Fatoração das Funções do 2º Grau

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Fatoração das Funções do 2º Grau
Primeiro devemos ter em mente: o que é “FATOR”?
Se você não se lembra lá do primeiro grau, fator é cada parte de uma multiplicação!! Veja a imagem abaixo:
Então, o que devemos fazer em uma “fatoração de uma função quadrática” é achar quais os fatores desta função, ou seja, achar alguma “conta de multiplicação” que resulte na função desejada.
Veja o exemplo abaixo:
A função  fatorada fica , então seus fatores são  e .
Para verificar se está correto, vamos efetuar a multiplicação:
Veja que, ao efetuarmos a multiplicação, voltamos à função inicial.
Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?
A regra prática diz o seguinte: sendo “r1” e “r2” as raízes da função que queremos fatorar, simplesmente colocamos na fórmula:
Onde “a” é o coeficiente de x2 na lei da função, e “r1“ e “r2“ são as raízes da função. Vejamos uns exemplos:
	f(x)= 2x2 – 6x – 20
	Aplicando Bhaskara achamos as raízes 5 e -2, e o valor de “a”é 2 (a=2). Então, fatorando esta função, temos:
Atenção para os sinais! Como a fórmula é , então o MENOS da fórmula com o MENOS da raiz fica MAIS.
	f(x) = 3x2 + 24x + 36
	raízes são -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatoração desta função fica:
	f(x) = x2 – 4
	raízes são 2 e -2, e a=1
Fatoração: 
	f(x) = x2 + 12x
	raízes: 0 e -12, a=1
Fatoração:
	f(x) = 4x2 – 12x + 9
	raízes:  e , a=4
Fatoração:  ou 
Como já vimos anteriormente, uma função quadrática sempre terá duas raízes, portantosempre terá dois fatores (mais o “a”, que pode ser 1, mas nunca 0).
Fatorando uma função, podemos ver com mais clareza o porquê das raízes serem os “zeros” das funções.
Veja nesta função fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os “zeros” (ou raízes da função) são 2 e -2, pois se colocarmos 2 no lugar de “x” no primeiro fator, este fator será 2-2, que é zero, e qualquer coisa “vezes” zero resulta em zero.
A função toda é zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.
Este tipo de situação pode ser pedido ao contrário também. Ou seja, ao invés de pedir para fatorar uma função, pode ser pedido qual a função que possua determinada raiz.
Veja os dois exemplos abaixo:
Qual a função que possui apenas 3 e -4 como raízes?
	– Devemos utilizar diretamente a fórmula da fatoração , efetuamos a multiplicação e está pronto.
Como não é pedido um valor específico para “a”, podemos utilizar a=1.
Esta é a função pedida.
Qual a função que possui possui as raízes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?
	Usando a fatoração temos: 
Agora devemos encontrar o valor de “a”, para isso utilizaremos o ponto dado no enunciado.
Se esta função passa pelo ponto (2, 48), então se substituirmos x=2 e y=48, teremos uma igualdade (lembrando que y é a mesma coisa que f(x)).
Portanto, a função pedida é: