Aula 5 - Probabilidade

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Universidade de Pernambuco - UPE 
Curso: Administração 
Disciplina: Estatística 
 
Estatística – Aula 5 
Prof. Pablo Aurélio L. de A. Pinto 
pabloaurelioap@hotmail.com 
 
 
PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE 
 
 Os fenômenos estudados pela Estatística, mesmo em 
condições normais de experimentação, caracterizam-se pela 
sua variabilidade de uma observação para outra, dificultando 
a previsão de um resultado futuro. 
 
 Para a explicação desses fenômenos (fenômenos aleatórios) 
adotaremos um modelo matemático probabilístico. 
 
 A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de 
ocorrência de um número em um experimento aleatório. 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Definição: 
 
 Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é 
imprevisível, porém, pertence necessariamente a um 
conjunto de resultados possíveis denominado espaço 
amostral. 
 
 É aquele experimento que quando repetido em iguais 
condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, 
são resultados explicados ao acaso. 
 
 
CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
ALEATÓRIO 
 Experimentos aleatórios apresentam as seguintes 
características gerais: 
 
 – Cada experimento poderá ser repetido sob as mesmas 
condições indefinidamente; 
 – Não se conhece um particular valor do experimento “a 
priori”, porém podemos descrever todos os possíveis 
resultados – as possibilidades; 
 – Quando o experimento for repetido um grande número de 
vezes, surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma 
estabilidade da fração f=s/n (frequência relativa), em que “n” 
é o número de repetições e “s” o número de sucessos de um 
particular resultado estabelecido antes da realização. 
CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
ALEATÓRIO 
 A fim de entendermos melhor a caracterização de fenômenos 
aleatórios que envolvem o cálculo de probabilidades, vamos 
observar o que há de comum nos seguintes experimentos: 
– E1: jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de 
coroas obtidas. 
– E2: Lançam-se dois dados e anota-se o total de pontos 
obtidos. 
– E3: jogar um dado e observar o número obtido na face 
superior. 
– E4: Contar o número de peças defeituosas da produção 
diária da máquina “A”. 
– E5: retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar 
seu “nipe”. 
CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO 
ALEATÓRIO 
 Frequência Relativa: 
 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 A distribuição de frequência é um instrumento importante 
para avaliarmos a variabilidade das observações de um 
fenômeno aleatório. 
 
 A partir da frequência observada podemos calcular medidas 
de posição e variabilidade (média, mediana, moda, desvio 
padrão,...). 
 
 A frequência é geralmente calculada a partir dos dados de 
estimativas de quantidades desconhecidas, associadas em 
geral a populações das quais os dados foram extraídos na 
forma de amostras. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 As frequências relativas são estimativas de probabilidades de 
ocorrências de certos eventos de interesse. 
 
 Com suposições adequadas, e sem observarmos 
diretamente o fenômeno aleatório de interesse, podemos 
criar um modelo teórico que reproduza de maneira razoável a 
distribuição de frequência. 
 
 Esses modelos são chamados de “modelos 
probabilísticos”. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 Exemplo 1: Frequência de ocorrência das faces de um dado. 
 
 Lança-se um dado um número de vezes “n”, e observa-se o 
número de vezes em que ocorre a face i (i = 1, 2,...6). 
 
 As proporções 𝑓𝑖 = 𝑠𝑖 𝑛 determinam a distribuição de 
frequência do experimento realizado. 
 
