Lista 3 com gabarito geometria analitica

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UFF - Universidade Federal Fluminense
IME - Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
GGM - Departamento de Geometria
Prof. Luiz Manoel
Lista Extra 3
1. Determine a figura dada por cada equac¸a˜o abaixo. Caso seja uma coˆnica, encontre seus principais elementos e fac¸a um
esboc¸o:
(a) 2x2 + y2 + 4x− 2y + 1 = 0.
(b) 4x2 − 9y2 − 16x+ 18y = 29.
(c) 25y2 − 10y − 100x+ 41 = 0.
(d) 9x2 − 16y2 − 18x− 64y − 55 = 0.
(e) x2 + y2 − 2x− 4y + 5 = 0.
2. Determine a equac¸a˜o das coˆnicas com as seguintes caracter´ısticas:
(a) Elipse de centro em (1, 2) , um ve´rtice em (3, 2) e um ve´rtice em (1, 1).
(b) Para´bola de ve´rtice V = (1, 0) e Foco F = (2, 0).
(c) Hipe´rbole com ve´rtices (0, 2) e (0,−2) e excentricidade igual a 2.
3. Uma reta r corta o eixo OY em (0, 2) e corta a para´bola y = 3x2 − 6x+ 8 no seu ve´rtice. Encontre o ponto em que a
reta corta o eixo OX.
4. Determine a equac¸a˜o da elipse de centro (4,−1), foco em (1,−1) e que passa por (8, 0).
5. Determine a equac¸a˜o da famı´lia de elipses com centro (2.3), reta focal paralela ao eixo OX e excentricidade
igual a 1/2.
6. Determine o ve´rtice e reta focal da para´bola que passa pelos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 6) e tem eixo de simetria paralelo
ao eixo OY . Fac¸a um esboc¸o.
7. Esboce a a´rea determinada pelo sistema de inequac¸o˜es a seguir;
a)
 (x− 1)
2 + y2 < 1
4y > x2 − 4
4y < 4− x2
b)
 9x
2 + y2 < 9
x2 + y2 > 1
x2 + (y − 2)2 > 1
8. Considere a famı´lia de curvas
(λ− 1)(λ− 2)(x− λ)2 + λy2 = λ+ 1 .
Classifique, em func¸a˜o do paraˆmetro λ ∈ R, a famı´lia de curvas acima e indique, nos casos das hipe´rboles, se a reta
focal e´ paralela o eixo OX ou ao eixo OY .
Respostas
1. (a) Elipse de centro (−1, 1), reta focal igual a x = −1, ve´rtices focais (−1, 1 +√2) e (−1, 1−√2), ve´rtices na˜o-focais
(−2, 1) e (0, 1), focos (−1, 2) e (−1, 0).
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
−0.5
−1.0
0.5 1.0−0.5−1.0−1.5−2.0−2.5−3.0
b
C
b
A1
b
A2
b
F1
b
F2
b
B2
b
B1
(b) Hipe´rbole de centro (2, 1), reta focal igual a y = 1, ve´rtices (5, 1) e (−1, 1), focos (2 + √13, 1), (2 − √13, 1) e
ass´ıntotas y = 23x− 13 e y = − 23x+ 73 .
2
4
6
8
10
−2
−4
−6
−8
−10
2 4 6 8 10 12−2−4−6−8−10
y =
2
3
x−
1
3
y = −
2
3
x+
7
3
b
C
b
A1
b
A2
b
F1
b
F2
(c) Para´bola de ve´rtice ( 25 ,
1
/5), diretriz x = − 35 , foco em ( 75 , 15 ) e reta focal igual a y = 15 .
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5−0.5−1.0−1.5−2.0
b
V
b
F
(d) Duas retas: 3x− 4y = 11 4 3x+ 4y = −5.
(e) O ponto P = (1, 2).
2. (a)
(x− 1)2
4
+ (y − 2)2 = 1.
(b) y2 = 4x− 4
(c) 3y2 − x2 = 12.
3. P = (−2/3, 0).
4.
(x− 4)2
18
+
(y + 1)2
9
= 1.
5.
(x− 2)2
4
+
(y − 3)2
3
= c2.
6. A para´bola tem equac¸a˜o 12y = x
2 − 12x. Completando quadrados obtemos y +
1
8
= 2
(
x− 1
4
)2
. Portanto, o ve´rtice e´
o ponto (1/4,−1/8) e a reta foca e´ a reta x = 1/4.
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
−0.5
−
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5−0.5−1.0−1.5−2.0−2.5−3.0
b
A
b
B
b
C
c
b
V
7. a)
b)
8. (a) λ < −1: Hipe´rbole com reta focal paralela ao eixo OY .
(b) λ = −1: Duas retas concorrentes.
(c) −1 < λ < 0: Hipe´rbole com reta focal paralela ao eixo OX.
(d) λ = 0: Duas retas paralelas.
(e) 0 < λ < 1: Elipse.
(f) λ = 1: Duas retas paralelas.
(g) 1 < λ < 2: Hipe´rbole reta focal paralela ao eixo OY .
(h) λ = 2: Duas retas paralelas.
(i) λ > 2: Elipse.