Analise Numérica de ondas de luz em sistemas de super-redes quasiperiodicas com simetria interna estrutural

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO 
MARANHÃO 
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA, PÓS-GRADUAÇÃO E INOVAÇÃO 
DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS – GRADUAÇÃO 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS BÁSICAS 
 
 
 
 
 
 
ISAIAS PEREIRA COELHO (ORIENTADORA) 
 
KAIQUE SILVA SANTOS (BOLSISTA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DE ONDAS DE LUZ EM SUPER-REDES 
QUASIPERIÓDICAS COM SIMETRIA INTERNA ESTRUTURAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imperatriz/MA 
2016 
 
ISAIAS PEREIRA COELHO (ORIENTADORA) 
 
KAIQUE SILVA SANTOS (BOLSISTA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INVESTIGAÇÃO NUMÉRICA DE ONDAS DE LUZ EM SUPER-REDES 
QUASIPERIÓDICAS COM SIMETRIA INTERNA ESTRUTURAL 
 
 
Relatório Final do Programa Institucional de Bolsas 
de Iniciação Científica (PIBIC) do IFMA/FAPEMA 
2015/2016, apresentado ao Departamento de 
Pesquisa e Pós-Graduação, enviado a 
coordenação do professor Dr. Isaias Pereira Coelho 
IFMA – Campus Imperatriz, celular nº (99) 98128-
8659, residente à Rua Delahe Fiquene nº 60, no 
Bairro Nova Imperatriz, na cidade de Imperatriz do 
Maranhão referente ao período compreendido entre 
o segundo semestre de 2015 e o primeiro de 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imperatriz/MA 
2016 
 
SUMÁRIO 
 
RESUMO .................................................................................................................... 4 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 5 
 
2 OBJETIVOS ............................................................................................................. 6 
 
2.1 Geral...................................................................................................................... 6 
2.2 Específicos ............................................................................................................ 6 
 
3 METODOLOGIA DETALHADA ............................................................................... 7 
 
4 ETAPAS REALIZADAS ........................................................................................... 8 
 
5 CRONOGRAMA .................................................................................................... 14 
 
5.1 Cronograma Original ........................................................................................... 14 
 
6 RESULTADOS ....................................................................................................... 15 
 
7 DISCUSSÃO .......................................................................................................... 28 
 
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 31 
 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 32 
 
REFERÊNCIAS ATUALIZADAS .............................................................................. 32 
 
 
4 
RESUMO 
 
O relatório apresentado a seguir traz em seu conteúdo uma apresentação e descrição 
das atividades que foram desenvolvidas pelo bolsista PBIC IFMA/FAPEMA, 
juntamente com a participação do orientador no período compreendido entre o 
segundo semestre de 2015 ao final do primeiro semestre de 2016. A pesquisa 
desenvolvida segue a ideologia central de compreender de forma avançada os efeitos 
da quasiperiodicidade associada com uma simetria interna estrutural, denominada de 
simetria espelho, sobre o espectro de multicamadas quasiperiódicas. O estudo 
objetivou-se no princípio de conhecimento mais detalhado de um material, onde pode-
se aplicar métodos mais próximos da realidade para detalhar cálculos numéricos, ou 
seja, se integrou a quasiperiodicidade interpretando a busca por uma metodologia 
mais real possível. Os resultados e informações apresentadas na pesquisa 
reproduzem a execução de atividade bibliográficas juntamente com o 
desenvolvimento de programas computacionais que simulassem a situação desejada 
de forma simples e coesa. As etapas seguidas e apresentadas no cronograma inicial 
do projeto foram respeitas e seguidas conforme planejadas, sendo respeitados todas 
as etapas de acervo bibliográfico, produção do programa de simulação e execução 
dos resultados. Devido ao seguimento respeitoso do cronograma os objetivos do 
projeto foram cumpridos conforme planejado anteriormente, apresentado assim 
resultados satisfatórios e lógicos. Durante a realização do projeto, pode-se 
compreender todas as estruturas teóricas que envolvem os termos de pré-requisito 
para a busca pelos resultados, sendo estes a literatura acerca do universo dos 
fundamentos da eletrodinâmica, em relação aos meios dielétricos, as equações de 
Maxwell e o comportamento das ondas eletromagnéticas. A partir desse arsenal 
teórico, foi possível a execução de cálculos das relações entre os vetores de campo 
magnético e campo elétrico, para depois estruturar a principal chave da pesquisa: 
estudar os efeitos da quasiperiodicidade associadas a uma simetria interna estrutural 
no espectro de transmissão das ondas de luz. Diante do trabalho realizado, foi 
construído um estudo base para o entendimento das ações da quasiperiodicidade 
interligada aos fundamentos da simetria espelho, que são a base para a análise 
interna de cada camada estruturada sequencialmente. Contudo, este sistema de 
pesquisa advém antecipadamente na base de estudos com sistemas estruturais 
periódicos como conceito prévio para a evolução final na utilização da 
quasiperiodicidade, sendo assim, este estudo inicial parte de cálculos para estes 
conceitos bases, com o intuito de se compreender toda a evolução desta linha de 
pesquisa. 
 