 Lançando o dado um número n’ (n’ ≠ n) de vezes, teríamos 
outra distribuição de frequência, mas com um padrão muito 
próximo do anterior. 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 
 Premissas: 
 
 Observa-se que só pode ocorrer seis faces; 
 
 O dado deve ser perfeitamente equilibrado, com vistas a não 
favorecer uma face em particular; 
 
 Cada face deve ocorrer o mesmo número de vezes quando o 
dado é lançado n vezes, de modo que a proporção de 
ocorrência de cada face deve ser 1/6. 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Modelo para lançamento de dados: 
 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Exemplo 2: Probabilidade de o presidente de uma reunião 
ser Homem ou Mulher. 
 De um grupo de três mulheres e dois homens, uma pessoa 
será sorteada para presidir uma reunião. 
 Qual a probabilidade de o presidente ser Homem ou Mulher? 
 Como pode-se observar só existem duas possibilidade. 
 Premissas: 
 O sorteio é honesto, e cada pessoa tenha igual chance de 
ser sorteada.: 
 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO 
 Exemplo 3: Lançamento de uma moeda. 
 Lança-se uma moeda uma vez, e observa-se a face ocorrida, 
ou seja, se ocorreu cara (C) ou coroa (K). 
 Qual a probabilidade de ter ocorrido cara ou coroa? 
 Como pode-se observar, só existem duas possibilidade. 
 Premissas: 
 O sorteio é honesto, e a moeda deve ser perfeitamente 
simétrica e homogênea. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 Definição: 
 Um espaço amostral ou espaço de probabilidade (Ω), que 
consiste (no caso discreto) da enumeração (finita ou infinita) 
das ocorrências, é constituído pelo conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento aleatório “E”, onde 
cada elemento constitui os pontos amostrais ou eventos 
elementares. 
 O espaço amostral pode ser representado da seguinte forma: 
 
Ω = 𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … ,𝒘𝒏, … 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 Exemplos de espaço amostral ou de probabilidades (Ω): 
 Experimento: jogar uma moeda uma vez e observar o 
resultado. 
 – Espaço amostral Ω = {C, K} 
 Experimento: jogar um dado e observar o número da face. 
 – Espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 Experimento: extrair uma carta de um baralho de 52 cartas e 
observar o naipe. 
 – Espaço amostral: Ω = {ás de copas, ás de ouros, ás 
de espadas, ás de paus, dois de copas, dois de ouros, dois de 
espadas, dois de paus, etc...} 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 Exemplos de espaço amostral ou de probabilidades (Ω): 
 
 Experimento: jogar dois dados 
 
 – Espaço amostral: 
 
 Ω = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); 
 (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); 
 ..................................................... 
 (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)} 
EVENTO 
 
 Definição: qualquer subconjunto de um espaço amostral é 
denominado evento. Se este subconjunto possuir apenas um 
elemento, o denominamos “evento elementar”, se possuir 
todos os elementos do espaço amostral Ω, é denominado 
evento certo e, se for constituído por um conjunto vazio (ø) é 
chamado evento impossível. 
 
 Tem-se que, n(A) é o número de resultados favoráveis a 
evento A. 
 
EVENTO 
 
 Exemplo: no lançamento de uma moeda Ω = {cara, coroa}. 
Um evento de interesse “A” pode ser “obter cara no 
lançamento de uma moeda” e n(A) = 1. 
 
 No lançamento de um dado, o evento de interesse “A” pode 
ser obter face par e n(A) = 3. 
 
 OBS.: Assim, é possível encontrar a probabilidade P(A) de 
qualquer subconjunto A de Ω, isto é, a probabilidade de um 
evento aleatório ou simplesmente evento. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 Exemplo 1: Lançamento de moedas (espaço amostral 
discreto). 
 Lança-se uma moeda duas vez, e observa-se a face, ou 
seja, se ocorreu cara (C) ou coroa (K). O espaço amostral 
é definido por: 
 
 Ω = {𝒘𝟏, 𝒘𝟐, 𝒘𝟑, 𝒘𝟒} = {CC, CK, KK, KC} 
 
 Como pode-se observar, existem quatro possibilidades 
distintas, é razoável supor que cada ponto 𝒘𝒊 tenha 
probabilidade de ¼, se a moeda for perfeitamentesimétrica e homogênea. 
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 Se designarmos por A o evento que consiste na obtenção 
de faces iguais nos dois lançamentos, então temos: 
 
n(A) = 2 
 
 Se A for qualquer evento de Ω, então: 
 
n(A) = Σj (𝒘𝒋). 
 
