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AD1 GP 2016 1 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2016.1
Questa˜o 1: [2,0 pts] Na figura tem-se
AB = AC e CD = CE.
Determine a relac¸a˜o entre α e β.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Como CD = CE, o triaˆngulo CED e´ iso´sceles de base ED, enta˜o m(CÊD) = m(CD̂E) = α.
E pelo teorema do aˆngulo externo m(AĈB) = α + α = 2α.
Ale´m disso, do aˆngulo oposto pelo ve´rtice m(FÊB) = m(CÊD) = α.
Como AB = AC, o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles de base BC, enta˜o m(AB̂C) = m(AĈB) = 2α.
Ainda pelo teorema do aˆngulo externo no triaˆngulo BEF ,
m(AF̂E) = m(FB̂E) + m(FÊB) = 2α + α = 3α
Ou seja, β = 3α.
Questa˜o 2: [2,8 pts] No triaˆngulo ABC os pontos D e E pertencem ao lado BC e sa˜o tais que
BD = BA e CE = CA. Se a medida do aˆngulo DÂE e´ 40◦ quanto mede, em graus, o aˆngulo
BÂC? Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Sejam α = m(BÂE) e β = m(CÂD), conforme figura:
m(DÂE) = 40◦, como BD = BA , enta˜o o
triaˆngulo ABD e´ iso´sceles. logo m(BD̂A) = 40◦ + α.
De forma ana´loga, ΔACE e´ iso´sceles, pois CE = CA
Enta˜o m(AÊD) = 40◦ + β.
Do ΔAED vem 40◦ + (40◦ + α) + (40◦ + β) = 180◦
Enta˜o α + β = 180◦ − 120◦ ⇒ α + β = 60◦.
Como m(BÂC) = 40◦ + α + β, logo m(BÂC) = 40◦ + 60◦ = 100◦.
Geometria Plana – Gabarito AD1 2
Questa˜o 3: [2,8 pts] Verifique se as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.
a) Se dois triaˆngulos sa˜o congruentes, enta˜o os lados correspondentes e os aˆngulos corresponden-
tes sa˜o congruentes.
b) A intersec¸a˜o de duas regio˜es triangulares e´ sempre uma regia˜o triangular.
c) Uma altura de um triaˆngulo esta´ sempre contida no seu interior.
d) Dois aˆngulos correspondentes sa˜o sempre congruentes.
Soluc¸a˜o:
a) Esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira, por definic¸a˜o de triaˆngulos congruentes.
b) Esta afirmac¸a˜o e´ falsa. T T21
T1 T2U
Considere as duas regio˜es triaˆngulares T1 e T2,
conforme figura:
Note que a intersec¸a˜o de T1 e T2 e´ a regia˜o hexagonal.
c) A altura de um triaˆngulo e´ um segmento da perpendicular trac¸ada de um ve´rtice a` reta
suporte do lado oposto, cujos extremos sa˜o
esse ve´rtice e o ponto de encontro com essa reta.
Esta afirmac¸a˜o e´ falsa, basta ter um triaˆngulo
obtusaˆngulo. Por exemplo a figura ao lado,
onde a altura relativa ao lado AC.
d) Esta afirmac¸a˜o e´ falsa.
Considere as retas r, s e t, distintas,onde r na˜o e´
paralela a s, conforme figura.
Os aˆngulos θ e β sa˜o correspondentes,
mas na˜o sa˜o congruentes porque
as retas r e s na˜o sa˜o paralelas.
Note que θ = 145◦ e β = 126◦.
Exlique quando ocorre que os aˆngulos correspondentes sa˜o congruentes.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AD1 3
Questa˜o 4: [2,4 pt] Considere um enea´gono regular ABCDEFGHI .
a) Mostre que os triaˆngulos ABC e GHI sa˜o congruentes.
b) Mostre que os triaˆngulos ACD e GIA sa˜o congruentes.
c) Calcule a medida do aˆngulo GÂD.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Do enunciado temos o enea´gono regular, pol´ıgono regular de 9 lados:
Como o pol´ıgono e´ regular temos:
- lados congruentes e aˆngulos congruentes.
E o aˆngulo interno do enea´gono tem medida:
Ai =
180◦(9− 2)
9
= 20◦ ∙ 7 = 140◦.
a) ΔABC ≡ ΔGHI , pelo crite´rio LAL, pois
AB ≡ GH
AB̂C = GĤI = Ai = 140
◦
BC ≡ HI
b) Do item a) podemos concluir que
AC = GI (1)
E os triaˆngulos ABC e GHI sa˜o iso´sceles. Portanto
m(BĈA) = m(BÂC) = m(GÎH) = m(HĜI) = x (2)
ΔADC ≡ ΔGIA, pelo crite´rio LAL, pois
DC ≡ AI
DĈA = AÎG = Ai − x
AC ≡ IG
c) Do item b) podemos concluir que AD ≡ GA. E, de maneira ana´loga, podemos mostrar que
ΔABC ≡ ΔDEF e ΔADC ≡ ΔDGF ⇒ AD ≡ GA ≡ GD
Logo o triaˆngulo ADG e´ equila´tero, portanto seus aˆngulos internos sa˜o congruentes e tem medida
60◦.
Podemos concluir que m(GÂD) = 60◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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