 
Palavras-chave: Ondas Eletromagnéticas. Quasiperiódicas. Calculo Numerico. 
5 
1 INTRODUÇÃO 
 
Atualmente grandes esforços têm sido feitos na manipulação de materiais 
com “ban gaps”, os chamados cristais fotônicos, na tentativa de fazer com que os 
fótons se tornem uma alternativa real como carregadores de informação, assim como 
os elétrons são no caso eletrônico. 
Da mesma maneira em que a periodicidade num cristal determina as bandas 
de energia e as propriedades de condução dos elétrons, a estrutura Periódica de um 
material fotônico em escala de comprimento de onda é, ou deve ser, a mais viável 
aproximação para o controle da energia e do fluxo de fótons através desse material. 
A analogia entre elétrons e fótons nesse caso pode ser vista como uma 
consequência da relação formal entre a equação de Maxwell e a equação de 
Schrödinger. “Comparando as duas equações, podemos ver que a permissividade 
dielétrica é para os fótons o análogo do potencial é para os elétrons” (COELHO, 2010, 
p. 13). 
Um dos pontos fundamentais em controlar a propagação de ondas de luz é 
como selecionar fótons de certas frequências e obter uma alta transmissividade 
nestas frequências desejadas. Com a inclusão das estruturas quasiperiódicas nos 
estudos dos cristais fotônicos, muitos parâmetros estruturais podem ser ajustados na 
produção desses sistemas, ampliando as possibilidades de aplicações tecnológicas 
em diversos campos. 
Especificamente, o cálculo do espectro de transmissão como função da 
energia, mostra um evidente comportamento auto similar, e o gráfico dos mapas de 
retorno deverá apresentar um padrão que depende apenas da sequência 
quasiperiódica usada para a construção do sistema. 
 
6 
2 OBJETIVOS 
 
2.1 Objetivo Geral 
 
Estudar os efeitos da quasiperiodicidade associadas a uma simetria interna 
estrutural no espectro de transmissão das ondas de luz. 
 
2.2 Objetivos Específicos 
 
 Estudar a propagação de ondas de luz em multicamadas fotônicas 
quasiperiódicas; 
 Calcular os coeficientes de transmissão; Calcular o fator de escalonamento; 
 Obter os mapas de retorno; 
 Introduzir o aluno em pesquisas científicas, colocando o aluno em contato com 
áreas atuais da física teórica. 
7 
3 METODOLOGIA DETALHADA 
 
No decorrer das primeiras etapas do estudo, referente ao período de início do 
segundo semestre de 2015 ao período final do primeiro semestre de 2016 agosto de 
2015 à 12 de fevereiro de 2016, foram implementadas ao cotidiano de trabalho 
métodos de pesquisa com o intuito organizacional e maximização de eficiência em 
busca dos resultados da pesquisa, dentre estes temos: A pesquisa exploratória, 
onde foi utilizado para reunir um levantamento de dados que norteiam a área do 
projeto a ser estudado, ou seja, esta técnica ajudou nos quesitos de compreensão 
com importância da pesquisa acerca de estruturas e propriedades de algumas 
materiais e a história que envolveu o crescimento desta área no mundo cientifico. A 
pesquisa bibliográfica que norteou os quesitos de guias de como deve se seguir os 
passos do projeto de acordo com outras pesquisas e livros que norteiam o tema, desta 
forma esta técnica auxilia no quesito da união de informações com ligação ao objetivo 
central do projeto analisando criteriosamente o que se definiria como auxílio direto 
para conclusões satisfatórias do mesmo. Ainda neste contexto, foram realizadas 
reuniões com a finalidade de discutir o trabalho em questão. 
 
8 
4 ETAPAS REALIZADAS 
 
 
 
Descrição das Atividades Desenvolvidas 
SEMANAS SETEMBRO/2015 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Elaboração Adequação 
Aperfeiçoamento do projeto; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Elaboração Adequação 
Aperfeiçoamento do projeto; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Elaboração Adequação 
Aperfeiçoamento do projeto; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Elaboração Adequação 
Aperfeiçoamento do projeto; 
 Reunião de planejamento. 
SEMANAS OUTUBRO/2015 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
9 
SEMANAS NOVEMBRO/2015 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
 
 
SEMANAS DEZEMBRO/2015 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
10 
 
 
 
SEMANAS JANEIRO/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
SEMANAS FEVEREIRO/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Elaboração do Relatório Parcial. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Elaboração do Relatório Parcial. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Elaboração do Relatório Parcial. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Elaboração do Relatório Parcial. 
11 
SEMANAS MARÇO/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamentoda bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
 
SEMANAS ABRIL/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Desenvolvimento do programa; 
 
12 
SEMANAS MAIO/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Reprodução do Programa; 
 Montagem dos gráficos; 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Reprodução do Programa; 
 Montagem dos gráficos; 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Reprodução do Programa; 
 Montagem dos gráficos; 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Reprodução do Programa; 
 Montagem dos gráficos; 
 
SEMANAS JUNHO/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final. 
 
13 
SEMANAS JULHO/2016 
Semana: 1. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento; 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final. 
Semana: 2. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final; 
 Entrega do Relatório Final. 
Semana: 3. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final; 
 Entrega do Relatório Final. 
Semana: 4. 
Responsáveis: Isaias, Kaique. 
Dias: Segunda, Terça, Quarta e Sexta. 
Turno: Matutino. 
Horário: 08:00/12:00. 
 Levantamento da bibliografia; 
 Revisão bibliográfica; 
 Reunião de planejamento. 
 Análise dos resultados e elaboração do 
Relatório Final; 
 Entrega do Relatório Final. 
 
 
 
 
14 
5 CRONOGRAMA 
 
5.1 Cronograma original 
 
ATIVIDADES 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 
Levantamento 
da bibliografia. 
 X X X X X X X X X X 
Revisão 
bibliográfica. 
 X X X X X X X X 
Elaboração/Ade
quação/Aperfeiç
oamento e 
Apresentação 
do Projeto. 
X X X X X 
Elaboração de 
instrumentos de 
pesquisa. 
 X X X X X X X 
Pesquisa de 
campo. 
 X X X X X X X 
Análise do 
material da 
pesquisa de 
campo. 
 X X X X X X X 
Redação da 
parte teórica. 
 X X X X X X X 
Sistematização 
do resultado da 
pesquisa de 
campo. 
 X X X X X 
Revisão da 
versão inicial do 
Relatório da 
Pesquisa. 
 X X X X X 
Adequação do 
texto final. 
 X X X X X 
Entrega do 
documento final. 
 X 
Apresentação 
do Relatório da 
Pesquisa. 
 X 
 
15 
6 RESULTADOS 
 
Com o objetivo central do projeto de estudar o comportamento da luz se 
propagando em uma estrutura dielétrica quasiperiódica com uma simetria espelho em 
seu interior, coube inicialmente buscar conceitos que resolvessem todos os 
questionamentos do estudante acerca da ideologia eletromagnética básica. A partir 
desse ponto, o entendimento do meio no qual irá ocorrer a propagação é tido como 
prioridade inicial, com isso, o primeiro estudo desenvolvido foi direcionado para a 
análise do meio dielétrico. 
 
