A geometria Primeiro Livro de Rene Descartes.

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Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
CDD: 516 
 
A GEOMETRIA – PRIMEIRO LIVRO* 
 
RENÉ DESCARTES 
 
Tradução de José Portugal dos Santos Ramos 
 
domluso@gmail.com 
 
 
ADVERTÊNCIA 
 
[368] Até aqui tentei me fazer compreender por todo 
mundo. Porém, neste tratado creio que não poderei ser lido 
senão por aqueles que já conheçam o que está nos livros de 
Geometria, pois como eles contêm muitas verdades bem 
demonstradas, creio que será supérfluo repeti-las, mas não por 
este motivo deixarei de me servir delas. 
 
 
 
PRIMEIRO LIVRO 
 
Dos problemas que se pode construir sem se empregar senão 
círculos e linhas retas 
 
[371.4-7] Todos os problemas de Geometria podem 
facilmente ser reduzidos a termos tais que é desnecessário 
conhecer previamente mais do que o comprimento de algumas 
linhas retas para os construir.1 
 
 
* Traduzido a partir da edição Adam & Tannery, tomo VI, pp. 368-387. A 
Geometria foi publicada em 1637, como um apêndice ao Discurso do Método, 
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[369.8-370.14] Como toda a Aritmética consiste apenas 
em quatro ou cinco operações, a saber, adição, subtração, 
multiplicação, divisão e a extração das raízes,2 que pode ser 
considerada um tipo da divisão, assim também não há outra 
coisa a fazer em Geometria, com respeito às linhas que se 
desejam conhecer, senão a elas adicionar ou subtrair outras para 
prepará-las para serem conhecidas ou, ainda, tomando uma |, 
que chamarei de unidade a fim de relacioná-la o melhor possível 
com os números, a qual pode em geral ser escolhida 
arbitrariamente, e conhecendo outras duas, encontro uma quarta 
que esteja para uma dessas duas como a outra está para a 
unidade, que é o mesmo que a multiplicação; ou ainda encontrar 
uma quarta que esteja para uma dessas duas como a unidade está 
para a outra, o que é o mesmo que a divisão; ou, enfim, 
Como o 
cálculo da 
Aritmética 
se 
relaciona 
com as 
operações 
da 
Geometria 
 
 
sendo composta por três livros ou capítulos, dos quais o primeiro é aqui 
traduzido. A presente tradução teve o apoio da CAPES. 
1 Smith e Latham relatam na tradução da Geometria para a lingua inglesa que: 
“Muitos problemas desta natureza estão contidos nos trabalhos de Vincenzo 
Riccati e Girolamo Saladino, Institutiones Analyticae, Bolonha 1765; Maria 
Gaetana Agnesi, Istituzioni analitiche, Milão, 1748; e, sobretudo, Claude Rabuel, 
Commentaires sur La Géométrie de M. Descartes, Lyon, 1730”. (SMITH, nota 1, p. 
2). Acrescenta-se que Van Schooten publicou a Geometria de Descartes em 
1638. 
2 Na nomenclatura atual, o comprimento refere-se ao segmento de reta, 
designada por Descarte como linha reta. Itard afirma: “Em meados de 1629, 
Descartes dispunha de uma notação algébrica que em seu conjunto é a mesma 
adotada nos dias atuais, uma adaptação daquela esboçada por Viète, como 
também de seu cálculo geométrico, onde as construções que correspondem às 
soluções das equações são colocadas no início da análise, o que opera uma 
mudança decisiva em relação a Viète. Então, as principais diferenças entre 
Descartes e Viète são: a escolha de uma unidade de comprimento, a adoção de 
uma linguagem puramente aritmética e a utilização sistemática de 
comprimentos retilíneos, isso porque Descartes determina as resoluções das 
equações no inicio da análise, já Viète determina no fim da análise as 
construções enquanto resultado efetivo” (ITARD, 1984, p. 273). 
A GEOMETRIA 
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encontrar uma, duas ou várias medias proporcionais entre a 
unidade e alguma outra linha, o que é o mesmo que extrair a raiz 
quadrada, ou cúbica, etc. E não temerei introduzir esses termos 
da Aritmética na Geometria para me fazer compreender melhor. 
[370.15-20] Seja, por exemplo, AB a unidade, e que deva 
multiplicar-se BD por BC; tenho apenas que unir os pontos A e 
C, e traçar DE paralela a CA; BE então é o produto desta 
multiplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
A 
multiplica-
ção 
 
[370.21-23] Ou então, se se pretende dividir BE por BD, 
tendo unido os pontos E e D, traça-se AC paralela a DE; BC é o 
resultado desta divisão. 
A divisão 
 
[370.24-371.3] No caso em que se pretende extrair a raiz 
quadrada de GH, adiciona-se ao longo da linha reta FG, que é 
igual à unidade, e dividindo FH em duas partes iguais pelo ponto 
K, descrevo a partir de K o círculo FIH. Depois, traçando do 
ponto G uma reta com ângulos retos sobre FH, até I, | GI é a 
raiz buscada. Não digo aqui nada sobre a raiz cúbica nem sobre 
as outras [raízes], pois tratarei detalhadamente delas mais adiante. 
A extração 
da raiz 
quadrada 
 
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[371.14-15] Muitas vezes não há necessidade de traçar 
essas linhas sobre o papel visto ser suficiente designá-las por 
certas letras, uma para cada linha. Assim, para somar a linha BD 
à GH, designo uma por a, outra por b e escrevo a + b; e a – b 
para subtrair b de a; e ab para multiplicar uma pela outra; e para 
dividir a por b; e aa ou a² para multiplicar a por si mesma; e a³ 
para multiplicar outra vez por a, e assim ao infinito.3 E para 
extrair a raiz quadrada de a²+b²; e para 
extrair a raiz cúbica de a³– b³+abb e, assim de outras. 
[371.16-20] Deve-se observar que para a², b³ ou outras 
expressões semelhantes, eu não concebo ordinariamente senão 
linhas simples, ainda que para me servir dos nomes utilizados 
pela álgebra eu as designe quadrados, cubos, etc.4 
Como se 
pode 
empregar 
letras na 
Geometria 
 
