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ST 402 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 Devemos salientar aos alunos deste curso que a finalidade desta matéria é em 
principio transmitir-lhes conceitos práticos sobre RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS e por este motivo 
procuramos resumir ao máximo a parte teórica da mesma, salientando-lhe sobremaneira a parte 
prática. 
 Atente-se também para o fato de que não queremos aqui, apresentar um tratado 
sobre a matéria, porém, na medida do possível e, com a ajuda dos próprios alunos, derrubar o mito 
que há sobre a mesma, mito este que deve-se muito mais a estórias e ao des- preparo dos alunos em 
algumas das matérias básicas, o que procuraremos na medida do possível corrigir. 
 É importantissima portanto a participação efetiva dos alunos nos cursos para 
conseguirmos o melhor rendimento possível, de nossa parte procuramos resolver um grande número de 
exemplos em classe e fornecer aos mesmos inúmeras cópias de exercicios resolvidos para consulta. 
 
 
 
 Prof. Milton Giacon Júnior 
 
 
CARGAS AXIAIS - CARGAS TANGENCIAIS - TENSÕES 
 
1. Cargas Axiais - Denominam-se axiais às cargas que são paralelas aos eixos da peças e que 
conseguentemente são perpendiculares às secções transversais das mesmas. 
2. Cargas Tangenciais- Analogamente, denominam-se tangenciais às cargas que são per-pendiculares 
aos eixos das peças e conseguentemente paralelas às secções das mesmas. 
3. Tensões - Diz-se da atuação de uma determinada carga sobre uma certa área de superficie qualquer. 
 
 TENSÃO NORMAL EM VIGAS BI-APOIADAS 
 
1.1 Conceito de tensão normal : É aquela tensão que atua perpendicularmente à secção transversal 
de uma viga e representa a atuação de cargas que aparecem nesta secção trans- versal devido a 
esforços provocados pelos esforços solicitantes nas mesmas. É representa- 
da pela letra grega σ e sua unidade é kg/cm2. 
 σ - é tensão normal 
 σ = N/ S ( kg/cm2) onde : N - é o esforço aplicado 
 S - é a área solicitada por N 
 
 Como devemos sempre considerar um coeficiente de segurança em nossos cálculos, eles devem 
também existir quanto à capacidade de carga dos materiais que utilizaremos , pois não poderemos 
trabalhar com a capacidade real do material, o que seria muito arriscado em função das próprias 
condições de obtenção dos mesmos. Assim foi introduzido o concei- to de coeficiente de segurança, 
que nada mais é do que se minimizar a capacidade de carga real do material através da divisào do seu 
valor por um número maior do que 1 ( hum) e que evidentemente obedece a rigorosos critérios 
normalizados, aparecendo então o conceito de tensão admissível σ. 
 
 σ ≤ σ = N/S => N = S.σ 
 
 As tensões admissíveis são fixadas nas normas técnicas e levam em conta um fator de 
segurança muito grande, pois ele deve cobrir: 
1.- Todas as falhas nas suposições dos cálculos. 
2.- As variações involuntárias na qualidade dos materiais. 
3.- Os excessos excepcionais das cargas previstas e etc. 
 
Exemplos: 
 σ (kg/cm2) σ ruptura (kg/cm2) 
Aço comum 1400 3700 
Aço de mola 6000 - 15000 9500 - 17000 
Concreto à compressão 30 - 150 100 - 700 
Madeira à tração 80 - 170 250 - 2500 
 
 
 LEI DE HOOKE 
 
ε = ∆l/l (alongamento específico) Este gráfico foi obtido em labo- 
 
ratório de ensaio, aplicando-se 
 
carga sobre um corpo de prova 
 
padronizado. O trecho curvo e 
 
para baixo representa a inércia 
 
da prensa. 
 
No trecho retilíneo => proporcionalidade entre σ e ε ( fase elástica) 
No trecho horizontal => escoamento => grandes deformações sem aumentar a carga. 
No trecho final => endurecimento => ruptura. 
 
Obs.: A segurança contra a ruptura, exige tensões admissíveis contidas sempre na zona de 
 proporcionalidade. 
 No trecho retilíneo do diagrama ocorre uma proporcionalidade entre os valores de 
 σ e ε dado por E ( módulo de elasticidade ou de YOUNG). 
 
