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Aula 4 - Análise Bisimensional

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Universidade de Pernambuco - UPE 
Curso: Administração 
Disciplina: Estatística 
 
Estatística – Aula 4 
Prof. Pablo Aurélio L. de A. Pinto 
pabloaurelioap@hotmail.com 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 Em estatística é comum o interesse em analisar o 
comportamento conjunto de duas ou mais variáveis 
aleatórias. 
 As informações são organizadas na forma matricial, com as 
colunas indicando as variáveis e as linhas os indivíduos (ou 
elementos). 
 O principal objetivo desse tipo de análise é explorar relações 
(ou padrões de comportamento) entre as colunas, ou entre as 
linhas. 
 A representação matricial dispõe as p variáveis 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3,...., 
𝑋𝑛 e n indivíduos, totalizando “np” informações. 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 Exemplo: 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 Quando consideramos duas variáveis, podemos ter três 
situações distintas: 
 
 
 A) As duas variáveis são qualitativas; 
 
 B) As duas variáveis são quantitativas; 
 
 C) Uma variável é qualitativa e outra é quantitativa. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
 Quando as variáveis são qualitativas, os dados são 
resumidos em tabelas de dupla entrada (ou de contingência), 
onde aparecerão as frequências absolutas ou contagens de 
indivíduos que pertencem simultaneamente a categorias de 
uma e outra variável. 
 
 Um dos principais objetivos de se construir uma distribuição 
conjunta de duas variáveis qualitativas é descrever a 
associação entre elas, isto é, queremos conhecer o grau de 
dependência entre elas, de modo que possamos prever 
melhor o resultado de uma delas quando conhecemos a 
realização de outra. 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
 Exemplo: 
 Avaliação do comportamento das variáveis: 
 Y = grau de instrução; V = região de procedência. 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
 Com base nas informações contidas na tabela de frequência 
absoluta, podemos construir tabelas com frequências 
relativas (proporções). 
 
 Três possibilidades são possíveis: 
 
A) Proporção em relação ao total; 
 
B) Proporção em relação ao total de cada linha; 
 
C) Proporção em relação ao total de cada coluna. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
 
 
 Como calcular a frequência em análise com duas variáveis? 
Qual o total utilizar? Da coluna? Da linha? Ou o total geral? 
 
 Resposta: depende da análise desejada. A divisão pelo total 
geral expressa a composição do grupo por ambas 
características. A divisão pelo total da linha ou da coluna 
expressa um resultado condicional à observação da linha ou 
coluna. 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
A) Proporção em relação ao total; 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
B) Proporção em relação ao total de cada linha. 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
C) Proporção em relação ao total de cada coluna. 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Qualitativa 
Análise Gráfica – Distribuição da região de procedência por 
grau de instrução. 
 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 
 Quando avaliamos variáveis quantitativas podemos usar o 
mesmo tipo de análise apresentado para variáveis 
qualitativas. 
 
 
 Porém, um dispositivo bastante utilizado para verificar a 
associação entre duas variáveis quantitativas, ou entre dois 
conjunto de dados, é o gráfico de dispersão. 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Exemplo 1: Número de anos de serviço (X) por número de 
clientes (Y) em uma companhia de seguros: 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Gráfico de dispersão para as variáveis - X: anos de serviço e 
Y: número de clientes: 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Exemplo 2: Renda bruta Mensal (X) e porcentagem da 
renda gasta em saúde (Y) para um conjunto de famílias. 
 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Gráfico de dispersão para as variáveis - X: Renda Bruta e 
Y: Renda Gasta com Saúde: 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Exemplo 3: Oito indivíduos foram submetidos a um teste 
sobre conhecimento de língua estrangeira e, procurou-se 
medir o tempo gasto para cada um aprender a operar uma 
determinada máquina. Resultado obtido no teste (máximo 
de 100 pontos) (X); e tempo, em minutos, necessário para 
operar a máquina satisfatoriamente (Y). 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Gráfico de dispersão para as variáveis - X: Resultado do 
Teste; e Y: Tempo de Operação. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 É possível verificar que a análise gráfica auxilia na 
compreensão do comportamento conjunto das variáveis 
quantitativas, ou seja, permite constatar se existe algum 
tipo de associação entre elas. 
 