 
3 Jullien relata – baseando-se nos pressupostos da matemática de Descartes – 
que: “para estabelecer a relação entre as equações algébricas e as linhas 
geométricas, não é necessário extrair as linhas, escrevendo-as no papel, pois 
era suficiente para Descartes designar cada uma das linhas por uma única 
letra”. (JULLIEN, 1996, p. 70). 
4 Paty relata: “Descartes concebia seu trabalho matemático em geometria 
algébrica como ratificação da classificação dos antigos geômetras que não 
tinham álgebra e que consideravam o engendramento das curvas pelo 
movimento. Com isso, suas pesquisas pela análise eram facilitadas pelo uso de 
uma simbólica nova, clara e manipulável, que lhes permitia resolver 
rapidamente problemas complexos e atribuía o reconhecimento dos traços que 
remetem à classificação das curvas” (PATY, 1998, p. 9-57). 
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[371.21-372.2] Nota-se também que todas as partes de 
uma mesma linha devem expressar ordinariamente as mesmas 
dimensões uma da outra quando a unidade não é determinada no 
problema: como a³ contém tantas dimensões quanto abb ou b³ 
das quais se compõe a linha que nomeei . 
Contudo, não é a mesma quando a unidade é determinada, pois 
pode sempre ser compreendida mesmo onde houvesse muitas ou 
muito poucas dimensões; assim, se for preciso extrair a raiz 
cúbica de aabb-b, é preciso considerar que a quantidade aabb está 
dividida uma vez pela unidade e que | a outra quantidade b está 
multiplicada duas vezes pela mesma unidade. 
[372.3-9] Por último, com o intuito de não se deixar de 
recordar os nomes destas linhas, é preciso semprefazer uma 
anotação separada na medida em que se as coloque ou se as 
mude, escrevendo, por exemplo: 
AB = 1, ou seja, AB é igual a 1 
GH = a 
BD = b, etc. 5 
[372.10-373.27] Assim, querendo se resolver algum 
problema, deve-se previamente considerá-lo como já realizado6 e 
Como se 
chega às 
equações 
 
5 Para o sinal de igualdade, Descartes empregava o símbolo ∞. Entretanto, a 
presente tradução utilizará o sinal =, de uso corrente. 
6 A expressão “já realizado” prescreve a efetuação de uma demonstração 
analítica. De acordo com Boyer: “A análise subdividia-se em transformação, 
que estava relacionada com a busca das condições para a solução de um 
problema geométrico e; em resolução, que estava relacionado com a 
legitimação das condições que foram previamente descobertas e estabelecidas” 
( BOYER, 1996, p. 128). Já Allard diz que o método de análise subdividia-se 
em duas etapas, a saber, a Análise ou Resolução e Síntese ou Composição. Segue a 
exposição de Allard: “Supõe-se o problema resolvido. Com esse intuito é 
preciso apenas encontrar as condições conhecidas e desconhecidas que 
determinam o problema. Por definição, o círculo é um lugar geométrico (sobre 
um plano), equidistante de um ponto fixo, o centro. Supondo o problema 
resolvido, se faz necessário que o centro O do círculo conhecido seja igual a 
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dar nome a todas as linhas que parecem necessárias para o 
construir, tanto às que são desconhecidas quanto às outras. 
Então, sem fazer qualquer distinção entre as linhas conhecidas e 
as desconhecidas, deve-se examinar a dificuldade segundo a 
que 
servem 
para 
resolver os 
problemas 
 
distância de A, B e C. Considera-se, em seguida, as consequências que 
decorrem desta suposição. Para isso, se deve – quando a solução é possível – 
dividir o problema em questão em problemas mais simples, como é aqui o caso. 
Então, tomando os pontos A e B, o centro O equidistante de A e B, por 
conseguinte, será necessariamente sobre OP, a mediatriz de AB. Do mesmo 
modo, se pode compreender que o centro do círculo conhecido será 
equidistante de B e C, e, por consequência, será situado sobre OP', a mediatriz 
de BC. Se progride assim até a obtenção da resposta desejada. A análise 
conduz a descoberta da solução. Já a partir da síntese poder-se-á demonstrar 
que o ponto O é o centro do círculo. Deve-se assinalar que esta demonstração 
já fora implicada na análise, ou, em outras palavras, a síntese é comandada pela 
análise”. Mas Allard assinala que Descartes usa a álgebra dos modernos 
mediante este mesmo método e da seguinte maneira: “Supõe-se o problema 
resolvido. Isto porque, se representa as quantidades desconhecidas por 
símbolos, a partir dos quais se formula o problema sob a forma de equações 
algébricas. Em seguida, se considera as consequências que decorrem desta 
suposição, a saber, simplificando as equações com o intuito de encontrar a 
solução do problema proposto. A solução constitui a resposta procurada. Eis, 
portanto, o papel da análise cartesiana: verificar os resultados obtidos e 
interpretar a solução. Do ponto de vista estritamente algébrico, esta última 
etapa, alega Allard: “a síntese ou composição, tem menos importância em 
virtude da reciprocidade das equações”. Prova: O círculo cujo centro é o 
ponto O e o raio O A passa pelos pontos A, B e C. No triângulo A O B, 
OA=OB (triângulo isósceles). No triângulo BOC, OB=OC (mesmo raio). 
Logo, OA=OB=OC, (duas coisas iguais à uma terceira são iguais entre elas). 
Este método analítico compreende necessariamente duas etapas complementares 
que procedem de maneira inversa, uma da outra: a análise permite a descoberta 
da solução do problema posto, e a síntese, por sua vez, permite a solução para 
tornar inteligível o problema resolvido. Então, a ordem seguida é a seguinte: (1) do 
complexo ao simples, do problema condicionado à descoberta da condição 
desconhecida: (2) do simples ao composto, a condição agora conhecida fornece 
inteligibilidade ao problema proposto. A partir de um problema onde há 
obrigatoriamente obscuridade, se deve descobrir a fonte de inteligibilidade que 
fornece clareza ao problema” (ALLARD, 1963, p. 44-48). 
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ordem que mostre, de modo mais natural, de que modo elas 
dependem mutuamente umas das outras até que se tenha 
encontrado a maneira de expressar uma mesma quantidade de 
dois modos, o que se se denomina equação, pois os termos de 
um desses dois modos deve ser igual àquele do outro. E se deve 
encontrar tantas dessas equações quantas são supostas serem as 
linhas desconhecidas. Caso contrário, se não puderem ser 
encontradas, apesar de não se ter omitido nada daquilo que se 
deseja no problema, isso prova que ela [i.é, a equação] não está 
inteiramente determinado e, então, se pode escolher 
arbitrariamente as | linhas conhecidas para todas as 
desconhecidas às quais não correspondem nenhuma equação. 
Depois disso, se ainda houver muitas [linhas desconhecidas], 
torna-se necessário recorrer, por ordem, a cada uma das 
equações que restam, considerando-as isoladamente ou as 
comparando com outras para explicar cada uma das linhas 
desconhecidas e, assim, eliminando-as, fazer com que não reste 
senão uma, igual a alguma outra que seja conhecida, ou ainda, 
cujo quadrado, cubo, quadrado do quadrado, supersólido, 
quadrado do cubo, etc., seja igual ao que resulta da adição ou 
subtração de duas ou mais quantidades das quais uma seja 
conhecida e as outras estejam compostas de quaisquer médias 
proporcionais entre a unidade e esse quadrado ou cubo, ou 
quadrado do quadrado, etc., multiplicado por outras conhecidas. 
Escrevo isto desta maneira: 
 
