AP2 GP 1 2016 1Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP2 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Quatro pec¸as iguais em forma de triaˆngulo retaˆngulo, foram dispostos de dois
modos diferentes, como mostra a figura abaixo.
Os quadrados ABCD e EFGH tem lados,
respectivamente, iguais a 3 cm e 9 cm.
Determine a medida do lado do quadrado IJKL.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Denomine x e y, respectivamente, o menor e o maior cateto do triaˆngulo retaˆngulo
de pec¸as iguais. Por exemplo, BI = x e BL = y. Denote z a hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo.
O lado do quadrado ABCD mede 3 cm,
enta˜o y = x + 3 ⇒ y − x = 3.
O lado do quadrado EFGH mede 9 cm,
enta˜o x + y = 9. Da´ı
−x + y = 3 (1)
x + y = 9 (2)
Somando (1) e (2), vem:
2y = 12 ⇒ y = 12
2
⇒ y = 6 cm.
Substituindo em (2),
x = 9− y ⇒ x = 9− 6 ⇒ x = 3 cm.
Como o lado do quadrado IJKL e´ a hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo, que tem medida:
z =
√
x2 + y2 =
√
32 + 62 =
√
9 + 36 =
√
45 =
√
5 ∙ 9 = 3
√
5 cm.
Geometria Plana – Gabarito AP2 2
Questa˜o 2 [2 pts]: Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 8 cm.
a) Quais sa˜o as medidas dos raios das circunfereˆncias inscrita e circunscrita ao quadrado ABCD?
Justifique suas respostas.
b) Qual a medida do raio da circunfereˆncia tangente ao lado CD
e que passa pelos ve´rtices A e B, como mostra a figura?
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
a) O lado do quadrado ABCD mede 8 cm. Tome R e r, respectivamente, os raios das circunfereˆncias
circunscrita e inscrita :
Do triaˆngulo retaˆngulo ODC, vem que
DC
2
= R2 + R2 ⇒ 82 = 2R2 ⇒ R =
√
32 = 4
√
2 cm.
O diaˆmetro da circunfereˆncia inscrita e´ 2r = 8, enta˜o r = 4 cm. Portanto os raios das circunfereˆncias
inscrita e circunscrita tem medidas 4 cm e 4
√
2 cm, respectivamente.
Outra soluc¸a˜o:
DB
2
= BC
2
+CD
2 ⇒ (2R)2 = 82+82 ⇒ 4R2 = 2∙64 ⇒ R2 = 2 ∙ 64
4
⇒ R = 8
√
2
2
= 4
√
2 cm.
b) Seja O centro da circunfereˆncia de raio r tangente ao lado CD e H como mostra a figura.
OA = OB = OG = r, enta˜o ΔAOB e´ iso´sceles e
H e´ o ponto me´dio de AB. Como HG tem a mesma
medida do lado do quadrado, enta˜o HG = 8 cm,
logo OH = 8− r. Como o triaˆngulo AHO e´ retaˆngulo,
podemos usar o Teorema de Pita´goras:
r2 = 42 + (8− r)2 ⇒ r2 = 16 + 64− 16r + r2 ⇒ 16r = 16 + 64 = 80 ⇒ r = 80
16
= 5 cm.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AP2 3
Questa˜o 3 [2 pts]: No triaˆngulo acutaˆngulo ABC a base AB
mede 4 cm, a altura relativa a essa base mede 4 cm. MNPQ
e´ um retaˆngulo cujos ve´rtices M e N pertencem ao lado AB,
P pertence ao lado BC e Q pertence ao lado AC.
Determine o per´ımetro desse retaˆngulo. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Considere o triaˆngulo acutaˆngulo ABC, onde AB = 4 cm e a altura CH = 4 cm.
Tome x = QM = PM , y = QP = MN e CE altura do triaˆngulo QCP .
Como QP // MN // AB, pelo Teorema Fundamental, ΔCPQ ∼ ΔCBA,
logo
QP
AB
=
CE
CH
⇒ y
4
=
4− x
4
, portanto
y = 4− x. O per´ımetro do retaˆngulo tem medida
2x + 2y = 2(x + y) = 2(x + 4− x) = 2 ∙ 4 = 8 cm.
Questa˜o 4 [2 pts]: Um paralelogramo tem dois lados consecutivos medindo 4 cm e 6 cm. Sabendo
que esses lados formam um aˆngulo de 150◦, determine o produto dos valores nume´ricos das medidas,
em cm, das diagonais do paralelogramo. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Seja o paralelogramo de lados 4 cm e 6 cm e os aˆngulos entre esses lados de 150◦:
Vamos encontrar os valores das diagonais
d1 = AC e d2 = BD do paralelogramo ABCD.
Enta˜o as medidas dos aˆngulos opostos sa˜o iguais, ou seja,
m(BÂD) = m(BĈD) = 150◦. Ale´m disso m(AB̂C) = m(AD̂C) = 30◦, ja´ que no paralelo-
gramo os aˆngulos consecutivos sa˜o suplementares. Como o triaˆngulo ABD na˜o e´ retaˆngulo, vamos
usar a lei dos cossenos:
d22 = 4
2 + 62 − 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ cos 150◦ ⇒ d22 = 16 + 36− 48 ∙
(
−√3
2
)
⇒ d22 = 52 + 24
√
3.
d21 = 4
2 + 62 − 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ cos 30◦ ⇒ d21 = 16 + 36− 48 ∙
(√
3
2
)
⇒ d21 = 52− 24
√
3
Enta˜o
d21 ∙ d22 =
(
52− 24
√
3
)
∙
(
52 + 24
√
3
)
= 522 − 242 ∙ 3 = 2704− 1728 = 976.
Portanto, podemos concluir que:
(d1 ∙ d2)2 = 976 ⇒ d1 ∙ d2 =
√
976 =
√
16 ∙ 61 = 4
√
61.
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Geometria Plana – Gabarito AP2 4
Questa˜o 5 [2 pts]: Lucinha tem duas folhas retangulares iguais, cujos lados medem 20 cm e 30
cm.
a) Lucinha fez dois trac¸os retos na primeira folha, um a
4 cm da margem esquerda e outro a 7 cm da margem
superior, dividindo a folha em quatro retaˆngulos. Um
desses retaˆngulos tem a maior a´rea.
Qual e´ o valor dessa a´rea? Justifique suas respostas.
b) Ajude Lucinha a dividir a segunda folha em quadrados
iguais, desenhando trac¸os paralelos a`s margens de modo
que esses quadrados tenham a maior a´rea poss´ıvel.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
a) Lucinha fez na folha os seguintes trac¸ados, os segmentos EF e GH, conforme enunciado:
Seja I a intersec¸a˜o entre esses segmentos, resultando em
quatro retaˆngulos cujas a´reas sa˜o:
SAFIG = AF ∙ AG = (20− 7) ∙ 4 = 13 ∙ 4 = 52 cm2,
SGIED = DE ∙DG = 4 ∙ 7 = 28 cm2,
SEIHC = EC ∙ CH = 7 ∙ (30− 4) = 7 ∙ 26 = 182 cm2,
SFBHI = FB ∙HB = (30− 4) ∙ (20− 7) = 26 ∙ 13 = 338 cm2.
Enta˜o o maior dos quatro retaˆngulos tem lados de medidas 26 cm e 13 cm.
Logo a a´rea pedida e´ S = 338 cm2.
b) Lucinha deve desenhar trac¸os paralelos a` margem
de forma que seja poss´ıvel ter apenas quadrados.
Ale´m disso deve verificar que esses quadrados
devem ter a maior a´rea poss´ıvel. Observe que
isso e´ poss´ıvel tomando quadrados de lados de 10 cm.
Ou seja, a maior a´rea ocorre quando esses quadrados tem o mdc(20, 30) = 10 cm como medida do
lado.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