 ε = σ / E ( HOOKE) ε é admensional. 
Os alongamentos são calculados com ε = ∆ / e σ = N / S 
 
 ε = σ / E 
 
 ∆ l / l = N / S.E => ∆ l = N.l / E.S 
 
 Valores do módulo de elasticidade: 
 
E aço 2.100.000 kg/cm2
E concreto 140.000 - 210.000 kg/cm2 
E madeira 75.000 - 200.000 kg/cm2
 
 Paralelamente ao alongamento ( encurtamento) há uma diminuição (aumento) da secção 
transversal da peça dado pela relação ∆d/d, que é menor que ∆l / l. 
 O fator de redução duma relação na outra é o coeficiente de POISSON µ 
 aço ≅ 1/3 
 ∆d/d = µ ∆l/l concreto ≅ 1/6 
 
 
 
 
 
 
2. Base de calculo para tensão normal em vigas. 
 
Obs.: Trabalharemos sómente com vigas de secção simétrica. 
 
 Vamos considerar a seguinte viga bi-apoiada. 
 
 Na solicitação por um momento positivo, as 
fibras inferiores serão tracionadas e as superiores serão 
comprimidas. 
 
 
 
 Adotaremos a seguinte suposição: O momento fletor, produz tensões σ linearmente 
distribuidas sobre a secção 
 
 
 σ = K.y 
 
 
 
onde y é um eixo cuja origem devemos encontrar. 
 O momento fletor que atua na secção, deverá ser equilibrado pelo material da viga através das 
suas tensões 
 Obtém-se a resultante das tensões atuantes atribuindo-se a cada elemento dS da sec- 
ção uma força elementar σ.dS cuja resultante será procurada. Se existisse uma resultante das forças 
elementares, ela seria a força normal N, que é nula neste caso pois só atua M. 
 
 N = 0 = ∫σ.dS = K∫ y.dS I 
Momento Resultante: 
 
 M = ∫y.σ.dS = K∫y2.dS II 
 
 Da equação I concluimos qua a origem de y só pode ser sobre o C.G. da secção, pois só assim 
anularemos a integral. 
 
Sabemos que : J = ∫s y2.dS => M = K.J => K = M/J mas K = σ/y 
 
 Portanto σ / y = M / J => σ = M / J.y , para vigas simétricas na flexão pura. 
 
 
Exemplos.: 
 
 
 
 TENSÃO DE CISALHAMENTO EM VIGAS 
 
 1.1 Conceito de Tensão de Cisalhamento.: É aquela que atua perpendicularmente ao eixo da peça 
agindo portanto paralelamente à secção transversal da viga sendo resultante da ação dos esforços 
solicitantes sobre a viga e é representada pela letra grega τ (tau) tendo kg/cm2 como unidade. 
 
 τ = N/ S ( kg/cm2) 
 
 
 Vamosconsiderar a viga bi-apoiada abaixo: 
 
No elemento ao lado, para que o elemento esteja em equilibrio, é nescessário a exis-tência de 
mais uma força horizontal cujo valor será: 
 
 
 
 Tx 
+dx - Tx = dTx
 
 
 
 
 Esta força sòmente poderá ser fornecida 
pela face b.dx, pois naface vertical temos a tensão σ (cujos valores podemos ou queremos cnsiderar 
como certos). 
 Teremos portanto tensões τh - tensões de cisalhamento horizontal. 
 Daí teremos: 
 τh.b.dx = dTx
 Vamos chamar de Mx e M x+dx os momentos em x e em x + dx e teremos portanto: 
 
 Tx = ∫ σx.dS = ∫ Mx / J . y dS = Mx / J . Ms 
Analogamente: 
 Tx+dx = Mx+dx / J.Ms 
 
Como dTx = Tx+dx - Tx = ⎨(Mx+dx- Mx )/J⎬. Ms = Q.dx /J .Ms 
 
pois Mx+dx - Mx = dM = Q.dx 
 
 τh.b.dx = dTx = Qdx/J.Ms 
 
 τh = Q. Ms/ b.J 
 
Exercícios 
(σ e 2) 
1) Dada a Viga abaixo e a sua respectiva secção, calcule os valores de σ e 2 para os pontos 
indicados na secção X = 2,5m e X= 5,0m 
 