 Além da análise gráfica, é possível quantificar a associação 
entre as variáveis. 
 
 Existem muitos tipos de associações possíveis (lineares, 
quadráticas, exponenciais,...), porém, concentraremos a 
análise nas relações lineares. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 
 
 A relação linear permitirá definir uma medida que avalie o 
quanto a nuvem de pontos no gráfico de dispersão 
aproxima-se de uma reta. 
 
 
 Esta medida é construída para variar dentro do intervalo 
finito, entre -1 e +1. 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Tipo de associações entre variáveis: 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Em administração e economia, é de fundamental interesse 
explorar as relações que se estabelecem entre as variáveis 
de interesse. 
 
 Portanto, uma importante questão que surge é: 
 
 Quão estreitamente juntas caminham duas variáveis 
econômicas quaisquer? 
 
 A resposta a esta pergunta é dada pela “covariância” e 
pela “correlação” que se estabelece entre essas duas 
variáveis.: 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Dados n pares de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ....., (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), 
chamamos de coeficiente de covariância ente duas 
variáveis X e Y, a expressão representada por: 
 
 
 
 
 
 onde: média de X 
 
 média de Y 
 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 A covariância pode ser interpretada da seguinte forma: 
 
 Se duas variáveis aleatórias têm covariância positiva, 
tendem a relacionar-se positivamente entre si (ou 
diretamente); 
 
 Se duas variáveis aleatórias apresentam covariância 
negativa, relacionam-se negativamente entre si (ou 
inversamente); 
 
 A covariância zero implica que não há associação entre 
pares de valores. 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 
 OBS.: A magnitude da covariância é difícil de interpretar, 
porque depende das unidades de medida das variáveis 
aleatórias. 
 
 Portanto, é conveniente uma medida mais consistente para 
obter a magnitude (intensidade) da relação que se 
estabelece entre as variáveis. Daí a necessidade de 
descobrir a correlação estabelecida entre elas. 
 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Dados n pares de valores (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), ....., (𝑥𝑛, 𝑦𝑛), 
chamamos de coeficiente de correlação ente duas variáveis 
X e Y, a expressão representada por: 
 
 
 
 
 onde: média de Xmédia de Y 
 desvio padrão de X 
 desvio padrão de Y 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 O coeficiente de correlação mede o grau de associação 
linear entre as variáveis aleatória. Este situa-se dentro do 
seguinte intervalo: 
 
 
 O objetivo do intervalo é discriminar a direção e a 
intensidade da associação entre as variáveis: 
 Coeficiente de correlação igual a zero estabelece a 
ausência de correlação entre as variáveis; 
 Coeficiente de correlação próximos de 1 indicam forte 
relação linear positiva; 
 Coeficiente de correlação próximos de -1 indicam forte 
relação linear negativa. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variável Quantitativa 
 Relação entre covariância e correlação: 
 
 
 
 
 
 O coeficiente de correlação pode ser determinado pela 
razão entre a covariância de X e Y, e o produto do desvio 
padrão de X e Y. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
Variáveis Quantitativas e Qualitativas 
 Ainda, temos ocasiões em que as análises estatísticas 
combinam variáveis qualitativa e variáveis quantitativas. 
 Exemplo: 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 Exercício: Dados hipotéticos sobre consumo familiar 
semanal Y e renda familiar semanal X. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 Exercício: Com base nas informações contidas na tabela 
abaixo. 
 Calcule: 
 
 
 
– A média, a variância e o desvio padrão de 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖; 
– A covariância entre 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖; 
– O coeficiente de correlação entre 𝑥𝑖 e 𝑦𝑖; 
– Demonstre o gráfico de dispersão das séries. 
– Que conclusões você chegou sobre a relação entre as duas 
variáveis. 
 
ANÁLISE BIDIMENSIONAL 
 Exercício: Certa empresa, estudando a variação da 
demanda de seu produto em relação à variação de preços 
de venda, obteve as seguintes informações: 
 
 
 A média, a variância e o desvio padrão de preços e 
quantidade demandada; 
 A covariância entre preços e quantidade; 
 O coeficiente de correlação entre preço e quantidade; 
 Demonstre o gráfico de dispersão das séries. 
 Que conclusões você chegou sobre a relação entre os 
preços e a quantidade demandada?

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