Aula 4 - Análise Bisimensional

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#Estatística Básica#Análise Bidimensional

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Universidade de Pernambuco - UPE 

Curso: Administração 

Disciplina: Estatística 

 

Estatística – Aula 4 

Prof. Pablo Aurélio L. de A. Pinto 

pabloaurelioap@hotmail.com 



 
 

ANÁLISE BIDIMENSIONAL 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

 Em estatística é comum o interesse em analisar o 

comportamento conjunto de duas ou mais variáveis 

aleatórias. 

 As informações são organizadas na forma matricial, com as 

colunas indicando as variáveis e as linhas os indivíduos (ou 

elementos). 

 O principal objetivo desse tipo de análise é explorar relações 

(ou padrões de comportamento) entre as colunas, ou entre as 

linhas. 

 A representação matricial dispõe as p variáveis 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,...., 
𝑋𝑛 e n indivíduos, totalizando “np” informações. 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

 Exemplo: 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

 Quando consideramos duas variáveis, podemos ter três 

situações distintas: 

 

 

 A) As duas variáveis são qualitativas; 

 

 B) As duas variáveis são quantitativas; 

 

 C) Uma variável é qualitativa e outra é quantitativa. 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

 Quando as variáveis são qualitativas, os dados são 

resumidos em tabelas de dupla entrada (ou de contingência), 

onde aparecerão as frequências absolutas ou contagens de 

indivíduos que pertencem simultaneamente a categorias de 

uma e outra variável. 

 

 Um dos principais objetivos de se construir uma distribuição 

conjunta de duas variáveis qualitativas é descrever a 

associação entre elas, isto é, queremos conhecer o grau de 

dependência entre elas, de modo que possamos prever 

melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a 

realização de outra. 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

 Exemplo: 

 Avaliação do comportamento das variáveis: 

 Y = grau de instrução; V = região de procedência. 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

 Com base nas informações contidas na tabela de frequência 

absoluta, podemos construir tabelas com frequências 

relativas (proporções). 

 

 Três possibilidades são possíveis: 

 

A) Proporção em relação ao total; 

 

B) Proporção em relação ao total de cada linha; 

 

C) Proporção em relação ao total de cada coluna. 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

 

 

 Como calcular a frequência em análise com duas variáveis? 

Qual o total utilizar? Da coluna? Da linha? Ou o total geral? 

 

 Resposta: depende da análise desejada. A divisão pelo total 

geral expressa a composição do grupo por ambas 

características. A divisão pelo total da linha ou da coluna 

expressa um resultado condicional à observação da linha ou 

coluna. 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

A) Proporção em relação ao total; 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

B) Proporção em relação ao total de cada linha. 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

C) Proporção em relação ao total de cada coluna. 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Qualitativa 

Análise Gráfica – Distribuição da região de procedência por 
grau de instrução. 

 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 

 Quando avaliamos variáveis quantitativas podemos usar o 

mesmo tipo de análise apresentado para variáveis 

qualitativas. 

 

 

 Porém, um dispositivo bastante utilizado para verificar a 

associação entre duas variáveis quantitativas, ou entre dois 

conjunto de dados, é o gráfico de dispersão. 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Exemplo 1: Número de anos de serviço (X) por número de 

clientes (Y) em uma companhia de seguros: 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Gráfico de dispersão para as variáveis - X: anos de serviço e 

Y: número de clientes: 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Exemplo 2: Renda bruta Mensal (X) e porcentagem da 

renda gasta em saúde (Y) para um conjunto de famílias. 

 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Gráfico de dispersão para as variáveis - X: Renda Bruta e 

Y: Renda Gasta com Saúde: 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Exemplo 3: Oito indivíduos foram submetidos a um teste 

sobre conhecimento de língua estrangeira e, procurou-se 

medir o tempo gasto para cada um aprender a operar uma 

determinada máquina. Resultado obtido no teste (máximo 

de 100 pontos) (X); e tempo, em minutos, necessário para 

operar a máquina satisfatoriamente (Y). 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Gráfico de dispersão para as variáveis - X: Resultado do 

Teste; e Y: Tempo de Operação. 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 É possível verificar que a análise gráfica auxilia na 

compreensão do comportamento conjunto das variáveis 

quantitativas, ou seja, permite constatar se existe algum 

tipo de associação entre elas. 

 

 Além da análise gráfica, é possível quantificar a associação 

entre as variáveis. 

 

 Existem muitos tipos de associações possíveis (lineares, 

quadráticas, exponenciais,...), porém, concentraremos a 

análise nas relações lineares. 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 

 

 A relação linear permitirá definir uma medida que avalie o 

quanto a nuvem de pontos no gráfico de dispersão 

aproxima-se de uma reta. 

 

 

 Esta medida é construída para variar dentro do intervalo 

finito, entre -1 e +1. 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Tipo de associações entre variáveis: 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Em administração e economia, é de fundamental interesse 

explorar as relações que se estabelecem entre as variáveis 

de interesse. 

 

 Portanto, uma importante questão que surge é: 

 

 Quão estreitamente juntas caminham duas variáveis 

econômicas quaisquer? 

 

 A resposta a esta pergunta é dada pela “covariância” e 
pela “correlação” que se estabelece entre essas duas 
variáveis.: 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Dados n pares de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ....., (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), 
chamamos de coeficiente de covariância ente duas 

variáveis X e Y, a expressão representada por: 

 

 

 

 

 

 onde:         média de X 

 

         média de Y 

 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 A covariância pode ser interpretada da seguinte forma: 

 

 Se duas variáveis aleatórias têm covariância positiva, 

tendem a relacionar-se positivamente entre si (ou 

diretamente); 

 

 Se duas variáveis aleatórias apresentam covariância 

negativa, relacionam-se negativamente entre si (ou 

inversamente); 

 

 A covariância zero implica que não há associação entre 

pares de valores. 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 

 OBS.: A magnitude da covariância é difícil de interpretar, 

porque depende das unidades de medida das variáveis 

aleatórias. 

 

 Portanto, é conveniente uma medida mais consistente para 

obter a magnitude (intensidade) da relação que se 

estabelece entre as variáveis. Daí a necessidade de 

descobrir a correlação estabelecida entre elas. 

 

 



ANÁLISE BIDIMENSIONAL 

Variável Quantitativa 

 Dados n pares de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ....., (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), 
chamamos de coeficiente de correlação ente duas variáveis 

X e Y, a expressão representada por: 

 

 

 

 

 onde:     média de X

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