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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Plana – AD1 – Gabarito – 2016.1 Questa˜o 1: [2,0 pts] Na figura tem-se AB = AC e CD = CE. Determine a relac¸a˜o entre α e β. Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Como CD = CE, o triaˆngulo CED e´ iso´sceles de base ED, enta˜o m(CÊD) = m(CD̂E) = α. E pelo teorema do aˆngulo externo m(AĈB) = α + α = 2α. Ale´m disso, do aˆngulo oposto pelo ve´rtice m(FÊB) = m(CÊD) = α. Como AB = AC, o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles de base BC, enta˜o m(AB̂C) = m(AĈB) = 2α. Ainda pelo teorema do aˆngulo externo no triaˆngulo BEF , m(AF̂E) = m(FB̂E) + m(FÊB) = 2α + α = 3α Ou seja, β = 3α. Questa˜o 2: [2,8 pts] No triaˆngulo ABC os pontos D e E pertencem ao lado BC e sa˜o tais que BD = BA e CE = CA. Se a medida do aˆngulo DÂE e´ 40◦ quanto mede, em graus, o aˆngulo BÂC? Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Sejam α = m(BÂE) e β = m(CÂD), conforme figura: m(DÂE) = 40◦, como BD = BA , enta˜o o triaˆngulo ABD e´ iso´sceles. logo m(BD̂A) = 40◦ + α. De forma ana´loga, ΔACE e´ iso´sceles, pois CE = CA Enta˜o m(AÊD) = 40◦ + β. Do ΔAED vem 40◦ + (40◦ + α) + (40◦ + β) = 180◦ Enta˜o α + β = 180◦ − 120◦ ⇒ α + β = 60◦. Como m(BÂC) = 40◦ + α + β, logo m(BÂC) = 40◦ + 60◦ = 100◦. Geometria Plana – Gabarito AD1 2 Questa˜o 3: [2,8 pts] Verifique se as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. a) Se dois triaˆngulos sa˜o congruentes, enta˜o os lados correspondentes e os aˆngulos corresponden- tes sa˜o congruentes. b) A intersec¸a˜o de duas regio˜es triangulares e´ sempre uma regia˜o triangular. c) Uma altura de um triaˆngulo esta´ sempre contida no seu interior. d) Dois aˆngulos correspondentes sa˜o sempre congruentes. Soluc¸a˜o: a) Esta afirmac¸a˜o e´ verdadeira, por definic¸a˜o de triaˆngulos congruentes. b) Esta afirmac¸a˜o e´ falsa. T T21 T1 T2U Considere as duas regio˜es triaˆngulares T1 e T2, conforme figura: Note que a intersec¸a˜o de T1 e T2 e´ a regia˜o hexagonal. c) A altura de um triaˆngulo e´ um segmento da perpendicular trac¸ada de um ve´rtice a` reta suporte do lado oposto, cujos extremos sa˜o esse ve´rtice e o ponto de encontro com essa reta. Esta afirmac¸a˜o e´ falsa, basta ter um triaˆngulo obtusaˆngulo. Por exemplo a figura ao lado, onde a altura relativa ao lado AC. d) Esta afirmac¸a˜o e´ falsa. Considere as retas r, s e t, distintas,onde r na˜o e´ paralela a s, conforme figura. Os aˆngulos θ e β sa˜o correspondentes, mas na˜o sa˜o congruentes porque as retas r e s na˜o sa˜o paralelas. Note que θ = 145◦ e β = 126◦. Exlique quando ocorre que os aˆngulos correspondentes sa˜o congruentes. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Plana – Gabarito AD1 3 Questa˜o 4: [2,4 pt] Considere um enea´gono regular ABCDEFGHI . a) Mostre que os triaˆngulos ABC e GHI sa˜o congruentes. b) Mostre que os triaˆngulos ACD e GIA sa˜o congruentes. c) Calcule a medida do aˆngulo GÂD. Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Do enunciado temos o enea´gono regular, pol´ıgono regular de 9 lados: Como o pol´ıgono e´ regular temos: - lados congruentes e aˆngulos congruentes. E o aˆngulo interno do enea´gono tem medida: Ai = 180◦(9− 2) 9 = 20◦ ∙ 7 = 140◦. a) ΔABC ≡ ΔGHI , pelo crite´rio LAL, pois AB ≡ GH AB̂C = GĤI = Ai = 140 ◦ BC ≡ HI b) Do item a) podemos concluir que AC = GI (1) E os triaˆngulos ABC e GHI sa˜o iso´sceles. Portanto m(BĈA) = m(BÂC) = m(GÎH) = m(HĜI) = x (2) ΔADC ≡ ΔGIA, pelo crite´rio LAL, pois DC ≡ AI DĈA = AÎG = Ai − x AC ≡ IG c) Do item b) podemos concluir que AD ≡ GA. E, de maneira ana´loga, podemos mostrar que ΔABC ≡ ΔDEF e ΔADC ≡ ΔDGF ⇒ AD ≡ GA ≡ GD Logo o triaˆngulo ADG e´ equila´tero, portanto seus aˆngulos internos sa˜o congruentes e tem medida 60◦. Podemos concluir que m(GÂD) = 60◦. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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