Um material dielétrico ideal é o que não tem cargas livres. Contudo, todos os 
meios materiais se compõem de moléculas, que, por sua vez, se constituem 
de entidades carrega-das (núcleos atômicos e elétrons); as moléculas do 
dielétrico são certamente afetadas pela presença de um campo elétrico 
(REITZ et al, 1982, p. 79). 
 
Contudo, nesta mesma analise se compreenderia a presença de cargas 
energizadas em sua formação, seus prótons e elétrons, que mesmo admitindo a 
qualidade do átomo como um todo neutro, não se deve negar a influência direta que 
um campo elétrico possui em seu comportamento, tendo em vista que as partículas 
positivas tenderiam a mover-se em direção ao campo elétrico e as partículas 
negativas em sentido oposto. 
A partir dessa afirmação, que se estruturaria o comportamento dos meios 
dielétricos, pois nessas estruturas ocorrem um fenômeno denominado força 
restauradora, que limita esse afastamento das partículas positivas e negativas. Assim 
pode-se compreender os dois termos distintos que caracteriza ou não um material 
como sendo dielétrico, “cargas ligadas” e “cargaslivres”. 
Com estes pontos definidos, pode-se fundamentar a ideologia do campo 
elétrico que interage com este meio dielétrico, denota-se ao estudo do fator campo no 
mesmo, a ocorrência tanto interna quanto externa deste atuante dentre as moléculas 
da estrutura dielétrica, contudo, para o foco central aqui em questão, apenas o 
primeiro necessita de uma análise mais extensa. Baseado nisto, a afirmação de John, 
Frederick e Robert ajuda a definir um conceito primordial para um campo elétrico 
internamente desenvolvido. 
 
16 
Um enfoque alternativo e. talvez, preferível consiste em definir o campo 
elétrico diretamente em termos de uma experiência macroscópica: o campo 
elétrico (macroscópico) é a força por unidade de carga sobre uma carga teste 
imersa no dielétrico, no limite onde a carga teste é tão pequena que não afeta, 
por si mesma, a distribuição de carga. Esta carga teste deverá ser 
dimensionalmente pequena do ponto de vista macroscópico (o que 
denominaremos carga "pontual"), porém deverá ser grande comparada com 
o tamanho de uma molécula. (REITZ et al, 1982, p.84) 
 
Munidos destes dois conceitos básicos, é possível evoluir no tratamento da 
ação e comportamento de ondas eletromagnéticas, cuja compreensão esta estipulada 
nos objetivos do projeto. 
Ao se estudar inicialmente as ondas eletromagnéticas logo surge na mente o 
nome do cientista escocês James Clerck Maxwell, fator de sua ligação direta com a 
evolução dos princípios norteadores destes tipos de ondas com suas famosas 
equações de Maxwell. Para a implementação na estrutura do projeto foi-se estudado 
ondas planas monocromáticas em meios não condutores, ou seja, são ondas que 
independente do ponto ou do instante que está sendo estudado possuem uma fase 
constante. 
Para a solução dos nossos problemas acerca da propagação das ondas 
tomasse a ideologia de um caso mais especifico, onde a arbitrariedade da direção de 
desenvolvimento da mesma se torna quesito indesejável para a situação. Desta forma 
a característica dos vetores por meios de escolha serem guiados em direção ao eixo 
z, construindo assim um termo exponencial para o tempo (t) e espaço (r) constantes, 
como se dá na Eq. (1). 
 
𝑘 ∙ 𝑟 − 𝜔𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (1) 
 
Onde k e r são vetores unitários um representado a direção z de propagação 
e o outro o espaço respectivamente. 
Através desta conclusão pode-se forma uma regra geral para o campo elétrico 
e magnéticos tanto em níveis espaciais quanto temporais, como apresentado na Eq. 
(2) e Eq. (3). 
 
𝐸(𝑟, 𝑡) = Ê𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘∙𝑟) (2) 
𝐵(𝑟, 𝑡) = �̂�𝑒−𝑖(𝜔𝑡−𝑘∙𝑟) (3) 
17 
Onde Ê é uma síntese vetorial da amplitude da onda plana, definida de forma 
constante, para uma interligação com as Equações de Maxwell. 
Para o desenvolvimento de uma forma matemática que possa representar os 
detalhes da onda plana que será analisada, utiliza-se do desenvolver das Equações 
de Maxwell. Compreendendo também que por estar utilizando-se da ambientação de 
dielétricos não aplicasse correntes elétricas (Eq. 4) (Eq. 5) (Eq. 6) (Eq. 7). 
 
∇ ∙ 𝐷 = 0 (4) 
∇ ∙ 𝐵 = 0 (5) 
∇ × E = −
𝜕𝐵
𝜕𝑡
 (6) 
∇ × 𝐻 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
 (7) 
 
A partir dessas formas é possível manuseá-las com o intuito de atribuir as 
constantes da onda nestas equações anteriores, assim sendo, deriva-se parcialmente 
em termos temporais a Eq. (1), além de relacionar o operador gradiente em notação 
imaginaria na direção de propagação. Assim, as Equações de Maxwell para ondas 
planas poderá ser defina como: 
 
𝑘 ∙ �̂� = 0 (08) 
𝑘 ∙ �̂� = 0 (09) 
𝑘 × �̂� = 𝜔�̂� (10) 
𝑘 × �̂� = −𝜔�̂� (11) 
 
Em sequência, cabe a necessidade de concluir matematicamente as relações 
de deslocamento elétrico �̂� e o campo de magnetização �̂�. Sendo o primeiro partindo 
da definição dada anteriormente na presença do campo elétrico nos meios dielétricos, 
onde ocorreria a necessidade de um momento de dipolo elétrico no fator polarização 
(P), como se define na Eq. (12). 
 
