UNB Exercicios 1 2019 1 Calculo 1

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Lista 01 para a segunda prova 
 
Teoria desta lista: Regra da cadeia, funções implícitas e 
funções trigonométricas. 
 
 
 
1.1. Derive as funções abaixo em relação a x. 
 
(i) 42 −= xy 
(ii) 342 −+= xxy 
(iii) ( )( )1234 52 +−−= xxxy 
(iv) 
4
5
2 −
+=
x
xy 
(v) 
4 2 23
2
+−
=
xx
xy 
(vi) 
3 62
2
−= x
xy 
(vii) 
1
824 2
−
−=
x
xy 
(viii) ( )( )xxx xy ++ −= 23 61 32 
(ix) ( ) 3 6 103 xxxy −⋅−= 
(x) ( )23220 xxxxy −⋅−+= 
(xi) ( ) 132 32 −−−⋅= xxxy 
(xii) ( ) 11 32 +−−= xxy 
(xiii) 
( ) ( )
( ) 1046
530
110
11


 −⋅+
−−=
xx
xxy 
(xiv) ( )33 12312 +−⋅+= xxxy 
 
1.2. Derive as funções abaixo sabendo que a, b e c 
são constantes e as demais variáveis são funções de 
x. 
 
(i) 563 xxy a −=
(ii) abccba xxy 63 −= ++
(iii) ( )52343 cbafbcxy a +−=
(iv) 12 +⋅−= fafy a 
(v) ( ) ( )abcabc cbagfy 63223 += 
(vi) 







+
⋅+⋅−⋅=
1
35
2
2
f
gfxagfy a 
(vii) 
5
2
2
1
35 







+
⋅−⋅−=
f
gfxabfby a 
(viii) ( ) 3−= afghy 
 
1.3. Sabendo que as expressões abaixo 
representam y com uma função implícita da variável 
x, encontre y′ em termos de x e y. 
 
(i) 322 +=+ xyxy
(ii) 10432 32 =+− yxyx
(iii) 323 2 −+=− xyxxyy
(iv) 052 2 =−− xxy 
(v) ( ) 1022 342 ++=+ yxyxy 
(vi) ( )35
32
12
15
21 +=+
− x
yx
x
 
 
1.4. Encontre as equações das retas tangente e 
normal às curvas representadas implicitamente pelas 
funções y(x) nos pontos ou ( 00 , yx ) 0xx = 
especificados. 
 
Nota: 
 
Verifique se o ponto dado satisfaz a relação 
entre as variáveis x e y. Por exemplo, considere 
que os dados do problema são: 
 e . Substituindo o 
ponto na equação temos que: 
,
o que é um absurdo! Para resolver o problema, 
o ponto deve fazer parte da curva. 
922 +=+ xyxy
922 +=+ xyxy
)5,0(=P
55 2 =+⋅ 925900 2 =→+→
 
(i) , no ponto 9322 +=+ yxyxy )3,0(=P . 
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LISTA 01 – SEGUNDA PROVA CÁLCULO 1 – PROF. RICARDO FRAGELLI 
(ii) , no ponto 9322 +=+ yxyxy )3,0( −=P . 
(iii) em . ( ) 9123 225 −+=+ xxyy )0,1(=P
(iv) 22 yxyxyx −=+⋅ em x 0=0. 
(v) 122 −−=+⋅ yxyxyx em . )1,4(=P
 
1.5. Derive as funções seguintes em relação a x. 
 
(i) ( ) 2sen xxxy −=
(ii) ( ) ( )( )3tancos xxy −= 
(iii) ( )52seccos 37 +−= xxy 
(iv) ( ) ( )( )5cos2senseccos 37 +−= xxy 
(v) ( )xxx
x
xy −⋅−+=
3seccos
1
sen
 
(vi) ( )( )( )xxy −= 3costansen 
(vii) ( )((( 33 cos1sen3cossec5 xxy −−⋅= ))) 
(viii) 
( )( )( )( )( )( )1sensensen coscoscos5 5
5
+⋅= x
xy 
 
1.6. Sabendo que a equação horária de um móvel 
é dada por , onde a, b e c são 
constantes, calcule e . Faça o mesmo para 
2)( ctbtatx ++=
)(tx& )(tx&&
)cos()( φ−wt⋅= Atx , onde A, w e φ são constantes. 
 
Nota: 
 
No exercício acima, e representam a 
velocidade e a aceleração do móvel. No 
primeiro caso, , tem-se um 
movimento retilíneo uniformemente variado 
(aceleração constante) e no segundo caso, 
)(tx&
) a=
)
)(tx&&
ctbt + 2(tx +
cos()( φ−⋅= wtAtx , objetiva-se estudar o 
movimento oscilatório sem amortecimento ou 
movimento harmônico simples (igual ao 
movimento de um pêndulo ou de um sistema 
massa-mola). 
 
1.7. Verifique que e xxy sen)( = xaxy sen)( ⋅= 
(onde a é uma constante) satisfazem a equação 
diferencial 0=+′′ yy . Existe uma outra função 
trigonométrica que também satisfaz a equação, qual 
é? Existe ainda uma combinação entre as duas que 
dá a solução geral da equação, ou seja, qualquer 
outra solução que alguém consiga encontrar será um 
caso particular da solução geral. Encontre a solução 
geral da equação. 
 
Nota: 
 
A equação acima ( ) representa uma 
equação diferencial, mais precisamente uma 
equação diferencial ordinária linear de segunda 
ordem. As equações diferenciais são 
encontradas durante todo o curso de 
engenharia e sua solução significa 
compreender o comportamento de um sistema 
real. Para tanto, é necessário que se conheça e 
domine as derivadas e regras de derivação 
ensinadas em Cálculo1 para conseguir resolver 
tais equações e proporcionar as inovações 
tecnológicas que todos almejamos. 
0=+′′ yy
 
 
 
 
 
 2