z = b, 
ou z² = – az+bb, 
ou z³ = az²+bbz– c³, 
ou z4 = az³– c³z+d4, 
 
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etc.7 
 
Ou seja: z, que tomo pela quantidade desconhecida, é igual a b; 
ou o quadrado de z é igual ao quadrado de b menos a 
multiplicado por z; ou o cubo de z é igual a a multiplicado pelo 
quadrado de z mais o quadrado de b multiplicado por z menos o 
cubo de c, etc. 
[373.28-374.13] Deste modo pode-se sempre reduzir 
todas as quantidades | desconhecidas a uma única, quando o 
problema pode ser construído através de círculos e linhas retas, 
ou ainda por secções cônicas ou mesmo por alguma outra linha 
que não seja composta de mais do que um ou dois graus. 
Todavia, não me detenho a explicar isso com mais detalhe, pois 
eu vos privaria do prazer de aprender por vós mesmos, e a 
utilidade de cultivar vosso espírito exercitando-o é, em minha 
opinião, o que há de mais importante que se pode obter desta 
ciência. Não me refiro, também, a nada tão difícil que aqueles 
que sejam um pouco versados na Geometria elementar e na 
Álgebra, e que se apliquem com cuidado a tudo o que está neste 
tratado, não possam encontrar.8 
 
7 "z4 =+ az³+ B² z²- C³Z + d4" (SCHOOTEN apud ADAM & TANNERY, 
1996, p. 373). 
8 Na introdução da edição de 1637 da Geometria, Descartes fez a seguinte 
observação: “Nos meus escritos anteriores eu tentei me fazer claro para todo 
mundo; mas eu tenho dúvidas se esse tratado será lido por alguém que não seja 
familiarizado com livros de Geometria, e então eu julguei supérfluo repetir 
demonstrações contidas neles”. La Geometrie (AT, VI, 368).Numa carta a 
Mersenne, datada de 1637, Descartes afirma: “Não desejo falar em prol de 
mim mesmo, mas uma vez que poucas pessoas conseguem entender a minha 
geometria e uma vez que o senhor deseja que forneça minha opinião sobre 
isso, eu julgo que vale dizer que isto é tudo que eu pude esperar, e isso na 
Dióptrica e nos Meteoros eu apenas tentei persuadir as pessoas que o meu 
método é melhor que o ordinário. Eu provei isto na Geometria, pois no início 
eu resolvi uma questão que, segundo Pappus, não poderia ser resolvida por 
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[374.14-19] Por isso, me contentarei aqui a vos advertir 
que, sempre ao resolver estas equações, não se deve esquecer de 
efetuar todas as divisões que sejam possíveis, e desse modo se 
obterá infalivelmente os termos mais simples aos quais o 
problema pode ser reduzido. 
[374.20-27] Se isto pode ser resolvido pela geometria 
elementar, isto é, pelo uso de linhas retas e de círculos que 
seguem uma superfície plana, quando a última equação tiver sido 
inteiramente resolvida não restará no final senão um quadrado 
desconhecido, igual àquele que se produziu pela adição, ou 
subtração, de sua raiz multiplicada por alguma outra quantidade 
conhecida e de alguma outra quantidade também conhecida.9 
Quais são 
os 
problemas 
planos 
 
[374.28-375.13] E então esta raiz, ou linha desconhecida, 
se encontra facilmente, pois, tem-se, por exemplo: z² = az+bb. 
 
Como são 
resolvidos 
 
 
nenhum dos antigos geômetras Correspondance (AT, I, 478). E, em uma outra 
carta Descartes diz: “Além disso, o que eu forneci no Livro II sobre a natureza 
e as propriedades das linhas curvas, assim como o método de examiná-las, 
parece-me tão distante do tratamento da geometria elementar quanto a retórica 
de Cícero está além do abc das crianças” Correspondance (AT, I, 479). Já em uma 
outra carta, Descartes acrescenta: “Omiti várias coisas que poderiam ter feito a 
Geometria mais clara, mas eu fiz isso intencionalmente, e não faria isso de outro 
modo. As únicas sugestões que foram feitas no que toca a mudanças na 
Geometria dizem respeito a tornar claro aos leitores, mas a maior parte destes 
leitores é tão maliciosa que eu estou completamente decepcionado 
Correspondance (AT, IV, 393). 
9 Segundo Jullien, Descartes trata os problemas planos associando duas 
propriedades. A primeira propriedade pressupõe que os problemas são 
resolvidos com o auxílio de retas e círculos. A segunda propriedade pressupõe 
que a última equação seja do segundo grau. Jullien ainda acrescenta que os 
procedimentos algébricos e geométricos são propostos para esclarecer as 
questões que se remetem a uma equação do segundo grau (Cf. JULLIEN, 
op.cit., p. 79). 
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| Construo o triângulo retângulo NLM, cujo lado LM é igual a b, 
raiz quadrada da quantidade conhecida bb, e o outro LN é , a 
metade da outra quantidade conhecida, que está multiplicada por 
z, que suponho ser a linha desconhecida. Então, prolongando 
MN, a base desse triângulo, até O, de modo que NO seja igual a 
NL, a linha total OM, ou z, que é a linha procurada.10 E ela se 
expressa desta maneira: 
. 
[375.14-25] Tendo-se: 
yy = – ay+bb, 
e sendo y a quantidade que é necessário encontrar, construo o 
mesmo triângulo NLM, e de sua base MN levanto NP igual a 
NL, e o resto PM, que é y, é a raiz buscada. De modo que tenho: 
 
