Fundamentos da Geometria II Aula o6

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 6- PRISMAS
SUPERFÍCIE PRISMÁTICA OU PRISMA ILIMITADO 
Considere uma região poligonal convexa plana A1, A2, A3,..., An de n lados e uma reta r não paralela nem contida no plano da região. 
Chama-se PRISMA ILIMITADO CONVEXO ou PRISMA CONVEXO INDEFINIDO à reunião das retas paralelas a r e que passam pelos pontos da região poligonal dada. 
2. PRISMAS – DEFINIÇÃO
Considere dois planos paralelos distintos e , uma reta concorrente a esses planos e um polígono convexo contido em . 
Denomina-se PRISMA a reunião de todos os segmentos de reta congruentes e paralelos a r com uma extremidade no polígono dado e a outra no plano .
3. ELEMENTOS
.BASES – são os polígonos situados em cada um dos planos paralelos.
. ARESTAS DAS BASES – são os lados desses polígonos.
. FACES LATERAIS – são os paralelogramos cujos lados opostos são arestas correspondentes às bases.
. ARESTAS LATERAIS – são os segmentos das faces laterais paralelos à reta r.
. ALTURA DO PRISMA – é a distância entre os planos das bases.
4. SECÇÕES
 SECÇÃO de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas as suas arestas laterais.
 SECÇÃO TRANSVERSAL é uma secção cujo plano é paralelo às bases. A secção transversal é um polígono congruente às bases.
 SECÇÃO RETA OU NORMAL é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.
5. CLASSIFICAÇÃO 
Um prisma pode ser classificado: A) Segundo seu polígono da base em: Triangular – se a base for um triângulo; Quadrangular – se a base for um quadrilátero; Pentagonal – se a base for um pentágono; e Hexagonal – se a base for um hexágono e assim sucessivamente.
B. Segundo a inclinação de suas arestas laterais em:
PRISMA RETO – se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Nesse caso as faces laterais são retângulos.
PRISMA OBLÍQUO – se as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
C. Segundo a forma das bases em:
PRISMA REGULAR – é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
PRISMA NÃO REGULAR – é aquele que ou não é reto ou as bases não são polígonos regulares.
Note que o prisma quadrangular acima, embora reto, não é regular pois a base não é um polígono regular
6. PARALELEPÍPEDOS
Alguns prismas quadrangulares recebem nomes especiais de acordo com suas características. 
Assim temos:
PARALELEPÍPEDO - é o prisma quadrangular cujas bases são paralelogramos. Um paralelepípedo pode ser: reto ou oblíquo
PARALELEPÍPEDO RETO – é o prisma reto cujas bases são paralelogramos. 
PARALELEPÍPEDO OBLÍQUO – é o prisma oblíquo cujas bases são paralelogramos. 
Dentre os paralelepípedos, temos ainda:
PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO – é o paralelepípedo cujas bases são retângulos. 
HEXAEDRO REGULAR OU CUBO – é um paralelepípedo reto retângulo em que todas as faces são quadrados.
 
7. ÁREAS DO PRISMA
 . ÁREA LATERAL (Al ou Sl) – de um prisma é a soma das áreas das faces laterais.
 . ÁREA DA BASE (Ab ou Sb) – de um prisma é a área de sua base.
 . ÁREA TOTAL (At ou St) – de um prisma é a soma da área lateral com as áreas das duas bases.
8. PRINCÍPIO DE CAVALIERI
Dados dois sólidos e um plano, suponha que todo plano paralelo ao plano dado, ao interceptar um dos sólidos, intercepta também o outro, de tal modo que as duas secções obtidas tenham mesma área. Sendo assim os dois sólidos têm o mesmo volume.
9.VOLUME (V) DO PRISMA
 O volume de um prisma é igual ao produto da área da sua base pela altura:
 V = Sb . h
onde V = volume, Sb=área da base e h=altura (esta afirmação pode ser facilmente justificada pelo Princípio de Cavalieri).
10. PARALELEPÍPEDO RETO RETÂNGULO OU ORTOEDRO: DIAGONAL, ÁREA E VOLUME
 Considere um paralelepípedo reto retângulo de dimensões : a , b e c. 
 Temos: . D = diagonal do paralelepípedo
 . At ou St = área total e V = volume
HEXAEDRO REGULAR OU CUBO: DIAGONAL , ÁREA E VOLUME
 
 Considere um hexaedro regular ou cubo de aresta “a”.
 Temos: D = diagonal do cubo
 At ou St = área total e V = volume
 
EXERCÍCIOS
Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo e dimensões 3x , 2x e 6x. Se a sua diagonal mede 21cm, calcule o volume dessa caixa.
Calcule o volume de um prisma oblíquo indicado abaixo, sabendo que a base é um hexágono regular de aresta 2m e que a aresta lateral mede 6m e faz um ângulo de 60° com o plano da base.
Sem 60º = h/6 
√3/2 = h/6 
h = 3√3m 
Para calcular a área do hexágono, podemos dividi-lo em 6 triângulos equiláteros: 
Cálculo da altura dos triângulos 
2² = 1² + h'² 
h'² = 4 - 1 = 3 
h '= √3m 
Cálculo da área da base (6 x área de cada triângulo): 
Abase = 6 (2√3/2) = 6√3m² 
Volume = Abase . h 
Volume = 6√3 . 3√3 = 54m³
3. A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo retângulo.
 Melhor resposta:  V=Sb*H 
Seja d a diaginal do quadrado, base do paralelepípedo 
Sb =d²/2 
Desenhe um triangulo (306090) 
Maior cateto = H 
Menor cateto = d 
A relação existente entre d e H vale 
dV3 =H ou 
3d² = H² 
d²=H²/3 
Sb=d²/2 
Sb=H²/6 
V=h²*6 * H = H³/6 
V =60³/6 = 216000/6= 36000cm³
4. Calcule o volume de um cubo, sabendo que a distância entre os centros de duas faces contíguas é de 5cm.
Como as distâncias entre os centros de suas faces contiguas é 5 cm, temos o triângulo retângulo. Usando Pitágoras, podemos determinar a aresta do cubo. 
5² = (a/2)² + (a/2)² 
25 = a²/4 + a²/4 
a = 5√2 
O volume do cubo é V = a³
 V = (5√2)³ 
V = 5³(√2)³ 
V = 125(√(2³)) 
V = 125(√8) 
V = 250√2 cm³