Lista de Exercícios de Cálculo I

Prévia do material em texto

As listas de exercícios podem ser encontradas nos seguintes endereços: 
www.mat.ufmg.br/calculoI ou na pasta J18, no xerox (sala1036) 
 
 
TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 
1. Seja f(x) = x
2
. Calcule f’(a). 
2. Seja f(x) = 
x
1
. Calcule f’(a), com 0≠a . 
3. Em cada caso, verifique se a derivada existe. Em caso afirmativo escreva a expressão de 
f’(x). 
 
a) 




=
≠
=
00
0
1
)(
xse
xse
x
senx
xf b) 




=
≠
=
00
0
1
)(
2
xse
xse
x
senx
xf 
 
4. Calcule o 
3
3
lim
20002000
3
−
−
→ x
x
x
. Como esse limite se relaciona com uma derivada? 
5. Calcule o 
hh
cosh1
lim
0
−
→
. 
 
6. Considere a função dada por 





>++
=
<−
=
1
12
13
)(
2 xsecbxx
xse
xseax
xf . 
a) Encontre uma relação entre a, b e c para que f seja contínua em x = 1. 
b) Determine os valores de a, b e c para que f seja derivável em x = 1. 
7. Derive: 
a) y = 3x
6
 + 9x – 3 b) y = 9
5
−
x c) 
x
xy
9
10
7 6
−= 
d) 
xx
xxy
4
7 2 5+= e) y = e–2x+5 f) y = 
xcos
1
. 
g) ))(ln( xseny −= . Qual é o domínio dessa função? Qual é o domínio da derivada y’?
 
h) 
74 )935( −+−= xxy i) )72
1
( 323
4
++−= + x
x
xey x 
j) 
9542 )324()13( +++−= xxxxy k) xxey −= l) y = ln(−x) 
m) y = e 
tg(ln(senx))
 n) y = e
lnx
 o )y = ln(cosx) 
 
8. Mostre que h(t) = | t − 3| não é derivável em t = 3. 
9. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado. 
a) xxy −= 3
5
 , no ponto de abscissa x = 64. 
b) )
2
3
cos()
2
( xxseny
pipi
+= no ponto de abscissa x = 1. 
10. Determine as tangentes horizontais ao gráfico de 56
2
5
3
23
++−= x
xx
y . 
11. Determine a equação da reta r tangente ao gráfico de y = x
2
 + 3x + 1 e que é paralela à reta 
de equação y = 4x + 7. 
12. Seja 
3
2 )(2
)(
x
xhx
xf
+
= . Se h é derivável, h(1) = −2 e h’(1) = 10, calcule f’(1). 
13. Suponha que h(x) seja uma função derivável e que f(x) = h(x
5
), determine f’(x). 
14. Mostre que a reta de equação y = −x é tangente à curva de equação y = x3 − 6x2 + 8x. 
Encontre o ponto de tangência. 
15. Um avião, a velocidade constante de 500 km/h, voa horizontalmente a uma altitude de 
2.000 metros, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a 
qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4.000 metros da 
estação. 
 
16. A luz de uma rua é colocada no topo de um poste de 15 metros. Um homem com 1,80 
metros de altura anda afastando-se do poste com uma velocidade de 3 metros por segundo 
de acordo com uma trajetória reta. Quando o homem estiver a 40 metros do poste, 
determine em relação ao poste: 
a) a taxa de variação do comprimento de sua sombra. 
b) a velocidade do topo de sua sombra. 
 
17. Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 km/h, e o 
outro para oeste a 25 km/h. A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas 
horas depois da partida? 
 
18. A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cm/min, enquanto a área do triângulo 
cresce a uma taxa de 2 cm
2
/min. A que taxa está variando a base do triângulo quando a 
altura é 10 cm e a área 100 cm
2
 ? 
 
19. Ao meio-dia, um navio A está 100 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o 
sul a 35 km/h, e o navio B está indo para o norte a 25 km/h. Quão rápido está variando a 
distância entre eles às 4 horas da tarde? 
 