10 Nesta passagem Descartes não reconhece as raízes negativas das equações 
(ADAM & TANNERY. op. cit., p. 375). 
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. 
E é igual caso tivesse: 
x4 = – ax²+b², 
PM seria x² e eu teria 
, 
e assim para outros casos. 
[376.1-12] Enfim, se se tem 
 
z² = az–bb, 
faço NL igual a , e LM igual a b, como anteriormente; então, 
em vez de unir os pontos M e N, traço MQR paralela à LN, e 
traçando um círculo de centro em N que passa por L, que corta 
nos pontos Q e R, a linha buscada z é MQ, ou, antes, MR, pois 
neste caso ela se expressa de duas maneiras, a saber: 
, e 
. 
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[376.13-16] E se o círculo que, tendo seu centro no 
ponto N, passa pelo ponto L, não corta nem toca a linha reta 
MQR, não há nenhuma raiz na equação, de modo que se pode 
assegurar que a construção do problema proposto é impossível.11 
 
11 Segundo Jullien: “Sejam por isso as equações: z²=az+BB ou yy= – a+BB ou 
z²=az–bb. O cálculo algébrico fornece a expressão das soluções das linhas, do 
tipo: z= +/– (para a primeira) e Descartes propõe então – 
em cada caso – um meio geométrico de construção. Traça-se um triangulo 
retângulo cujo um lado é LM=b, e o outro é LN= . A hipotenusa é por isso: 
NM= . Traça-se o círculo de centro N e de raio NL. A linha 
MN, prolongada, corta este círculo em O e, evidentemente: 
MO= + seja uma das raízes procuradas. Uma coisa é por isso 
ter identificado a expressão algébrica da solução, e outra coisa é fornecer uma 
construção. Para Descartes encontrar a solução constrói a linha. O método 
consiste em atribuir a uma etapa da resolução a álgebra para enfim 
legitimar/validar este procedimento pela construção de uma linha. Este 
momento intermediário é extremamente relevante porque é por essa via que é 
revelada a ordem como os problemas são postos”. (JULLIEN, op. cit., p. 79-
80). 
A GEOMETRIA 
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[376.17-28] Por outro lado, estas mesmas raízes podem 
ser encontradas por uma infinidade de outros meios, e somente 
quis indicar aqui essas muito simples, a fim de mostrar que se 
pode construir todos os problemas de geometria elementar sem 
se fazer mais do que aquele pouco que está compreendido nas 
quatro figuras que expliquei. Não creio que os antigos tenham 
observado isto, pois, caso contrário, eles não teriam se 
incomodado em escrever livros tão volumosos em que basta a 
ordem das proposições para nos mostrar que não possuíam o 
verdadeiro método para as descobrir, mas que apenas reuniram 
aquelas que tinham resolvido. 
[377.1-14] | E isto se pode ver muito claramente no que 
Pappus propôs no início de seu Livro VII, onde, depois de ter se 
proposto a citar tudo o que havia sido escrito em geometria 
pelos que o haviam precedido, trata finalmente de um problema 
que diz que nem Euclides, Apolônio ou qualquer outro havia 
conseguido resolver inteiramente.12 Eis aqui suas palavras:13 
 
12 Paty diz: “Em Leyde, em 1631, Descartes tomou conhecimento do 
problema de Pappus através do orientalista J. Gool, ou Golius (1596-1667), 
recém-nomeado professor da Universidade, e que trazia do Oriente 
informações de manuscritos árabes, juntamente com o problema relativo aos 
segmentos de retas ligadas por relações de proporções. Descartes, de posse 
deste material, o resolveu em algumas semanas pela geometria algébrica, 
fornecendo então um dos primeiros exemplos de resolução puramente 
analítica de um problema de geometria” (PATY, op. cit., loc. cit). Entretanto, ainda é 
necessário explicar em que consiste a resolução lógico-matemática do problema de 
Pappus. Para tanto, é necessário examinar os procedimentos metódicos de 
análisee síntese no próprio interior da matemática de Pappus. Segundo Boyer: 
“Há uma descrição completa do que se denominava para os antigos como o 
método de análise e de uma coleção de obras conhecida como Tesouro da 
Análise. Pappus descreve a análise como sendo um método de conceber como 
aceito o que se busca, e assim passar por suas conseqüências até alguma coisa 
que seja aceita como resultado da síntese. Dito de outra forma, Pappus 
observava na análise uma solução ao contrário, cujos passos deveriam ser 
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Mas esse lugar de três ou quatro linhas, onde Apolônio disse, 
em seu Livro III, que nem mesmo Euclides tinha tratado 
inteiramente, como tampouco o fez qualquer outro, não teria 
conseguido determiná-lo nem adicionar nada ao que Euclides 
houvera escrito, apenas pelas [secções] cônicas, que foram 
demonstradas antes do tempo de Euclides, etc.14 
 
[377.15-378.22] E, um pouco mais adiante, explica qual é 
este problema do seguinte modo: 
 
