04.Vetores Plano Espaco

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4. Vetores no Plano e no Espaço
LOB 1036 - Geometria Analítica
Profa. Paula C P M Pardal
LOB 1036
� Grandeza Escalar x Grandeza Vetorial.
� Reta orientada� Segmento Orientado.
� SO: medida, direção, sentido.
� SOs equipolentes� Vetores.
� Vetores: Iguais – Nulo – Unitário – Opostos – Versor – Colineares – Coplanares.
� Operações com Vetores
� Adição/Diferença.
� Multiplicação por Escalar.
� Dependência e Independência Linear.
Relembrando …
2
LOB 1036
� TEOREMA: Seja um conjunto LI de dois vetores v�	, v� . Qualquer vetor v
coplanar com v� e v� é CL de v� e de v�.
� PROBLEMA: Decompor v em dois vetores cujas direções sejam as de v� e de
v�, isto é:
� ��v� é a projeção de v na direção de v�; ��v� é a projeção de v na direção de v�.
� Este Teorema diz que dois vetores LI geram todos os vetores coplanares com eles.
4.1 Vetores no Plano
3
∴ 					 vvvv � 	
vvvv
 � 	�vvvv�	, 	
, 	�	∈	ℜ
v�
v
��v�
v� ��v�
LOB 1036
1. Decomposição de vetor que não está na direção de v� ou de v�:
2. Decomposição de vetor com a mesma direção de v� ou de v�:
Exemplo: Sejam dois vetores v� e v�
4
v� v�
v
v
vvvv � 	
vvvv
 � 	�vvvv�
v�
v�
vvvv � 	
vvvv
v�
v
��v�
v� ��v�
��v�
LOB 1036
DEFINIÇÃO:
� Se v�	, v� é um conjunto ordenado LI, então v�	, v� é chamado de
BASE do plano. (A ORDEM DOS VETORES IMPORTA!!!)
TEOREMA:
� Se v�	, v� é uma base do plano, então todo vetor w que pertence ao
plano pode ser escrito de maneira única como CL dos vetores da base.
4.2 Base do Plano
5
LOB 1036
i. O Teorema anterior diz que se v�	, v� é uma base do plano, então
todo vetor w no plano é representado de maneira única pelas suas
coordenadas relativas à base.
Assim, se E � v�	, v� é LI e w � ��v� � ��v�, escreve-se:
w � ��, �� �, em que a ordem importa.
ii. Dois vetores são iguais se têm a mesma representação na base E.
iii. Se for considerada uma base diferente de E, a representação de um
vetor será outra.
Observações
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LOB 1036
iv. Vantagem: Em termos de coordenadas, as operações entre vetores se
tornam mais simples de realizar.
TEOREMA: Seja E � v�	, v� uma base do plano e λ	∈	ℜ. Então,
se w � ��, �� � e t� � ��, �� �, tem-se:
�w� t� � �� � ��, �� � �� �
� λ	w � λ	��, λ	�� �
7
LOB 1036
v. As bases mais utilizadas são as bases ortonormais (vetores unitários
e ortogonais).
8
vvvv
 � vvvv� � 
vvvv
	⊥	vvvv�
LOB 1036
� Considere uma base ortonormal e�, e� no plano e o vetor
v � ��e� � ��e�.
� No caso de uma base ortonormal, os vetores ��e� e ��e� são
projeções ortogonais de v sobre e� e e�, respectivamente.
Base Ortonormal
9
vvvv
	
eeee
	�eeee�
e� e�
eeee
 � eeee� � 
eeee
	⊥	eeee� ∴∴∴∴ LI
LOB 1036
� Uma entre as infinitas bases ortonormais no plano coordenado Oxy é
particularmente importante: a formada pelos vetores iiii� e jjjj�, ambos com origem no
ponto 0�0,0� e extremidades nos pontos �1,0� e �0,1�, respectivamente. A base i�, j�
é dita canônica e, a menos que haja referência contrária, esta será a base utilizada.
� Seja o vetor vvvv � �	iiii�� �	jjjj� . Tem-se:
� Componentes de v em relação à base i�, j� : � e �.
� Projeção ortogonal de v sobre i� (eixo dos x): �	iiii� .
� Projeção ortogonal de v sobre j� (eixo dos y): �	jjjj� .
*** Como na base canônica a projeção é sempre
ortogonal, será chamada somente de projeção.
10
O
vvvv
�i�
 j�
x
y
j�
i�
�0,1�
�1,0�
4.3 O Plano Coordenado (ℜ��
LOB 1036
Dados u � ���, ��, v � ���, �� e � ∈ ℜ. Definem-se:
I. Igualdade: u � v	⇔	�� � �� e � � �
II. Adição: u � v � ��� � ��, � � �)
Diferença: u % v � ��� % ��, � % �)
III. Multiplicação por um n. real:	�u � ����, � �)
4.4 Igualdade e Operações com Vetores
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LOB 1036
No plano coordenado, cada ponto & é representado por um par
ordenado �, 	de n. reais:
& � �, 
Observação:
O ponto P���, �� pode ser identificado
com o vetor v � OP � ���, ��, sendo O
a origem do plano Oxy.