3tf
2,5 2,5
1tf
2,0
+
_
+
1,01,1
1,9
R3
1R 2R
2,75
Y
2,00
Y
 Reações de Apoio: 
R3=0 1
2
3
X = 2,5m
X = 5,0m
 
 Σ FH= 0 → 
 
 Σ FV= 0 
 R1 + R2 -3 -1=0 
 
 Σ MA= 0 
 (3 x 2,5) – (R2 x 5) + (1 x 7)=0 
1
2
3
5
4
20
2
20
0
0
20
8
20
 7,5 + 7 = R2 x 5 
 R2 = 14,5 = 2,90 tf 
 5 
 3 em 2: → R1 + 2,90 - 4 =0 
 R1 = 1,10 tf 
 
 Jz = bh³ = 20 x 80³ = 853.333,34 cm4 
 12 12 
 σ = 
M x y = 275.000 .y = 0,32y 
 J 853.333,34 
 
 2 = Q.Ms
 bJ 
 σ = M.y = 200.000 .y = 0,23y 
 J 
853.333,33 
 
Dos diagramas 
temos: 
M2,5 = 2,75 
M5,0 = 2,0 
Q2,5 = - 1,90 
Q5,0 = - 1,90 
Pto Y σ Ms b Ms/b 2 
 
01 
02 
03 
04 
05 
 
- 40 
 - 20 
0 
+ 40 
+ 20 
 
- 12,89 
- 6,45 
0 
12,89 
6,45 
 
0 
12000 
16000 
0 
12000 
 
20 
20 
20 
20 
20 
 
0 
600 
800 
0 
600 
 
0 
- 1,34 
- 1,78 
0 
- 1,34 
 
01 
02 
03 
04 
05 
 
+40 
+20 
0 
- 40 
- 20 
 
 
12,89 
 6,45 
0 
- 12,89 
- 6,45 
 
0 
12000 
16000 
0 
12000 
 
 
20 
20 
20 
20 
20 
 
0 
600 
800 
0 
600 
 
0 
- 1,34 
- 1,78 
0 
- 1,34 
 
 
2) Calcule σ e 2, no engaste, para os pontos da secção abaixo: 
 
 
σ = M .y = 1.050.000
 J 57.708,33 
2 = QMs = 5.000 . Ms 
 b J 57.708,33 b 
5
7
7
23
,2
3
26
,7
7
7
1
2
4
_
Y (Simetria)
Z
_
Z
7
6
7
3
3
6
8 7
10,5 7 10,5
1tf/m 2tf
3,0
10,5
5,0 2,0
1,125
 
 
 
 
35
5
1
2
4 3
Y
Z
_
_CG 5
6
5 2020
,2
5
28
, 7
5
11
 
 
 
 Z 
 
 
 
 
 Y = (35 x 5 x 17,5) + (5 x 45 x 37,5) 
 (45 x 5) + ( 35 x 5) 
 Y = 11.500 = 28,75 cm 
 400 
Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(28,75 – 37,5)²]} + {(5 x 35³) + [5 x 35 x (28,75 – 17,5)²} 
 12 12 
Jz = 468,75 + 17226,56 + 17864,58 + 22148,43 = 57.708,33 cm4 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto y σ Ms b 2 
 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
 
11,25 
6,25 
8,75 
8,75 
0 
- 28,75 
 
204,69 
113,72 
159,20 
159,20 
0 
-523,10 
 
0 
1968,75 
875,00 
1125,00 
2066,40 
0 
 
45 
5 
5 
45 
5 
5 
 
0 
34,11 
15,16 
2,17 
35,80 
0 
 
 
 
 
Ms2 = 45 x 5 x 8,75 = 
Ms3 = 20 x 5 x 8,75 = 
Ms4 = 45 x 2,5 x 10 = 
Ms5 = 28,75 x 5 x 14,375 = 
 
 
3) Para X = 1,15m determine σ e 2 para os 
pontos dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_
2,4 
2,0
1,2
2tf
2
+
1,2
2,0
2
2tf
1,9
1,2 –2,4 
1,15 – x=2,3 tf.m 
 