Esse lugar de três ou quatro linhas retas, a propósito do qual 
Apolônio elogia e se vangloria das suas descobertas, ainda que 
devesse estar reconhecendo o primeiro que a tratou, é o 
seguinte: Se, dadas as posições de três retas e traçando a partir 
de um ponto outras três retas que formem com aquelas 
ângulos dados e, se é dado a relação entre o retângulo formado 
por duas destas retas com o quadrado da outra, o ponto 
encontrar-se-á sobre um lugar sólido, dado em posição, isto é, 
sobre uma das três cônicas. Se forem quatro retas dadas |, e se 
traçam outras quatro formando com aquelas ângulos dados, e 
se conhece a relação do retângulo de duas das linhas 
desenhadas com a das outras duas, então, da mesma maneira, o 
ponto será encontrado igualmente sobre uma secção cônica. Se 
as retas são apenas duas, está, pois, estabelecido que o lugar é 
plano; porém, se é dado mais do que quatro, o lugar do ponto 
Cito antes 
a versão 
latina do 
que o texto 
grego para 
que todos 
a 
entendam 
mais 
facilmente 
 
 
percorridos de novo em sentido inverso para assim fornecer uma 
demonstração matematicamente válida. Se a análise levasse a alguma coisa 
impossível, o problema também seria impossível, pois uma conclusão falsa 
implica em uma premissa falsa. Como se segue, Pappus explica que o método 
de análise e síntese é usado pelos autores cujas obras constituem o autêntico 
Tesouro da Análise. Com isso, Pappus menciona os tratados dos Elementos de 
Euclídes e as Cônicas de Apolônio” (BOYER, op. cit., p. 128). 
13 Descartes, às vezes, reproduz o texto da versão original de maneira inexata: 
Pappi Alexandrini mathematicae collectiones a Frederico Commandino Vrbinate in 
latinum conversoe et commentariis illustratoe (ADAM & TANNERY, op. cit., p. 377). 
14 Segue a versão latina: Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro loucm ad tres & 
quatuor lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat, neque aliquis 
alius; sed neque paululum quid addere iis quae Euclides scripfit, per ea tamtum conica quae 
vfque ad Euclidis tempora praemonstrata sunt, & c. (AT, VI, 377). 
A GEOMETRIA 
Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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não é conhecido, assim chamam-se simplesmente linhas. Não 
está claro o que elas são, ou quais são as suas propriedades. 
Uma delas, não a primeira, mas a mais manifesta, tem sido 
examinada e isso tem sido provado ser útil. No entanto, estas 
são as proposições relativas a elas. 
Se de um ponto se traçam cinco retas dadas em posição, outras 
retas formam com elas ângulos dados, e ocorrer assim a relação 
entre o paralelepípedo retângulo sólido formado por três das 
linhas e o paralelepípedo retângulo sólido formado por outras 
duas e por outra linha dada, encontrar-se-á o ponto sobre uma 
linha em posição. Se as linhas dadas forem seis, e se houver 
proporção entre o sólido formado por três das linhas dadas e o 
sólido formado pelas outras três, encontrar-se-á também o 
ponto sobre uma linha dada em posição. Mas, se forem mais 
de seis retas, que não se pode dizer que ocorre a proporção 
entre um objeto compreendido por quatro retas e outro 
formado pelas outras, pois não há nenhuma figura que esteja 
formado por mais de três dimensões.15 
 
[378.23-379.13] Aqui, rogo que observem, sem entrar 
 
15 Segue a versão latina: At locus ad tres & quatuor lineas, in quo [Apollonius] 
magnifice fe iactat & oftentat, nulla habita gratia ei qui prius fcripferat,eft huiufmodi. Si, 
positione datis tribus rectis lineis, ab vno & eodem puncto ad tres lineas in datis angulis 
rectae leneae ducantur, & data fit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum 
reliquae, punctum contingit pofitione datum solidum locum, hoc est vnam ex tribus conicis 
sectionibus. Et, si ad quatuor rectas lineas positione datas in datis angulis lineae ducantur, e 
rectanguli duabus ductis contenti ad contentum duabus reliquis proportio data sit, similiter 
punctum datam coni sectionem positione continget. Siquidem igitur ad duas tantum, lócus 
planus ostensus est. Quod si ad plures quam quatuor, punctum continget locos non adhuc 
cógnitos, fed lineas tantum dictas; quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non 
constat: earum vnam, neque primam, & quae manifeftiffima videtur, compofuerunt 
oftendentes vtilem esse. Porpositiones autem ipfarum hae sunt: Si ab aliquo puncto, ad 
positione datas rectas lineas quinque, ducantur rectae lineae in datis angulis, & data fit 
proportio folidi parallelepipedi rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur, ad folidum 
parallelepipedum rectangulum, quod continetur reliquis duabus & data quapiam linea, 
punctum pofitione datam lineam continget. Si autem ad fex, & data sit porportio folidi 
tribus lineis contenti ad folidum quod tribus reliquis continetur, rurfus punctum contiget 
positione datam lineam. Quod fia d plures quam fex, non adhuc habent dicere an data sit 
proportio cuiufpiam contenti quatuor lineis ad id quod relequis continetur, quoniam non est 
aliquid contentum pluribus quam tribus dimenfionibus (AT, VI, 377-378). 
JOSÉ PORTUGAL DOS SANTOS RAMOS 
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em detalhes, que o escrúpulo que tinham os antigos em 
empregar os termos da Aritmética na Geometria, que não podia 
provir senão de não verem claramente a relação entre eles, o que 
produzia bastante obscuridade e confusão na maneira com que 
se expressavam. Pappus prossegue da seguinte maneira: 
 
Todavia, os que antes de nós trataram deste assunto, 
acordaram que [a figura] que elas contêm não é compreensível 
de modo algum. No entanto, é admissível, por meio das 
relações compostas, enunciar e demonstrar de modo geral as 
proposições antes citadas e as que seguem. Eis a seguir como: 
Se, a partir de um ponto se traçam retas dadas em posição e 
outras retas formam com elas ângulos dados, há proporção 
composta de uma com uma das traçadas, da segunda com a 
segunda e da terceira com a terceira, e [assim] com as restantes 
linhas [retas] dadas, se forem sete. Se forem oito, da última 
com a última o ponto encontrar-se sobre as linhas que são 
dadas em posição. E, de modo similar para qualquer que seja o 
número [de retas] ímpares ou pares, pois estas, como eu disse, 
correspondem em posição às quatro linhas. Portanto, ninguém 
no passado estabeleceu como fazer conhecer esta linha.16 
 