12
��
 �
j�
i�
P���, ��
x
y
0
vvvv � �
iiii�� �
jjjj�
abscissa	�eixo	dos	x�
ordenada	�eixo	dos	y�
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Considerando o vetor v � AB, com origem no ponto A���, �� e extremidade
em B���, ��, tem-se:
OA � AB � OB
AB � OB	% OA
AB � ��, � % ���, ��
Logo:
v � AB � B % A � �� % ��, � % �
Vetor Definido por Dois Pontos
13
0
A
B
�� ��
 �
 �
y
x
origem
extremidade
LOB 1036
As componentes de um vetor definido por dois pontos, v � AB � B % A, são as
mesmas componentes do vetor OP com origem na origem do sistema e extremidade no
ponto P. Abaixo, os segmentos orientados AB e OP representam o mesmo vetor �3,1�:
AB � B % A � 1,4 % %2,3 � 3,1 : vetor com origem em A e extremidade em B.
OP: vetor com origem em O�0,0� e extremidade em P�3,1�.
Importante
14
0 1 2 3
x
%1%2
1
2
3
4
A
B
P
y
LOB 1036
1. Prove que se E � v�	, v� é uma base do plano, λ	∈	ℜ, e w � ��, �� �, tem-se
λ	w � λ	��,λ	�� �.
2. Se E � r�	, s� é uma base do plano e u � 1,2 �, v � 4,%2 � e w � %1,8 �,
encontre �, � ∈ ℜ tais que w � � u � � v.
3. Dados os vetores u � 3,%1 e v � %1, 2 , determine o vetor 	w tal que:
a) 4	 u % v � �
8
w � 2	u % w. wwww � %
9
�
,
9
�
b) 3w	% 2v % u � 2 4w % 3u . wwww � �:
9
, %
9
4. Dados os pontos A %1, 3 , B 1,0 , C 2,%1 e D �, , calcule	os	valores	de	�	e
de de forma que: DC � BA. � � >; � � %>
EXERCÍCIOS
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LOB 1036
� TEOREMA: Seja um conjunto LI de três vetores v�, v�, v8 . Qualquer vetor v que
pertença ao espaço é CL de v�, v� e v8:
vvvv � 	
vvvv
 � 	�vvvv� � 	:vvvv:, 	
, 	�, 	:∈	ℜ
� ��, ��, �8: componentes ou coordenadas de v em relação à base v�, v�, v8	 .
� Note que, se v�, v�, v8 são LI, então não são coplanares, pois se v�, v� e v8 fossem
coplanares, v8 seria CL de v� e v� e o conjunto seria LD.
� Este Teorema diz que:
� Três vetores LI geram todos os vetores no espaço.
� Qualquer conjunto com quatro vetores no espaço é LD.
4.5 Vetores no Espaço
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LOB 1036
DEFINIÇÃO:
� Se v�, v�, v8 é um conjunto ordenado LI, então v�, v�, v8 é
chamado de BASE do espaço. (A ORDEM DOS VETORES IMPORTA!!!)
TEOREMA:
� Se v�, v�, v8 é uma base do espaço, então todo vetor w que pertence
ao espaço pode ser escrito de maneira única como CL dos vetores da
base.
4.6 Base do Espaço
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LOB 1036
i. O Teorema anterior diz que se v�, v�, v8 é uma base do espaço,
então todo vetor w no espaço é representado de maneira única pelas
suas coordenadas relativas à base.
Assim, se E � v�	, v�, v8 é LI e w � ��v� � ��v� � �8v8 ,
escreve-se:
w � ��, ��, �8 �, em que a ordem importa.
Observações
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LOB 1036
ii. Seja E � v�, v�, v8 uma base do espaço e λ	∈	ℜ . Então, se
w � ��, ��, @� � e t� � ��, ��, @� �, tem-se:
�w� t� � �� � ��, �� � ��, @� � @� �
� λ	w � λ	��, λ	��, λ	@� �
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LOB 1036
iii. O seguinte Teorema estabelece uma maneira algébrica de verificar quando três
vetores são LD, se for conhecida sua representação em alguma base.
TEOREMA: Seja E uma base do espaço, tal que v� � ��, ��, @� � , v� �
��, ��, @� � e v8 � �8, �8, @8 � . Então, v�, v�, v8	 é um conjunto LD se e
somente se:
ABC
�� �� @�
�� �� @�
�8 �8 @8
� 0
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LOB 1036
� Conjunto de três vetores unitários, dois a dois ortogonais.
� Base canônica do espaço: i�, j�, k	 :
Três vetores unitários
com origem no ponto (0,0,0)
e extremidades nos pontos
(1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1)
respectivamente.