�̂� = 𝜖𝑂Ê + 𝑃 (12) 
 
Onde o termo 𝜖𝑂 se refere a permissividade elétrica no vácuo. Sendo assim, 
aplicando esta constante a uma situação ambiente de um meio linear de dipolo, 
18 
compreende-se que neste sistema existe uma ligação direta entre o momento de 
dipolo elétrico e o próprio campo elétrico, apresentado a formulação da Eq. (13). 
 
𝑃 = 𝜖𝑂𝜒Ê (13) 
 
Onde 𝜒 é qualificado como susceptibilidade elétrica do material. Assim sendo, 
pode-se relacionar a Eq. (12) e Eq. (13), para um evidencia no campo elétrico presente 
nas duas etapas, culminando em uma relação de susceptibilidade com a 
permissividade, fator que pode ser denominado como um novo tipo de permissividade, 
neste caso, relativa (𝜖). Com estes passos pode-se formar assim a Eq. (14). 
 
�̂� = 𝜖Ê (14) 
 
De forma análoga pode-se repetir os mesmos passos para desenvolver uma 
expressão similar para o campo magnético H, contudo, neste caso cabe salientar que 
não tratamos em meio a dipolos elétricos de polarização e sim de magnetização, 
surgindo assim uma permissividade magnética relativa (µ) como apresentado na Eq. 
(15). 
 
�̂� =
1
𝜇
�̂� (15) 
 
Sendo assim, é possível partir para uma nova formulação dos vetores 
magnético e elétrico nas Equações de Maxwell, determinado que os nossos meios de 
trabalho são caracterizados por não serem magnéticos. Assim sendo, a primeiro ponto 
se redefine a permissividade relativa magnética equivalente a permissividade 
magnética no vácuo. Rearranjando a partir das definições das Eq. (16) e Eq. (17). 
 
𝜖 = 𝐾𝜖𝑜 (16) 
𝜖𝑜𝜇𝑜 =
1
𝑐2⁄ (17) 
 
Onde K é a constante dielétrica e c a velocidade da luz no vácuo. A partir 
destas constantes, é possível concluir uma formulação satisfatória para as Equações 
19 
de Maxwell, onde se apresenta todas de forma simplificada referente aos termos de 
frequência e direção. 
 
𝐾𝑘 ∙ �̂� = 0 (18) 
𝑘 ∙ �̂� = 0 (19) 
𝑘 × �̂� = 𝜔�̂� (20) 
𝑘 × �̂� = −
𝜔
𝑐2
�̂� (21) 
 
A partir destas que poderá se definir a formulação geral do campo magnético 
e elétrico que será interpretado na progressão interna das estruturas de super-redes 
quasiperiódicas. Definindo assim, a Eq. (22), a partir da Eq. (2). 
 
𝐸(𝑟, 𝑡) = ∑ �̂�(𝑘𝑖𝑖 , 𝜔𝑖)exp⁡[−𝑖(𝜔𝑖𝑡 − 𝑘𝑖 ∙ 𝑟)] (22) 
 
Inspirado nesta conclusão, parte-se ao objetivo de estipular as matrizes de 
transferência da propagação da luz. Onde consideramos uma situação em que um 
feixe de luz monocromática viaja dentre um sistema de sobreposição de multicamadas 
com uma angulação 𝜃𝑐 em direção a normal da sequência de camadas. As estruturas 
trabalhadas podem ser ilustradas a partir da Fig. (1), a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
Figura 1 – Estrutura de multicamadas periódicas 
 
 
 
Fonte: (COELHO, 2010) 
 
Nesta estrutura compreendesse um sistema periódico formado por dois meios 
dielétricos (A e B) que possuem notação de índice de refração diferenciados entre si 
(𝑛𝐴⁡𝑒⁡𝑛𝐵). 
Compreendendo que o campo elétrico e o campo magnético são 
perpendiculares dentre todas as três dimensões do espaço, aplicasse a analise 
elétrica apenas no eixo Y e a magnética nos eixos X e Z., como forma de convenção 
para o cálculo. 
Com base na Eq. (22) pode-se estipular sequencias tanto elétrica quanto 
magnética em cada eixo do movimento. Formulando assim as Eq. (23), Eq. (24) e Eq. 
(25). 
 
𝐸𝑦𝑗
(𝑁)
= [𝐴1𝑗
(𝑁) exp(𝑖𝑘𝑧𝑗𝑧) + 𝐴2𝑗
(𝑁) exp(−𝑖𝑘𝑧𝑗𝑧)]exp⁡(𝑖𝑘𝑥 − 𝑖𝜔𝑡) (23) 
𝐻𝑥𝑗
(𝑁)
= 𝑛𝑗 cos 𝜃𝑗 [𝐴1𝑗
(𝑁) exp(𝑖𝑘𝑧𝑗𝑧) − 𝐴2𝑗
(𝑁) exp(−𝑖𝑘𝑧𝑗𝑧)]exp⁡(𝑖𝑘𝑥 − 𝑖𝜔𝑡)(24) 
𝐻𝑧𝑗
(𝑁)
= −𝑛𝑗 sin 𝜃𝑗 [𝐴1𝑗
(𝑁) exp(𝑖𝑘𝑧𝑗𝑧) − 𝐴2𝑗
(𝑁) exp(−𝑖𝑘𝑧𝑗𝑧)]exp⁡(𝑖𝑘𝑥 − 𝑖𝜔𝑡) (25) 
21 
Onde os termos representados por 𝐴1𝑗
(𝑁)
 e 𝐴2𝑗
(𝑁)
, são as amplitudes da onda 
na trajetória de incidência e reflexão, o j representa cada meio dielétrico onde está se 
efetuando o cálculo e o N é a simbologia da sequência de camadas que a onda está 
se desenvolvendo. 
A partir deste ponto se relaciona os pontos de interação do meio interno 
com o meio externo, o vácuo, para que assim possa se aplicar as condições de 
contorno onde z seria denominado como nulo. Assim sendo pode-se a partir da Eq. 
(26) aplicarmos os vetores de campo elétrico apresentados anteriormente para 
concluir uma primeira síntese das relações de amplitude, apresentado na Eq. (27). 
 