[379.14-380.24] Assim, pois, a questão que Euclides 
havia começado a resolver e que Apolônio prosseguiu, sem que 
nenhum a tivesse terminado, era esta: dadotrês ou quatro ou 
mais números de linhas retas pela posição, deve-se, 
primeiramente, encontrar um ponto a partir do qual se possam 
traçar outras linhas retas, fazendo cada uma um dado ângulos 
 
16 Segue a versão latina: Acquiescunt autem his qui paulo ante tália interpretati sunt, 
neque vnum aliquo pacto comprehensibile significantes quod his continetur. Licebit autem per 
coniunctas proportiones haec & dicere & demonftrare vniuerfe in dictis proportionibus, atque 
his in hunc modum. Si ab aliquo puncto, ad positione datas rectas lineas, ducantur rectae 
lineae in datis angulis, & data sit proportion contuncta ex ea quam habet vna ductarum ad 
vnam, & altera ad alteram, & alia ad aliam, & reliqua ad datam lineam, si sint septem: 
si vero octo, & reliqua ad reliquam: punctum continget pofitione datas lineas. Et similiter, 
quotcumque sint impares vel pares multitudine, cum haec, vt dixi, loco ad quatuor lineas 
respondeant, nullum igitur pofuerunt ita vt linea nota sit, &c. (AT, VI, 378-379). 
A GEOMETRIA 
Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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dado com uma das anteriores, de modo que o retângulo formado 
por duas dessas assim traçadas do mesmo ponto tenha a 
proporção dada com o quadrado da terceira, se não há mais do 
que três; ou, se houver quatro, com o retângulo das outras duas 
ou, ainda, havendo cinco, que o paralelepípedo formado por três 
tenha uma dada proporção com o paralelepípedo das duas que 
restam e de outra linha dada. Ou, se há seis, que o paralelepípedo 
composto por três tenha uma proporção dada | com um 
paralelepípedo de três outros. Ou, havendo sete, aquilo que se 
obtém multiplicando quatro, tenha uma dada razão com o 
produto das três restantes por outra linha dada. Ou, se há oito, 
que o produto da multiplicação de quatro tenha a proporção 
dada com o produto das outras quatro. E, assim, se pode 
estender este problema a qualquer quantidade de linhas. Porém, 
em virtude de existir sempre uma infinidade de pontos diversos 
que podem satisfazer o que aqui se pede, se requer também 
conhecer e traçar a linha sobre a qual devem se encontrar, e 
Pappus relata que quando não há mais do que três ou quatro 
linha retas dadas, eles se encontram numa das três secções 
cônicas,17 mas ele não tratou de descriminá-la, descrevê-la, nem 
 
17Ao tocante dos procedimentos matemáticos de Apolônio, sua obra As 
Cônicas contempla um papel determinante na Geometria de Descartes. Sobre o 
ponto de vista histórico da matemática, Boyer relata que: “as secções cônicas 
eram conhecidas há cerca de um século e meio quando Apolônio escreveu o 
seu tratado sobre esse estilo de curvas geométricas. Pelo menos nesse intervalo 
as cônicas tinham sido descritas de forma generalizante por Euclides em Os 
Elementos, contudo, As cônicas de Apolônio substituiu a obra de Euclides. Como 
se segue, antes do tempo de Apolônio, a elipse, a parábola e a hipérbole eram 
obtidas como secções de três tipos bem diferentes de cone circular reto, 
conforme o ângulo no vértice fosse agudo, reto ou obtuso. Apolônio, 
aparentemente pela primeira vez, mostrou sistematicamente que não seria 
necessário tomar secções perpendiculares a um elemento do cone e que de um 
único cone podem ser obtidas todas as três espécies de secções cônicas, 
simplesmente variando a inclinação do plano de secção. Esse foi um passo 
JOSÉ PORTUGAL DOS SANTOS RAMOS 
Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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de explicar [a linha] onde todos esses pontos devem se encontrar 
quando o problema está proposto para um número maior de 
linhas. Acrescenta apenas que os antigos haviam imaginado uma 
que mostravam ser útil, e ainda que parecesse a mais manifesta, 
não era, no entanto, a primeira. Isto me deu a oportunidade de 
ensinar se, pelo método do qual me sirvo, se pode ir tão longe 
quanto eles foram. 
[380.25-381.14] Primeiramente, entendi que este 
problema não era colocado senão para três, quatro ou cinco 
linhas, podendo-se sempre encontrar os pontos procurados pela 
geometria elementar, ou seja, não se servindo senão da régua e 
do compasso, nem se fazendo outra coisa senão aquilo que já foi 
dito, exceto somente quando há cinco linhas dadas, sendo estas 
todas | paralelas.18 Neste caso, como quando o problema se 
refere a seis, 7, 8 ou 9 linhas, pode-se sempre encontrar os 
pontos buscados pela geometria dos sólidos, isto é, empregando 
alguma das três secções cônicas, exceto somente quando há nove 
linhas dadas, se todas são paralelas.19 Neste caso, novamente, 
também para 10, 11, 12 ou 13 linhas, pode-se encontrar os 
Resposta 
ao 
problema 
de Pappus 
 
importante para relacionar os três tipos de curvas. Uma segunda generalização 
importante se efetuou quando Apolônio provou que o cone não precisa ser 
reto, isto é, um cone cujo eixo é perpendicular à base circular – podendo ser 
também um cone obliquo ou escaleno. Finalmente, Apolônio trouxe as curvas 
antigas mais para perto do ponto de vista moderno, substituindo assim o cone 
de uma só falha por um duplo” (BOYER, op. cit., p. 99). 
18 Numa carta enviada a Mersenne, datada de 5 de abril de 1632, Descartes 
relata o período que passou para resolver o problema de Pappus: “Eu vos direi 
que empreguei apenas cinco ou seis semanas para encontrar a solução” 
Correspondance (AT, I, 244). 
19 Numa carta enviada a Mersenne, datada de 3 de maio de 1632, Descartes 
relata que resolve o problema de Pappus a partir das secções cônicas e dos 
lugares sólidos, ou ainda utilizando graus mais compostos. Cf. Correspondance 
(AT, I, 245). 
 
