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Universidade de Pernambuco - UPE Curso: Administração Disciplina: Estatística Estatística – Aula 4 Prof. Pablo Aurélio L. de A. Pinto pabloaurelioap@hotmail.com ANÁLISE BIDIMENSIONAL ANÁLISE BIDIMENSIONAL Em estatística é comum o interesse em analisar o comportamento conjunto de duas ou mais variáveis aleatórias. As informações são organizadas na forma matricial, com as colunas indicando as variáveis e as linhas os indivíduos (ou elementos). O principal objetivo desse tipo de análise é explorar relações (ou padrões de comportamento) entre as colunas, ou entre as linhas. A representação matricial dispõe as p variáveis 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,...., 𝑋𝑛 e n indivíduos, totalizando “np” informações. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Exemplo: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Quando consideramos duas variáveis, podemos ter três situações distintas: A) As duas variáveis são qualitativas; B) As duas variáveis são quantitativas; C) Uma variável é qualitativa e outra é quantitativa. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa Quando as variáveis são qualitativas, os dados são resumidos em tabelas de dupla entrada (ou de contingência), onde aparecerão as frequências absolutas ou contagens de indivíduos que pertencem simultaneamente a categorias de uma e outra variável. Um dos principais objetivos de se construir uma distribuição conjunta de duas variáveis qualitativas é descrever a associação entre elas, isto é, queremos conhecer o grau de dependência entre elas, de modo que possamos prever melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a realização de outra. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa Exemplo: Avaliação do comportamento das variáveis: Y = grau de instrução; V = região de procedência. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa Com base nas informações contidas na tabela de frequência absoluta, podemos construir tabelas com frequências relativas (proporções). Três possibilidades são possíveis: A) Proporção em relação ao total; B) Proporção em relação ao total de cada linha; C) Proporção em relação ao total de cada coluna. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa Como calcular a frequência em análise com duas variáveis? Qual o total utilizar? Da coluna? Da linha? Ou o total geral? Resposta: depende da análise desejada. A divisão pelo total geral expressa a composição do grupo por ambas características. A divisão pelo total da linha ou da coluna expressa um resultado condicional à observação da linha ou coluna. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa A) Proporção em relação ao total; ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa B) Proporção em relação ao total de cada linha. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa C) Proporção em relação ao total de cada coluna. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Qualitativa Análise Gráfica – Distribuição da região de procedência por grau de instrução. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Quando avaliamos variáveis quantitativas podemos usar o mesmo tipo de análise apresentado para variáveis qualitativas. Porém, um dispositivo bastante utilizado para verificar a associação entre duas variáveis quantitativas, ou entre dois conjunto de dados, é o gráfico de dispersão. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Exemplo 1: Número de anos de serviço (X) por número de clientes (Y) em uma companhia de seguros: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Gráfico de dispersão para as variáveis - X: anos de serviço e Y: número de clientes: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Exemplo 2: Renda bruta Mensal (X) e porcentagem da renda gasta em saúde (Y) para um conjunto de famílias. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Gráfico de dispersão para as variáveis - X: Renda Bruta e Y: Renda Gasta com Saúde: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Exemplo 3: Oito indivíduos foram submetidos a um teste sobre conhecimento de língua estrangeira e, procurou-se medir o tempo gasto para cada um aprender a operar uma determinada máquina. Resultado obtido no teste (máximo de 100 pontos) (X); e tempo, em minutos, necessário para operar a máquina satisfatoriamente (Y). ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Gráfico de dispersão para as variáveis - X: Resultado do Teste; e Y: Tempo de Operação. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa É possível verificar que a análise gráfica auxilia na compreensão do comportamento conjunto das variáveis quantitativas, ou seja, permite constatar se existe algum tipo de associação entre elas. Além da análise gráfica, é possível quantificar a associação entre as variáveis. Existem muitos tipos de associações possíveis (lineares, quadráticas, exponenciais,...), porém, concentraremos a análise nas relações lineares. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa A relação linear permitirá definir uma medida que avalie o quanto a nuvem de pontos no gráfico de dispersão aproxima-se de uma reta. Esta medida é construída para variar dentro do intervalo finito, entre -1 e +1. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Tipo de associações entre variáveis: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Em administração e economia, é de fundamental interesse explorar as relações que se estabelecem entre as variáveis de interesse. Portanto, uma importante questão que surge é: Quão estreitamente juntas caminham duas variáveis econômicas quaisquer? A resposta a esta pergunta é dada pela “covariância” e pela “correlação” que se estabelece entre essas duas variáveis.: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Dados n pares de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ....., (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), chamamos de coeficiente de covariância ente duas variáveis X e Y, a expressão representada por: onde: média de X média de Y ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa A covariância pode ser interpretada da seguinte forma: Se duas variáveis aleatórias têm covariância positiva, tendem a relacionar-se positivamente entre si (ou diretamente); Se duas variáveis aleatórias apresentam covariância negativa, relacionam-se negativamente entre si (ou inversamente); A covariância zero implica que não há associação entre pares de valores. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa OBS.: A magnitude da covariância é difícil de interpretar, porque depende das unidades de medida das variáveis aleatórias. Portanto, é conveniente uma medida mais consistente para obter a magnitude (intensidade) da relação que se estabelece entre as variáveis. Daí a necessidade de descobrir a correlação estabelecida entre elas. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Dados n pares de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ....., (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), chamamos de coeficiente de correlação ente duas variáveis X e Y, a expressão representada por: onde: média de Xmédia de Y desvio padrão de X desvio padrão de Y ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa O coeficiente de correlação mede o grau de associação linear entre as variáveis aleatória. Este situa-se dentro do seguinte intervalo: O objetivo do intervalo é discriminar a direção e a intensidade da associação entre as variáveis: Coeficiente de correlação igual a zero estabelece a ausência de correlação entre as variáveis; Coeficiente de correlação próximos de 1 indicam forte relação linear positiva; Coeficiente de correlação próximos de -1 indicam forte relação linear negativa. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variável Quantitativa Relação entre covariância e correlação: O coeficiente de correlação pode ser determinado pela razão entre a covariância de X e Y, e o produto do desvio padrão de X e Y. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Variáveis Quantitativas e Qualitativas Ainda, temos ocasiões em que as análises estatísticas combinam variáveis qualitativa e variáveis quantitativas. Exemplo: ANÁLISE BIDIMENSIONAL Exercício: Dados hipotéticos sobre consumo familiar semanal Y e renda familiar semanal X. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Exercício: Com base nas informações contidas na tabela abaixo. Calcule: – A média, a variância e o desvio padrão de 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖; – A covariância entre 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖; – O coeficiente de correlação entre 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖; – Demonstre o gráfico de dispersão das séries. – Que conclusões você chegou sobre a relação entre as duas variáveis. ANÁLISE BIDIMENSIONAL Exercício: Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preços de venda, obteve as seguintes informações: A média, a variância e o desvio padrão de preços e quantidade demandada; A covariância entre preços e quantidade; O coeficiente de correlação entre preço e quantidade; Demonstre o gráfico de dispersão das séries. Que conclusões você chegou sobre a relação entre os preços e a quantidade demandada?
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