GEX103_logica_aula_2

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GEX103 - INTRODUÇÃO À LÓGICA 
Turma: 15B 14B 24A 
Aula 2 - 05/12/2012 
 
Operações lógicas sobre proposições 
 
As operações lógicas realizadas sobre os enunciados obedecem a regras de um cálculo, denominado Cálculo 
Proposicional, semelhante ao da aritmética sobre números. 
 
Relembrando, os principais conectivos são: 
 
 “não” (símbolo: ~): negação 
 
 “e” (símbolo: ˄): conjunção 
 
 “ou” (símbolo: ˅): disjunção 
 
 “ou” exclusivo (símbolo: ˅): disjunção exclusiva 
 
 “se ... então” (símbolo: →): condicional 
 
 “se e somente se” (símbolo: ↔): bicondicional. 
 
Apresentaremos seguir as operações lógicas e suas respectivas tabelas-verdade. 
 
1. Negação: 
 
Dado uma proposição qualquer “p”, podemos formar a negação da proposição p. 
 
Notação: “~p” e lê-se “não p”. 
 
Se “p” for uma proposição verdadeira, “~p” é falsa. 
Se “p” for uma proposição falsa, então “~p” é verdadeira. 
 
O valor lógico da negação de uma proposição é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p ~p 
V F 
F V 
 
Ou seja, 
~V = F 
~F = V 
e 
V(~p) = ~V(p) 
 
 Exemplo 1: 
 Escreva a negação das proposições em linguagem corrente e indique seus valores lógicos: 
 
a) p: O sol é uma estrela. (V) 
~p: O sol não é uma estrela. (F) 
ou 
~p: Não é verdade que o sol seja uma estrela. (F) 
 
b) q: 2 + 3 = 5 (V) 
~q: 2 + 3 ≠ 5 (F) 
 
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c) r: O Brasil está no continente africano. (F) 
~r: O Brasil não está no continente africano. (V) 
 
Exercício 1: 
 
Escreva a negação das proposições em linguagem corrente e indique seus valores lógicos: 
a) p: A neve é branca. V(p) = 
b) q: Roma é a capital da França. V(q) = 
d) r: Esta aula é de Português. V(r) = 
 
OBS.: A negação de “Todos os homens são elegantes” é “Nem todos os homens são elegantes”. 
 A negação de “Nenhum homem é elegante” é “Algum homem é elegante”. 
 
 
2. Conjunção ‘˄’ 
Dadas duas proposições p e q, a expressão p e q é chamada conjunção de p e q. 
 
Notação: p ˄ q, que se lê: “p e q”. 
 
O valor lógico da conjunção de duas proposições p e q é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
P Q p ˄ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Observe que o valor lógico da conjunção p ˄ q será verdade (V) quando as proposições p e q são ambas 
verdadeiras, e será falsidade (F) nos demais casos. 
Assim: 
V ˄ V = V 
V ˄ F = F 
F ˄ V = F 
F ˄ F = F 
e 
 V(p ˄ q) = V(p) ˄V(q) 
 
Exemplo 2: 
 
Indique o valor lógico de p ˄ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: Brasília é uma cidade (V) 
q: Brasília é a capital do Brasil (V) 
p ˄ q : Brasília é uma cidade e Brasília é a capital do Brasil (V) 
 
b) p: O café está amargo (V) 
q: Cláudia estuda música (F) 
p ˄ q: O café está amargo e Cláudia estuda música (F) 
 
Exercício 2: 
Indique o valor lógico de p ˄ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: A neve é branca. / q: 2 < 5. V(p ˄ q) = 
b) p: O morango é azul. / q: 17 é um número primo. V(p ˄ q) = 
c) p: A Lua é uma estrela. / q: Saturno é um satélite. V(p ˄ q) = 
d) p: Brasília é a capital do Brasil. / q: Portugal é um continente. V(p ˄ q) = 
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3. Disjunção ‘V’ (ou = vel) e Disjunção exclusiva ‘V’ (ou = aut) 
 
Na linguagem corrente existem, dois usos distintos do conectivo “ou”: o uso exclusivo e o uso não-
exclusivo. 
Exemplo: 
P: Mariana é alagoana ou goiana. 
Q: Carla é médica ou professora. 
 
Na proposição P o uso do “ou” é exclusivo, pois as duas situações não podem ocorrer simultaneamente. 
Na proposição Q temos a utilização do “ou” não-exclusivo, pois ambas as proposições podem ser 
verdadeiras. 
 
Em latim, a disjunção no sentido não-exclusivo é representada pela palavras “vel” enquanto que a 
disjunção no sentido exclusivo é representada pela palavra “aut”. 
 
3.1 Disjunção 
 
Dadas duas proposições p e q, a expressão “p ou q” é chamada disjunção de p e q. 
 
Notação: A disjunção com o sentido não-exclusivo é representada pelo conectivo lógico “˅”. 
“p ˅ q” leia-se: “p ou q”. 
 