A GEOMETRIA 
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pontos procurados por meio de uma linha curva que seja de um 
grau mais composto que as secções cônicas; exceto para 13 
[linhas] se forem todas paralelas. Neste caso e para o de catorze, 
15, 16 e 17 [linhas], será necessário empregar uma linha curva de 
um grau ainda mais composto do que a precedente, e, assim, ao 
infinito. 
[381.15-30] Assim, descobri também que quando não há 
mais do que três ou quatro linhas dadas, todos os pontos 
buscados se reencontram, não somente em uma das três secções 
cônicas, mas também por vezes na circunferência de um círculo 
ou em uma linha reta. Quando há 5, 6, 7 ou 8 [linhas], todos os 
pontos se reencontram em alguma das linhas que são de um grau 
mais composto que as secções cônicas, e é impossível imaginar 
alguma que não seja útil a este problema; mas, também podem, 
novamente, se reencontrarem em uma secção cônica, em um 
círculo ou em uma linha reta; se forem 9, 10, 11 ou 12 [linhas], 
os pontos se reencontram em uma linha que não pode ser senão 
composta de um grau maior que as precedentes, e todas as que 
são compostas de um grau maior podem servir, e assim o 
infinito. 
[381.31-382.7] Quanto à restante, a primeira e mais 
simples de todas| depois das secções cônicas, é a que pode ser 
descrita pela interseção de uma parábola e de uma linha reta, 
conforme será explicado em breve. Penso ter satisfeito 
inteiramente aquilo que Pappus nos diz ter sido procurado pelos 
antigos, e tentarei fornecer a demonstração em poucas palavras, 
pois estou cansado de tanto escrever. 
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Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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[382.8-17] Sejam AB, AD, EF, GH, e etc. várias linhas 
dadas em posição e que se queira encontrar um ponto, como C, 
do qual setendo traçado outras linhas sobre as [linhas] dadas, 
como CB, CD, CE e CH, de modo que os ângulos CBA, CDA, 
CFE, CHG, etc., sejam dados, e que aquilo que é o produto da 
multiplicação de uma parte destas linhas seja igual àquilo que é o 
produto da multiplicação das outras ou, ainda, que elas tenham 
outra proporção dada, o que não torna, de modo algum, o 
problema mais difícil.20 
 
20 Jullien fornece uma explicação contemporânea para a resolução do problema 
de Pappus: “Sejam quatro retas D1, D2, D3, D4 dadas; um ponto C estando 
considerado, anota-se d1, d2, d3, d4, os comprimentos dos seguimentos, juntam 
C a D1 (respectivamente 2, 3 e 4), sob um ângulo dado. Deve-se fixar a relação 
do produto d1 . d2, ao produto d3 . d4. Ainda conforme a autor, para Descartes a 
resolução do problema admite duas partes distintas. A primeira requer que se 
encontre um ponto C correspondente à relação fixada. A segunda requer que 
seja determinada a linha onde se devem encontrar todos os pontos 
convenientes. É fornecido a exemplificação para a resolução utilizando-se 
quatro linhas. Se apenas três linhas são dadas, a relação fixada será de d1.d2 à 
(d3)². Para cinco linhas, a relação será d1.d2.d3 à d4.d5.k (k seria uma linha dada, 
necessária para respeitar a lei dos homogêneos). Segundo Jullien, o problema 
de Pappus pode ser generalizado para n linhas, anotando a adaptação 
necessária quando n é impar. Uma das retas é tomada como eixo das abscissas, 
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[382.18-383.11] Primeiramente, suponho a coisa como já 
feita21 e, para me livrar da confusão de todas | estas linhas, 
considero uma das dadas e uma das que se deve encontrar, por 
exemplo, AB e CB, como as principais, às quais trato de referir 
todas as outras. Seja designado x o segmento da linha AB 
compreendido entre os pontos A e B, que BC seja designado por 
y e que se prolonguem todas as demais linhas até que cortem 
também estas duas, também prolongadas, se necessário, desde 
que não sejam paralelas a elas. Como notais aqui, elas cortam a 
linha AB nos pontos A, E, G e a linha BC nos pontos R, S, T. 
[383.11-383.18] Ora, como todos os ângulos do 
triângulo ARB são dados, a proporção que há entre os lados AB 
e BB é também dada,22 e a indico como de z para b, de modo que 
AB sendo x, RB será e a [linha] total CR será + , pois o 
ponto B fica entre C e R; então, se R ficasse entre C e B, CR 
Como se 
deve 
colocar os 
termos 
para se 
chegar à 
equação 
deste 
exemplo 
 
 
um ponto A é tomado como origem e uma direção determina as ordenadas. 
Um ponto C – solução do problema – será procurado. Acrescenta-se que esse 
ponto será a duas coordenadas AB=x e BC=y (BC é a primeira linha implicada 
na análise do problema). Descartes mostra então – com o auxílio de 
considerações simples, isto é, com o auxílio de linhas e ângulos dados e 
conhecidos – que todas as outras linhas consideradas no problema podem 
sempre ser expressas por três termos. Diante disso, a expressão algébrica de 
cada uma das linhas di, implicadas na análise do problema é do tipo ay+/–
bx+/–c (onde a, b e c são conhecidas). Além disso, a primeira destas linhas 
(BC=y) não requer a incógnita x. Jullien se propõe a examinar a situação para o 
problema de Pappus quando se apresentam cinco linhas”. (JULLIEN, op. cit., 
p. 81-83). 
21 Segundo Vuillemin: “Toda Geometria de Descartes destina-se à constituição 
de um método inovador, isto é, do método analítico, e não mais sintético, 
determinando assim a resolução do problema de Pappus” (VUILLEMIN, 
1960, p. 99). 
22 Uma vez que as raízes dos senos dos ângulos opostos são conhecidas. 
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Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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seria e se C ficasse entre B e R, CR seria – + . 
[383.18-384.8] Analogamente, os três ângulos do 
triângulo DRC são dados23 e, por conseguinte, também a 
proporção que há entre os lados CR e CD, que indico como z a 
c, de modo que CR sendo + , CD será + . Depois 
disto, porque as linhas AB, AD e EF são dadas por posição, a 
distância que há entre os pontos A e E é também dada e, se se a 
designa por k, ter-se-á EB igual a k+x; mas seria k–x se o ponto 
B ficasse entre E e A, e –k+x se E ficasse entre A e B. E porque 
os ângulos do triângulo ESB são todos dados, a proporção entre 
BE e BS é também dada, e a indico como z a d, se bem que BS é 
 e a [linha] total CS é ; porém se o ponto S | 
ficasse entre B e C seria ; e quando C ficasse entre B 
e S, seria . Ademais, os três ângulos do triângulo 
FSC também são dados, e, consequentemente, é dada a 
proporção entre CS e a CF, que seria a entre z e e, e toda a [linha] 
. Do mesmo modo, AG, que designo l é 
dada e BG é l–x, pois no triângulo BGT é também conhecida a 
proporção entre BG e BT, que é como a entre z e f, e 
 