20. O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm
3
 por segundo. Com que taxa está 
variando a área de uma de suas faces, quando sua aresta tiver 20 cm? 
 
21. Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função ( )f x x= . Quando a 
partícula passa pelo ponto (4 , 2), sua coordenada x está crescendo a taxa de 3 cm/s. Quão 
rápido está variando a distância da partícula à origem nesse instante? 
 
22. Um papagaio (pipa) a 100 metros acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade 
de 3 metros por segundo. A que taxa está decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal 
depois de 200 metros de linha serem soltos? 
 
23. Dois lados de um triângulo são 4 metros e 5 metros, e o ângulo entre eles está crescendo a 
uma taxa de 0,06 radianos por segundo. 
a) Encontre a taxa segundo a qual está variando o comprimento do terceiro lado desse 
triângulo quando o ângulo entre os lados de comprimento fixo é / 3pi . 
b) Encontre a taxa segundo a qual a área desse triângulo está crescendo quando o ângulo 
entre os lados de comprimento fixo é / 3pi . 
 
24. Um farol está localizado em uma ilha, e a distância entre ele e o ponto mais próximo P em 
uma praia reta do continente é de 3 km. Sua luz faz quatro revoluções por minuto. Quão 
rápido estará se movendo o feixe de luz ao longo da praia quando ele estiver a 1 km do 
ponto P? 
 
25. Um velocista corre em uma pista circular de raio 100 metros a uma velocidade constante de 
7 metros por segundo. Seu amigo está em pé a uma distância de 200 metros do centro da 
pista. Quão rápido estará variando a distância entre os amigos quando estiverem a uma 
distância de 200 metros um do outro? 
 
26. Um tanque de armazenamento de água tem a forma de um cone circular reto invertido, com 
4 metros de altura e 2 metros de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,001 
m
3
/min, calcule a razão na qual o nível da água está subindo quando a sua profundidade é 
de 1,5 metros. 
 
27. Encontre os pontos P e Q sobre a parábola 
21y x= − de forma que o triângulo ABC 
formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja eqüilátero. 
 
 
 
 
28. A figura mostra um círculo de raio 1 inscrito na parábola de equação 
2y x= . Determine as 
coordenadas do centro desse círculo. 
 
 
 
29. A figura mostra uma roda giratória, de 40 cm de raio, e uma barra de conexão AP de 
comprimento fixo 1,2 metros. O pino P pode escorregar para frente e para trás ao longo do eixo 
x à medida que a roda gira no sentido anti-horário a uma taxa de 360 revoluções por minuto. 
Encontre uma expressão para a velocidade do pino P em termos do ângulo θ, indicado na 
figura. 
 
 
 30. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia à razão de 6 cm/s. Determine a taxa de 
variação da área do quadrado no instante em o lado meça 10 cm. 
31. O raio de uma bola cresce à razão 3 cm/s. Determine a taxa de variação do volume da bola 
no instante em que o raio é 8 cm. 
 
32. Uma escada de 5 m de comprimento se apóia em uma parede vertical. A extremidade 
inferior da escada se afasta da parede a uma razão de 0,8 m/s. Quão rapidamente está 
descendo a extremidade superior da escada no instante em que a extremidade inferior 
estiver a 3 m da parede? 
 
33. Um trem deixa uma estação num certo instante, e viaja sempre na direção norte a uma 
velocidade de 80 km/h. Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e viaja 
sempre na direção leste a uma velocidade de 96 km/h. Determinar a taxa de 
variação da distância entre os trens 1h e 30min depois do segundo trem ter 
deixado a estação. 
 
34. Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada na 
proa do bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro, que está 1 m 
mais alto do que a proa. Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, quão 
rápido o bote aproxima-se do ancoradouro, quando ele estiver a 8 m dele? 
 
35. Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m/s. Um 
farol giratório queestá a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol 
está girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais 
próximo do farol?