 Onde a soma é estendida a todos os pontos amostrais Є 
𝒘𝒋. 
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 Exemplo 2: Teste de qualidade (espaço amostral 
discreto). 
 Uma fábrica produz um determinado artigo. Da linha de 
produção são retirados três unidades, e cada um é 
classificado como bom (B) ou defeituoso (D). O espaço 
amostral do experimento é definido por: 
 
Ω = {𝒘𝟏, 𝒘𝟐, 𝒘𝟑, 𝒘𝟒, 𝒘𝟓, 𝒘𝟔, 𝒘𝟕, 𝒘𝟖} = 
 
Ω = {BBB, BBD, BDB, DBB, DDB, DBD, BDD, DDD} 
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 Se designarmos por A o evento que consiste na obtenção 
de dois artigos defeituosos, então temos: 
 
A = {DDB, DBD, BDD} 
n(A) = P{𝒘𝟓, 𝒘𝟔, 𝒘𝟕} 
 
 Se A for qualquer evento de Ω, então: 
 
n(A) = Σj (𝒘𝒋). 
 
 Onde a soma é estendida a todos os pontos amostrais Є 
𝒘𝒋. 
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 
 Exemplo 3: Teste de qualidade (espaço amostral 
contínuo). 
 
 Considere o experimento que consiste em retirar uma 
lâmpada de um lote, e medir seu “tempo de vida” antes 
de se queimar. O espaço amostral do experimento é 
definido por: 
 
Ω = {t Є R : t≥ 0} 
ESPAÇO AMOSTRAL X EVENTO 
 O espaço amostral representa o conjunto de todos os 
números reais não negativos. 
 
 Se A indicar o evento “o tempo de vida de uma lâmpada 
ser inferior a 20 horas”, então temos: 
 
A = {t Є R : 0 ≤ t < 20} 
 
 Esse representa um exemplo de um espaço amostral 
contínuo. 
PROBABILIDADE 
Espaço Amostral e Eventos Aleatórios. 
 
PROBABILIDADE 
 Conceito elementar de Probabilidade: 
 
 Seja Ω um espaço amostral finito e equiprovável e A um 
determinado evento ou seja, um subconjunto de Ω. A 
probabilidade P(A) de ocorrência do evento A, será uma 
função definida em Ω que associa a cada evento um número 
real. Será calculada pela fórmula:. 
 
 
PROBABILIDADE 
 Onde: 
 
 – n(A) = número de elementos do evento A (resultados 
favoráveis). 
 – n = número de elementos do espaço amostral (resultados 
possíveis). 
 
 OBS.: Sendo Ω um espaço amostral finito, com “n” elementos 
pode-se verificar que 2n nos fornece o número total de 
eventos extraídos de Ω. 
 
PROBABILIDADE 
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS 
 
 Quando associamos a cada ponto amostral a mesma 
probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou 
uniforme. Em particular, se Ω contém “n” pontos, então, a 
probabilidade de cada ponto será 1/n. 
 
 Por outro lado, se um evento A contém “r” pontos, então P(A) 
= r(1/n) = r/n. 
PROBABILIDADE 
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS 
 
 Este método de avaliar P(A) é frequentemente enunciado da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 Ou 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 PROPRIEDADES: 
 A probabilidade do evento impossível é nula: sendo o 
evento impossível o conjunto vazio (Ø) temos: 
 
 
 A probabilidade do evento certo é igual a unidade: Evento 
certo P(Ω) = 1. 
 
 
 A probabilidade de um evento qualquer é um número real 
situado no intervalo real [0, 1]. 
 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 PROPRIEDADES: 
 
 A soma das probabilidades de um evento e do seu 
evento complementar é igual a unidade. 𝑨𝑪 é o evento 
que ocorre se A não ocorre. 
 