Base Ortonormal
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vvvv � �iiii�� �jjjj�� Ekkkkx
y
vvvv
k
z
�iiii�� �jjjj��iiii�
�jjjj�
Ekkkk
i�
j�
G��, �, E�
0
LOB 1036
�Considere o vetor vvvv � �	iiii�� �	jjjj�� E	kkkk . Tem-se:
� Componentes de v em relação à base i�, j�, k	 : �, � e E.
� Projeção ortogonal de v sobre i� (eixo dos x): �	iiii� .
� Projeção ortogonal de v sobre j� (eixo dos y): �	jjjj� .
� Projeção ortogonal de v sobre k (eixo dos z): E	kkkk .
� O vetor v corresponde ao vetor OP, com origem em O�0,0,0� e extremidade em
P��, , H�.
� Geometricamente, v corresponde ao paralelepípedo cujos lados são definidos por
�	iiii� , �	jjjj� e E	kkkk .
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LOB 1036
� Chama-se sistema referencial qualquer conjunto formado por um
ponto e uma base. Destacam-se:
� Sistema cartesiano Oxyz: formado pelo ponto O�0,0,0� e pela
base i�, j�, k	 .
� Sistema cartesiano Oxy: formado pelo ponto O�0,0� e pela base
i�, j�	 .
Sistema Referencial
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LOB 1036
� O conjuntoℜ dos n. reais é representado geometricamente pela reta real:
� O conjunto ℜ� � �, 	/	�, 	 ∈ ℜ tem como representação geométrica o
plano cartesiano:
� O conjuntoℜ8 � �, , H 	/	�, , H	 ∈ ℜ é representado
geometricamente pelo espaço cartesiano:
Nota
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O
ℜ
ℜ2
�
x
y
 
ℜ3
� 
H
y
x
z
O
LOB 1036
Sejam u � ���, �, H��, v � ���, �, H�� e � ∈ ℜ. Definem-se:
I. Igualdade: u � v	⇔	�� � �� ; � � �	; H� � H�
II. Adição: u � v � ��� � ��, � � �, H� � H�)
Diferença: u % v � ��� % ��, � % �, H� % H�)
III. Multiplicação por um n. real:	�u � ����, � �, �H�)
4.7 Igualdade e Operações com Vetores
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LOB 1036
No plano coordenado, cada ponto & é representado por uma terna
ordenada �, , H 	de n. reais:
& � �, , H
Observação:
O ponto P���, �, H�� pode ser identificado
com o vetor v � OP � ���, �, H��, sendo
O a origem do plano Oxyz.
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abscissa	�eixo	dos	x�
ordenada	�eixo	dos	y�
cota	�eixo	dos	z�
�� �
H�
y
x
z
O
vvvv � �
iiii�� �
jjjj�� E
kkkk
P���, �, H��
LOB 1036
Sejam A��J , J, HJ� e B��K , K, HK� dois pontos quaisquer do espaço.
Então:
AB � B % A � ��K % �J , K % J, HK % HJ)
Analogamente ao plano:
OOOOAAAA� ABABABAB � OOOOBBBB
AAAABBBB � OBOBOBOB% OOOOAAAA
∴ ABABABAB � L % M
27
O�J
�K
 K
HJ
HK
x
y
z
M
L
 J
Vetor Definido por Dois Pontos
LOB 1036
� Já foi visto que se dois u � ���, �, H�� e v � ���, �, H�� são colineares ou
paralelos, ∃	O ∈ ℜ	/	u � Ov, isto é:
�
, �
, E
 � P ��, ��, E� ou �
, �
, E
 � P��, P��, PE�
� E, da definição de igualdade entre vetores, tem-se:
�� � O��
 � � O � ou
QR
QS
�
TR
TS
�	
UR
US
� O
H� � OH�
� Assim, a Condição de Paralelismo entre dois vetores diz que se as coordenadas
dos dois vetores forem proporcionais, então os vetores serão paralelos.
NOTAÇÃO: u	//	v.
4.8 Condição de Paralelismo entre 
Dois Vetores
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LOB 1036
1. Se E é uma base do espaço, determine se os vetores u � 1,%1,2 �, v � 0,1,3 � e
w � 4,%3,11 � formam um conjunto LD ou LI. LD
2. Se	t� � 4,0,13 �, escrever 	t� como CL dos vetores u � 1,%1,3 �, v � 2,1,3 � e
w � %1,1,4 �.
3. Determine v	tal que: 3, 7, 1 � 2v 	� 6,10,4 % v. vvvv � �
, 
, 
�
4. Determine � e � de forma que os vetores u 	� 4,1, %3 e v 	� 6, �, � sejam
paralelos. 	 � :
�
; X � %
Y
�
5. Determinar o simétrico do ponto P 3,1, %2 em relação ao ponto A %1,0, %3 .
�%9,%
,%>�
EXERCÍCIOS
29