𝐸𝑥𝐶
(0)
= 𝐸𝑥𝐴
(1)
 (26) 
𝐴1𝐶
(0) + 𝐴2𝐶
(0) = 𝐴1𝐴
(1) + 𝐴2𝐴
(1)
 (27) 
 
Onde C representaria a camada transparente externa aos meios dielétricos, 
ou seja, o vácuo. De forma análoga podemos buscar outra formulação das amplitudes, 
contudo apresentando também a ordem direcional de propagação, onde a partir da 
mesma de uma derivação previamente à aplicação das condições de contornos, nos 
proporcionara a Eq. (28). 
 
𝑘𝑧𝐶[𝐴1𝐶
(0) − 𝐴2𝐶
(0)] = 𝑘𝑧𝐶[𝐴1𝐴
(1) − 𝐴2𝐴
(1)] (28) 
 
Fazendo uso da Eq. (28) e isolando 𝐴1𝐶
(0)
 e 𝐴2𝐶
(0)
, tem assim a Eq. (29) e Eq. (30). 
 
𝐴1𝐶
(0)
=
1
2
[1 +
𝑘𝑧𝐴
𝑘𝑧𝐶
] 𝐴1𝐴
(1) +
1
2
[1 −
𝑘𝑧𝐴
𝑘𝑧𝐶
] 𝐴2𝐴
(1)
 (29) 
𝐴2𝐶
(0)
=
1
2
[1 −
𝑘𝑧𝐴
𝑘𝑧𝐶
] 𝐴1𝐴
(1) +
1
2
[1 +
𝑘𝑧𝐴
𝑘𝑧𝐶
] 𝐴2𝐴
(1)
 (30) 
 
De forma análoga, reproduzindo os mesmos passos para outras interações 
de camadas, assim sendo, é possível produzir a seguinte sequência de equações, na 
passagem da onda pela camada A para a B, onde z seria atribuído como a espessura 
do meio A (𝑑𝐴). 
 
 
22 
𝐴1𝐴
(1)
𝐹𝐴 + 𝐴2𝐴
(1)
𝐹𝐴̅̅ ̅=𝐴1𝐵
(2) + 𝐴2𝐵
(2)
 (31) 
𝑘𝑧𝐴[𝐴1𝐴
(1)𝐹𝐴 − 𝐴2𝐴
(1)𝐹𝐴̅̅ ̅]=𝑘𝑧𝐵[𝐴1𝐵
(2) − 𝐴2𝐵
(2)] (32) 
𝐴1𝐴
(1)
=
1
2
𝐹𝐴̅̅ ̅ {[1 +
𝑘𝑧𝐵
𝑘𝑧𝐴
] 𝐴1𝐵
(2) +
1
2
[1 −
𝑘𝑧𝐵
𝑘𝑧𝐴
] 𝐴2𝐵
(2)} (33) 
𝐴2𝐴
(1)
=
1
2
𝐹𝐴 {[1 −
𝑘𝑧𝐵
𝑘𝑧𝐴
] 𝐴1𝐵
(2) +
1
2
[1 +
𝑘𝑧𝐵
𝑘𝑧𝐴
] 𝐴2𝐵
(2)} (34) 
 
Sendo que se denotou a Eq. (35) e Eq. (36), como arranjo matemático de 
forma a simplificar as demais equações. 
 
𝐹𝐴 = exp⁡(𝑖𝑘𝑧𝐴𝑑𝐴) (35) 
𝐹𝐴̅̅ ̅ =
1
𝐹𝐴
⁄ (36) 
 
A partir dessas conclusões, foram gerados os termos matriciais da 
transmissão da luz entre os meios, gerando a Eq. (37), com raios de ondas 
eletromagnéticas de angulação de incidência obliqua. 
 
𝑀𝛼𝛽 = (
1 +
𝑘𝑧𝛽
𝑘𝑧𝛼
1 −
𝑘𝑧𝛽
𝑘𝑧𝛼
1 −
𝑘𝑧𝛽
𝑘𝑧𝛼
1 +
𝑘𝑧𝛽
𝑘𝑧𝛼
) (37) 
 
Onde 𝛼 e 𝛽 são representações das camadas possíveis diante da trajetória 
que a onda tenderá a percorrer. Da mesma forma, poderá concluir uma visão 
individual da luz em cada camada, culminando na Eq. (38). 
 
𝑀𝛾 = (
exp⁡(−𝑖𝑘𝑧𝛾𝑑𝛾) 0
0 exp⁡(𝑖𝑘𝑧𝛾𝑑𝛾)
) (38) 
 
Atribui-se assim, 𝛾 como sendo a camada que deve ser analisada. Assim 
sendo, apresentando termos matriciais de forma a simbolizar a interligação da luz pela 
trajetória C/A tem-se Eq. (39), e pela trajetória A/B tem-se Eq. (40). 
 
(
𝐴1𝐶
(0)
𝐴2𝐶
(0)
) = 𝑀𝐶𝐴 (
𝐴1𝐴
(1)
𝐴2𝐴
(1)
) (39) 
23 
(
𝐴1𝐴
(1)
𝐴2𝐴
(1)
) = 𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵 (
𝐴1𝐵
(2)
𝐴2𝐵
(2)
) (40) 
 
Analisando estas conclusões e relações matemáticas estabelecidas ao longo 
da pesquisa, pode-se fomentar a questão central de generalização para a matriz de 
transmissão (T) em sistemas periódicos, Eq. (42) e reflexão (R) Eq. (43) cuja ordem 
está representado na Eq. (41). 
 
𝑀 = 𝑀𝐶𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴…𝑀𝐵𝑀𝐵𝐶 (41) 
𝑇 = |
𝐴1𝐶
(𝑁)
𝐴1𝐶
(0) |
2
= |
1
𝑀11
|
2
⁡ (42) 
𝑅 = |
𝐴2𝐶
(𝑁)
𝐴1𝐶
(0) |
2
= |
𝑀21
𝑀11
|
2
⁡ (42) 
 
Partindo desses patamares gerais em níveis periódicos, é possível evoluir os 
termos e adentramos ao ponto central do projeto, matriz de transferência para uma 
multicamada de Fibonacci com simetria espelho. Para se formular a sequência da 
superposição das camadas, podemos utilizar da sequência padronizada denominada, 
sequência de Fibonacci. 
O desenvolvimento de cada geração da sequência pode ser feito, atribuindo 
seguidas substituições de termos, onde em cada camada anterior será atribuída da 
forma: A será substituído por AB e B será substituído por B. A partir deste princípio 
poderá se gerar uma sequência de gerações de sobreposição (S), onde se aplica o 
sistema espelho para refletir as camadas no mesmo padrão. 
 
𝑆1 = 𝐴 → 𝐴 (43) 
𝑆2 = 𝐴𝐵 → 𝐵𝐴 (44) 
𝑆3 = 𝐴𝐵𝐴 → 𝐴𝐵𝐴 (45) 
𝑆4 = 𝐴𝐵𝐴𝐴𝐵 → 𝐵𝐴𝐴𝐵𝐴 (46) 
 
24 
Onde a partir de cada uma dessas equações podemos desenvolver um 
sistema de transferência englobando tanto a sequência de Fibonacci, quanto o 
sistema de simetria espelho. 
Para a primeira geração temos as seguintes equações, relacionando a Eq. 
(43) como sobreposição de camadas: 
 
𝑀1 = 𝑀𝐶𝐴𝑀𝐴 → 𝑀𝐴𝑀𝐴𝐶 (47) 
𝑀1 = 𝑀𝐶𝐴𝑇1 → 𝑇1̅𝑀𝐴𝐶 (48) 
𝑀1 = 𝑀𝐶𝐴𝜏1𝑀𝐴𝐶 (49) 
 
Onde os termos 𝑇1, 𝑇1̅⁡𝑒⁡𝜏1⁡são relações matemáticas de simplificação da 
matriz, onde os dois primeiros representam os temos intermediários dentre as 
camadas e o último como a relação dos anteriores. De forma similar, podemos 
desenvolver os mesmo para a segunda geração baseados na Eq. (44). 
 
𝑀2 = 𝑀𝐶𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵 → 𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐶 (50) 
𝑀2 = 𝑀𝐶𝐴𝑇2 → 𝑇2̅𝑀𝐴𝐶 (51) 
𝑀2 = 𝑀𝐶𝐴𝜏2𝑀𝐴𝐶 (52) 
 
De maneira análoga, tem-se as equações para a terceira geração, guiado 
pelos termos da Eq. (45). 
 
𝑀3 = 𝑀𝐶𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴𝑀𝐴 → 𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐶 (53) 
𝑀3 = 𝑀𝐶𝐴𝑇3 → 𝑇3̅𝑀𝐴𝐶 (54) 
𝑀3 = 𝑀𝐶𝐴𝜏3𝑀𝐴𝐶 (55) 
 
A partir dos mesmos passos podemos, enfim, gerar a equações para a quarta 
geração, dessa forma podemos utilizar da Eq. (46), para formular as próximas 
conclusões. 
 
𝑀4 = 𝑀𝐶𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵 → 𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐵𝑀𝐵𝑀𝐵𝐴𝑀𝐴𝑀𝐴𝐶 (56) 
𝑀4 = 𝑀𝐶𝐴𝑇4 → 𝑇4̅𝑀𝐴𝐶 (57) 
𝑀4 = 𝑀𝐶𝐴𝜏4𝑀𝐴𝐶 (58) 
25 
Notou-se ao decorrer das execuções destas e mais geração das sequencias 
de Fibonacci, a existência de um padrão nas matrizes de transferência, a partir da 
quarta rotina de substituições até sua n-ésima repetição. Podemos assim apresentar 
as seguintes equações como representações generalizadas desta sequência. 
 
𝑀𝑛 = 𝑀𝐶𝐴𝜏𝑛𝑀𝐴𝐶 (59) 
𝜏𝑛 = 𝑇𝑛 → 𝑇𝑛̅̅ ̅ (60) 
𝑇𝑛 = {
𝑇|𝑛−1𝑀𝐵𝐴𝑇𝑛−2⁡⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑛⁡𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑇𝑛−1𝑇𝑛−2⁡⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑛⁡𝑝𝑎𝑟
 (61) 
𝑇𝑛̅̅ ̅ = {
�̅�𝑛−2𝑀𝐴𝐵�̅�𝑛−1⁡⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑛⁡𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
�̅�𝑛−2�̅�𝑛−1⁡⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑛⁡𝑝𝑎𝑟
 (61) 
 
A partir dessas conclusões que se desenvolveu as estruturas sequenciais que 
envolvem os sistemas principais do projeto, compreendendo que estas etapas que 
foram apresentadas anteriormente se tornam cruciais ao ponto de desenvolver um 
padrão organizado na sobreposição de dois meios dielétricos para a partir deste 
desenvolver o trabalho computacional. 
Assim sendo a programação computacional pode ser desenvolvida, centrando 
nos períodos sequenciais de Fibonacci traçando gráficos com a simetria espelho, 
relacionando o eixo de Transmissão com a frequência. Apresentando desta forma os 
gráficos a seguir. 
 