 
PROBABILIDADE 
 Dados dois eventos quaisquer A e B, verificamos duas 
situações possíveis: 
 Chamamos a união de A com B, quando pelo menos um dos 
eventos ocorre, ou seja, considera-se a probabilidade de A 
ocorrer ou de B ocorrer. 
 
 
 Chamamos a intersecção de A com B, quando A e B ocorrem 
simultaneamente. 
 
 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 PROPRIEDADES: 
 Sendo A e B dois eventos quaisquer, podemos escrever: 
 
 
 
 
 Daí deriva que a probabilidade da união de dois 
conjuntos disjuntos ou mutuamente exclusivos é dada 
por: 
 
 
 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 Exemplo: 
 Experimento: jogar um dado e observar o resultado 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
 Eventos: A = ocorrer número par; B = ocorrer número 
ímpar. 
A = {2, 4, 6} 
B = {1, 3, 5} 
 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de 
um número par e ímpar não pode ser verificada como 
decorrência do mesmo evento. 
 
 
PROBABILIDADE DE UM EVENTO 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de 
um número par e ímpar não pode ser verificada como 
decorrência do mesmo evento. 
 
 
PROBABILIDADE 
 As operações de união, intersecção e complementaridade 
entre eventos possuem as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 As operações de união, intersecção e complementaridade 
entre eventos possuem as seguintes propriedades: 
 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 Exemplo: Três cavalos A, B e C, disputam uma corrida. O 
cavalo A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que 
B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. 
Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto é, 
P(A), P(B) e P(C)? 
 Faça P(C) = p; desde que B tem duas vezes mais 
probabilidades de ganhar que C, P(B) = 2P(C) = 2p, e assim 
P(A) = 2P(B) = 4p. Como a soma das probabilidades é 1, 
então temos: 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 Exemplo: 
 
 Logo, temos: 
 
 
 
 Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? 
 
 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Dados dois eventos quaisquer A e B, sendo P(B)>0, 
definimos a probabilidade condicional de A dado B, P(A/B), 
ou seja, a probabilidade condicionada do evento A, quando B 
tiver ocorrido, como sendo. 
 
 
 Para aplicações, convém encontrarmos uma fórmula mais 
prática para o cálculo da probabilidade condicional, assim: 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
 Assim, para avaliarmos a probabilidade de A, dado B, basta 
contarmos o número de casos favoráveis ao evento A ∩ B, e 
dividirmos esse número pela quantidade de casos favoráveis 
ao evento B. 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os 
eventos. 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Exemplo: Continuação. 
 
 
TEOREMA DO PRODUTO 
 A partir da definição de probabilidade condicional é possível 
enunciar o teorema do produto, como segue: 
 “A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A 
e B, do mesmo espaço-amostral, é igual ao produto da 
probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do 
outro, dado o primeiro.” 
 
 
 
 
TEOREMA DO PRODUTO 
 Exemplo: Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três 
vermelhas (V). Suponha que são sorteadas duas bolas ao 
acaso, com reposição. Isso significa que escolhemos a 
primeira bola, verificamos sua cor e devolvemos à urna; 
misturamos as bolas restantes e retiramos a segunda. 
Qual a probabilidade de ambas serem brancas? 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Podemos representar o jogo da seguinte forma: 
 
 
 
TEOREMA DO PRODUTO 
 Exemplo: Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três 
vermelhas (V). Suponha que são sorteadas duas bolas ao 
acaso, sem reposição. Isso significa que escolhemos a 
primeira bola, verificamos sua cor e devolvemos à urna; 
misturamos as bolas restantes e retiramos a segunda. 
Qual a probabilidade deambas serem brancas? 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 Podemos representar o jogo da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA 
 Um evento A é considerado independente de um outro 
evento B se a probabilidade de A é igual à probabilidade 
condicional de A dado B, isto é, se 
 
 
 De modo equivalente temos que: 
 
 
 Se os eventos A e B forem independentes entre si, então 
temos: 
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA 
 Dados “n” eventos 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3,..., 𝐴𝑛, diremos que eles são 
independentes se eles forem independentes 2 a 2; 3 a 
3;...;n a n. 
 Isto é, se as igualdades abaixo forem verificadas: 
 
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA 
 Exemplo: Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são 
defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, 
com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem 
boas. 
 
