ௕௘௙௖ ݀݀ܤݐ 
(8.2) 
 
Lembrando que no trajeto bc, temos: 
 න ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௖௕ ൌ െන ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௕௖ 
(8.3) 
 
Podemos somar os resultados (8.1) e (8.2). Assim, 
teremos: 
 ර ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௔௕௖ௗ ൅ර ܧሬԦ ή ݀ Ԧ݈௕௘௙௖ ൌ െ൫ܣ௔௕௖ௗ ൅ ܣ௕௘௙௖൯݀݀ܤݐ 
(8.4) 
 
Utilizando o resultado (8.3) em (8.4), teremos: 
 ර ܧሬԦ ή ݀ Ԧ݈௔௕௖ௗ ൅ර ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௕௘௙௖ ൌ ර ܧሬԦ ή ݀Ԧ݈௔௕௘௙௖ௗൌ െܣ݀݀ܤݐ 
(8.5) 
 
Em que ൫ܣ௔௕௖ௗ ൅ ܣ௕௘௙௖ ൌ ܣ�൯ é a área total. 
 
b) De forma análoga, teremos: 
 
a b 
c d 
e 
f 
 
www.profafguimaraes.net 
5 
ර ܤሬԦ ή ݀Ԧ݈௔௕௖ௗ ൌ ߤ଴ ൬݅௔௕௖ௗ ൅ ߳଴ܣ௔௕௖ௗ ݀݀ܧݐ ൰ 
(8.6) 
Também teremos: 
ර ܤሬԦ ή ݀Ԧ݈௕௘௙௖ ൌ ߤ଴ ൬݅௕௘௙௖ ൅ ߳଴ܣ௕௘௙௖ ݀݀ܧݐ ൰ 
(8.7) 
 
Agora, somando os resultados (8.6) e (8.7), e 
levando em conta que (8.3) para o campo de 
indução magnética, teremos: 
ර ܤሬԦ ή ݀Ԧ݈௔௕௖ௗ ൅ර ܤሬԦ ή ݀ Ԧ݈௕௘௙௖ ൌ ර ܤሬԦ ή ݀ Ԧ݈௔௕௘௙௖ௗ ൌ ߤ଴ ൬݅ ൅ ߳଴ܣ݀݀ܧݐ ൰ 
(8.8) 
Em que ൫ܣ௔௕௖ௗ ൅ ܣ௕௘௙௖ ൌ ܣ�൯ é a área total e ൫݅௔௕௖ௗ ൅ ݅௕௘௙௖ ൌ ݅�൯ é a intensidade de corrente 
total.