Gráfico 1 – Terceira sequência de Fibonacci com simetria espelho 
 
 
 
 
Fonte: AutoriaPessoal 
26 
 
Gráfico 2 – Quarta sequência de Fibonacci com simetria espelho 
 
 
 
Fonte: Autoria Pessoal 
 
Gráfico 3 – Quinta sequência de Fibonacci com simetria espelho 
 
 
 
Fonte: Autoria Pessoal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
Gráfico 4 - Sexta sequência de Fibonacci com simetria espelho 
 
 
 
Fonte: Autoria Pessoal 
 
Gráfica 5 – Sétima sequência de Fibonacci com simetria espelho 
 
 
 
28 
7 DISCUSSÃO 
 
Os trabalhos realizados com o uso de nanotecnologia, são fontes de 
constantes de estudos e é uma das áreas que mais ganha destaque no ramo da 
ciência. A presente área de conhecimento se refere ao comportamento e manipulação 
de estruturas em escalas moleculares, com o intuito de conhecer as estruturas mais 
comuns do cotidiano e ao mesmo tempo modificá-las com a intenção de maximizar 
sua eficiência. 
No que diz respeito aos benefícios proporcionados pela nanotecnologia, 
podem ser citados vários meios que rumam para a evolução da vida moderna como: 
gravadores com memórias mais extensas, sensores mais precisos, leitores 
magnéticos, estruturas semicondutoras, microchips, celulares, entre outros. Este ramo 
de pesquisa se liga inteiramente ao projeto desenvolvido, quando interpretado na 
visão da nanofotônica, que pode ser definida pela afirmação de Hamilton como: 
 
Um dos campos mais promissores dentro desta área é Nanofotônica, que é 
uma ciência recente, mas bem definida. O termo fotônica diz respeito à 
ciência da geração, emissão, absorção e detecção de luz próxima do visível 
(100nm-2µm). A fotônica tem sua origem na identificação dos fenômenos de 
interferência da luz por Isaac Newton e na predição das propriedades 
refletivas de um meio periódico por Lord Rayleigh, por volta de 1880 (LEITE, 
2013, p.1) 
 
O trabalho aqui desenvolvido, demonstrou-se pertencer a uma linha de 
pesquisa bastante evolutiva em relação aos pensamentos comuns no que diz respeito 
a sistemas físicos. Desta forma, compreende-se que a ideologia de estudar a base 
destes sistemas parte de conhecer uma ordem que possa corresponder a sua 
característica padrão de reconhecimento. 
Ao se analisar a evolução da tecnologia humana, nota-se o quão importante 
é o conhecimento das propriedades da matéria para a evolução e sobrevivência da 
humanidade. Neste sentido, toma-se como exemplo o desenvolvimento industrial que 
move a economia mundial ao longo de vários séculos, sendo que a mesma, a partir 
do conhecimento da qualidade, rigidez, volatilidade, resistência entre outras 
propriedades de cada material natural, pôde-se desenvolver objetos que sanaram 
algumas das necessidades humanas ao longo da história. Tal afirmação pode ser 
constatada por John, Steve, Joshua e Robert no livro Photonic Crystals. 
 
29 
Muitos dos verdadeiros avanços na nossa tecnologia foram tidos por meio de 
um conhecimento mais profundo das propriedades dos materiais. O 
conhecimento dos nossos ancestrais da Idade da Pedra, através do ferro, é 
em grande parte, uma história de crescente reconhecimento da humanidade 
da utilidade de materiais naturais, a fabricação de ferramentas de moda com 
base em seu conhecimento da resistência da pedra e da dureza do ferro. Em 
cada caso, a humanidade aprendeu a extrair um material em forma de terra, 
cujas propriedades fixas provaram ser úteis. (JOANNOPOULOS et al, 2008, 
p. 01) 
 
Com o desenvolver e a evolução da sociedade, pode-se introduzir neste 
meio de conhecimento das propriedades dos materiais, uma análise diferenciada em 
relação ao seu comportamento baseado no eletromagnetismo. O avanço da física 
neste patamar possibilitou aos cientistas uma análise mais qualificada acerca dos 
níveis de transmissão e reflexão dos materiais. Em meio a esta nova forma de 
observação, resultou-se a série de recursos novos que puderam ser produzidos como 
por exemplo ligas metálicas, cerâmicas e outros materiais que serão base do avanço 
tecnológico deste século. 
O foco deste respectivo trabalho advém dos estudos acerca de 
multicamadas fotônicas quasiperiódicas, em uma análise total de sua estrutura, dessa 
forma, se utiliza no seu meio de simetria interno para fim de cálculos numéricos, um 
sistema denominado de simetria espelho. 
Buscou-se investigar acerca da propagação de ondas eletromagnéticas em 
um sistema de estrutura quasiperiódicas em níveis nanoscópicos se utilizado dos 
princípios formadores da sequência de Fibonacci, onde basicamente se constitui um 
alinhamento de blocos justapostos seguindo a geração estipulado pela sequência 
utilizada. 
Em relação aos resultados computacionais foram utilizados os valores e 
estruturas conhecidas como o dióxido de silício para as relações da camada A e o 
dióxido de titânio para as relações da camada B. A escolha para o estudo aplicado a 
estes materiais são sua qualidade padrão em não absorver radiação de ondas 
eletromagnéticas acima de 400 nm. Na estrutura do programa desenvolvido foi 
utilizado uma metragem de 700 nm para o comprimento de onda incidente, 
interpretando que o comprimento óptico para as camadas equivale a um quarto do 
comprimento de onda incidente. Em relação ao índice de refração das substancias 
envolvidas aplicou-se como 𝑛𝐴 = 1,45⁡ e 𝑛𝐵 = 2,30 sendo os mesmo responsáveis 
diretos para espessura de cada camada. 
30 
Em foco a origem da fonte eletromagnética convencionasse como o vácuo, 
assim sendo os cálculos envolvendo a camada C se aplica um índice de refração de 
𝑛𝑐 = 1. 
Nota-se que nos gráficos podem ser notados um padrão de perfeição de 
transmissão das ondas eletromagnéticas no eixo em que a frequência reduzida se 
torna 1, sendo que ao seu redor se repetem estes pontos perfeitos em relação ao 
centro. A sua volta notasse uma queda nos níveis de transmissão das ondas, onde 
estão localizados os gaps fotônicos, ou seja, são locais onde o comprimento de onda 
impede a passagem da luz de forma livre. 
Um fator notório se aparenta na comparação do Gráfico 1 com o Gráfico 5, 
onde os pontos em que existem a transmissão perfeita de luz cresce 
exponencialmente, reforçando a conclusão de que quanto maior a sequência de 
Fibonacci mais pontos de transmissão perfeitos. 
 