 
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA 
 Exemplo: Sendo Ω = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral 
equiprovável e A = {1, 2}; B = {1, 3} e C = {1, 4} três eventos 
de Ω. Verifique se os eventos A, B e C são independentes. 
 Solução: 
 
 
TEOREMA DE BAYES 
 Sejam 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3,..., 𝐴𝑛, n eventos mutuamente exclusivos 
tais que 𝐴1 U 𝐴2 U ... U 𝐴𝑛 = Ω. Sejam P(𝐴𝑖) as 
probabilidades conhecidas dos vários eventos, e B um 
evento qualquer de Ω tal que conhecemos todas as 
probabilidades condicionais P(B/ 𝐴𝑖). Então, para cada “i”, 
teremos: 
 
 
TEOREMA DE BAYES 
 
 
 
 O resultado anterior é bastante importante, pois, como 
vimos, relaciona probabilidades “a priori” P(𝐴𝑖) com 
probabilidades “a posteriori” P(𝐴𝑖/B), probabilidade 𝐴𝑖 
depois que ocorrer B. 
 
TEOREMA DE BAYES 
 Exemplo: Suponhamos a seguinte configuração. 
 
 
 
 
 
 
 
 Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola 
ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Qual a 
probabilidade da bola ter vindo da urna 2? Da 3? 
 
 
TEOREMA DE BAYES 
 Solução: 
 
 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
 Seja Ω um espaço amostral finito e equiprovável e A um 
determinado evento ou seja, um subconjunto de Ω. A 
probabilidade P(A) de ocorrência do evento A será 
calculada pela fórmula: 
 
 
 
 
 A solução do problema é possível desde que possamos 
determinar n(A) (número de elementos do evento A - 
resultados favoráveis), e n (número de elementos do 
espaço amostral - resultados possíveis). 
 
 
 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
 
 Quando o problema for simples (lançamento de um dado e 
observar o valor, lançamento de uma moeda e observar a 
face, ....) é possível estabelecer o espaço amostral e a 
probabilidade de eventos ocorrer de forma relativamente 
simples e intuitiva. 
 
 Porém, em situações mais complexas, o número de 
resultados torna-se relativamente grande para permitir uma 
listagem. 
 
 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
 Exemplo: 
 
 Suponha que queiramos adquirir um automóvel disponíveis 
nas seguintes cores: 
 Vermelho, azul, preto, branco. 
 
 Existem três tipos de modelos: 
 Quatro portas, duas portas, perua. 
 
 Quais são os possíveis resultados de modelos que 
podemos obter? 
 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
 Exemplo: 
 Quais são os possíveis resultados que podemos obter? 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode-se observar, existem 4 X 3 = 12 resultados 
possíveis. 
 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
 Solução geral: 
 
 Dados dois experimentos quaisquer, onde o primeiro 
comporta qualquer um dos “a” resultados possíveis, e o 
segundo admite qualquer um dos “b” resultados possíveis. 
 Supondo que possa ocorrer qualquer combinação dos dois 
resultados possíveis, então o número total de resultados 
dos dois experimentos é dado por: 
 a x b 
 Esse resultado geralmente é denominado “princípio da 
multiplicação”. 
PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO 
 Solução geral: 
 
 Exemplos: 
 Jogando-se duas moedas – cada uma pode apresentar 
dois resultados, assim temos (2 x 2 = 4). 
 Joga-se dois dados – cada dado pode apresentar 6 
resultados possíveis, assim temos (6 x 6) = 36. 
 Suponha que haja cinco candidatos do Partido Republicano 
nas prévias para a eleição presidencial dos EUA e seis do 
Partido democrata. Então, o número de pares possíveis de 
candidatos na eleição geral é (5 X 6) = 30. 
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO 
 Definição: na amostragem com reposição, o elemento 
escolhido é devolvido à população, podendo ser escolhido 
novamente. 
 
