Lista 1 com gabarito de geometria analitica

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UFF - Universidade Federal Fluminense
IME - Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
GGM - Departamento de Geometria
Prof. Luiz Manoel
Lista Extra 1
1. Sejam os vetores ~u = (2, 5) e ~v = (8,m).
(a) Para que valores reais de m os vetores sa˜o paralelos?
(b) Para que valores reais de m os vetores sa˜o ortogonais?
2. Encontre os vetores ~v de norma 1 que satisfazem 〈~v, (1,−2)〉 = 1.
3. Sejam os pontos A = (2, 3), B = (0, 1) e C = (2, 0).
(a) Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a reta r que passa por A e B.
(b) Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta s que passa por C e e´ ortogonal a` r.
(c) Encontre a equac¸a˜o cartesiana da reta t que passa por C e e´ paralela a` r.
4. Encontre o ponto de intersec¸a˜o P e o aˆngulo θ entre as retas r, pelos pontos A e B e s, pelos pontos C e D, sendo
A = (0,−4), B = (2, 0), C = (0, 4), e D = (6, 0)
5. (a) Determine um ponto A contido na reta y = x+ 2 tal que o triaˆngulo de ve´rtices A, B = (1, 2) e C = (4, 4)
tem a´rea igual a 5.
(b) Determine a distaˆncia do ponto A a` reta que passa por B e C.
6. Sejam os pontos A = (2, 3), B = (0, 1) e C = (3, 0).
(a) Encontre a medida do angulo ∠BAC.
(b) Encontre a a´rea do triaˆngulo ABC.
7. Encontre a equac¸a˜o do c´ırculo que e´ tangente a` reta r : x + 2y = 10 no ponto (2, 4) e a` reta s : 2x− y = −5 no ponto
(−1, 3).
8. Obtenha a equac¸a˜o do c´ırculo que passa pelos pontos A = (2, 4), B = (3, 1) e C = (5, 3).
9. Encontre as equac¸o˜es das retas que passam pelo ponto A = (0, 3) e sa˜o tangentes ao c´ırculo (x − 1)2 + y2 = 2. Fac¸a
um esboc¸o.
10. Encontre o sime´trico do ponto P = (5, 6) em relac¸a˜o a` reta r : 2x− y + 1 = 0.
11. Fac¸a um esboc¸o detalhados das seguintes regio˜es:
(a)
 x+ y ≤ 2x− y ≥ −2
x2 + y2 − 2y ≤ 0
(b) (y − 2x+ 1)(y + 3x− 6) > 0 (c)
 x
2 + y2 − 2x ≤ 0
x2 + y2 − 4x+ 3 ≥ 0
x ≥ 1
12. Em cada item, determine um sistema de inequac¸o˜es que representa a regia˜o hachurada.
(a)
1
2
3
−1
−2
1 2 3 4−1
b
b
b
b
b
E
(b)
1
2
−1
−2
1 2−1−2
(c)
1
2
−1
−2
1 2−1−2
bb (
√
2,
√
2)(−
√
2,
√
2)
Respostas
1. (a) m = 20
(b) m = −16
5
2. ~v = (1, 0) e ~v = (−3
5
,−4
5
).
3. (a) r :
{
x = 2− 2t
y = 3− 2t
(b) s : y = 2− x.
(c) t : y = x− 2.
4. P = (3, 2) e cos θ =
1√
65
.
5. (a) A = (−12,−10).
(b) d =
10√
13
.
6. (a) cos(∠BAC) = 1√
5
.
(b) A´rea = 4.
7. (x− 1)2 + (y − 2)2 = 5.
1
2
3
4
5
6
− 1
− 2
1 2 3 4 5 6 7− 1− 2− 3− 4
b
b
8. (x− 13
4
)2 + (y − 11
4
)2 =
25
8
.
9. y = 7x+ 3 e y = −x+ 3.
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1−2−3
b
10. P ′ = (1, 8).
11. (a)
1
2
3
−1
1 2 3−1−2
(b)
1
2
3
1 2−1
(c)
1
2
−1
1 2 3
12. (a)

y ≤ −x2 + 2
y ≥ 2x3 − 2
y ≥ 0
x ≥ 0
(b)
 x
2 + y2 ≤ 4
y ≥ 2x− 2
y ≤ 2− 2x
.
(c)

x2 + y2 ≥ 1
x2 + y2 ≤ 4
y ≥ x
y ≥ −x
.