31 
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Após uma profunda interação com os termos bibliográficos teóricos do 
comportamento de materiais dielétricos, cálculos matriciais pontuais de transmissão e 
reflexão de onda eletromagnéticas e desenvolvimento computacional destes sistemas 
unidos, foi possível concluir algumas peculiaridades acerca da característica de 
materiais quando sobrepostos a uma irradiação de luz. 
Após uma análise das estruturas em simetria espelho pode-se concluir a 
inteira ligação entre a simetria espelho com relação aos picos de perfeição na 
transmissão das ondas eletromagnéticas, montando assim um acréscimo significativo 
ao ponto de aplicar o espelhamento na sequência de quasiperiodicidade, além de 
interpretar os pontos band gaps fotônicos parciais e integrais em partes de sequencias 
de Fibonacci mais elevadas. Provando desta forma valores finitos de frequências 
relativas que demando uma facilidade maior as ondas de luz à se transmitirem na 
substantivas, bem como pontos de quase totalmente inviabilidade de transmissão das 
mesmas. 
 
32 
REFERÊNCIAS 
 
C. Janot, Quasicrystals: a primer (Oxford University Press, Oxford, 1993). 
 
 
E.L. Albuquerque, M.G. Cottam, Polaritons in Periodic and Quasiperiodic Structures, 
Elsevier, Amsterdam, 2004. 
 
 
J. Frenkel, Princípios de Eletrodinâmica Clássica, Editora Edusp, são Paulo (1996). 
 
 
J.M., Photonic Crystals, 2 ed. Editora Springer (2008). 
 
 
J.R. Reitz, F.J. Milford e R.W.Christy, Fundamentos da Teoria Eletromagnética, 
Editora Campus, Rio de Janeiro (1982). 
 
 
M. S. Vasconcelos, E. L. Albuquerque e A. M. Mariz, J. Phys. C: Condens. Matter 10, 
(1998) 5839. 
 
 
X. Huang, Y. Wang and C. Gong, J. Phys. Condens. Matter, 11 (1999) 7645 – 7651. 
 
X. Huang, Y. Wang and C. Gong, J. Phys. Condes. Matter 11 (1999) 7645-7651. 
 
 
W. Gellermam, M. Kohmoto, B. Sutherland and P.C. Taylor, Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 
633. 
 
REFERÊNCIAS ATUALIZADAS 
 
COELHO, Isaías Pereira. Excitações elementares em super-redes 
quasiperiódicas com simetria espelho [dissertação]. Natal: Universidade Federal 
do Rio Grande do Norte, 2010. 
 
 
JOANNOPOULOS, Jonh D. JOHNSON, Steven G. WINN, Joshua N. MEADE, Robert 
D. Photonic Crystals. Princeton University Press, 2008. 
 
 
LEITE, Hamilton Dias. Propagação da luz em meios periódicos unidimensionais: 
cristais fotônicos [monografia]. Vitória: Universidade Federal do Espírito Santo, 
2013. 
 
33 
PARECER DA ORIENTADORA SOBRE AS ATIVIDADES DA BOLSISTA 
 
Foram desenvolvidas as atividades planejadas tais como: leituras e revisão de 
monografias, dissertações, artigos referentes a investigação numérica de ondas de 
luz em super-redes quasiperiódicas com simetria interna estrutural ; revisão 
bibliográfica; análise do material computaciomnal; redação da parte teórica; revisão 
versão inicial do relatório de pesquisa; adequação do texto final; entrega do 
documento final 
 
 
 
 
 
Atenciosamente, 
 
 
 
 
 
 
ISAIAS PEREIRA COELHO 
 
Orientador da Pesquisa 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imperatriz, 28 de julho de 2016 
 
 
34 
Relatório Final do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica 
(PIBIC) do IFMA/FAPEMA 2015/2016, apresentado ao Departamento de Pesquisa e 
Pós-Graduação, enviado a coordenação do professor Dr. Isaias Pereira Coelho IFMA 
– Campus Imperatriz, celular nº (99) 98128-8659, residente à Rua Delahe Fiquene, nº 
60 Bairro Nova Imperatriz na cidade de Imperatriz do Maranhão referente ao período 
do segundo semestre de 2015 ao final do primeiro semestre de 2016. 
 
 
 
 
__________________________________________________ 
ISAIAS PEREIRA COELHO (ORIENTADORA) 
 
 
 
 
 
___________________________________________________ 
KAIQUE SILVA SANTOS (BOLSISTA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imperatriz, 28 de julho de 2016 
35