 
YCG = (28 x 7 x 3,5) + ( 36 x 7 x 25) + ( 21 x 7 x 46,5) = 23,23 cm 
 (28 x 7) + (36 x 7) + (21 x 7) 
 
Jz = {(28 x 7³) + [28 x 7 x(23,23–3,5)]²} + {( 7 x 36³) + [36 x 7 x(23,23 – 25)²]} + 
 12 12 
 
...+ {(21 x 7³) + [21 x7 x(23,23 – 46,5)²]}= 185.303,01 cm4 
12 
 
 
R
4,5 tf.m
1,5
3
1
R
3tf
R
3,0
+
3,0
2
Ponto Y σ b Ms 2 
 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
08 
 
- 23,23 
- 16,23 
- 19,73 
- 19,73 
0 
+ 19,77 
+ 26,77 
+ 23,27 
 
 - 28,83 
- 20,14 
- 24,49 
- 24,49 
0 
24,54 
33,23 
28,88 
 
28 
7 
7 
28 
7 
7 
21 
7 
 
0 
28x7x19,73 = 3.867,08 
10,5x7x19,73 = 1.450,16 
28x3,5x21,48 = 2.105,40 
(28x7x19,73)+(16,23x7x8,12) = 4.789,69 
21x7x23,27 = 3.420,69 
0 
7x7x23,27 = 1.140,23 
 
0 
6,963 
2,236 
0,811 
7,385 
5,274 
0 
1,758 
 
σ = M .y = 230.000 .y 
 J 185.303,01 
 
2 = QMs = 2000 Ms 
1,5
_
 bJ 185.303,01 b 
4) Calcule os valores de σ e 2 para os pontos dados abaixo: 
 
515
2
4
_
Y (Simetria)
_
Z
5
30
15
3
1
20
,8
33
14
,6
67
5
6
7
Z
 
 
 
YCG = (45 x 5 x 2,5) + ( 30 x 15 x 20) = 14,667cm 
 (45 x 5) + (30 x 15) 
 
 
 
Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(17,66 – 2,5)²]}+ {(15 x 30³) + [15 x 30 x(14,66 – 20)²]} 
12 12 
Jz = 80.156,25 cm4 
 
 
Ponto Y σ b Ms 2 
 
01 
02 
03 
04 
05 
06 
07 
 
- 14,166 
- 9,166 
- 11,166 
- 11,166 
0 
10,416 
20,833 
 
- 79,53 
- 51,46 
- 62,69 
- 62,69 
0 
58,48 
116,96 
 
45 
15 
5 
45 
15 
15 
15 
 
0 
2.624,85 
874,95 
1.453,05 
3.255,10 
2.441,33 
0 
 
0 
3,27 
3,27 
0,604 
4,06 
3,05 
0 
σ = M .y = 450.000 =5,614y 
 J 80.156,25 
2 = QMs = 1.500 . Ms 
 bJ 80.156,25 b 
2 = 0,0187 . Ms = 
 b 
 
 
Ms1 = 0 
Ms2 = 5 x 45 x 11,67 = 2.624,85 
Ms3 = 15 x 5 x 11,67 = 874,95 
Ms4 = 2,5 x 45 x 12,92 = 1.453,05 
Ms5 = 20,833 x 5 x 0,5 = 3.255,10 
Ms6 = 10,42 x 15 x [20,833 – (10,42)] = 
Ms7 = 0 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Flexão simples - : Na viga com o carregamento abaixo, teremos os valôres da tensão normal σ 
dados pela relação: 
 σ = M. y 
 J 
 ⎧ M momento fletor na secção estudada 
Onde : ⎨ J momento de inércia da secção 
 ⎩ y cota do ponte em relação ao C.G. 
 
2) Flexão Composta Normal - : 
 
 Valor da tensão σ = N + Mz . y 
 S J 
 Obs.: deve-se adotar sempre o eixo y positivo para o lado tracionado da secção. 
 
3) Flexão Composta Oblíqua - : 
 σ = N + Mz . y + My . z 
 S Jz Jy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Ponto
	Ponto
	Jz = {(45 x 5³) + [45 x 5 x(17,66 – 2,5)²]}+ {(15 x 30³) + [
	S Jz Jy