23 Uma vez que CB e CD cortam AD sob certos ângulos. 
A GEOMETRIA 
Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
243 
 e . 
 
[384.9-11] Então, a proporção entre TC e a CH está 
dada pelo triângulo TCH, fazendo-a como a de z e g, tendo-se 
. 
[384.12-385.9] Notareis, assim, que qualquer que seja o 
número de linhas dadas por posição, todas as linhas traçadas a 
partir do ponto C tem ângulos dados conforme o enunciado e 
pode-se sempre expressar cada uma por três termos, dos quais 
um é composto pela quantidade desconhecida y multiplicada, ou 
dividida, por alguma outra conhecida; o outro pela quantidade 
desconhecida x também multiplicada ou dividida por alguma 
outra | conhecida, e o terceiro por uma quantidade totalmente 
conhecida. Excetua-se somente o caso delas serem paralelas quer 
à linha AB, caso em que o termo composto da quantidade x será 
nulo, quer à linha CB, caso em que o termo composto da 
quantidade y será nulo, o que fica suficientemente claro para que 
não me detenha a explicar mais. Quanto aos sinais + e – que se 
JOSÉ PORTUGAL DOS SANTOS RAMOS 
Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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unem a estes termos, eles podem ser mudados de todas as 
maneiras imagináveis. 
[385.10-19] Podeis notar também que, multiplicando 
várias dessas linhas uma pela outra, as quantidades x e y que se 
encontram no produto não podem ter cada uma senão tantas 
dimensões quanto são as linhas, a explicação delas será dada 
assim que sejam multiplicadas. Elas não terão jamais mais do que 
duas dimensões, o que não será produzido senão pela 
multiplicação de duas linhas, nem mais do que três, o que não 
será produzido senão pela multiplicação de três, e, assim, ao 
infinito. 
[385.20-386.10] Ademais, em virtude de não ser 
necessária mais que uma condição para determinar o ponto C, a 
saber, que o produto da multiplicação de um certo número de 
linhas seja igual ou (o que não é nada complicado) tenha a 
proporção dada com o produto da multiplicação das outras, 
pode-se tomar à vontade uma das duas quantidades 
desconhecidas, x ou y, e buscar a outra por esta equação na qual 
é evidente que, quando o problema não está proposto para mais 
do que cinco linhas, a quantidade x, que não serve para a 
expressão da primeira [das linhas], não pode nunca ter senão 
duas dimensões, de maneira | que, atribuindo a y uma 
quantidade conhecida, não restará senão 
xx = + ou – ax + ou – bb; 
e assim se poderá encontrar a quantidade x com a régua e com o 
compassoda maneira outrora explicada. Do mesmo modo, 
tomando sucessivamente infinitas grandezas diversas para a linha 
y, se encontrarão também infinitas para a linha x; e assim se terá 
uma infinidade de diversos pontos iguais àquele marcado C por 
meio dos quais se traçará a linha curva solicitada. 
[386.11-387.9] Pode ocorrer também, estando o 
problema proposto para seis ou um número maior de linhas, e 
Como se 
verifica 
que este 
problema é 
plano 
quando 
não está 
proposto 
para mais 
de cinco 
linhas 
 
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havendo entra as linhas dadas algumas que sejam paralelas a BA 
ou BC que uma das quantidades x ou y não tenha senão duas24 
dimensões na equação, e assim se possa encontrar o ponto C 
com régua e compasso. Porém, pelo contrario, se elas são todas 
paralelas, ainda que o problema não se refira a mais do que cinco 
linhas, este ponto C não poderá ser encontrado desse modo, pois 
a quantidade x não se encontrando em toda a equação, não será 
permitido tomar uma quantidade conhecida para aquela 
denominada y, pois será essa a que se quer buscar. E posto que 
ela terá três dimensões, não se poderá obtê-la senão extraindo a 
raiz de uma equação cúbica: o que geralmente não se pode fazer 
sem que se empregue pelo menos uma secção cônica. Embora 
haja até nove linhas dadas, contanto que não sejam todas 
paralelas, pode-se fazer com que a equação não chegue | mais do 
que ao quadrado do quadrado, por meio da qual se pode sempre 
resolvê-la por secções cônicas da maneira que explicarei mais 
adiante. Embora haja até treze, pode-se sempre fazer de modo 
que a equação não chegue mais do que até o quadrado do cubo, 
de modo que possa sempre se resolver por meio de uma linha 
que não é senão apenas um grau mais composta do que as 
secções cônicas, da maneira que também explicarei adiante. 
[387.9-12] Esta é a primeira parte daquilo que quis aqui 
demonstrar. Porém, antes de passar à segunda, é necessário que 
eu diga alguma coisa em geral sobre a natureza das linhas curvas. 
 
 
Tradução de José Portugal dos Santos Ramos. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLÍOGRÁFICAS 
 
24 Aut etiam unam, acrescenta Schooten (SCHOOTEN apud ADAM & 
TANNERY., op. cit., p. 386). 
JOSÉ PORTUGAL DOS SANTOS RAMOS 
Cad. Hist. Fil. Ci., Campinas, Série 3, v. 19, n. 2, p. 221-249, jul.-dez. 2009. 
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