O valor lógico da disjunção é apresentado pela tabela abaixo: 
 
p q p ˅ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Assim: 
O valor lógico de uma disjunção é verdade (V) quando ao menos das proposições p e q é verdade. 
O valor lógico de uma disjunção é falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas. 
 
Então temos: 
 V ˅ V = V 
 V ˅ F = V 
 F ˅ V = V 
F ˅ F = F 
 
V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
 
Exemplo 3.1: 
 
Indique o valor lógico de p ˅ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: Brasília é uma cidade. (V) 
q: Brasília é a capital da Argentina. (F) 
p ˅ q: Brasília é uma cidade ou Brasília é a capital da Argentina. (V) 
 
b) p: A neve é branca (V) 
q: 2 > 5 (F) 
p ˅ q: A neve é branca ou 2 > 5 (V) 
 
c) p: Saturno é uma estrela (F) 
q: Roma é a capital da Rússia. (F) 
p ˅ q: Saturno é uma estrela ou Roma é a capital da Rússia. (F) 
 
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Exercício 3.1: 
 
Indique o valor lógico de p ˅ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: Paris é a capital da França. / q: 9 - 4 = 5. V(p ˅ q): 
b) p: O céu é verde. / q: 7 é um número primo. V(p ˅ q): 
c) p: Brasília é a capital do Brasil. / q: Portugal é um continente. V(p ˅ q): 
d) p: Brasília é a capital da Rússia. / q: π – 1 < 2 V(p ˅ q): 
 
3.2 Disjunção exclusiva 
Dadas duas proposições p e q, a expressão “p ˅ q” é chamada disjunção de p e q. 
 
Notação: A disjunção com o sentido exclusivo é representada pelo conectivo lógico “˅”. 
“p ˅ q” leia-se: “p ou q, mas não ambos”. 
 
O valor lógico da disjunção exclusiva é apresentado pela tabela abaixo: 
 
p q p ˅ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Assim: 
O valor lógico de uma disjunção exclusiva é verdade (V) somente quando p é verdade ou q é verdade, 
mas não quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas. 
Então temos: 
V ˅ V = F 
V ˅ F = V 
 F ˅ V = V 
F ˅ F = F 
 
V(p ˅ q) = V(p) ˅ V(q) 
 
Exemplo 3.2: 
Indique o valor lógico de p ˅ q considerando as seguintes proposições: 
 
a) p: Brasília é uma cidade. (V) 
 q: Brasília é um país. (F) 
p ˅ q: Brasília é uma cidade ou Brasília é um país. (V) 
 
b) p: A neve é branca (V) 
 q: A neve é preta (F) 
p ˅ q: A neve é branca ou a neve é preta (V) 
 
c) p: Saturno é uma estrela (F) 
 q: A lua é uma estrela. (F) 
p ˅ q: Saturno é uma estrela ou a lua é uma estrela. (F) 
 
Exercícios 3.2 
Indique o valor lógico de p ˅ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: A Lua é uma estrela. / q: Saturno é um planeta. V(p ˅ q): 
b) p: 2 – 7 < –4 / q: π = 3 V(p ˅ q): 
 c) p: Brasília é uma cidade. / q: Brasília é a capital do Brasil. V(p ˅ q): 
 d) p: Esta aula é de história. / Está aula é de português. V(p ˅ q): 
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 4. Condicional 
Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por “se p então 
q”. 
Notação: “p → q”, que se lê: 
i) “p” é condição suficiente para “q” 
ou 
ii) “q” é condição necessária para “p” 
 
O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
O valor lógico de uma condicional é falso no caso em que p é verdade e q é falsa. 
O valor lógico é verdade nos demais casos. 
 
Então temos: 
V → V = V 
V → F = F 
 F → V = V 
 F → F = V 
 
V(p → q) = V(p) → V(q) 
 
Exemplo 4: 
 
1) Para melhor compreendermos esse conectivo, vejamos quatro possíveis casos paraa seguinte: 
 
p: Amanhã fará sol. 
q: Márcia vai à praia. 
p → q: Se amanhã fizer sol então Márcia irá à praia. 
 
1o caso: Fez sol e Márcia foi à praia – podemos concluir que p → q (V). 
2o caso: Fez sol e Márcia não foi à praia – podemos concluir que p → q (F). 
3o caso: Não fez sol e Márcia não foi à praia – podemos concluir que p → q (V). 
4o casos: Não fez sol e Márcia foi à praia – podemos concluir que p → q (V). 
 
2) Indique o valor lógico de p → q considerando as seguintes proposições: 
 
a) p: O mês de janeiro tem 31 dias (V) 
q: π é um número real (V) 
Se o mês de janeiro tem 31 dias então π é um número real (V) 
 
b) p: O céu é azul (V) 
q: A terra é plana (F) 
Se o céu é azul então a terra é plana (F) 
 
c) p: O ano tem 9 meses (F) 
q: Estamos em Lavras (V) 
Se o ano tem 9 meses então estamos em Lavras (V) 
 
d) p: Lavras fica em São Paulo. (F) 
q: 7 é um número par. (F) 
Se Lavras fica no São Paulo então 7 é um número par (V) 
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Exercício 4: 
 
Indique o valor lógico de p → q considerando as seguintes proposições: 
a) p: O céu é verde. / q: 7 é um número primo. V(p → q) = 
b) p: A Lua é um satélite. / q: Saturno é um planeta. V(p → q) = 
c) p: Brasília é a capital do Brasil. / q: Portugal é um continente. V(p → q) = 
d) p: 3 + 5 = 9 / q: Brasília em um país. V(p → q) = 
e) p: 5 é um número ímpar. / q: Brasília é uma cidade. V(p → q) = 
f) p: Lavras é a capital de Goiás. / q: O ano tem 12 meses. V(p → q) = 
 
5. Bicondicional 
 
Chama-se proposição bicondicional uma proposição representada por “p se e somente q”. 
 Notação: “p ↔ q”, que se lê: 
i) “p” é condição necessária e suficiente para “q”. 
ii) “q” é condição necessária e suficiente para “p”. 
 
O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela seguinte tabela-verdade: 
 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Assim: 
 
Valor lógico é verdade quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
O valor lógico será falsidade nos demais casos. 
 
Então temos: 
 V ↔ V = V 
V ↔ F = F 
 F ↔ V = F 
 F ↔ F = V 
 
V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) 
 
Exemplo 5: 
 
1) Indique o valor lógico de p ↔ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: Roma fica na Europa (V) 
q: A neve é branca (V) 
Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca(V) 
 
b) p: Lisboa é a capital de Portugal (V) 
q: π é um número inteiro (F) 
Lisboa é a capital de Portugal se e somente se π é um número inteiro (F) 
 
c) p: Lavras é a capital do Brasil (F) 
q: 50 é um número par (V) 
Lavras é a capital do Brasil se e somente se 50 é um número par (F) 
 
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d) p: A terra é plana (F) 
q: 2 é um número racional (F) 
A terra é plana se e somente se 2 é um número racional (V) 
 
Exercício 5: 
 
1) Indique o valor lógico de p ↔ q considerando as seguintes proposições: 
a) p: O céu é azul. / q: 7 é um número primo. V(p ↔ q) = 
b) p: 3 - 5 = -2 / q: Brasília em um país. V(p ↔ q) = 
c) p: 5 é um número ímpar. / q: Brasília é uma cidade. V(p ↔ q) = 
d) p: Lavras é a capital de Goiás. / q: O ano tem 9 meses. V(p ↔ q) = 
 
Atividades 
1) Sejam as proposições: 
p: Está frio. 
q: Está chovendo. 
 
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes: 
a) p q 
b) ~p 
c) p q 
d) ~p ~q 
e) p →~q 
f) ~p → ~q 
g) p ↔ ~q 
h) p ~q 
 
2) Considere as sentenças: 
p: Tales é filho de Lúcio. 
q: Tales é neto de Eduardo. 
 
Escreva na forma simbólica, cada uma das sentenças seguintes: 
 
a) Tales não é filho de Lúcio. 
b) Tales é filho de Lúcio e neto de Eduardo. 
c) Tales é filho de Lúcio e não é neto de Eduardo. 
d) Tales é filho de Lúcio ou é neto de Eduardo. 
e) Tales não é filho de Lúcio ou é neto de Eduardo. 
 
3) Sejam as proposições: 
 
p: O rato entrou no buraco. 
q: O gato seguiu o rato. 
 
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes: 
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a) p q 
b) ~p 
c) p q 
d) ~p ~q 
 
4) Sejam as proposições: 
 
p: Cláudio fala inglês. 
q: Cláudio fala alemão. 
 
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes: 
 
a) p q 
b) ~p 
c) p q 
d) p ~q 
e) p →~q 
f) ~p → ~q 
g) p ↔ ~q 
h) p ~q 
 
5) Sejam as proposições dadas. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: 
 
1ª) p: Suely é rica e q: Suely é feliz. 
 
a) Suely é pobre, mas feliz. 
b) Suely é rica ou infeliz. 
c) Suely é pobre e infeliz. 
 
2ª) p: Carla fala francês, q: Carla fala inglês e r: Carla fala alemão. 
 
a) Carla fala francês ou inglês, mas não fala alemão. 
b) Carla fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão. 
c) É falso que Carla fala francês. mas que não fala alemão. 
d) É falso que Carla fala inglês ou alemão, mas que não fala francês. 
 
7) Determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: 
a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10. 
b) 0 > 1 √ é irracional.
c) √ < 1 √ é racional.
d) 1 > 0 2 + 2 = 4. 
e) = 10 π é racional. 
f) -5 < -7 Roma é a capital da França. 
g) Se 0 < 1 então 3 é irracional. 
h) Se 0 > 1 então 3 é irracional.