 Regra Geral: 
 Se estamos realizando um processo de amostragem, onde 
podemos escolher “n” objetos, de uma população de “m” 
resultado possíveis, desde que repomos o objeto escolhido 
na população, podemos obter 𝑚𝑛 maneiras distintas de 
selecionar os objetos. 
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO 
 Exemplo: 
 Suponha que você disponha de cinco gravatas para serem 
escolhidas. Cada dia da semana você deve escolher uma 
ao acaso, e deve repor juntamente com as demais no fim 
do dia. 
 De quantas maneiras podem ser escolhidas as gravatas em 
uma semana? 
 
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO 
 Exemplo: 
 Qual a probabilidade de ser escolhida a mesma gravata 
todos os dias? 
 Dado que existe 78.125 resultados possíveis, e apenas 
cinco de ser escolhida a mesma gravata dados os dias 
 
 
AMOSTRAGEM COM REPOSIÇÃO 
 Exemplos: 
 
 Lançamento de uma moeda doze vezes e observar as 
faces ocorridas: 
 2 resultados possíveis, 12 vezes = 212 = 4096. 
 
 Lançamento de um dado cinco vezes: 
 6 resultados possíveis, 5 vezes = 65 = 7776. 
 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
 Definição: na amostragem sem reposição, o elemento, 
uma vez escolhido, não é devolvido à população, não 
podendo ser escolhido novamente. 
 Regra Geral: 
 Se estamos realizando um processo de amostragem, onde 
podemos escolher “n” objetos, de uma população de “m” 
resultado possíveis, desde que não repomos o objeto 
escolhido na população, podemos obter n(n-1)(n-2)(n-
3).....x3x2x1 maneiras distintas de selecionar os objetos. 
De modo equivalente, podemos obter o número de 
resultados possíveis, utilizando: 
 n! 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
 Exemplo: 
 Suponha que você disponha de sete camisas para serem 
escolhidas. 
 Cada manhã escolhe uma e veste. No final do dia, ao invés 
de devolver a camisa ao armário, coloca-a para lavar (a 
lavagem de roupa ocorre apenas uma vez por semana). 
 De quantas maneiras podem ser escolhidas as camisas em 
uma semana? 
 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
ARRANJOS 
 Definição: o número de arranjos de n objetos tomados j de 
cada vez representa o número de escolhas distintas 
possíveis de j objetos de um grupo n. Este procedimento é 
utilizado quando cada ordenação diferente dos objetos 
escolhidos é contada separadamente, ou seja, quando o 
ordenamento dos objetos torna-se relevante. 
 Podemos representar por: 
 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
ARRANJOS 
 Exemplo: 
 Suponha que você disponha de dez camisas para serem 
escolhidas durante uma semana. De quantas maneiras 
distintas você pode escolher as camisas para os sete dias 
da semana? (considerando a escolha sem reposição). 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
ARRANJOS 
 Exemplo: De quantas maneiras podemos escolher três 
letras de um conjunto de cinco letras, de modo que a ordem 
dos elementos seja relevante? 
 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
COMBINAÇÕES 
 Definição: o número de combinações de n objetos 
tomados j de cada vez representa o número de escolhas 
distintas de j objetos de um grupo de n objetos. Esteprocedimento é utilizado quando a ordem dos objetos no 
grupo torna-se irrelevante. 
 Podemos representar por: 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
COMBINAÇÕES 
 Exemplo: De quantas maneiras podemos escolher três 
letras de um conjunto de cinco letras, de modo que a ordem 
dos elementos seja irrelevante? 
 
AMOSTRAGEM SEM REPOSIÇÃO 
COMBINAÇÕES 
 Exemplo: De quantas maneiras podemos escolher três 
letras de um conjunto de cinco letras, de modo que a ordem 
dos elementos seja irrelevante?